訓(xùn)練05 橢圓60道真題訓(xùn)練（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點(diǎn)歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁(yè)訓(xùn)練05橢圓60道真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023上·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)?？计谥校┓匠痰幕?jiǎn)結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由表達(dá)式幾何意義并利用橢圓定義可知滿足橢圓的方程，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，表達(dá)式可表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和為10，且，由橢圓定義可知點(diǎn)滿足以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓方程，所以可得.故選：B2．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓上一點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離為1，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】由橢圓定義求得到右焦點(diǎn)的距離，由中位線定理得，從而可得結(jié)論．【詳解】易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，則由橢圓的定義得．在中，易知為的中位線，所以，故選：B．3．（2022下·北京·高二北京二中?？计谀E圓的焦距為4，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】先把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，分焦點(diǎn)在，軸上兩種情況進(jìn)行分類討論，能求出的值．【詳解】由橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得：，且橢圓的焦距，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，則由，所以，此時(shí)方程為：不是橢圓，所以不滿足題意，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，，解得，此時(shí)方程為：，滿足題意綜上所述，的值為．故選：D．4．（2022上·安徽蕪湖·高二蕪湖一中校考期中）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則 D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則【答案】C【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項(xiàng)分析、計(jì)算即可判斷作答.【詳解】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，D錯(cuò)誤，C正確；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，B錯(cuò)誤.故選：C5．（2023·遼寧朝陽(yáng)·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一名木匠準(zhǔn)備制作一張橢圓形的餐桌臺(tái)面，如圖，他先將一根細(xì)繩（無彈性）的兩端固定在釘子上，然后用筆撐直繩子，轉(zhuǎn)圈畫出的圖形就是一個(gè)橢圓．如果圖中的兩個(gè)釘子之間的距離為，細(xì)繩長(zhǎng)為，將繩子與釘子固定所用的繩長(zhǎng)忽略不計(jì)，則過該橢圓的中心的弦中，最短弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合橢圓的定義求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，結(jié)合橢圓定義得：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，所以，橢圓的短半軸長(zhǎng)為,因?yàn)檫^橢圓中心的弦中，最短的弦為橢圓的短軸，即為，所以，過該橢圓的中心的弦中，最短弦長(zhǎng)為米.故選：B6．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（

）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，得到，即，求得，進(jìn)而求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓，可得，因?yàn)槭菣E圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，可得，即，可得，即，解得，所以，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是.故選：C.

7．（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）下列選項(xiàng)中橢圓的形狀最扁的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過求橢圓的離心率來求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，，B選項(xiàng)，，，C選項(xiàng)，，，，D選項(xiàng)，，，，其中最接近的是，所以最扁的是.故選：C8．（2022下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）中國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器，簡(jiǎn)稱“四號(hào)星”，是世界上首個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測(cè)的航天器.如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓的性質(zhì)判斷A；由結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，，即，因?yàn)椋?，即，故A錯(cuò)誤；∵，∴，，，，∴，故B錯(cuò)誤；由B可知，，，則，故C錯(cuò)誤；由B可知，，則，故D正確；故選：D9．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)橢圓方程與直線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0求得和的關(guān)系式，同時(shí)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得半焦距得到和的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立方程即可求得和，則橢圓的長(zhǎng)軸可得．【詳解】設(shè)橢圓方程為，直線代入橢圓方程，消得：，，整理，得又，由焦點(diǎn)在軸上，所以，聯(lián)立解得：，,故橢圓方程為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；故選：C10．（2022上·江西景德鎮(zhèn)·高二統(tǒng)考期末）已知為橢圓上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（異于點(diǎn)）為弦中點(diǎn)，若兩點(diǎn)連線斜率為2，則兩點(diǎn)連線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用直線和橢圓的位置關(guān)系建立方程組，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由于直線AB的斜率為2，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，故，整理得，則，即，故，故．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，此時(shí)，故．故選：A．11．（2023上·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．離心率 B．的最大值為C．的面積的最大值為 D．的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、，即可求出離心率，從而判斷A，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷B，設(shè)，則，根據(jù)的有界性求出面積的最大值，即可判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】解：橢圓，則，，所以，則離心率，故A正確；由橢圓性質(zhì)：到橢圓右焦點(diǎn)距離最大的點(diǎn)是左頂點(diǎn)，可得的最大值為，故B正確；由，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)在上、下頂點(diǎn)時(shí)取最大值，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，所以，即的最小值為，?dāng)且僅當(dāng)在上、下頂點(diǎn)時(shí)取最小值，故D正確；故選：C12．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；聯(lián)立即可求得.【詳解】如下圖所示：

不妨設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，；由余弦定理可知；又因?yàn)椋?，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故選：C13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，過橢圓的上焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)出直線方程并與橢圓聯(lián)立，再由韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)即可求得，可得橢圓方程為.【詳解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)橹本€經(jīng)過橢圓的上焦點(diǎn)，且直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，消去并整理得，設(shè)，則，又，所以可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．14．（2023上·重慶北碚·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[－，] B．[－，] C．[－，] D．[－，]【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積建立不等式求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)，，所以，，因?yàn)椋?，解得，故選：D15．（2023上·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓C：的半焦距為c，離心率為e，已知圓O：與C有四個(gè)公共點(diǎn)，依次連接這四點(diǎn)組成一個(gè)正方形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法1：連接這四點(diǎn)組成一個(gè)正方形，根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性知點(diǎn)在橢圓C上可得答案；方法2：設(shè)圓O與橢圓C在第一象限的公共點(diǎn)為M,設(shè)C的左、右焦點(diǎn)為、，，，利用勾股定理、橢圓定義可得答案.【詳解】方法1：連接這四點(diǎn)組成一個(gè)正方形，根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)在橢圓C上，則，將代入并化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋獾?方法2：設(shè)圓O與橢圓C在第一象限的公共點(diǎn)為M,設(shè)C的左、右焦點(diǎn)為、，，，所以，，，又因?yàn)?，所以，所?故選：D.

16．（2023上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)作直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)離心率求出的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形和橢圓的定義求出答案.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)殡x心率為，所以，；因?yàn)闉榈妊切?，且在第一象限，所以，由橢圓的定義可得.設(shè)直線的傾斜角為，則，，；所以.故選：B.

17．（2023·海南海口·?？寄M預(yù)測(cè)）已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．故選：C．18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段MN的長(zhǎng)等于橢圓短軸長(zhǎng)的，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，直線MN的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求，由于線段MN的長(zhǎng)等于橢圓短軸長(zhǎng)的，列出方程，即可求解，進(jìn)而根據(jù)得到橢圓的離心率.【詳解】解：令，則直線MN的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，，則，，所以，已知線段MN的長(zhǎng)等于橢圓短軸長(zhǎng)的，則，整理得，即，解得（舍）或，則橢圓的離心率，故選：A.19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，點(diǎn)B，C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，，則的面積為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由題可知，設(shè)，則，因?yàn)樵跈E圓上，所以，結(jié)合，求出得的值，再根據(jù)，結(jié)合三角形的面積公式求出的面積.【詳解】由題可知，設(shè)，則，

①.因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，代入①得，得，，則，所以，即，與聯(lián)立得，，所以.故選：B.20．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：的蒙日?qǐng)A為C：，過C上的動(dòng)點(diǎn)M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．M到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D．若動(dòng)點(diǎn)D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則【答案】B【分析】根據(jù)特殊位置的切線可得交點(diǎn)，代入可得，即可判斷A，根據(jù)，PQ為圓C的直徑，即可求解B，根據(jù)兩點(diǎn)距離以及范圍即可判斷C，根據(jù)點(diǎn)差法即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，依題意，過橢圓的上頂點(diǎn)作y軸的垂線，過橢圓的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，∴，得，∴橢圓的離心率，故A正確；對(duì)于B，∵點(diǎn)M，P，Q都在圓C上，且，∴PQ為圓C的直徑，∴，當(dāng)?shù)母邽榘霃綍r(shí)，此時(shí)高最大，面積最大，最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，解法一：設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接MF，∵，∴，又，∴當(dāng)時(shí)取得最小值，則M到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；解法二：M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，M到左焦點(diǎn)的距離的最小值就是M到圓心O的距離減去O到左焦點(diǎn)的距離，即為，故C正確；對(duì)于D，由直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，則，，，又，兩式相減得，∴，又，，∴，故D正確．故選：B21．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由橢圓的方程可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，再由題意可得直線，的斜率之積，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出直線，的斜率之積，可得參數(shù)的關(guān)系，求出的中點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求出的最小值．【詳解】由橢圓可得，，

所以，即，所以右焦點(diǎn)；因?yàn)?，所以，?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程，代入橢圓的方程可得，解得，設(shè)，，則，解得，這時(shí)的中點(diǎn)在軸上，且的橫坐標(biāo)為，這時(shí)的最小值為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，則的中點(diǎn)，，聯(lián)立，整理可得：，△，即，且，，所以，，則，可得，符合△，可得的軌跡方程為，整理可得：，兩式平方相加可得：，即的軌跡方程為：，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，當(dāng)為該橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，綜上所述：的最小值為，故選：D．二、多選題22．（2023上·甘肅天水·高二?？计谀┰O(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．P到最小的距離是2C．面積的最大值為6D．P到最大的距離是9【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算分析即可.【詳解】由橢圓方程可得：，則，對(duì)A：根據(jù)橢圓的定義可得，A正確；對(duì)B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，P到的距離最小，最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，P到的距離最大，最小值為，D正確.故選：AD.23．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是圓B．當(dāng)時(shí)，是焦距為4的橢圓C．當(dāng)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，D．當(dāng)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，【答案】AB【分析】根據(jù)條件，利用圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線表示圓，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線為橢圓且橢圓的焦距為，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.24．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的短軸長(zhǎng)為 B．的坐標(biāo)為C．橢圓的離心率為 D．存在點(diǎn)P，使得【答案】AC【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)的大小關(guān)系可判斷D的正誤.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，則短軸長(zhǎng)為，A正確；的坐標(biāo)為，B錯(cuò)誤；離心率為，C正確；因?yàn)椋室栽c(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，使得，D錯(cuò)誤，故選：AC.25．（2022·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在點(diǎn)P處變軌進(jìn)入以F為一焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ上繞月球飛行，最后在點(diǎn)Q處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月球飛行．設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．軌道Ⅱ的焦距為B．軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．若不變，r越大，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越小D．若不變，越大，軌道Ⅱ的離心率越大【答案】ABD【分析】設(shè)橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，判斷選項(xiàng)A，B；由判斷選項(xiàng)C；由判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：設(shè)橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)知，，，則，，故選A，B正確；，，所以，若不變，越大，越大，即軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越大，故C的錯(cuò)誤；，若不變，越大，則越小，越大，即軌道Ⅱ的離心率越大，故D正確．故選：ABD．26．（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,點(diǎn)在橢圓外,點(diǎn)在橢圓上,則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當(dāng)橢圓的離心率為時(shí)，的取值范圍是C．存在點(diǎn)使D．的最小值為【答案】ABC【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外,求出的取值范圍,即可求出離心率的取值范圍,從而判斷A;根據(jù)離心率求出,則,即可判斷B;設(shè)上頂點(diǎn),得,即可判斷C;根據(jù),利用基本不等即可判斷D.【詳解】由題意得,又點(diǎn)在橢圓外,則,解得,所以橢圓的離心率,即橢圓的離心率的取值范圍是,故A正確;當(dāng)時(shí),,所以的取值范圍是,即,故B正確;設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,,,由于,所以存在點(diǎn)使得,故C正確;因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以的最小值為,故D不正確.故選:ABC.27．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上，則（

）A．點(diǎn)在x軸上 B．橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4C．橢圓E的離心率為 D．使得為直角三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓的方程可判斷橢圓焦點(diǎn)的位置，以及求出長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，計(jì)算出離心率，判斷A，B，C；結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷為銳角，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可判斷D.【詳解】由題意的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，焦半距，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，A錯(cuò)誤；橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，B正確；橢圓E的離心率為，C正確；橢圓的右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，所以，則，即為銳角，故根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，使得為直角三角形的點(diǎn)P恰有4個(gè)（以或?yàn)橹苯牵?，D錯(cuò)誤．故選：BC．28．（2023·云南·校聯(lián)考二模）已知橢圓，為C的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，若交C點(diǎn)于點(diǎn)Q，則（

）A．周長(zhǎng)為8 B．C．面積為 D．【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓方程，求出對(duì)應(yīng)的，利用幾何性質(zhì)即可得出正確的選項(xiàng)【詳解】由題意，在橢圓中，，不妨設(shè)在軸上方，則，，所以，故B錯(cuò)；的周長(zhǎng)為，A正確；設(shè)，在中，得，所以，D正確；，所以，故C不正確，故選：AD．29．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)在在軸上，列出不等式，求出答案；B選項(xiàng)，求出，進(jìn)而求出離心率；C選項(xiàng)，寫出以為直徑的圓的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到當(dāng)時(shí)，方程有解，故C正確；D選項(xiàng)，由幾何性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，表達(dá)出最大面積，配方后求出最值.【詳解】A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，解得，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，則，故的離心率為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故?dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，故最大面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD30．（2022·湖北·房縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)圓滿結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（

）A．B．C．如果兩個(gè)橢圓，分別是同一個(gè)矩形（此矩形的兩組對(duì)邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）和外接橢圓，則D．由外層橢圓的左頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線（與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫橢圓的切線）與交于兩點(diǎn)，的右頂點(diǎn)為，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【分析】由離心率相同及已知得到、，即可判斷A、B；由在橢圓上得到，進(jìn)而判斷C；根據(jù)對(duì)稱性確定的坐標(biāo)，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式得判斷D.【詳解】A：由且，則，即，故錯(cuò)誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對(duì)稱性知：、關(guān)于軸對(duì)稱，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.31．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓在軸上兩個(gè)不同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則（

）A． B．的離心率為C．的最大值小于 D．面積的最大值為【答案】ABD【分析】對(duì)A，結(jié)合焦點(diǎn)在軸的橢圓即可求解；對(duì)B，可直接求離心率判斷；對(duì)C，考慮以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓的叫點(diǎn)情況即可；對(duì)D，根據(jù)三角形面積公式結(jié)合圖形特征即可求解.【詳解】選項(xiàng)A：橢圓的方程可化為，由題意可知，，解得，故A正確；選項(xiàng)B：設(shè)的半焦距為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，由方程可知，，所以，則的離心率，故B正確；選項(xiàng)C：以為直徑作圓，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，橢圓與圓無交點(diǎn)，此時(shí)的最大值小于，當(dāng)時(shí)，橢圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，橢圓與圓有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)的最大值大于，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，易知面積的最大值為，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，為，故D正確．故選：ABD32．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足，，且的面積為，則的值可能為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】AB【分析】結(jié)合題意，先根據(jù)橢圓的定義，可得，然后利用余弦定理求出橢圓的離心率或，再利用三角形的面積公式可求出橢圓的，即可求出的值.【詳解】由橢圓的定義，得，又因?yàn)?，所以，由，得，由余弦定理，得，?dāng)時(shí)，整理，得，即，解得或（因?yàn)闄E圓離心率的取值范圍是，舍去）；當(dāng)時(shí)，整理得：，即，解得或（因?yàn)闄E圓離心率的取值范圍是，舍去）；因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得：（負(fù)值已舍去），所以或.故選：AB.33．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的中心為，，是上的兩個(gè)不同的點(diǎn)且滿足，則（

）A．點(diǎn)在直線上投影的軌跡為圓B．的平分線交于點(diǎn)，的最小值為C．面積的最小值為D．中，邊上中線長(zhǎng)的最小值為【答案】ABC【分析】根據(jù)斜率是否存在分類設(shè)直線方程，利用，可求得點(diǎn)到直線的距離為定值，即可判斷A；根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，的平分線及邊上中線最小值都為點(diǎn)到直線的距離可判斷BD；C選項(xiàng)可有射影定理和基本不等式求出的最小值，進(jìn)而得到面積的最小值.【詳解】選項(xiàng)A：如圖，作于，則點(diǎn)在直線上投影為點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為，因，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知若在第一象限，則，代入得，得，故直線方程為，此時(shí)為直線與軸的交點(diǎn)，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)直線方程為，也符合題意，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，因，故，即，化簡(jiǎn)得，即，得，即點(diǎn)到直線的距離，則，綜上可知為定值，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心以為半徑的圓，故A正確；選項(xiàng)B：由A選項(xiàng)知點(diǎn)到直線的最小距離為，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，即為，故的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C：根據(jù)射影定理，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，中，邊上中線即為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題34．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，則.【答案】2【分析】如圖，由題可得，即可得答案.【詳解】因橢圓方程為，則.因，則.又由橢圓定義，可得，則.故答案為：2

35．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓：，為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】由橢圓方程得的值，得左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得和的值，由，所以為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，可求.【詳解】橢圓：中，，，，則，，所以，由，得，由，所以為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，所以．故答案為：.36．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第二象限．若為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先根據(jù)方程求，由題意分析可得，列方程求解即可.【詳解】由題意可知：，設(shè)，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第二象限，則，，又因?yàn)闉榈妊切危?，則，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：,37．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形（如圖），已知橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)勒洛三角形，則該勒洛三角形的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出正三角形的邊長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)勒洛三角形，令其半焦距為c，則點(diǎn)或或或?yàn)橐徽切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)，于是得正三角形邊長(zhǎng)為，顯然勒洛三角形三段圓弧長(zhǎng)相等，所對(duì)圓心角為，所以該勒洛三角形的周長(zhǎng)為.故答案為：38．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，且，直線與交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為28，則橢圓的短軸長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)三角形，可得，利用的數(shù)量積為0，即可求解.【詳解】由，為的中點(diǎn)，所以是的垂直平分線，所以,所以的周長(zhǎng)為，，所以，由于，所以，故答案為：39．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段，則的內(nèi)切圓半徑等于.【答案】【分析】由已知條件表示出直線AB的方程，得到的面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓半徑乘以三角形周長(zhǎng)的一半等于三角形面積，結(jié)合離心率的值可得內(nèi)切圓半徑.【詳解】的周長(zhǎng)為，∵，∴到直線的距離，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，∵，，∴，故答案為：40．（2023上·云南·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，，過點(diǎn)且斜率為的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線平分線段，則C的離心率等于．【答案】【分析】設(shè)，將坐標(biāo)代入橢圓方程，并且兩式作差，化簡(jiǎn)可得，利用以及離心率公式求解即可．【詳解】設(shè)，則，故，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，即，所以，即．故答案為：41．（2022上·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考期末）點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【答案】【分析】設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），（其中）,當(dāng)時(shí)，＝.故答案為：.42．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是過橢圓右頂點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出的值，當(dāng)點(diǎn)不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，設(shè)，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，可求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)為，則，當(dāng)點(diǎn)不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)點(diǎn)，在橢圓中，，，，則點(diǎn)、，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最大值為，所以，.故答案為：43．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）若，且在上，在圓上，則的最小值為.【答案】1【分析】結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，證明等于點(diǎn)到直線的距離的一半，利用平面幾何結(jié)論求的最小值.【詳解】如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，所以等于點(diǎn)到直線的距離的一半，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的最小值為1，故答案為：1.44．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，P是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為．【答案】/0.6【分析】由正弦定理得到，再根據(jù)三角形面積公式和余弦定理得到，從而根據(jù)得到方程，求出離心率.【詳解】由題意得，由正弦定理得，故，由橢圓定義可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因?yàn)?，所以，解?故答案為：45．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限），過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，設(shè)直線NE與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則∠NMP的大小為.

【答案】/【分析】設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法得出，利用斜率公式得出相關(guān)直線的斜率即可求解.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，所以.所以，所以，所以.故答案為：46．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則．【答案】/【分析】設(shè)直線，由題意可得，可求得，進(jìn)而可求得.【詳解】設(shè)直線，直線與圓相切，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?，所以，由?duì)稱性，不妨取，故答案為：.

47．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩點(diǎn)，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，，可表示出，，再由可得，此時(shí)表示與兩點(diǎn)的連線的斜率，由幾何意義求解即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，為橢圓的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)A作極軸交極軸于點(diǎn)，由橢圓的第二定義知：，則，所以，則，代入化簡(jiǎn)可得：，同理可得：，由可得，，表示與兩點(diǎn)的連線的斜率，而可看作圓上任意一點(diǎn)，所以的幾何意義為圓上一點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線的斜率，過點(diǎn)作圓的切線可求出的最大值和最小值，由分析知，過點(diǎn)直線的斜率一定存在，設(shè)為，，故圓心到直線的距離為：，化簡(jiǎn)可得：，解得：或，所以，故.故答案為：.四、解答題48．（2023上·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，和分別為左右焦點(diǎn)，焦距為6，且過.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l過與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)20【分析】（1）根據(jù)焦距可求，根據(jù)所過點(diǎn)可求，進(jìn)而得到方程；（2）利用橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，代入可得答案.【詳解】（1）設(shè)焦距為，由，得，又橢圓過，∴，得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）動(dòng)直線l過與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴，，∴，∴的周長(zhǎng)為20.

49．（2022上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二集寧一中?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知離心率且焦距為，結(jié)合焦距為即可得解.（2）由題意已知，所以設(shè)出直線方程（只含有一個(gè)參數(shù)即截距，不妨設(shè)為），將其與橢圓方程聯(lián)立后，再結(jié)合韋達(dá)定理可將表示成的函數(shù)，進(jìn)一步求其最大值即可.【詳解】（1）由題意得,解得,，，∴橢圓的方程為.（2）因?yàn)?，所以設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得得，又直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，∴∴，∴故當(dāng)，即直線過原點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為.50．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的離心率；(2)平面上點(diǎn)B滿足，過與平行的直線交于兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，整理即可求出離心率；（2）由（1）問可設(shè)橢圓方程為，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到的斜率，即可得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出，即可求出、，即可得到方程.【詳解】（1）由題設(shè)及，不妨設(shè)，所以，，解得或（舍去），從而，直線的方程為，整理得，原點(diǎn)到直線的距離為，將代入整理得，即，所以離心率.（2）由（1）問可設(shè)橢圓方程為，則，因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅?，所以直線過點(diǎn)，則斜率為，則設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得，顯然，則，則，解得（負(fù)值舍去），所以，所以橢圓方程為.

51．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若，為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程組可求橢圓的方程；（2）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)，表示出，，結(jié)合橢圓的方程可證為定值.【詳解】（1）由題意得：且，得，所以橢圓的方程為.（2）證明：由橢圓方程可知，，，設(shè)，則且；則，，則，所以為定值.52．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）如圖，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.設(shè)為原點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦距即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)勻速即可代入坐標(biāo)求解.【詳解】（1）由題意得橢圓的半焦距，又，則，，橢圓的方程為.（2）由（1）得橢圓的方程為，由題意得直線的方程為，即，聯(lián)立消去得，設(shè)，則.四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，即，，又，即，解得53．（2023上·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件和橢圓定義求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）使用點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由橢圓的定義知，，∴，又∵橢圓的離心率，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）∵為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，∴直線與橢圓必交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，不合題意，故，∵為線段的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，均在橢圓上，∴，兩式相減，得，即，∴，∴，即，∴直線的方程為，即．54．（2022下·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：，點(diǎn)、分別是橢圓的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與x軸重合）交橢圓于A，B兩點(diǎn)．

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求的面積；(3)是否存在直線，使得點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而可求和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角形面積．△的面積可分割成兩個(gè)小三角形，其底皆為；（3）存在性問題，一般從計(jì)算出發(fā)，即垂直關(guān)系結(jié)合橢圓方程交點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)：或，而由橢圓范圍知這樣的B點(diǎn)不存在．【詳解】（1）由左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)可知：，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，，則過的直線的方程為：，即，解方程組，解得或，所以的面積.（3）若點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，等價(jià)于，即，設(shè)，則，因?yàn)?，則，令，解得：或，又因?yàn)?，則不存在點(diǎn)，使得，所以不存在直線，點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上.55．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于C，D兩點(diǎn)，且，求四邊形ACBD面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由的周長(zhǎng)即可得到，從而求得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，所以的周長(zhǎng)為，解得，所以.所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

當(dāng)直線，中的一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為0時(shí)，四邊形ACBD的面積.當(dāng)直線，的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立得，整理得，則，則，，，因?yàn)?，故直線的方程為，同理可得，（把上式中的k替換為，即可得到）則四邊形ACBD的面積，令，則，故，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.所以.綜上所述，四邊形ACBD面積的取值范圍為.56．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)到直線的距離為．(1)求的方程；(2)直線與交于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度以及點(diǎn)到直線的距離公式求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，將直線與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理求得和的關(guān)系式，再將直線與聯(lián)立求得,將直線與聯(lián)立求得,利用弦長(zhǎng)公式即可求出,化簡(jiǎn)整理利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.【詳解】（1）由已知條件得，解得，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得或，由于，則，所以的方程為；（2）由（1）得，設(shè)，，聯(lián)立可得，其中，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解得點(diǎn)在直線上，則，即，同理可得，所以令，則,此時(shí)，當(dāng)時(shí)有最小值，即.

57．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線與直線分別交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(