數(shù)學(xué)課件-極限的概念與性質(zhì)

極限的概念與性質(zhì)極限描述的就是變量在變化過程中的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限數(shù)列的概念2、數(shù)列的極限（limit）

函數(shù)的極限將自變量變化過程用下列方式表示：1、當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

2、當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

3、當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

4、當(dāng)x→x。時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

鄰域：開區(qū)間（x–δ,x+δ）稱為以x為中心，以δ（δ>0）為半徑的鄰域，記為N(x,δ).

去心鄰域：（x–δ,x）∪（x,x+δ）稱為以x為中心，以δ（δ>0）為半徑的去心鄰域，記為N(

,δ).

定義設(shè)函數(shù)f(x)在x。的某一去心鄰域N()內(nèi)有定義，當(dāng)x無(wú)

限接近于x。時(shí)，函數(shù)f（x）

無(wú)限地接近于某常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時(shí)的極限，記作注:(a)定義中x→x。表示x以任意方式趨近于x。；（b）當(dāng)x→x。時(shí),f(x)的變化趨勢(shì)與f(x)在點(diǎn)x。處有無(wú)定義無(wú)關(guān)。

例題：考察并寫出下列極限（a）

（b）

（c）解：（a）設(shè)f(x)=C∵x→x。時(shí)，f(x)的值（f(x)≡C）∴

(b)

（C）

函數(shù)f（x）的極限

無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小定義以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，一般用α，β，γ，或α（x）,β（x）,γ（x）等表示無(wú)窮小。例如，注：（1）、無(wú)窮小不是一個(gè)很小很小的數(shù)；（2）、0是唯一可以作為無(wú)窮小的數(shù)；（3）、無(wú)窮小是相對(duì)于自變量的變化過程的，如1/x是x→∞時(shí)的無(wú)窮小，但1/x不是x→2的無(wú)窮小。2、無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮??；性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的積仍是無(wú)窮小；性質(zhì)3有界變量與無(wú)窮小的積仍是無(wú)窮小。注：（1）、無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小。（2）、無(wú)窮小的商不一定是無(wú)窮小。

即兩個(gè)無(wú)窮小商的極限可能存在，也可能不存在，如果存在它的值也不一定是多少，因此稱這類型的極限為“”型未定式。3、極限與無(wú)窮小之間的關(guān)系

注：定理中自變量的變化過程換成其他如何一種情形后仍然成立。4、無(wú)窮大定義當(dāng)x→x。時(shí)，（自變量x的變化過程可以是其他情形），如果∣f(x)∣無(wú)限增大，則稱f(x)為這一變化過程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大，記作

當(dāng)x→x。時(shí)，如果f（x）無(wú)限增大（減少），則稱f(x)為一變化過程中的正（負(fù)）無(wú)窮大，記作注：（1）、無(wú)窮大不是一個(gè)很大很大的數(shù)；（2）、無(wú)窮大是相對(duì)于自變量的變化過程的；（3）、“極限為∞”說(shuō)明這個(gè)極限不存在，但極限不存在不一定是“極限為∞”。

5、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無(wú)窮大，則

為無(wú)窮??；

為無(wú)窮大。

反之，若f（x）為無(wú)窮小，且f(x)≠0,則

6、無(wú)窮小的比較如果

則稱β是比α高階無(wú)窮?。ɑ颚潦潜圈碌碗A無(wú)窮?。┯涀鳓?o(α)；2.如果

則稱β是比α低階無(wú)窮?。ɑ颚潦潜圈赂唠A無(wú)窮?。?；3.如果

則稱β與α是同階無(wú)窮小。特別地，當(dāng)C=1時(shí)，則稱β與α是等價(jià)無(wú)窮小，記作β=~α。

由定義知，在x→0時(shí)，x與2x是同階無(wú)窮?。粁2是比2x高階無(wú)窮??；

2x是比x2低階無(wú)窮小。極限的運(yùn)算極限的四則運(yùn)算法則例題1求

解：

注：設(shè)p(x)為多項(xiàng)式，則例題2求

注：設(shè)p(x)、q(x)都是多項(xiàng)式，且q(x。)≠0，則

例題3求

注：x→x。時(shí)，分子、分母都是無(wú)窮小，是

型未定式，先將分子、分母分解因式，約去公因子（x–x。），再求解。因此先求所以

注：分子不是無(wú)窮小，而分母是無(wú)窮小，先求其倒數(shù)的極限，再利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求之。解：因?yàn)榉肿蛹胺帜付紱]有有限極限，我們先用x3去除分子及分母，然后取極限注：當(dāng)x→∞時(shí)，分子、分母都是無(wú)窮大量，為

型未定式，所以不能直接用商的極限運(yùn)算法則，此時(shí)可以將分子分母同除以分母的最高冪，再求解。注：當(dāng)x→1時(shí)，

未定式，所以不能用差的極限運(yùn)算