【圓相關(guān)證明與計算】類型三-與圓有關(guān)的計算（扇形、圓錐、圓與正多邊形）（解析版）

類型三與圓有關(guān)的計算（扇形、圓錐、圓與正多邊形）【典例1】若一個扇形的圓心角為60°，面積為eq\f(π,6)cm2，則這個扇形的弧長為________cm(結(jié)果保留π)．【答案】eq\f(π,3)【解析】設這個扇形的半徑為rcm，則eq\f(60πr2,360)＝eq\f(π,6)，解得r＝1(負值舍去)，∴這個扇形的弧長為eq\f(60π×1,180)＝eq\f(π,3).【典例2】小明家有一個如圖所示的鬧鐘，他觀察發(fā)現(xiàn)圓心角∠AOB＝90°，測得eq\o(ACB,\s\up8(︵))的長為36cm，則eq\o(ADB,\s\up8(︵))的長為________cm.【答案】12【解析】設⊙O的半徑為r，則可列方程：eq\f(（360－90）πr,180)＝36，解得r＝eq\f(24,π)，∴eq\o(ADB,\s\up8(︵))的長為eq\f(90π·\f(24,π),180)＝12cm.【典例3】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\r(2)，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是()A.1－eq\f(π,4)B.eq\f(π－1,4)C.2－eq\f(π,4)D.1＋eq\f(π,4)【答案】A【解析】如解圖，連接CD，∵AB是⊙C的切線，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AB，∵∠ACB＝90°，AC＝eq\r(2)，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S陰影＝S△ABC－S扇形ECF＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)－eq\f(90π×12,360)＝1－eq\f(π,4).【典例4】如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4，以其各邊為直徑作半圓．則圖中陰影部分的面積為()A.24eq\r(3)－4πB.12eq\r(3)＋4πC.24eq\r(3)＋8πD.24eq\r(3)＋4π【答案】A【解析】正六邊形的面積為eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)×6＝24eq\r(3)，六個小半圓的面積為π·22×3＝12π，中間大圓的面積為π·42＝16π，所以陰影部分的面積為24eq\r(3)＋12π－16π＝24eq\r(3)－4π.【典例5】如圖，已知點C,D是以AB為直徑的半圓的三等分點，弧CD的長為eq\f(1,3)π，則圖中陰影部分的面積為()A.eq\f(1,6)πB.eq\f(3,16)πC.eq\f(1,24)πD.eq\f(1,12)π＋eq\f(\r(3),4)【答案】A【解析】如解圖，連接OC、OD、CD，∵點C、D是半圓的三等分點，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S陰影＝S扇形COD，∵eq\o(CD,\s\up8(︵))的長為eq\f(1,3)π，∴eq\f(60πr,180)＝eq\f(1,3)π，解得r＝1，∴S陰影＝S扇形COD＝eq\f(60π×12,360)＝eq\f(1,6)π.【典例6】如圖所示，點A、B、C對應的刻度分別為0、2、4，將線段CA繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點A首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點A1，則此時線段CA掃過的圖形的面積為()A.4πB.6C.4eq\r(3)D.eq\f(8,3)π【答案】D【解析】由題意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝eq\f(BC,A1C)＝eq\f(1,2).∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面積為eq\f(60×π×42,360)＝eq\f(8,3)π.即線段CA掃過的圖形的面積為eq\f(8,3)π.【典例7】如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝2.以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交邊BC于點E，連接AE，則eq\o(DE,\s\up8(︵))的長為()A.eq\f(4π,3)B.πC.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝eq\r(3)，∠ABE＝90°，∴cos∠BAE＝eq\f(AB,AE)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))的長為eq\f(60×π×2,180)＝eq\f(2,3)π.【典例8】如圖，公路彎道標志eq\x(R＝m)表示圓弧道路所在圓的半徑為m(米)，某車在標有R＝300處的彎道上從點A行駛了100π米到達點B，則線段AB＝________米．【答案】300【解析】如解圖，連接AO、BO，∵100π＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(nπ·300,180)，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝300米．【典例9】如圖，已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長是eq\f(2,3)π，則陰影部分的面積是________．【答案】eq\f(2π,3)－eq\r(3)【解析】由題可得，∠AOB＝60°，設⊙O的半徑為r，則eq\f(60πr,180)＝eq\f(2π,3)，解得r＝2，則S陰影＝S扇形OAB－S△OAB＝eq\f(60×22π,360)－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3).【典例10】如圖，在6×6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，其中A、B、C為格點，作△ABC的外接圓，則eq\o(BC,\s\up8(︵))的長等于________．【答案】eq\f(\r(5)π,2)【解析】如解圖，連接OC，∵每個小方格都是邊長為1的正方形，∴AB＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(10)，BC＝eq\r(10)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠COB＝90°，∵OB＝eq\r(5).∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為eq\f(90×π×\r(5),180)＝eq\f(\r(5)π,2).【典例11】如圖，在菱形OABC中，OB是對角線，OA＝OB＝2，⊙O與邊AB相切于點D，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】2eq\r(3)－π【解析】如解圖，連接OD，∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，在菱形OABC中，AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠A＝60°，∴OD＝2×sin60°＝eq\r(3)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，∴扇形的面積為eq\f(60°×π×（\r(3)）2,360°)＝eq\f(π,2)，∴陰影部分的面積為2×(eq\r(3)－eq\f(π,2))＝2eq\r(3)－π.【典例12】如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)【解析】如解圖，連接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AD＝BD＝1，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠ADG＋∠CDG＝∠CDG＋∠CDH＝∠CDH＋∠BDH，∴∠ADG＝∠CDH，∠CDG＝∠BDH，∴△ADG≌△CDH(ASA)，△CDG≌△BDH(ASA)，∴S四邊形CGDH＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×1＝eq\f(1,2)，∴S陰影＝S扇形FDE－S四邊形CGDH＝eq\f(90π×12,360)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)π－eq\f(1,2).【典例13】如圖，在半徑為eq\r(2)的圓形紙片中，剪一個圓心角為90°的最大扇形(陰影部分)，則這個扇形的面積為________；若將此扇形圍成一個無底的圓錐(不計接頭)，則圓錐底面半徑為________．【答案】π；eq\f(1,2)【解析】∵S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(90πR2,360)，∴當扇形半徑越大時，S扇形越大，如解圖，連接AB，當AB為圓的直徑時，扇形半徑最大．∵圓的半徑為eq\r(2)，∴AB＝2eq\r(2).∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB為等腰直角三角形．∴AC＝eq\f(\r(2),2)AB＝2.∴S扇形ACB＝eq\f(90π×22,360)＝π；設這個圓錐底面半徑為r，根據(jù)題意可得l＝2πr，又∵l＝eq\f(90π×2,180)＝π，∴2πr＝π，解得r＝eq\f(1,2).則圓錐底面半徑為eq\f(1,2).【典例14】如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點，且eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，連接AE，AC，過點C作CD⊥AE交AE的延長線于點D.(1)判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB＝4，CD＝eq\r(3)，求圖中陰影部分的面積．【答案】解：(1)直線DC與⊙O相切．理由：如解圖①，連接OC，∵eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠EAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ACO＝∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線DC與⊙O相切；(2)如解圖②，連接OC、OE、EC，過點C作CH⊥AB于點H，②∵CH⊥AB，CD⊥AE，∴∠ADC＝∠AHC＝90°，∵∠EAC＝∠OAC，AC＝AC，∴△ADC≌△AHC(AAS)，∴CH＝CD＝eq\r(3)，AH＝AD，∵AB＝4，且AB為直徑，∴OC＝OB＝2，又∵CH⊥OB，∴sin∠COH＝eq\f(CH,CO)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠COH＝60°，∴∠EOC＝∠COH＝60°，∴∠OED＝120°，∵OE＝OC，∴△OEC為等邊三角形，∴∠EOC＝60°，∴∠DAC＝30°，又∵DAC＝30°，又∵CD＝eq\r(3)，∴AD＝3，∵eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠OCE＝60°，∴EC∥BA，∴S△AEC＝S△OEC.∴S陰影＝S△ADC－S扇形OEC＝eq\f(1,2)×3×eq\r(3)－eq\f(60π×22,360)＝eq\f(3,2)eq\r(3)－eq\f(2π,3).【典例15】如圖，圓是的外接圓，其切線與直徑的延長線相交于點，且．（1）求的度數(shù)；（2）若，求圓的半徑．【答案】（1）的度數(shù)為；（2）圓O的半徑為2．【解析】【分析】（1）如圖（見解析），設，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；（2）如圖（見解析），設圓O的半徑為，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）如圖，連接OA設，AE是圓O的切線，即在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：即解得則由圓周角定理得：故的度數(shù)為；（2）如圖，連接AD設圓O的半徑為，則BD是圓O的直徑由（1）可知，則在中，在中，由勾股定理得：，即解得或（不符題意，舍去）則圓O的半徑為2．【點睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，利用圓周角定理是解題關(guān)鍵．【典例16】已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點E，分別交AM，BN于D，C兩點．(1)如圖1，求證：AB2＝4AD·BC；(2)如圖2，連接OE并延長交AM于點F，連接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明：圖1中，連接OC，OD.∵AM和BN是⊙O的兩條切線，∴AM⊥AB，BN⊥AB.∴AM∥BN.∴∠ADE＋∠BCE＝180°.∵DC與⊙O相切于點E，∴∠ODE＝eq\f(1,2)∠ADE，∠OCE＝eq\f(1,2)∠BCE.∴∠ODE＋∠OCE＝90°.∴∠DOC＝90°.∴∠AOD＋∠BOC＝90°.∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC.∵∠DAO＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO.∴eq\f(AD,BO)＝eq\f(OA,BC).∵OA＝OB＝eq\f(1,2)AB，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))eq\s\up12(2)＝AD·BC.∴AB2＝4AD·BC；(2)解：圖2中，連接OD，OC.∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠AD