選修4-4曲線的參數(shù)方程

一曲線的參數(shù)方程選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第二講參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念

如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)時(shí)機(jī)呢？提示：即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí),開始投放物資？？救援點(diǎn)投放點(diǎn)xy500o物資投出機(jī)艙后,它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿ox作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。

如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)時(shí)機(jī)呢？xy500o

如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)時(shí)機(jī)呢？一、方程組有3個(gè)變量,其中的x,y表示點(diǎn)的坐標(biāo),變量t叫做參變量,而且x,y分別是t的函數(shù)。二、由物理知識(shí)可知,物體的位置由時(shí)間t唯一決定,從數(shù)學(xué)角度看,這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y由t唯一確定,這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí),x,y的值也隨之連續(xù)地變化,于是就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡。三、平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁,可以是一個(gè)與物理意義或幾何意義的變數(shù),也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù).1.參數(shù)方程練習(xí)：指出下列參數(shù)方程中的參數(shù)(2)加減消參法：

sin2

＋cos2

＝1;cos2

＝2cos2

－1＝1－2sin2

;sin2

＝2sin

cos.(1)代入消參法；

注意:普通方程中

(x,y)的范圍應(yīng)該符合參數(shù)方程的限制條件.2.參數(shù)方程化為普通方程練習(xí)1.把下列參數(shù)方程化為普通方程.練習(xí)2.

復(fù)習(xí)回顧3.練習(xí)(1)參數(shù)方程表示的曲線是()A.直線B.圓C.線段D.射線復(fù)習(xí)回顧3.練習(xí)(2)在方程表示的曲線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()所復(fù)習(xí)回顧3.練習(xí)(2)在方程表示的曲線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()C所幾種曲線的參數(shù)方程(二)第二講參數(shù)方程圓周運(yùn)動(dòng)是生活中常見的.當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物體中各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng).那么,怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？1.圓的參數(shù)方程概念如果在時(shí)刻t,點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的角度是

,坐標(biāo)是M(x,y),那么

＝

t.設(shè)|OM|＝r,那么由三角函數(shù)定義有即1.圓的參數(shù)方程概念

這就是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)t有明確的物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻).講授新課

考慮到

＝

t,也可以取

為參數(shù),于是有

這也是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)

的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí),

OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度.練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()D練習(xí).的圓心為_________,半徑為______.練習(xí).的圓心為_________,半徑為______.(4,0)練習(xí).的圓心為_________,半徑為______.(4,0)22.參數(shù)法求軌跡方程例1.

如圖,圓O的半徑為2,P是圓上的動(dòng)點(diǎn),Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.練習(xí).(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是()A.一個(gè)定點(diǎn)B.一個(gè)橢圓C.一條拋物線D.一條直線練習(xí).(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是()DA.一個(gè)定點(diǎn)B.一個(gè)橢圓C.一條拋物線D.一條直線(2)若直線與圓相切,則直線的傾斜角為()練習(xí).(2)若直線A與圓相切,則直線的傾斜角為()練習(xí).

小結(jié)(1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為

課后作業(yè)1.圓的方程為直線方程為(1)求出圓與直線的普通方程；(2)設(shè)直線與圓交于A、B,求|AB|.2.

為參數(shù),A(4sin

,6cos

),B(－4cos

,6sin

),求線段AB中點(diǎn)的軌跡.

講授新課

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為

的直線l的普通方程是思考

怎樣建立直線l的參數(shù)方程呢？

因此,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為

的直線l的參數(shù)方程為xyO

課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)圓周運(yùn)動(dòng)是生活中常見的.當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物體中各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng).那么,怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？1.圓的參數(shù)方程概念如果在時(shí)刻t,點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的角度是

,坐標(biāo)是M(x,y),那么

＝

t.設(shè)|OM|＝r,那么由三角函數(shù)定義有即1.圓的參數(shù)方程概念

這就是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)t有明確的物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻).講授新課

考慮到

＝

t,也可以取

為參數(shù),于是有

這也是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)

的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí),

OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度.練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()D練習(xí).的圓心為_________,半徑為______.練習(xí).的圓心為_________,半徑為______.(4,0)練習(xí).的圓心為_________,半徑為______.(4,0)22.參數(shù)法求軌跡方程例1.

如圖,圓O的半徑為2,P是圓上的動(dòng)點(diǎn),Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.練習(xí).(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是()A.一個(gè)定點(diǎn)B.一個(gè)橢圓C.一條拋物線D.一條直線練習(xí).(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是()DA.一個(gè)定點(diǎn)B.一個(gè)橢圓C.一條拋物線D.一條直線(2)若直線與圓相切,則直線的傾斜角為()練習(xí).(2)若直線A與圓相切,則直線的傾斜角為()練習(xí).

小結(jié)(1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為

課后作業(yè)1.圓的方程為直線方程為(1)求出圓與直線的普通方程；(2)設(shè)直線與圓交于A、B,求|AB|.2.

為參數(shù),A(4sin

,6cos

),B(－4cos