考紐蜷線的繪制

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1技術(shù)指標(biāo) 1\o"CurrentDocument"2基本原理 1\o"CurrentDocument"2.1惠更斯原理 1\o"CurrentDocument"2.2惠更斯-菲涅爾原理 2\o"CurrentDocument"2.3菲涅耳衍射積分的推導(dǎo) 4\o"CurrentDocument"3建立模型描述 4\o"CurrentDocument"菲涅耳積分模型 4\o"CurrentDocument"考紐曲線模型 5\o"CurrentDocument"模型組成模塊功能描述（或程序注釋） 5\o"CurrentDocument"調(diào)試過程及結(jié)論 8\o"CurrentDocument"5.1調(diào)試過程 8結(jié)論 8\o"CurrentDocument"6心得體會(huì) 9\o"CurrentDocument"7參考文獻(xiàn) 9菲涅耳積分的計(jì)算及考紐蜷線的繪制技術(shù)指標(biāo)利用Matlab（或c語言）計(jì)算矩孔的菲涅耳衍射積分值和繪制相應(yīng)的考紐蜷線圖。要求（1）有用戶任意輸入矩孔參量a、b（2）相應(yīng)的Matlab（或c語言）繪制的考紐蜷線?；驹?.1惠更斯原理在研究波的傳播時(shí)，總可以找到同位相各點(diǎn)的幾何位置，這些點(diǎn)的軌跡是一個(gè)等相面，叫做波面，惠更斯曾提出次波的假設(shè)來闡述波的傳播現(xiàn)象，從而建立了惠更斯原理?；莞乖砜杀硎鋈缦拢喝魏螘r(shí)刻波面上的每一點(diǎn)都可作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波；在以后的任何時(shí)刻，所有這些次波波面的包絡(luò)面形成整個(gè)波在該時(shí)刻的新波面。根據(jù)這個(gè)原理，可以從某一時(shí)刻已知的波面位置求出另一時(shí)刻波面的位置。圖1圖1可以用來說明這個(gè)原理，圖中SS是某一時(shí)刻（t=0）的波面，箭頭表示光的傳播方向，若光速為u，為了求得另一時(shí)刻T的波面的位置，可以把原波面上的每一點(diǎn)作為次波源，各點(diǎn)均發(fā)出次波,經(jīng)時(shí)間T后，次波傳播的距離為Y=ui，于是各次波的包絡(luò)面S'S'就是在時(shí)刻T的波面，光的直線傳播、反射、折射等都能以此來進(jìn)行較好的解釋。此外，惠更斯原理還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象，但是，原始的惠更斯原理是十分粗糙的，用它不能說明衍射的存在，更不能解釋波的干涉和衍射現(xiàn)象，而且由惠更斯原理還會(huì)導(dǎo)致有倒退波的存在，而其實(shí)并不存在倒退波。由于惠更斯原理的次波假設(shè)不涉及波的時(shí)空周期特性——波長，振幅和位相，因而不能說明在障礙物邊緣波的傳播方向偏離直線的現(xiàn)象。事實(shí)上，光的衍射現(xiàn)象要細(xì)微得多。例如還有明暗相間的條紋出現(xiàn)，表明各點(diǎn)的振幅大小不等，因此必須能夠定量計(jì)算光所到達(dá)的空間范圍內(nèi)任何一點(diǎn)的振幅，才能更精確地解釋衍射現(xiàn)象。2.2惠更斯-菲涅爾原理菲涅爾根據(jù)惠更斯的“次波”假設(shè)，補(bǔ)充了描述次波的基本特征——相位和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干疊加”的原理，使之發(fā)展為惠更斯-菲涅爾原理。這個(gè)原理的內(nèi)容表示如下：如圖所示的波面S上每個(gè)面積元dS都可以看成新的波源，他們均發(fā)出次波。波面前方空間某一點(diǎn)P的振動(dòng)可以由S面上所有面積元所發(fā)出的次波在該點(diǎn)疊加后的合振幅來表示。面積元dS所發(fā)出的各次波的振幅和相位符合下列四個(gè)假設(shè)：在波動(dòng)理論中，波面是一個(gè)等相位面。因而可以認(rèn)為dS面上各點(diǎn)所發(fā)出的所有次波都有相同的初相位(可令屮=0)。次波在P點(diǎn)處所引起的振動(dòng)的振幅與r成反比。這相當(dāng)于表明次波是球面波。從面積元dS所發(fā)出的次波在P處的振幅正比于dS的面積，而且與傾角8有關(guān)，0為dS的法線n與dS到P點(diǎn)的連線r之間的夾角，即從dS發(fā)出的次波到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的振幅隨0的增大而減小。次波在P點(diǎn)處的相位，由光程厶=nr決定(屮=2nA/入).根據(jù)以上的假設(shè)，可知面積元dS發(fā)出的次波在P點(diǎn)的合振動(dòng)可表示為dSgdSK()gs(kr一wt)或dE=C^()cos(kr-wt)dS (2-1)其中k(0)為隨著e角增大而緩慢減小的函數(shù)，叫做傾斜因子，c為比例系數(shù)。如果波面上各點(diǎn)的振幅有一定的分布，則面積元dS發(fā)出次波到達(dá)p點(diǎn)的振幅與該面積元上的振幅成正比，若分布函數(shù)為A(Q)，則波面在P點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)為dE=cK?°)cos(kr-wt)dS (2-2)r如果將波面S上所有面積元在P點(diǎn)的作用加起來，即可求得波面S在P點(diǎn)所產(chǎn)生的合振動(dòng)E二JdE二CJK(0)A(Q)cos(kr-①t)dS (2-3)Sr上式稱為菲涅爾衍射積分。一般說來，計(jì)算此積分式相當(dāng)復(fù)雜的，但在波面關(guān)于通過P點(diǎn)的波面法線具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的情況下，這個(gè)積分就比較簡單，并可用代數(shù)加法或矢量加法來代替積分。圖3菲涅爾衍射借助于惠更斯-菲涅爾原理可以解釋和描述光束通過各種形狀的障礙物時(shí)所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象。以下將討論幾種特殊形狀的孔和障礙物所產(chǎn)生的衍射圖樣的光強(qiáng)分布，通常討論時(shí)，通?？梢愿鶕?jù)光源和考察點(diǎn)到障礙物的距離，把衍射現(xiàn)象分為兩類。第一種是障礙物到光源和考察點(diǎn)的距離都是有限的，或其中之一為有限的，稱為菲涅爾衍射；又稱近場衍射；第二類是障礙物到光源和考察點(diǎn)的距離可認(rèn)為是無限遠(yuǎn)的，即實(shí)際上使用的是平行光束。這種衍射稱為夫瑯禾費(fèi)衍射，又稱遠(yuǎn)場衍射。

2.3菲涅耳衍射積分的推導(dǎo)觀察屏上孔徑丫的菲涅耳衍射的復(fù)振幅分布為:2-4)E(滬eXp(ZZi)”E7)exP{￡心-卩+(y-叨皿2-4)11考慮單位振幅單色平面波垂直入射，且引入變量代換：貝(貝(“-卅自y-人)2-5)2-6)考慮到直邊衍射時(shí)孔徑的邊緣與x和y平行，上面積分可分解成兩個(gè)有獨(dú)立積分限的形11式：E(u，v)二eX2i兀E(u，v)二eX2i兀U2u2exp(i一u1 2v1加V2)dv22-7)菲涅耳積分:2-8))dx二C(w)+iS(w)2-8)其中:C(w)二C(w)二cosf.兀12

=jsm dt22-9)這些積分不易以解析函數(shù)形式求出，通常它們的積分需要數(shù)值計(jì)算?根椐計(jì)算結(jié)果以C(a)為橫坐標(biāo)，以S(a)為縱坐標(biāo)畫出的曲線就是科紐曲線.同一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上可用一個(gè)矢量表示一樣，菲涅耳積分也可用一個(gè)矢量表示。例如：2-10)F(呻導(dǎo)旳(嚀皿2-10)0建立模型描述3.1菲涅耳積分模型C(a)，S(a)與a的關(guān)系為

C(a)二fcos(皿2)dt2S(a)二fsin(導(dǎo))dt2-11)2-12)圖4菲涅耳積分C（a），S（a）由此我們可以做出C（2-11)2-12)圖4菲涅耳積分C（a），S（a）3.2考紐曲線模型同時(shí)我們可以C（a）為橫坐標(biāo)，以S（a）為縱坐標(biāo)，將a作為自變量得到考紐曲線。考紐螺線C為橫軸，考紐螺線C為橫軸，S為縱軸圖5考紐（A.Cornu）螺線模型組成模塊功能描述（或程序注釋）clear;C=[0.0000,0.1000,0.1999,0.2994,0.3975,0.4932,0.5811,0.6597,0.7230,0.7648,0.7799,0.7638,0.7154,0.6386,0.5431,0.4453,0.3655,0.3238,0.3336,0.3944,0.4882,0.5815,0.6363,0.6266,0.5550,0.4574,0.3890,0.3925,0.4675,0.5624,0.6058,0.5616,0.4664,0.4058,0.4385,0.5326,0.5880,0.5420,0.4481,0.4223,0.4984,0.5738,0.5418,0.4494,0.4383,0.5261,0.5673,0.4914,0.4338,0.5002,0.5637,0.5450,0.4998,0.4553,0.4389,0.4610,0.5078,0.5490,0.5573,0.5269,0.4784,0.4456,0.4517,0.4926,0.5385,0.5551,0.5298,0.4819,0.4486,0.4566]; % C作為橫軸的數(shù)據(jù)S=[0.0000,0.0005,0.0042,0.0141,0.0334,0.0647,0.1105,0.1721,0.2493,0.3398,0.4383,0.5365,0.6234,0.6863,0.7135,0.6975,0.6389,0.5492,0.4508,0.3734,0.3434,0.3743,0.4557,0.5531,0.6197,0.6192,0.5500,0.4529,0.3915,0.4101,0.4963,0.5818,0.5933,0.5192,0.4296,0.4152,0.4923,0.5750,0.5656,0.4752,0.4204,0.4758,0.5633,0.5540,0.4622,0.4342,0.5162,0.5672,0.4968,0.4350,0.4992,0.5442,0.5624,0.5427,0.4969,0.4536,0.4405,0.4662,0.5140,0.5519,0.5537,0.5181,0.4700,0.4441,0.4595,0.5049,0.5461,0.5513,0.5163,0.4688]; %S作為縱軸的數(shù)據(jù)a=pi;n=input('請(qǐng)輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)')；sk=(6-(-6))/n; %CQ),S(a)的極近似解算法x(1:n+1)=0;y(1:n+1)=0;fori=1:n+1s=-6+sk*(i-1);tk=s/(2*n);forj=1:2*n+1t=0+tk*(j-1);x(i)=x(i)+cos(tA2*a*1/2)*tk;y(i)=y(i)+sin(tA2*a*1/2)*tk;endendsk1=-6:sk:6;Figure %再次繪圖plot(sk1,x,'g:',sk1,y,'r:');title(['紅+表c-a;綠o表s-a']);Figureplot(C,S,'*',-C,-S,'*');holdon;set(gca,'xtick',-0.8:0.1:0.8);set(gca,'ytick',-0.8:0.1:0.8);plot(x,y);title(['考紐螺線C為橫軸，S為縱軸']);gridon;text(0.4923,0.0647,'0.5')；text(0.7799,0.4383,'1.0');text(0.4453,0.6975,'1.5');text(0.4882,0.3434,'2.0');text(0.4574,0.6192,'2.5');text(0.6058,0.4963,'3.0');text(0.5326,0.4152,'3.5');text(0.4984,0.4204,'4.0');text(0.5261,0.4342,'4.5');text(0.5637,0.4992,'5.0');text(0.4784,0.5537,'5.5');text(0.4995,0.4470,'6.0');text(0.4816,0.5454,'6.5');text(-0.4923,-0.0647,'-0.5');text(-0.7799,-0.4383,'-1.0');text(-0.4453,-0.6975,'-1.5');text(-0.4882,-0.3434,'-2.0');text(-0.4574,-0.6192,'-2.5');text(-0.6058,-0.4963,'-3.0');%輸出C(a)-a,S(a)-a的關(guān)系曲線%標(biāo)注曲線的含義%再次繪圖%在曲線上畫點(diǎn)%確定橫軸的范圍和間隔%確定縱軸的范圍和間隔%輸出C(a)和S(a)的曲線圖%標(biāo)注曲線的含義%畫網(wǎng)格%給取值的點(diǎn)加標(biāo)注text（-0.5326,-0.4152,'-3.5'）;text（-0.4984,-0.4204,'-4.0'）;text（-0.5261,-0.4342,'-4.5'）;text（-0.5637,-0.4992,'-5.0'）;text（-0.4784,-0.5537,'-5.5'）;text（-0.4995,-0.4470,'-6.0'）;text（-0.4816,-0.5454,'-6.5'）;調(diào)試過程及結(jié)論5.1調(diào)試過程在M文件中編好程序后，點(diǎn)Debug按鈕可調(diào)試運(yùn)行程序，運(yùn)行結(jié)果在CommandWindows窗口中查看。將上面的程序放到matlab中運(yùn)行，由于有兩個(gè)繪圖指令，我們可以讓matlab輸出兩張圖片，分別為菲涅耳積分C（a），S（a），和考紐曲線圖片。在繪制考紐曲線圖片時(shí)，運(yùn)用了重復(fù)畫圖，將a取不同值的點(diǎn)打在了曲線上，這樣就使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加簡單明了。最后經(jīng)過不斷的修改與調(diào)試，我們畫出了正確的菲涅耳積分C（a），S（a）圖以及考紐曲線圖。5.2結(jié)論由圖4我們可以得出以下結(jié)論：C（a）的幅值在a=0附近振蕩非常劇烈，當(dāng)a>0時(shí),隨著a值的增加，C（a）逐漸穩(wěn)定，最后趨向于0.5，當(dāng)a50時(shí)，其曲線與a>0的關(guān)系曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱；S（a）與C（a）的性質(zhì)基本一樣。由圖5我們可以得出下結(jié)論：當(dāng)a>0時(shí)，隨著a值的增加，S（a）-C（a）的關(guān)系曲線構(gòu)成一個(gè)不斷旋轉(zhuǎn)縮小的螺旋線，最后其中心不斷靠近（0.5,0.5）坐標(biāo)點(diǎn)，這也使得圖4的關(guān)系曲線得到了進(jìn)一步的印證，同理，當(dāng)a<0時(shí)，其曲線與a>0的關(guān)系曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱。另外，由公式（7）可知，曲線上兩點(diǎn)之間的線段長度表示的就是這兩點(diǎn)之間的光強(qiáng)之差，如果以（0,0）點(diǎn)為其中的原點(diǎn)，且取a>0，連接（0,0）于曲線上的另一點(diǎn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著a值的增加，線段的長度會(huì)先增加再減少，之后會(huì)又增加再減少。。。。。。由此我們可以得到以下結(jié)論：隨著矩孔的邊長不斷增加，在觀察屏上的某一點(diǎn)的光強(qiáng)會(huì)不斷的有規(guī)則的變化，由此可以得到矩孔尺寸和衍射光強(qiáng)的關(guān)系。心得體會(huì)通過本次試驗(yàn)，我們?cè)趯?duì)菲涅耳衍射的基本性質(zhì)有了一定的了解的前提下，通過菲涅耳積分來求得衍射屏上的光強(qiáng)特性，最后作出C(a)—a和S(a