機(jī)械制圖課件

**機(jī)械制圖

**第1章制圖的基本知識與技能1.1國家標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于制圖的一般規(guī)定1.2繪圖工具和儀器的使用方法1.3幾何作圖1.4平面圖形的繪制1.5繪圖的基本方法和步驟**1.1國家標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于制圖的一般規(guī)定1.1.1圖紙幅面的規(guī)定(GB/T14689-1993)1.1.1.1圖紙幅面

幅面代號A0A1A2A3A4尺寸B×L841×1189594×841420×594297×420210×297邊框ａ25ｃ105ｅ2010**1.1.1.2圖紙格式

A159412611471168219822102252314861783208023786301051A4

5A4

4A3

3A3

4891A4

3420A2297A3210A484111890A0必要時，也允許選用所規(guī)定的加長幅面。幅面的尺寸由基本幅面的短邊成整數(shù)倍增加后得出。圖中虛線為加長后的圖紙幅面。**1.1.1.3標(biāo)題欄的位置和格式

標(biāo)題欄(a)(b)LBeeeL標(biāo)題欄Beee不留裝訂邊的圖框格式**留有裝訂邊的圖框格式

標(biāo)題欄標(biāo)題欄e

eaeLBaeee**

每張圖紙上都必須畫出標(biāo)題欄。標(biāo)題欄格式和尺寸按（GB10609.1－1989）的規(guī)定。標(biāo)題欄的位置應(yīng)位于圖紙的右下角,看圖方向與看標(biāo)題欄的方向一致。在制圖作業(yè)中可以簡化，建議采用簡化標(biāo)題欄。簡化標(biāo)題欄**1.1.2比例(GB/T14689-1993)

圖樣中機(jī)件要素的線性尺寸與實際機(jī)件相應(yīng)要素的線性尺寸之比

種類比例第一系列第二系列原值比例1:1縮小比例1:21:51:101:10n1:2×10n

1:5×10n1:1.51:2.51:31:41:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n1:6×10n放大比例2:15:110n:12×10n:1

5×10n:12.5:14:12.5×10n:14×10n:1**1.1.3

字體（GB/T14691－1993）1.1.3.1漢字圖樣中的漢字采用長仿宋體，字的大小應(yīng)按字號規(guī)定，字體號數(shù)代表字體的高度。高度尺寸為1.8、2.5、3.5、5、7、10、14和20mm，字體高度按的比率遞增，寫漢字時字號不能小于3.5。字寬一般為h/。長仿宋體漢字書寫的特點：

橫平豎直、起落有鋒、粗細(xì)一致、結(jié)構(gòu)勻稱

1.1.3.2字母和數(shù)字字母和數(shù)字可寫成斜體或直體，斜體字字頭向右傾斜，與水平基準(zhǔn)線75°。字母和數(shù)字分A型和B型，B型的筆劃寬度比A型寬。在同一圖樣上，只允許選用一種型式。用作指數(shù)、分?jǐn)?shù)、極限偏差、注角的數(shù)字及字母，一般應(yīng)采用小一號字體。

**1.1.4圖線畫法

繪制圖樣時，所采用的各種線型及其應(yīng)用場合應(yīng)符合國標(biāo)(GB/T17450—1998和GB/T4457.4—2002)的規(guī)定。圖線分粗、細(xì)兩種。粗線的寬度b在0.5～2mm，細(xì)線約為b/2。圖線的寬度推薦為：0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1、1.4、2mm。同一圖樣中，同類圖線的寬度應(yīng)基本一致。圖線的畫法參照下表********1.1.5尺寸注法

國標(biāo)（GB/T16675.2—1996和GB/T4458.4—2003）的基本內(nèi)容。1.1.5.1基本規(guī)則1、機(jī)件的真實大小應(yīng)以圖樣上所注的尺寸數(shù)值為依據(jù)，與圖形的大小及繪圖的準(zhǔn)確度無關(guān)。2、圖樣中（包括技術(shù)要求和其他說明）的尺寸，一般以毫米為單位。以毫米為單位時，不注計量單位的代號或名稱，如采用其他單位，則必須注明相應(yīng)的計量單位的代號或名稱。3、圖樣中所標(biāo)注的尺寸，為該圖樣所表示機(jī)件的最后完工尺寸，否則應(yīng)另加說明。4、機(jī)件的每一尺寸，一般只標(biāo)注一次，并應(yīng)標(biāo)注在反映該結(jié)構(gòu)最清晰的圖形上。**1.1.5.2標(biāo)注尺寸的基本規(guī)定:

完整的尺寸標(biāo)注包含下列四個要素：

尺寸界限、尺寸線、尺寸數(shù)字和終端（箭頭）.**1、尺寸界線表示所注尺寸的起始和終止位置，用細(xì)實線繪制。它由圖形的輪廓線、軸線或?qū)ΨQ中心線處引出。也可利用輪廓線、軸線或?qū)ΨQ中心線本身作尺寸界線。尺寸界線一般應(yīng)與尺寸線垂直;尺寸界線超出尺寸線2mm左右。**2、尺寸線：表示所注尺寸的范圍，用細(xì)實線繪制。尺寸線不能用其它圖線代替，不得與其它圖線重合或畫在其延長線上，并應(yīng)盡量避免尺寸線之間及尺寸線與尺寸界線相交。標(biāo)注線性尺寸時，尺寸線必須與所標(biāo)注的線段平行，相互平行的尺寸線小尺寸在內(nèi)，大尺寸在外，依次排列整齊。并且各尺寸線的間距要均勻，間隔應(yīng)大于5mm，以便注寫尺寸數(shù)字和有關(guān)符號。**3、尺寸線終端尺寸線終端有兩種形式：箭頭和細(xì)斜線。機(jī)械圖樣一般用箭頭型式，箭頭尖端與尺寸界線接觸，不得超出也不得離開，如下圖所示。當(dāng)尺寸線太短，沒有足夠的位置畫箭頭時，允許將箭頭畫在尺寸線外邊；標(biāo)注連續(xù)的小尺寸時可用圓點代替箭頭，

**4、尺寸數(shù)字：表示所注尺寸的數(shù)值。（1）線性尺寸的數(shù)字一般應(yīng)寫在尺寸線的上方、左方或尺寸線的中斷處，位置不夠時，也可以引出標(biāo)注。（2）尺寸數(shù)字不能被任何圖線通過，否則必須將該圖線斷開。（3）在同一張圖上基本尺寸的字高要一致，一般采用3.5號字，不能根據(jù)數(shù)值的大小而改變。**1.1.6常用尺寸的標(biāo)注方法

1.1.6.1線性尺寸:1、線性尺寸的標(biāo)注**

尺寸數(shù)字一般應(yīng)寫在尺寸線的上方，當(dāng)尺寸線為垂直方向時，應(yīng)注寫在尺寸線的左方，也允許注寫在尺寸線的中斷處。狹小部位的尺寸數(shù)字注寫方法。**2、角度尺寸的標(biāo)注：角度的尺寸界線應(yīng)沿徑向引出，尺寸線是以角的頂點為圓心畫出的圓弧線。角度的數(shù)字應(yīng)水平書寫，一般注寫在尺寸線的中斷處，必要時也可寫在尺寸線的上方或外側(cè)。角度較小時也可以用指引線引出標(biāo)注。角度尺寸必須注出單位.**3、圓和圓弧尺寸圓及圓弧的尺寸，可將輪廓線作為尺寸界線，尺寸線或其延長線要通過圓心。大于半圓的圓弧標(biāo)注直徑，在尺寸數(shù)字前加注符號“Ф”，小于和等于半圓的圓弧標(biāo)注半徑，在尺寸數(shù)字前加注符號“R”

。**4、標(biāo)注尺寸時應(yīng)注意的問題（如下圖）尺寸數(shù)字在同一張圖上基本尺寸的字高要一致，一般采用3.5號字，不能根據(jù)數(shù)值的大小而改變字符的大小；字符間隔要均勻；字體應(yīng)嚴(yán)格按GB規(guī)定書寫。箭頭在同一張圖上箭頭的大小應(yīng)一致，機(jī)械圖樣中箭頭一般為閉合的實心箭頭。尺寸線

互相平行的尺寸線間距要相等。盡量避免尺寸線相交。**好**不好**1.2繪圖工具和儀器的使用方法

1.2.1繪圖工具和儀器的使用方法1.2.1.1圖版、丁字尺、三角板1.2.1.2圓規(guī)、分規(guī)和曲線板**1.3幾何作圖

1.3.1線段和圓周的等分1.3.1.1等分直線段**1.3.1.2等分圓周1、正五邊形**2、正六邊形方法一：用圓規(guī)作圖方法二：用三角板作圖**3、n等分鉛垂直徑:

以A點為圓心，AK為半徑作弧，交水平中心線于點S，延長連線S2、S4、S6，與圓周交得點G、F、E，再作出它們的對稱點，即可作出圓內(nèi)接正n邊形。**1.3.2斜度和錐度1.3.2.1斜度：是指一直線（或平面）對另一直線（或平面）的傾斜程度。斜度的比值要化作1∶n的形式，并在前面加注斜度符號“∠”，其方向與斜度的方向一致。它的特點是單向分布。L**1.3.2.2錐度：是指正圓錐底圓直徑與其高度之比，或正圓臺的兩底圓直徑差與其高度之比。是直徑差與長度之比,錐度＝D/L＝D—d/l＝1∶n斜度符號錐度符號h=字高**1.3幾何作圖

1.3.3圓弧的連接1.3.3.1圓弧連接作圖的基本步驟實質(zhì)：就是使連接圓弧和被連接的直線或被連接的圓弧相切。關(guān)鍵：找出連接圓弧的圓心和連接點（即切點）。1.3.3.2直線間的圓弧連接**1.3.3.3圓弧間的圓弧連接1、連接圓弧的圓心和連接點的求法作圖法歸納為三點：用算術(shù)法求圓心：外切時：R′＝R＋R1

內(nèi)切時：R′＝│R—R2│用連心線法求連接點（切點）外切時：連接點在已知圓弧和圓心軌跡線圓弧的圓心連線上內(nèi)切時：連接點在已知圓弧和圓心軌跡線圓弧的圓心連線的延長線上以O(shè)為圓心，以R為半徑，在兩連接點（切點）之間畫弧。**２、圓弧間的圓弧連接的兩種形式：外連接、內(nèi)連接３、用已知半徑為Ｒ的園弧連接作圖舉例（如下圖表）******４、作與已知圓相切的直線

****1.3.３橢圓的畫法同心園法四心園弧法**1.4平面圖形的繪制1.4.1平面圖形的尺寸分析定形尺寸定位尺寸1.4.1.1定形尺寸:是指確定平面圖形上幾何元素形狀大小的尺寸1.4.1.2定位尺寸:是指確定各幾何元素相對位置的尺寸1.4.1.3尺寸基準(zhǔn):標(biāo)注尺寸的起點稱為尺寸基準(zhǔn)

**1.4.2線段分析:根據(jù)定形、定位尺寸是否齊全，將平面圖形中的圖線分為:已知線段、中間線段、連接線段1.4.2.1已知線段：定形、定位尺寸齊全的線段1.4.2.2中間線段：只有定形尺寸和一個定位尺寸的線段1.4.2.3連接線段：只有定形尺寸沒有定位尺寸的線段

**1.4.３平面圖形的畫圖步驟1、分析平面圖形中哪些是已知線段，哪些是連接線段，以及所給定的連接條件。2、根據(jù)各組成部分的尺寸關(guān)系確定作圖基準(zhǔn)、定位線**3、依次畫已知線段、中間線段和連接線段4、標(biāo)注尺寸**1.4.4平面圖形的畫圖步驟標(biāo)注尺寸的方法和步驟1、先選擇水平和垂直方向的基準(zhǔn)線；2、確定圖形中各線段的性質(zhì)；3、按已知線段、中間線段、連接線段的次序逐個標(biāo)注尺寸**不同形狀的平面圖形的尺寸標(biāo)注示例**1.5繪圖的基本方法和步驟1.5.1儀器繪圖１、準(zhǔn)備工作２、選定圖幅３、固定圖紙４、畫底稿５、檢查并清理底稿，加深圖形和標(biāo)注尺寸等６、全面檢查圖紙**1.5.1徒手繪圖１、草圖的繪制方法２、徒手繪制平面圖形****2.1投影法的基本知識

2.1.1投影法的概念在日常生活中，人們看到太陽光或燈光照射物體時，在地面或墻壁上出現(xiàn)物體的影子，這就是一種投影現(xiàn)象。我們把光線稱為投射線(或叫投影線)，地面或墻壁稱為投影面，影子稱為物體在投影面上的投影SP投影面aA投影線投影中心**2.1.2投影法的種類及應(yīng)用

2.1.2.1中心投影法投影中心距離投影面在有限遠(yuǎn)的地方，投影時投影線匯交于投影中心的投影法

PaBcbACS**2.1.2.2平行投影法

投影中心距離投影面在無限遠(yuǎn)的地方，投影時投影線相互平行的投影法1、斜投影法——投影線與投影面相傾斜的平行投影法2、正投影法——投影線與投影面相垂直的平行投影法

BcbPaA射射≠90向方acb向方B投CA投CP**2.２三視圖的形成與投影規(guī)律

在機(jī)械制圖中，通常假設(shè)人的視線為一組平行的，且垂至于投影面的投影線，這樣在投影面上所得到的正投影稱為視圖，一個視圖不能確定物體的形狀。投面影**２.2.1三投影面體系與三視圖的形成

2.2.1.1三投影面體系的建立三投影面體系由三個互相垂直的投影面所組成正立投影面：簡稱為正面，用V表示；水平投影面：簡稱為水平面，用H表示；側(cè)立投影面：簡稱為側(cè)面，用W表示。三個投影面的相互交線，稱為投影軸。它們分別是：OX軸：是V面和H面的交線，它代表長度方向；OY軸：是H面和W面的交線，它代表寬度方向；OZ軸：是V面和W面的交線，它代表高度方向；三個投影軸垂直相交的交點O，稱為原點。YZ正立投影面影面投側(cè)立水平投影面WHOVX**2.2.1.２三視圖的形成與展開：將物體放在三投影面體系中，物體的位置處在人與投影面之間，然后將物體對各個投影面進(jìn)行投影，得到三個視圖主視圖俯視圖左視圖XYWYHZO

用正投影法繪制的物體的投影圖稱為視圖。V

ＷＨ**長高寬寬上上下下左左右右前前后后主、俯視圖

長對正主、左視圖

高平齊俯、左視圖

寬相等2.2.2三視圖的投影規(guī)律與位置關(guān)系**2.3點的投影

2.3.1點的投影及其標(biāo)記當(dāng)投影面和投影方向確定時，空間一點只有唯一的一個投影。假設(shè)空間有一點A，過點A分別向H面、V面和W面作垂線，得到三個垂足a、a′、a″，便是點A在三個投影面上的投影a′a(x,y)aXAHYXaXaYHOWYXZVZaZXZWVaYHYHOYWaYWZa″aZWXYaa″a′(x,z)(y,z)**2.3.2點的三面投影規(guī)律2.3.2.1點的投影與點的空間位置的關(guān)系

Aa=a′ax=a″ay(即a″aYW)，反映空間點A到H面的距離；Aa′=aax=a″az，反映空間點A到V面的距離；Aa″=a′az=aay(即aYH)，反映空間點A到W面的距離；**2.3.2.2點的三面投影規(guī)律點的正面投影和水平投影的連線垂直O(jiān)X軸，即a′a⊥OX；點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直O(jiān)Z軸，即a′a″⊥OZ；點的水平投影a和到OX軸的距離等于側(cè)面投影a″到OZ軸的距離，即aax=a″az。

**例題2-1：已知點A的正面投影a′和側(cè)面投影a″求作其水平投影aaXOXZOZYHYWYHYWa′YWaaXaYHa′a″a″aZaZ**2.3.3點的三面投影與直角坐標(biāo)

點A到W面的距離=Oax=a′az=aaYH=x坐標(biāo)，a″(0，y，z)點A到V面的距離=OaYH=aax=a″az=y坐標(biāo)，a′(x，0，z)點A到H面的距離=Oaz=a′ax=a″aYW=z坐標(biāo)，a(x，y，0)

**例題2-2：已知點A的坐標(biāo)（20，10，18），作出點的三面投影，并畫出其立體圖

YHXOYHYWXOZZYHaXYWOYWZaYHaYWaZaXaXaXa′a′aa″X=20Y=10Z=18Y=10**畫出立體圖**2.3.4特殊位置點的投影

2.3.4.1在投影面上的點（有一個坐標(biāo)為0）有兩個投影在投影軸上，另一個投影和其空間點本身重合。例如:在V面上的點A**2.3.4.2在投影軸上的點（有兩個坐標(biāo)為0）有一個投影在原點上，另兩個投影和其空間點本身重合。例如在OZ軸上的點A

**2.3.4.2在原點上的空間點（有三個坐標(biāo)都為0），因此，它的三個投影必定都在原點上**2.3.5兩點的相對位置

2.3.5.1兩點的相對位置：空間兩點的相對位置，在投影圖中是由它們同面投影的坐標(biāo)差來判別。其中左、右由x坐標(biāo)判別，前、后由y坐標(biāo)判別，上、下由z坐標(biāo)判別

（1）距W面遠(yuǎn)者在左（x坐標(biāo)大）；近者在左（x坐標(biāo)?。?；（2）距V面遠(yuǎn)者在前（y坐標(biāo)大）；近者在后（y坐標(biāo)?。?；（3）距H面遠(yuǎn)者在左（z坐標(biāo)大）；近者在左（z坐標(biāo)小）。

**已知空間兩點的投影，即點A的三個投影a、a′、a″和點B的三個投影b、b′、b″，用A、B兩點同面投影坐標(biāo)差就可判別A、B兩點的相對位置。由于xA>xB，表示B點在A點的右方；zB>zA，表示B點在A點的上方；yA>yB，表示B點在點的A后方?？偲饋碚f，就是B點在A點的右、后、上方。**2.3.5.1重影點若空間兩點在某一投影面上的投影重合，則這兩點是該投影面的重影點。這時，空間兩點的某兩坐標(biāo)相同，并在同一投射線上。當(dāng)兩點的投影重合時，就需要判別其可見性，應(yīng)注意：對H面的重影點，從上向下觀察，z坐標(biāo)值大者可見；對W面的重影點，從左向右觀察，x坐標(biāo)值大者可見；對V面的重影點，從前向后觀察，y坐標(biāo)值大者可見。在投影圖上不可見的投影加括號表示，如（a′）

**如：C、D位于垂直H面的投射線上，c、d重影為一點，則C、D為對H面的重影點，z坐標(biāo)值大者為可見，圖中zC>zD，故c為可見，d為不可見，用c（d）表示。

**2.4直線的投影

2.4.1直線的投影圖

空間一直線的投影可由直線上的兩點（通常取線段兩個端點）的同面投影來確定。如:直線AB的三面投影圖，可分別作出A、B兩端點的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后將其同面投影連接起來即得直線AB的三面投影圖（ab、a′b′

、a″b″）

**2.4.2直線對于一個投影面的投影特性

空間直線相對于一個投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特性。1、真實性:當(dāng)直線與投影面平行時,則直線的投影為實長。2、積聚性:當(dāng)直線與投影面垂直時,則直線的投影積聚為一點。3、收縮性:當(dāng)直線與投影面傾斜時,則直線的投影小于直線的實長。HaAa(b)baBBAAbB**2.4.3各種位置直線的投影特性

直線在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜線、投影面平行線、投影面垂直線三類

2.4.3.1投影面平行線

平行于一個投影面且同時傾斜于另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。平行于V面的稱為正平線；平行于H面的稱為水平線；平行于W面的稱為側(cè)平線。直線與投影面所夾的角稱為直線對投影面的傾角。斜線反映實長；直線的傾角α、γ。**

例題2－3如圖，已知空間點A，試作線段AB，長度為15，并使其平行V面，與H面傾角α＝30°**2.4.3.2投影面垂直線垂直于一個投影面且同時平行于另外兩個投影面的直線。垂直于V面的稱為正垂線；垂直于H面的稱為鉛垂線；垂直于W面的稱為側(cè)垂線。側(cè)垂線的投影特性：（1）兩個投影反映實長；（2）一個投影積聚為一點。

**

例題2－4如圖，已知正垂線AB的點A的投影，直線AB長度為10毫米，試作直線AB的三面投影

**2.4.3.2一般位置直線

與三個投影面都處于傾斜位置的直線稱為一般位置直線,投影特征:

（1）直線的三個投影和投影軸都傾斜，各投影和投影軸所夾的角度不等于空間線段對相應(yīng)投影面的傾角；（2）任何投影都小于空間線段的實長，也不能積聚為一點。

**2.4.4一般位置直線的實長和對投影面的傾角

2.4.4.1直角三角形法的作圖原理

AB為一般位置直線，過端點A作直線平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜邊AB就是線段本身，底邊AC等于線段AB的水平投影ab，對邊BC等于線段AB的兩端點到H面的距離差（Z坐標(biāo)差），也即等于a′b′兩端點到投影軸OX的距離差，而AB與底邊AC的夾角即為線段AB對H面的傾角α。

**2.4.4.2直角三角形法的作圖方法和步驟用一般位置直線在某一投影面上的投影作為直角三角形的底邊，用直線的兩端點到該投影面的距離差為另一直角邊，作出一直角三角形。此直角三角形的斜邊就是空間線段的真實長度，而斜邊與底邊的夾角就是空間線段對該投影面的傾角。

**

例題2－5如圖，已知直線AB的實長L=15mm，及直線AB的水平投影ab和點A的正面投影a′

，試用直角三角形法求出直線AB的正面投影a′b′。作圖方法與步驟:1、在H面中，自a點作直線垂直于ab，以b點為圓心，以直線AB的實長L為半徑作弧與ab的垂線交于A0，連bA0得直角三角形△abA0，該直角三角形中的直角邊aA0即為A、B兩點距H面的距離差。

**2、過b作垂直O(jiān)X軸的投影連線；過a′作OX軸的平行線，兩線相交于b0′。由b0可向上或向下量取b0′b1′或b0′

b2′，使之都等于aA0，得到b1′、b2′兩點。3、連a′b1/和a′b2′，則a′b1′和a′

b2′均可為直線AB的正面投影，表明該題有兩個解。

**2.4.5直線上點的投影

2.4.5.1直線上點的投影

點在直線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，反之，若一個點的各個投影都在直線的同面投影上，則該點必定在直線上。

**2.4.5.2直線投影的定比性

點C在線段AB上，它把線段AB分成AC和CB兩段。根據(jù)直線投影的定比性，AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a″c″：c″b″

。例題2－6如圖，已知側(cè)平線AB的兩投影和直線上K點的正面投影k′，求K點的水平投影k。

（a）題目

（b）

解法1（c）解法2

**2.4.6兩直線的相對位置兩直線的相對位置有平行、相交、交叉三種情況。

2.4.6.1兩直線平行1、特性:若空間兩直線平行，則它們的各同面投影必定互相平行。如圖由于AB∥CD，則必定ab∥cd、

a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″

。反之，若兩直線的各同面投影互相平行，則此兩直線在空間也必定互相平行。

**2、判定兩直線是否平行

如果兩直線處于一般位置時，則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否互相平行即可判定。當(dāng)兩平行直線平行于某一投影面時，則需觀察兩直線在所平行的那個投影面上的投影是否互相平行才能確定。

**

2.4.6.2兩直線相交

1、特性：若空間兩直線相交，則它們的各同面投影必定相交，且交點符合點的投影規(guī)律。如圖兩直線AB、CD相交于K點，因為K點是兩直線的共有點，則此兩直線的各組同面投影的交點k、k′、k″

必定是空間交點K的投影。

**2、判定兩直線是否相交

如果兩直線均為一般位置線時，則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否相交且交點是否符合點的投影規(guī)律即可判定。當(dāng)兩直線中有一條直線為投影面平行線時，則需觀察兩直線在該投影面上的投影是否相交且交點是否符合點的投影規(guī)律才能確定；或者根據(jù)直線投影的定比性進(jìn)行判斷。

**2.4.6.3兩直線交叉

兩直線既不平行又不相交，稱為交叉兩直線。

1、特性：若空間兩直線交叉，則它們的各組同面投影必不同時平行，或者它們的各同面投影雖然相交，但其交點不符合點的投影規(guī)律。

a′e(f)acdbf′e′Xc′d′Ob′**2、判定空間交叉兩直線的相對位置

空間交叉兩直線的投影的交點，實際上是空間兩點的投影重合點。利用重影點和可見性，可以很方便地判別兩直線在空間的位置。

clm(n)kabdc′Xm′k′n′a′d′Ob′(l′)**2.4.7直角投影定理

概念：空間垂直相交的兩直線，若其中的一直線平行于某投影面時，則在該投影面的投影仍為直角。反之，若相交兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平行于該投影面時，則該兩直線在空間必互相垂直。這就是直角投影定理。如圖已知AB⊥BC，且AB為正平線，所以ab必垂直于bc。

**例2－7求點A到直線BC的距離，

如圖

（a）題目

（b）解法

**例2－8如圖已知菱形ABCD的一條對角線AC為一正平線，菱形的一邊AB位于直線AM上，求該菱形的投影圖。

（a）題目

（b）解法

**2.5平面的投影

2.5.1平面的表示法

2.5.1.1一組幾何元素的投影表示平面1、不在同一直線上的三點，圖（a）2、一直線和直線外一點，圖（b）3、相交兩直線，圖（c）4、平行兩直線，圖（d）5、任意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等，圖（e）

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

**2.5.1.2跡線表示法

跡線——空間平面與投影面的交線平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用PW表示。

PH、PV、PW兩兩相交的交點Px、PY、PZ稱為跡線集合點

**

跡線既是平面內(nèi)的直線，又是投影面內(nèi)的直線，所以跡線的一個投影與其本身重合，另兩個投影與相應(yīng)的投影軸重合。在用跡線表示平面時，只畫出并標(biāo)注與跡線本身重合的投影，而省略與投影軸重合的跡線投影

**2.5.2平面對于一個投影面的投影特性

1、真實性當(dāng)平面與投影面平行時，則平面的投影為實形，圖（a）。2、積聚性當(dāng)平面與投影面垂直時，則平面的投影積聚成一條直線，圖（b）3、類似性當(dāng)直線或平面與投影面傾斜時，則平面的投影是小于平面實形的類似形，圖（c）。（a）

（b）

（c）

**2.5.3各種位置平面的投影特性

1、投影面垂直面：垂直于一個投影面且同時傾斜于另外兩個投影面的平面。垂直于V面的稱為正垂面；垂直于H面的稱為鉛垂面；垂直于W面的稱為側(cè)垂面。平面與投影面所夾的角度稱為：平面對投影面的傾角。鉛垂面的投影特性（1）兩個投影均為類似形；（2）一個投影積聚為直線，并反映β、γ角

**例題2－9如圖，四邊形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B點的V面投影b′，且于H面的傾角α=45°，求作該平面的V面和W面投影。（a）題目

（b）解答

**2、投影面平行面：平行于一個投影面且同時垂直于另外兩個投影面的平面稱為投影面平行面。平行于V面的稱為正平面平行于H面的稱為水平面平行于W面的稱為側(cè)平面

特性：（1）兩個投影積聚為直線；（2）一個投影反映實形。

**3、一般位置平面：與三個投影面都處于傾斜位置的平面稱為一般位置平面。投影特征可歸納為：一般位置平面的三面投影，既不反映實形，也無積聚性，而都為類似形。**2.5.3平面上的直線和點

1、平面上的點：點在平面內(nèi)的一直線上，則該點必在平面上。在平面上取點，必須先在平面上取一直線，然后再在該直線上取點。如圖2－42所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P，點S取自直線AB，所以點S必在平面P上。**2、平面上的直線

（1）若一直線通過平面上的兩個點，則此直線必定在該平面上。（2）若一直線通過平面上的一點并平行于平面上的另一直線，則此直線必定在該平面上。例：如圖，相交兩直線AB、AC確定一平面P，分別在直線AB、AC上取點E、F，連接EF，則直線EF為平面P上的直線。（a）（b）

**例2-9：如圖，相交兩直線AB、AC確定一平面P，在直線AC上取點E，過點E作直線MN∥AB，則直線MN為平面P上的直線。

（a）（b）

**例2－10如圖，試判斷點K和點M是否屬于△ABC所確定的平面。

（a）題目

（b）解答

**3、平面上的投影面平行線：屬于平面且又平行于一個投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。平面上的投影面平行線一方面要符合平行線的投影特性，另一方面又要符合直線在平面上的條件。

過A點在平面內(nèi)要作一水平線AD，可過a′

作a′

d′

∥OX軸，再求出它的水平投影ad，a′

d′

和ad即為△ABC上一水平線AD的兩面投影。如過C點在平面內(nèi)要作一正平線CE，可過c作ce∥OX軸，再求出它的正面投影c′

e′，c′

e′

和ce即為△ABC上一正平線CE的兩面投影。

**例2－11△ABC平面如圖（a）所示，要求在△ABC平面上取一點K，使K點在A點之下15mm，在A點之前10mm，試求出K點的兩面投影。

（a）題目

（b）解答

**2.6換面法

2.6.1換面法的概念概念：空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面代替原來的投影面，使幾何元素在新投影面上的投影對于解題最為簡便，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。例2-12：如圖所示為一處于鉛垂位置的三角形平面在V／H體系中不反映實形，現(xiàn)作一個與H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，組成新的投影面體系V1／H，再將三角形平面向V1

面進(jìn)行投影，這時三角形平面在V1面上的投影就反映該平面的實形。**2.6.2點的投影變換

1、新投影面的選擇新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：（1）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個不變的投影面。（2）新投影面必須使空間幾何元素處于有利于解題的位置。2、點的一次換面根據(jù)選擇新投影面的條件可知，每次只能變換一個投影面。變換一個投影面即能達(dá)到解題要求的稱為一次換面。

**（1）變換V面，即V／H→V1／H

如圖，a、a′為點A在V／H體系中的投影，在適當(dāng)?shù)奈恢迷O(shè)一個新投影面V1代替V，必須使V1⊥H，從而組成了新的投影體系V1／H。

V1與H的交線

X1為新的投影軸。由A向V1作垂線得到新投影面上的投影a1′

，而水平投影仍為a**（2）變換H面，即V／H→V／H1

用H1代替H組成新投影面體系V／H1，由于V面不變，所以點到V面的距離不變。即a1ax1=aax=y坐標(biāo)。

**3、點的二次換面點的二次變換的原理和方法與第一次變換基本相同，只是將作圖過程重復(fù)一次，但要注意新、舊體系中坐標(biāo)的量取，作圖方法：

**2.6.3直線的投影變換

1、直線的一次換面

（1）將一般位置線變換為投影面平行線當(dāng)一般位置線變換為投影面平行線時，就可以求出線段的實長和對投影面的傾角。例2-12：如圖，AB為一般位置線，如要變換為正平線，則必須變換V面，使新投影面V1面平行AB，這樣AB在V1面上的投影a1′b1′將反映AB的實長，a1′b1′與X1軸的夾角反映直線對H面的傾角α。**（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線例2-13：如圖，將正平線AB變換為垂直線。根據(jù)投影面垂直線的投影特性，反映實長的投影必定為不變投影，只要變換水平投影面，即作新投影面H1面垂直AB，這樣AB在H1面上的投影重影為一點

。

**

如果要求將水平線AB變換為垂直線，只要變換正投影面，即作新投影面V1面垂直AB，這樣AB在V1面上的投影重影為一點，如圖

**2、直線的二次換面直線的二次換面可以將一般位置線變換為投影面垂直線。第一次將一般位置線變換為投影面平行線，第二次將投影面平行線變換為投影面垂直線。

**例2-14：如圖，AB為一般位置線，如先變換V面，使V1面平行AB，則AB在V1／H體系中為投影面平行線，再變換H面，作H2面垂直AB，則AB在V1／H2體系中為投影面垂直線。

**2.6.4平面的投影變換

1、平面的一次換面

（1）將一般位置面變換為投影面垂直面當(dāng)一般位置面變換為投影面垂直面時，就可以求出平面對投影面的傾角。**例2-15：如圖，△ABC為一般位置面，如要變換為正垂面，則必須取新投影面V1代替V面，V1面既垂直于△ABC，又垂直于H面，為此可在三角形上先作一水平線，然后作V1面與該水平線垂直，則它也一定垂直H面。**

如果要求△ABC對V面的傾角β，可在此三角形平面上先作一正平線AE，然后作H1面垂直AE，則△ABC在H1面上的投影為一直線，它與X1軸的夾角反映△ABC對V面的傾角β。

**（2）將投影面垂直面變換為投影面平行面例2-16：如圖為鉛垂面△ABC，要求變換為投影面平行面。根據(jù)投影面平行面的投影特性，重影為一直線的投影必定為不變投影，因此可以變換V面，使新投影面V1平行△ABC，這樣△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′反映實形。

**2、平面的二次換面平面的二次換面可以將一般位置面變換為投影面平行面。第一次將一般位置面變換為投影面垂直面，第二次將投影面垂直面變換為投影面平行面。

**例2-17：如圖為△ABC為一般位置面，為了求出它的實形，必須變換兩次，先將△ABC變換為垂直面，再變換為平行面。

**2.6.5換面法投影變換應(yīng)用舉例

例題2－12求C點到AB直線的距離。作圖方法與步驟如圖

(b)所示

（a）

（b）

**例題2－13

求D點到平面△ABC的距離。作圖方法與步驟如圖(b)。

（a）

（b）

**例題例2－14

求交叉兩直線AB、CD間的距離。作圖方法與步驟如圖

(b)（a）

（b）

**例題2－15

求兩平面△ABC、△ABD之間的夾角。作圖方法與步驟如圖

(b)所示。

（a）

（b）

**第三章基本體及其表面交線

3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注

3.2平面與立體相交

3.3立體與立體相交

**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注

立體是由面圍成的，立體可分為平面立體和曲面立體兩類。如果立體表面全部由平面所圍成，則稱為平面立體，最基本的平面立體有棱柱和棱錐等。如果立體表面全部由曲面或曲面和平面所圍成，則稱為曲面立體，最基本的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球等。工程制圖中，通常將棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓球等簡單立體稱為基本幾何體，簡稱基本體。

**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.1.1棱柱

以正六棱柱為例。如圖3－1（a）所示為一正六棱柱，由上、下兩底面（正六邊形）和六個棱面（長方形）組成。設(shè)將其放置成上、下底面與水平投影面平行，并有兩個棱面平行于正投影面面。3.1.1平面立體的投影及表面取點

1.棱柱的投影

**

上、下兩底面均為水平面，它們的水平投影重合并反映實形，正面及側(cè)面投影積聚為兩條相互平行的直線。六個棱面中的前、后兩個為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側(cè)面投影積聚為一直線。其他四個棱面均為鉛垂面，其水平投影均積聚為直線，正面投影和側(cè)面投影均為類似形。

3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注

作圖方法與步驟如圖3－1（b）所示：（1）作正六棱柱的對稱中心線和底面基線，畫出具有形狀特征的投影——水平投影。（即特征視圖）（2）根據(jù)投影規(guī)律作出其他兩個投影。從圖3－1（b）可以看出正棱柱的投影特征：當(dāng)棱柱的底面平行某一個投影面時，則棱柱在該投影面上投影的外輪廓為與其底面全等的正多邊形，而另外兩個投影則由若干個相鄰的矩形線框所組成。**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.1.1棱柱

如圖3－1（b）所示，已知棱柱表面上點M的正面投影m′，求作它的其他兩面投影m、m″。因為m′可見，所以點M必在面ABCD上。此棱面是鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，故點M的水平投影m必在此直線上，再根據(jù)m、m′可求出m″。由于ABCD的側(cè)面投影為可見，故m″也為可見。（注意：點與積聚成直線的平面重影時，不加括號）3.1.1平面立體的投影及表面取點

2.棱柱表面上點的投影**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.1.2棱錐

以正三棱錐為例。如圖3－2（a）所示為一正三棱錐，它的表面由一個底面（正三邊形）和三個側(cè)棱面（等腰三角形）圍成，設(shè)將其放置成底面與水平投影面平行，并有一個棱面垂直于側(cè)投影面。3.1.1平面立體的投影及表面取點

1.棱錐的投影

**

由于錐底面△ABC為水平面，所以它的水平投影反映實形，正面投影和側(cè)面投影分別積聚為直線段a′b′c′和a″(c″)b″。棱面△SAC為側(cè)垂面，它的側(cè)面投影積聚為一段斜線s″a″(c″)，正面投影和水平投影為類似形△s′a′c′和△sac，前者為不可見，后者可見。棱面△SAB和△SBC均為一般位置平面，它們的三面投影均為類似形。

棱線SB為側(cè)平線，棱線SA、SC為一般位置直線，棱線AC為側(cè)垂線，棱線AB、BC為水平線。3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注作圖方法與步驟如圖3－2（b）所示：（1）作正三棱錐的對稱中心線和底面基線，畫出底面△ABC水平投影的等邊三角形。（即特征視圖）（2）根據(jù)正三棱錐的高度定出錐頂S的投影位置，然后在正面投影和水平投影上用直線連接錐頂與底面四個頂點的投影，即得四條棱線的投影。（3）根據(jù)投影規(guī)律，由正面投影和水平投影作出側(cè)面投影。從圖3－1（b）可以看出正棱錐的投影特征：當(dāng)棱錐的底面平行某一個投影面時，則棱錐在該投影面上投影的外輪廓為與其底面全等的正多邊形，而另外兩個投影則由若干個相鄰的三角形線框所組成。**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.1.2棱錐

如圖3－2（b）所示， 因為m′可見，因此點M必定在△SAB上△SAB是一般位置平面，采用輔助線法，過點M及錐頂點S作一條直線SK，與底邊AB交于點K。圖3－2中即過m′作s′k′，再作出其水平投影sk。由于點M屬于直線SK，根據(jù)點在直線上的從屬性質(zhì)可知m必在sk上，求出水平投影m，再根據(jù)m、m′可求出m″。 因為點N不可見，故點N必定在棱面△SAC上。棱面△SAC為側(cè)垂面，它的側(cè)面投影積聚為直線段s″a″（c″），因此n″必在s″a″（c″）上，由n、n″即可求出n′。2.棱錐表面上點的投影**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.2.1圓柱

圓柱表面由圓柱面和兩底面所圍成。如圖3－3所示，圓柱面可看作一條直母線AB圍繞與它平行的軸線OO1回轉(zhuǎn)而成。圓柱面上任意一條平行于軸線的直線，稱為圓柱面的素線。3.1.2曲面立體的投影及表面取點

1.圓柱的投影

**畫圓柱的投影時，為便于作圖，一般常使它的軸線垂直于某個投影面。如圖3－4（a）所示，圓柱的軸線垂直于側(cè)面，圓柱面上所有素線都是側(cè)垂線，因此圓柱面的側(cè)面投影積聚成為一個圓。圓柱左、右兩個底面的側(cè)面投影反映實形并與該圓重合。兩條相互垂直的點劃線，表示確定圓心的對稱中心線。圓柱面的正面投影是一個矩形，是圓柱面前半部與后半部的重合投影。3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注作圖方法與步驟如圖3－4（b）所示：（1）作側(cè)面投影的中心線和軸線的正面投影和水平投影（細(xì)點劃線）。（2）作側(cè)面投影的圓形。（3）根據(jù)圓柱的高度，按投影規(guī)律，作出正面投影和水平投影。從圖3－4（b）可以看出圓柱的投影特征：當(dāng)圓柱的軸線垂直某一個投影面時，必有一個投影為圓形，另外兩個投影為全等的矩形。**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.2.1圓柱

如圖3－4（b）所示，已知圓柱面上點M的正面投影m′，求作點M的其余兩個投影。因為圓柱面的投影具有積聚性，圓柱面上點的側(cè)面投影一定重影在圓周上。又因為m′可見，所以點M必在前半圓柱面的上邊，由m′求得m″，再由m′和m″求得m。

2.圓柱表面上點的投影**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.2.2圓錐

圓錐表面由圓錐面和底面所圍成。如圖3－5（a）所示，圓錐面可看作是一條直母線SA圍繞與它平行的軸線SO回轉(zhuǎn)而成。在圓錐面上通過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。3.1.2曲面立體的投影及表面取點

1.圓錐的投影

**畫圓錐面的投影時，也常使它的軸線垂直于某一投影面。如圖3－5（b）所示圓錐的軸線是鉛垂線，底面是水平面，圖3－5（c）是它的投影圖。圓錐的水平投影為一個圓，反映底面的實形，同時也表示圓錐面的投影。圓錐的正面、側(cè)面投影均為等腰三角形，其底邊均為圓錐底面的積聚投影。正面投影中三角形的兩腰s′a′、s′c′分別表示圓錐面最左、最右輪廓素線SA、SC的投影，他們是圓錐面正面投影可見與不可見的分界線。3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注作圖方法與步驟如圖3－5（b）所示：（1）作水平投影的中心線和軸線的正面投影和水平投影（細(xì)點劃線）。（2）作水平投影的圓形。（3）根據(jù)圓錐的高度定出錐頂S的投影位置，然后根據(jù)投影規(guī)律，作出正面投影和水平投影。從圖3－4（b）可以看出圓錐的投影特征：當(dāng)圓錐的軸線垂直某一個投影面時，則圓錐在該投影面上投影為與其底面全等的圓形，另外兩個投影為全等的等腰三角形。**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注

作圖方法有兩種：（1）輔助線法如圖3－6（a）所示，過錐頂S和M作一直線SA，與底面交于點A。點M的各個投影必在此SA的相應(yīng)投影上。在圖3－6（b）中過m′作s′a′，然后求出其水平投影sa。由于點M屬于直線SA，根據(jù)點在直線上的從屬性質(zhì)可知m必在sa上，求出水平投影m，再根據(jù)m、m′可求出m″。2.圓錐表面上點的投影**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注

作圖方法有兩種：（2）輔助圓法如圖3－7（a）所示，過圓錐面上點M作一垂直于圓錐軸線的輔助圓，點M的各個投影必在此輔助圓的相應(yīng)投影上。在圖3－7（b）中過m′作水平線a′b′，此為輔助圓的正面投影積聚線。輔助圓的水平投影為一直徑等于a′b′的圓，圓心為s，由m′向下引垂線與此圓相交，且根據(jù)點M的可見性，即可求出m。然后再由m′和m可求出m″。2.圓錐表面上點的投影**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.2.3圓球

圓球的表面是球面，如圖3－8(a)所示，圓球面可看作是一條圓母線繞通過其圓心的軸線回轉(zhuǎn)而成。3.1.2曲面立體的投影及表面取點

1.圓球的投影

**如圖3－8（b）所示為圓球的立體圖、如圖3－8（c）所示為圓球的投影。圓球在三個投影面上的投影都是直徑相等的圓，但這三個圓分別表示三個不同方向的圓球面輪廓素線的投影。正面投影的圓是平行于V面的圓素線A（它是前面可見半球與后面不可見半球的分界線）的投影。與此類似，側(cè)面投影的圓是平行于W面的圓素線C的投影；水平投影的圓是平行于H面的圓素線B的投影。這三條圓素線的其他兩面投影，都與相應(yīng)圓的中心線重合，不應(yīng)畫出。3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注

采用輔助圓法，即過該點在球面上作一個平行于任一投影面的輔助圓。過點M作一平行于正面的輔助圓，它的水平投影為過m的直線ab，正面投影為直徑等于ab長度的圓。自m向上引垂線，在正面投影上與輔助圓相交于兩點。又由于m可見，故點M必在上半個圓周上，據(jù)此可確定位置偏上的點即為m′，再由m、m′可求出m″。如圖3－9（b）所示2.圓球表面上點的投影**3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.3.1平面立體的尺寸標(biāo)注

平面立體一般標(biāo)注長、寬、高三個方向的尺寸，如圖3－10所示。其中正方形的尺寸可采用如圖3－10（f）所示的形式注出，即在邊長尺寸數(shù)字前加注“□”符號。圖3－10（d）、（g）中加“（）”的尺寸稱為參考尺寸。3.1.3基本體的尺寸標(biāo)注

****3.1基本體的投影及尺寸標(biāo)注3.1.3.2曲面立體的尺寸標(biāo)注

圓柱和圓錐應(yīng)注出底圓直徑和高度尺寸，圓錐臺還應(yīng)加注頂圓的直徑。直徑尺寸應(yīng)在其數(shù)字前加注符號“φ”，一般注在非圓視圖上。這種標(biāo)注形式用一個視圖就能確定其形狀和大小，其他視圖就可省略，如圖3－11（a）、（b）、（c）所示。標(biāo)注圓球的直徑和半徑時，應(yīng)分別在“φ、R”前加注符號“S”，如圖3－11（d）、（e）所示。3.1.3基本體的尺寸標(biāo)注

**3.2平面與立體相交

平面與立體表面相交，可以認(rèn)為是立體被平面截切，此平面通常稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線。

3.2.1截交線的性質(zhì)

**為了正確分析和表達(dá)機(jī)件的結(jié)構(gòu)形狀，我們需要了解截交線的性質(zhì)和畫法。由于立體的形狀和截平面與立體的相對位置不同，截交線的形狀也各不相同，但任何截交線都具有下列兩個基本性質(zhì)：（1）截交線一定是一個封閉的平面圖形。（2）截交線既在截平面上，又在立體表面上，截交線是截平面和立體表面的共有線。截交線上的點都是截平面與立體表面上的共有點。

因為截交線是截平面與立體表面的共有線，所以求作截交線的實質(zhì)，就是求出截平面與立體表面的共有點。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

平面立體的表面是平面圖形，因此平面與平面立體的截交線為封閉的平面多邊形。多邊形的各個頂點是截平面與立體的棱線或底邊的交點，多邊形的各條邊是截平面與平面立體表面的交線3.2.2平面與平面立體相交**3.2平面與立體相交

分析：截平面與棱錐的四條棱線相交，可判定截交線是四邊形，其四個頂點分別是四條棱線與截平面的交點。因此，只要求出截交線的四個頂點在各投影面上的投影，然后依次連接頂點的同名投影，即得截交線得投影。例3－1如圖3－13（a）所示，求作正垂面P斜切正四棱錐的截交線。**作圖方法與步驟如圖3－13（b）所示：1．因為截平面P是正垂面，它的正面投影積聚成一條直線，可直接求出截交線各頂點的正面投影（a′）、b′、c′、（d′）。2．根據(jù)直線上點的投影規(guī)律，求出各頂點的水平投影a、b、c、d和側(cè)面投影a″、b″、c″、d″。

3．依次連接abcd和a″b″c″d″，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。當(dāng)用兩個以上平面截切平面立體時，在立體上會出現(xiàn)切口、凹槽或穿孔等。作圖時，只要作出各個截平面與平面立體的截交線，并畫出各截平面之間得交線，就可作出這些平面立體的投影。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

分析：該正三棱錐的切口是由兩個相交的截平面切割而形成。兩個截平面一個是水平面，一個是正垂面，它們都垂直于正面，因此切口的正面投影具有積聚性。水平截面與三棱錐的底面平行，因此它與棱面△SAB和△SAC的交線DE、DF必分別平行與底邊AB和AC，水平截面的側(cè)面投影積聚成一條直線。正垂截面分別與棱面△SAB和△SAC交于直線GE、GF。由于兩個截平面都垂直于正面，所以兩截平面的交線一定是正垂線，作出以上交線的投影即可得出所求投影。

例3－2

如圖3－14（a）所示，一帶切口得正三棱錐，已知它的正面投影，求其另兩面投影。

**作圖方法與步驟如圖3－14（b）、（c）、（d）所示：1．由d′在as上作出d，由d分別作ab、ac的平行線，再由e′（f′）在兩條平行線上分別作出e和f，連接de、df即為DE、DF的水平投影。根據(jù)投影規(guī)律可在側(cè)面上求出

d″e″、d″f″，如圖3－14b所示。2．由g′分別在sa、s″a″上求出g、g″，然后分別連接ge、gf、g″e″、g″f″，如圖3－14（c）所示。3.2平面與立體相交

**3．連接ef，由于ef被三個棱面的水平投影遮住而不可見，應(yīng)畫成虛線。注意棱線SA中間DG段被截去，故它的水平投影中只剩sg、ad，側(cè)面投影中只剩s″g″、a″d″，如圖3－14（d）所示。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

平面與曲面立體相交產(chǎn)生的截交線一般是封閉的平面曲線，也可能是由曲線與直線圍成的平面圖形，其形狀取決于截平面與曲面立體的相對位置。曲面立體的截交線，就是求截平面與曲面立體表面的共有點的投影，然后把各點的同名投影依次光滑連接起來。 當(dāng)截平面或曲面立體的表面垂直于某一投影面時，則截交線在該投影面上的投影具有積聚性，可直接利用面上取點的方法作圖。3.2.3平面與曲面立體相交**3.2平面與立體相交

3.2.3平面與曲面立體相交3.2.3.1圓柱的截交線截交線有三種不同的形狀。如表3－1所示。

**3.2平面與立體相交

分析：截平面與圓柱的軸線傾斜，故截交線為橢圓。此橢圓的正面投影積聚為一直線。由于圓柱面的水平投影積聚為圓，而橢圓位于圓柱面上，故橢圓的水平投影與圓柱面水平投影重合。橢圓的側(cè)面投影是它的類似形，仍為橢圓?？筛鶕?jù)投影規(guī)律由正面投影和水平投影求出側(cè)面投影。例3－3如圖3－15（a）所示，求圓柱被正垂面截切后的截交線。**作圖方法與步驟如圖3－15（b）、（c）、（d）所示：1．先找出截交線上的特殊點。特殊點一般是指截交線上最高、最低、最左、最右、最前、最后等點。作出這些點的投影，就能大致確定截交線投影的范圍。如圖3－15（a）所示，I、V兩點是位于圓柱正面左、右兩條轉(zhuǎn)向輪廓素線上的點，且分別是截交線上的最低點和最高點。III、VII兩點位于圓柱最前、最后兩條素線上，分別是截交線上的最前點和最后點。在圖上標(biāo)出它們的水平投影1、5、3、7和正面投影1′、5′、3′、7′，然后根據(jù)投影規(guī)律求出側(cè)面投影1″、5″、3″、7″，如圖3－15（b）所示。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

2．再作出適當(dāng)數(shù)量的截交線上的一般點。在截交線上的特殊點之間取若干點，如圖3－15（a）中的II、IV、VI、VIII等點稱為一般點。作圖時，可先在水平投影上取2、4、6、8等點，再向上作投影連線，得2′、4′、6′、8′點，然后由投影關(guān)系求出2″、4″、6″、8″點，如圖3－15（c）所示。一般位置點越多，作出的截交線越準(zhǔn)確。**3.2平面與立體相交

分析：該圓柱左端的開槽是由兩個平行于圓柱軸線的對稱的正平面和一個垂直于軸線的側(cè)平面切割而成。圓柱右端的切口是由兩個平行于圓柱軸線的水平面和兩個側(cè)平面切割而成。例3－4

如圖3－16（a）所示，完成被截切圓柱的正面投影和水平投影。**作圖方法與步驟如圖3－16（b）、（c）、（d）所示：1．畫左端開槽部分。三個截平面的水平投影和側(cè)面投影均已知，只需補(bǔ)出正面投影。兩個正平面與圓柱面的交線是四條平行的側(cè)垂線，它們的側(cè)面投影分別積聚成點

a″、b″、c″、d″，它們的水平投影重合成兩條直線。側(cè)平面與圓柱面的交線是兩段平行于側(cè)面的圓弧，它們的側(cè)面投影反映實形，水平投影積聚為一直線。根據(jù)點的投影規(guī)律，可求出上述截交線的正面投影，如圖3－16（b）、（c）所示。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

2．畫右端切口部分。各截平面的正面投影和側(cè)面投影已知，只需補(bǔ)出水平投影。具體作法與前面類似，如圖3－16（c）所示。。**3．整理輪廓，完成全圖，如圖3－16（d）所示。其間應(yīng)注意兩點：（1）圓柱的最上、最下兩條素線均被開槽切去一段，故開槽部分的外形輪廓線向內(nèi)“收縮”。（2）左端開槽底面的正面投影的中間段（a′→b′）是不可見的，應(yīng)畫成虛線。

3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

3.2.3平面與曲面立體相交3.2.3.2圓錐的截交線平面截切圓錐時，根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，其截交線有五種不同的情況。如表3－2所示。**3.2平面與立體相交

分析：因截平面為正平面，與軸線平行，故截交線為雙曲線。截交線的水平投影和側(cè)面投影都積聚為直線，只需求出正面投影。例3－5如圖3－17（a）所示，求作被正平面截切的圓錐的截交線。**作圖方法與步驟如圖3－16（b）所示：1．先求特殊點。點III為最高點，是截平面與圓錐最前素線的交點，可由其側(cè)面投影3″直接作出正面投影3′。點I、II為最低點且位于圓錐底圓上，可由平投影1、2直接作出正面投影1′、2′。2．再求一般點。用輔助圓法，在點III與點I、II間作一輔助圓，該圓與截平面的兩個交點IV、V必是截交線上的點。易作出這兩點的水平投影4、5與側(cè)面投影4″、5″，據(jù)此可求出它們的正面投影4′、5′。3．依次光滑連接1′、4′、3′、5′、2′即得截交線得正面投影，如圖3－17（b）所示。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

3.2.3平面與曲面立體相交3.2.3.3圓球的截交線平面在任何位置截切圓球的截交線都是圓。當(dāng)截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓的實形，在其他兩面上的投影都積聚為直線。**3.2平面與立體相交

分析：球表面的凹槽由兩個側(cè)平面和一個水平面切割而成，兩個側(cè)平面和球的交線為兩段平行于側(cè)面的圓弧，水平面與球的交線為前后兩段水平圓弧，截平面之間得交線為正垂線。例3－6

如圖3－19（a）所示，完成開槽半圓球的截交線。**作圖方法與步驟如圖3－19（b）所示：3.2平面與立體相交

1．先畫出完整半圓球的投影，再根據(jù)槽寬和槽深尺寸作出槽的正面投影，如圖3－19a所示。2．用輔助圓法作出槽的水平投影。如圖3－19（b）所示。**3．根據(jù)正面投影和水平投影作出側(cè)面投影，如圖3－19（c）所示。其間應(yīng)注意兩點：（1）由于平行于側(cè)面的圓球素線被切去一部分，所以開槽部分的輪廓線在側(cè)面的投影會向內(nèi)“收縮”。（2）槽底的側(cè)面投影此時不可見，應(yīng)畫成虛線。3.2平面與立體相交

**3.2平面與立體相交

分析：頂尖頭部是由同軸的圓錐與圓柱組合而成。它的上部被兩個相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在它的表面上共出現(xiàn)三組截交線和一條P與Q的交線。截平面P平行于軸線，所以它與圓錐面的交線為雙曲線，與圓柱面的交線為兩條平行直線。截平面Q與圓柱斜交，它截切圓柱的