參考論文實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)異同論文

實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)異同論文【摘要】在定義復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，考慮的范圍應(yīng)該多與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)情形。如果要求復(fù)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，那么由實(shí)部增量獲得的復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)該與由虛部增量獲得的復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)相一致。這也就是柯西黎曼條件。注意這不是判斷復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的充分條件，只是必要條件。1.函數(shù)的定義和分類函數(shù)的本質(zhì)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，描述著應(yīng)變量隨自變量的變化的形式?，F(xiàn)代函數(shù)的定義是由集合描述的，即從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的對(duì)應(yīng)。函數(shù)的分類方式是多種多樣的，不同的分類方式描述了函數(shù)的不同性質(zhì)。根據(jù)函數(shù)映射方式的不同，可以分為單射函數(shù)，滿射函數(shù)和雙射函數(shù)；根據(jù)函數(shù)的周期性，可以分為周期函數(shù)和非周期函數(shù)；根據(jù)函數(shù)的增減性，可以分為單調(diào)遞增函數(shù)，單調(diào)遞減函數(shù)，凹函數(shù)，凸函數(shù)和復(fù)雜函數(shù)；根據(jù)函數(shù)解析式的形式，可以分為二次函數(shù)，三次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等；函數(shù)的性質(zhì)非常之多，導(dǎo)致其分類形式也有很多。但是，其中最重要的一種分類方式是將函數(shù)分為實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)。2.實(shí)函數(shù)的定義實(shí)函數(shù)是指定義域和值域都是實(shí)數(shù)的函數(shù)?？梢钥闯?，實(shí)函數(shù)的研究對(duì)象是實(shí)數(shù)，其本質(zhì)是實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是實(shí)數(shù)隨著實(shí)數(shù)的變化關(guān)系。從集合的定義角度來看，實(shí)函數(shù)的本質(zhì)是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)。實(shí)函數(shù)的一個(gè)重要特征就是，函數(shù)關(guān)系可以反映在坐標(biāo)系中。研究實(shí)函數(shù)的分支叫作實(shí)變函數(shù)論，是研究以實(shí)數(shù)作為函數(shù)自變量的理論，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支。實(shí)變函數(shù)論以集合論為根基，是微積分理論的進(jìn)一步擴(kuò)展和延伸。實(shí)變函數(shù)論的主要研究?jī)?nèi)容是實(shí)函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)，極限性質(zhì)，微分積分性質(zhì)，測(cè)度論等。3.復(fù)函數(shù)的定義復(fù)函數(shù)是指自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)。與實(shí)數(shù)不同，復(fù)數(shù)有實(shí)部和虛部，相比之下復(fù)函數(shù)的情形就更為復(fù)雜。復(fù)函數(shù)研究的不僅是復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，而且包括復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。從集合理論的角度來看，復(fù)數(shù)集合是實(shí)數(shù)集合和虛數(shù)集合的并集，而復(fù)函數(shù)則是從復(fù)數(shù)集合到復(fù)數(shù)集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系。研究復(fù)函數(shù)的理論就做復(fù)變函數(shù)論，是研究以復(fù)數(shù)作為函數(shù)自變量的函數(shù)理論。其主要研究?jī)?nèi)容包括級(jí)數(shù)，留數(shù)，解析函數(shù)，復(fù)函數(shù)的微分和積分等。由以上論述可以看出，從函數(shù)性質(zhì)的角度研究實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)，它們的性質(zhì)既有相同之處，也有不同之處。對(duì)于實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)之間異同的把握，對(duì)于掌握它們各自的性質(zhì)，理解函數(shù)的本質(zhì)，熟練函數(shù)的應(yīng)用是有重要意義的。4.實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的極限性質(zhì)極限對(duì)于微積分乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理來說是一個(gè)極為重要的概念，它反映的是變量在變化過程中的趨向性質(zhì)。很多數(shù)學(xué)物理方法都是以極限概念為基礎(chǔ)而延伸出來的，甚至很多的基本概念也是以極限為基礎(chǔ)的。極限的研究分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，數(shù)列極限反映的是分離變量的趨向性質(zhì)，函數(shù)極限反映的是連續(xù)變量的趨向性質(zhì)。極限的研究中，包括極限的性質(zhì)，如唯一性，有界性，收斂性等；也包括極限的計(jì)算方法，運(yùn)算法則，并要熟練掌握常見的極限性質(zhì)。實(shí)函數(shù)的極限。實(shí)函數(shù)極限的定義可以用文字描述：一個(gè)實(shí)函數(shù)在其定義域的某一點(diǎn)的空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在某個(gè)正數(shù)，當(dāng)自變量的值與x的差小于這個(gè)正數(shù)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值和A的差可以小于某個(gè)給定的正數(shù)，那么則說這個(gè)實(shí)函數(shù)存在極限。從實(shí)函數(shù)極限的定義可以看出，其反映的是實(shí)數(shù)自變量在實(shí)函數(shù)的變化過程中趨勢(shì)的性質(zhì)，當(dāng)實(shí)數(shù)自變量趨于某一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)函數(shù)值也趨于某一個(gè)值，這就是實(shí)函數(shù)極限的簡(jiǎn)單含義。復(fù)函數(shù)的極限。復(fù)函數(shù)極限的定義可以用文字描述：一個(gè)復(fù)函數(shù)在其復(fù)數(shù)定義域內(nèi)的某一點(diǎn)是聚點(diǎn)，如果存在大于0的數(shù)，使得當(dāng)復(fù)函數(shù)自變量值與z的差小于整個(gè)數(shù)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的復(fù)函數(shù)值與A小于任意一個(gè)給定的正數(shù)，那么這個(gè)復(fù)函數(shù)存在極限。復(fù)函數(shù)極限的定義如果用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言描述，是：設(shè)函數(shù)w=f（z），z∈E（集合），zo為E的聚點(diǎn)，對(duì)于復(fù)數(shù)A，若對(duì)任意給定的？著大于0，總存在r大于0，只要0<|z-zo|<？著，則稱f（z）當(dāng)z在e中趨向于zo時(shí)，以a為極限，記作：f（z）->A（z->zo）。從復(fù)函數(shù)極限的定義可以看出，其描述的是復(fù)數(shù)自變量在復(fù)函數(shù)的變化過程中趨向的性質(zhì)，當(dāng)復(fù)數(shù)自變量趨于某一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)值也趨于某一個(gè)值，這就是復(fù)函數(shù)極限的簡(jiǎn)單含義。由上述定義可以看出，實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)在極限的定義上是相類似的，都是描述當(dāng)自變量趨向某一值時(shí)，函數(shù)值的趨向性質(zhì)。但是，形式上的相似性并不說明含義上的相同性。事實(shí)上，復(fù)函數(shù)極限的定義比實(shí)函數(shù)極限的定義內(nèi)容更加豐富。因?yàn)閺?fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部，當(dāng)自變量趨向某一個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)，要求實(shí)部和虛部必須同時(shí)趨向相應(yīng)的實(shí)部和虛部，具有更大的任意性。如果將實(shí)數(shù)的極限形象的理解為數(shù)軸上一維的趨向，那么，復(fù)函數(shù)的極限則描述的是平面上到一點(diǎn)的趨向。顯然，由于比實(shí)函數(shù)的極限多了一個(gè)維度，復(fù)函數(shù)的極限的趨向方式的任意性更大，可以類比為一個(gè)二元實(shí)函數(shù)的問題。與復(fù)函數(shù)極限趨向方式的任意性不同，實(shí)函數(shù)的極限趨向方式更為苛刻和嚴(yán)格，因?yàn)橼呄虻姆绞街荒芤环N，即單方向的，因此要求實(shí)函數(shù)一點(diǎn)的左極限和右極限必須相等，這樣才能保證實(shí)函數(shù)極限的存在?？梢酝ㄟ^求一個(gè)復(fù)函數(shù)極限的例子來說明復(fù)函數(shù)極限的特點(diǎn)：可見，該復(fù)函數(shù)在原點(diǎn)極限不存在。5.實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性描述的是函數(shù)整體變化的性質(zhì)，判斷一個(gè)函數(shù)是否具有連續(xù)性是更深入研究函數(shù)其它性質(zhì)的前提。函數(shù)的連續(xù)性問題在對(duì)函數(shù)的研究中是具有承上啟下作用的，一方面緊密聯(lián)系了函數(shù)的極限，另一方面為后續(xù)更復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)做好鋪墊和準(zhǔn)備。函數(shù)的連續(xù)性首先是針對(duì)定義域內(nèi)一點(diǎn)的定義，要求當(dāng)自變量趨向某一個(gè)值時(shí)，其極限值與函數(shù)值相等。而通常情況下，函數(shù)的連續(xù)性指的是函數(shù)在定義區(qū)間中的所有點(diǎn)都連續(xù)，即整體具有連續(xù)性。值得注意的是，這里并沒有說函數(shù)在定義域內(nèi)的所有點(diǎn)具有連續(xù)性，因?yàn)樵诙x域內(nèi)有可能包含一些離散的點(diǎn)，而函數(shù)在這些離散的點(diǎn)上不連續(xù)，導(dǎo)致整體不具有連續(xù)性。但是，如果把定義域上的這些點(diǎn)剔除掉，不包含在定義區(qū)間內(nèi)，這樣可以使函數(shù)又恢復(fù)連續(xù)性。對(duì)于實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)來說，它們連續(xù)性的定義是類似的，都由前面的描述給出。但不同的是，實(shí)函數(shù)的連續(xù)是一元的連續(xù)，在實(shí)數(shù)軸上其形式是一維的。相比之下，復(fù)函數(shù)連續(xù)的要求就更為嚴(yán)格，因?yàn)閺?fù)函數(shù)的實(shí)部和虛部必須同時(shí)滿足連續(xù)的要求。如果把復(fù)函數(shù)虛部看做一個(gè)單獨(dú)的變量，那么復(fù)函數(shù)連續(xù)相當(dāng)于一個(gè)二元函數(shù)的連續(xù)，復(fù)雜性增加。6.實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的研究中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)極為重要的概念。導(dǎo)數(shù)可以反映著一個(gè)函數(shù)的變化快慢，具體來說是在定義域內(nèi)某一點(diǎn)上變化的快慢。當(dāng)函數(shù)自變量有一個(gè)增量的時(shí)候，相應(yīng)的函數(shù)因變量也會(huì)有一個(gè)增量，函數(shù)值的變化與自變量的變化有一個(gè)比值，這個(gè)比值可以反映函數(shù)變化的快慢，比值大說明自變量變化量相同時(shí)，函數(shù)值增量的變化大；比值小，說明自變量變化量相同時(shí)，函數(shù)值增量的變化小。當(dāng)函數(shù)自變量變化的值趨向于0時(shí)，有時(shí)候函數(shù)值的變化和自變量變化的比值仍然存在，且不是無窮大，那么這個(gè)情況下的比值就叫做函數(shù)在這一點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)；如果這個(gè)比值不存在，那么說明函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在。由此可見，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)的變化快慢，導(dǎo)數(shù)越大說明函數(shù)在這一點(diǎn)上的變化越快，導(dǎo)數(shù)越小說明函數(shù)在這一點(diǎn)上的變化越小。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是函數(shù)導(dǎo)數(shù)理論，乃至微積分理論中很重要的一部分內(nèi)容?；镜挠?jì)算方法包括根據(jù)定義計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則，反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則等。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有線性，即對(duì)于線性組合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是各自導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的線性組合；對(duì)于兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積，加上另一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和這個(gè)函數(shù)的乘積；對(duì)于兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)，是以后一個(gè)函數(shù)的平方做分母，前一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與后一個(gè)函數(shù)的乘積減去后一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與前一個(gè)函數(shù)的乘積做分子的結(jié)果。實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中有很大的相同點(diǎn)，即所有的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則都可以應(yīng)用到實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算中去。包括非常有用的洛比達(dá)法則。洛比達(dá)法則可以簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)的求法，因而洛比達(dá)法則在函數(shù)中的適用性對(duì)于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算具有重大意義。以下為實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)中的洛比達(dá)法則。（1）實(shí)函數(shù)中的洛比達(dá)法則：從以上定理可以看出，當(dāng)函數(shù)滿足定理?xiàng)l件時(shí)，洛必達(dá)法則對(duì)于復(fù)函數(shù)也適用。除了這些相同點(diǎn)，實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義上同樣也具有形式上的相同點(diǎn)。但是，實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)在定義上的不同點(diǎn)，并不能被形式上的一致性所掩蓋。正如前面所分析過的，由于復(fù)函數(shù)包括實(shí)部和虛部，因此復(fù)函數(shù)的增量也由兩個(gè)部分組成，即實(shí)部的增量和虛部的增量。因此，在定義復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，考慮的范圍應(yīng)該多與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)情形。如果要求復(fù)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，那么由實(shí)部增量獲得的復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)該與由虛部增量獲得的復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)相一致。這也就是柯西黎曼條件。注意這不是判斷復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的充分條件，只是必要條件。由此可見，復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵比實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵更為廣泛。在函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在與否的判定中，復(fù)函數(shù)的情形也更為復(fù)雜?？梢酝ㄟ^一個(gè)具體的例子來說明復(fù)函數(shù)求導(dǎo)是的特點(diǎn)和性質(zhì)：因?yàn)閮煞N趨近方式的導(dǎo)數(shù)不相等，因此可以判斷，該函數(shù)在z0處導(dǎo)數(shù)不存在，也就是說該復(fù)函數(shù)處處不可導(dǎo)。由此可以看出，與實(shí)函數(shù)