廣東省深圳市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試卷

廣東省深圳市2023屆高三數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合A={2,0},8={2,3},則C;B（AB）=（）

A.{0}B.{2}C.{3}D.{0,3}

33Y<1

2,已知函數(shù)=1-'則f（f（2））=（）

log3x,x>L

C.2D.-2

3.設(shè)等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S"，若SIo=2O,S20=10,則S3o=（）

A.OB.-10C.-30D.-40

4.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，則（）

A.V,<%<匕B.%<K<%C.%<K<%D.%<%<K

5.已知AOAB中，OC=C4,00=203,AD與BC相交于點(diǎn)M,OM=x04+>OB則

有序數(shù)對(duì)（x,y）=（）

11I1JIII

A.（一，一）B.（一，一）C.（一,一）D.（一，一）

23322442

6.從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8

的概率為（）

1r2

A.一B.一C.一D.一

3399

22

7.設(shè)橢圓C：鼻+與=1（。>6>0））的左、右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn)2,直線/過點(diǎn)耳.若點(diǎn)心

關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上，且6P?丹瑪=g〃，則C的離心率為（）

A.-B.-D-

335

8.己知￡>0,x,ye,且ev+￡siny=evsinx,則下列關(guān)系式恒成立的為（

4'4

A.cosx<cosyB.cosx>cosyC.sinx<sinyD.sinx2siny

二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：

假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為5=晟+0.28,則（）

A.3=0.24

B.當(dāng)x=8時(shí)，y的預(yù)測值為2.2

C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8

D.去掉樣本點(diǎn)（3,1）后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù),?不變

10.已知/（幻是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)的圖象是函數(shù)＞=sin（cosx+°）

（。＞0,0＜夕＜兀）圖象的一部分（如圖所示），則（）

AJ（x）的定義域?yàn)镽”，豆

71,

8.當(dāng)r工=一時(shí),/（X）取得最大值

27rIT

C.當(dāng)xvO時(shí)，/（幻的單調(diào)遞增區(qū)間為K?一，?一1

36

57r1Ijr

D.當(dāng)x＜0時(shí)，/（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)一一和——

1212

11.如圖，在矩形AEFC中，AE=2y[3,EF=4,B為EF中點(diǎn),現(xiàn)分別沿AB、BC將A48E、

△BCF翻折，使點(diǎn)E、尸重合，記為點(diǎn)P,翻折后得到三棱錐P-ABC,則（）

EBB

A.三棱錐P-ABC的體積為47士2

3

B.直線PA與直線BC所成角的余弦值為—

6

C.直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，

3

D.三棱錐外接球的半徑為叵

2

12.設(shè)拋物線C：>=》2的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上不同的兩點(diǎn)A,B分別作C的切線，兩

條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q,則()

A.PQLx軸B.PF±AB

C.ZPFA=ZPFBD.|AF|+|M|=2|P尸|

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+1=0,則z?z=.

14.若X—N(9,2?),則P(7<X<13)=(精確到0.01).

參考數(shù)據(jù):若X~N(〃Q2),則卜0.683,P(|X-“<2cr)=0.955.

15.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(x+l)-2為奇函數(shù)，且〃1一力=/(3+力，則

7(2023)=.

16.足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng).如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的B底線寬AB=72碼,球門寬￡F=8

碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P,

使得/EPF最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)。處(OA=AB,

OA_LAB)時(shí)，根據(jù)場上形勢判斷，有。4、兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若選擇線路Q4,則

甲帶球碼時(shí),APO到達(dá)最佳射門位置;若選擇線路OB,則甲帶球碼時(shí),

到達(dá)最佳射門位置.

四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且sin（4-B）=2sinC.

⑴證明:a?=b2+2c2i

27t

(2)若A=,a-3,BC-3BM,求AM的長度.

18.（12分）飛盤運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)

成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)該地

區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表：

飛盤運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

不愛好愛好

男61622

女42428

合計(jì)104050

（1）在上述愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人

中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)依據(jù)小概率值a=0.0的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表

中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)

動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)解釋其中的原因.

n(adbe?

附:/其中〃=a+0+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(A?+d)

a0.10.010.001

X"2.7066.63510.828

19.(12分)在三棱柱ABC-44cl中，AB=BC=2,ZABC=—,\C{L\B.

(1)證明:AA=AC；

(2)若AA=2,BCt=714,求平面4cBi與平面BCGg夾角的余弦值.

2n

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足，％=3,a?an+l=9x2-',neN*.

⑴求數(shù)列(??｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明:數(shù)列｛/｝中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

21.(12分)已知雙曲線：/一丁=],點(diǎn)加為雙曲線c右支上一點(diǎn)，48為雙曲線C的左、

右頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。在x軸正半軸上，點(diǎn)E在y軸上.

⑴若點(diǎn)M(2,6)，2(2,0),過點(diǎn)。作2M的垂線/交該雙曲線C于S,T兩點(diǎn)，求ZiOST

的面積；

(2)若點(diǎn)M不與3重合，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①OD=DE；②8M_LEQ；③[00|=2.

注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

22.(12分)已知函數(shù)—x.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性：

(2)當(dāng)加>0時(shí)，函數(shù)+X恰有兩個(gè)零點(diǎn).

m

⑴求機(jī)的取值范圍；

(ii)證明:g(x)>m,n—mm

參*考*答*案

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

題號(hào)12345678

答案DACBDDCA

二'選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合迤目要求.

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)9101112

答案ABDBCDBDAC

三,填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.114.0.8215.216.72-166,12^2-16^

四'解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

解：(1)V$inG4-B)=2$inC=2sin[n-(J+5)]=sin(yl+5),........................1分

sinAcosB-cosJsin5=2(sinAcosB+cosAsinB),

:,sindcosB+3cosdsin3=0........................................................3分

由正弦定理和余弦定理得二與+3dx竺上二三=0..........................4分

lac2bc

化簡得d=d2+2r2................................................................5分

(2)(法1)在△疑。中?由余弦定理得/+C2+*=9..............................6分

又br+2c2=a2=9?............................................................7分

b=c=y/3?......................................................................8分

由得艮眩=(，

在△d&M中，由余弦定理得,工"，=c2+(yfl)2-2rx|flxcosB,

...10分

(法2)在AL5C中，由余弦定理得好+1+從=9...................................6分

又；爐+2J=J=9,...........................................................7分

b=C=y/i8分

18.（12分）

解：（1）樣本中愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中男性16人，女性24人,比例為4：6.

按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人...................1分

隨機(jī)變量X的取值為：0,1，2.3.

尸（*=0）=★=；..................................................................2分

Cw6

尸（X=l）=警=；.................3分

尸"=2喈￡……-.......................................................4分

尸吠=3）=舁................................................................5分

Cl0SU

隨機(jī)變量X的分布列為_________________________________________________________________

X0123

131

P

62W30

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期里E(X)=0X!+1*:+2XW+3X±=?.........................6分

02103Uj

（2）零假設(shè)為4：愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).......................................7分

根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到z2=當(dāng)空文上亞=1299<6.635=1。1.........9分

10x40x22x28

根據(jù)小概率值。=001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H。不成立,因此可以認(rèn)為成立,即認(rèn)

為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián)...................-..............................10分

40

列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后，三二10°;髻；：二,；12.99>6.635二”].

100x400x220x280

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成立,即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).

所以，結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的1。倍.導(dǎo)

致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.........................................................12分

19.（12分）

證明：（I）設(shè)AC的中點(diǎn)為。.連接Q&,OB.

因?yàn)?=BC,所以/C_LOB...................................................1分

又因?yàn)?G/〃c.且4G所以/c_L4B...................................2分

因?yàn)?B,OBu平面。網(wǎng)，且45003=5，

所以dC_L平面OB4............................................................3分

因?yàn)椤?u平面OR-k.

所以4C_LQ4.................................................................4分

又因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，

所以4$=4C................................................................5分

解：（2）（法1）在△融C中，由余弦定理求得4C=2JJ,則4G=AC=2/.

因?yàn)?G所以4^+4。；=sc；,解得43=7?...........................6分

在油ZUC均和后△AOB中，可知4。=。3=1.

在△。皿中.+OB-=AiB-.因此40_L0B...................................7分

由（1）知，AfiAC,且4C,QBu平面4SC.且4￡70。3=。，

所以遙。，平面的...............................................................8分

以麗，衣,這所在直線分別為x軸，）■軸，二軸，建立如圖所示的空間直用坐標(biāo)系，則40.0.1），

5（1,0.0）,C（0.7l0）,/（O.-VJ.O）.所以d￡=4=aVIo）.4c=（0.73.-1）.BC=（-1,V3.0）.

竭=豆=（0.肉）.................9分

設(shè)平面4c耳的法向量為JW=（%,“：]）,

tnA,B,=0k+y/iv,=0

則，2J，即｛1八.

加YC=o[6JL3=O

令x】=JT.得肺=（JT「L-JT）...

（第19題圖）

設(shè)平面BCC14的法向量為〃=（&,%.二。,

令%=3得"=（G"我...................................................II分

設(shè)平面4C%與平面BCC遇夾角為e,則cos"=焉?=.

所以平面4c4與平面BCG4夾角的余弦值為］.....................................12分

（法2）設(shè)BG與4c相交于點(diǎn)M.同（法I）可求得44=4C=&G=CG=2..............7分

因此.QA/X^C.A.MJ.B.C,所以幺肛是平面4s與平面的夾角〈或其補(bǔ)角）.

B

4MC1：

8SZ4MG=；；55^=-7..............--…堡上1sBp..................11分

2AyMxC}M7

所以平面45與平面BCC/i夾角的余弦值為］....................................12分

20.（12分）

11:1

解：＜1）由。.。“小以？-.{9a?1a?,=9x2**..........1分

以上兩式相比.得手=4

.........................................2分

由4乂q=18,4=3,得。？=6,........................................3分

所以.數(shù)列也~｝是首項(xiàng)為3,公比4為的等比數(shù)列.。3=3*47=3*2（3河...........4分

數(shù)列｛%1｝是首項(xiàng)為6,公比為4的等比數(shù)列，仁.=6x4-：=3x22....................................5分

綜上，數(shù)列機(jī)｝的通項(xiàng)公式為4=3x27.”wN*■.....--..........6分

（2）假設(shè)數(shù)列｛q｝中存在三項(xiàng)數(shù)列q,,at.fl,（其中卅＜上＜P＞成等差數(shù)列,

則a.+a,=〃.....................一7分

由（1）得3K2I+3X2X=6K2’T,即2-T+2Z=2’.............................................8分

兩邊同時(shí)除以2.“，得l+2i=2J"?（?）

?;ni<k<p,且/n.hpwN',/.^-m+l,p-W€?T,

???（*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)

???（*）等式不成立，假設(shè)不成立.

所以.數(shù)列SJ中得任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列....................................12分

21.（12分）

解：（1）（；i1）因?yàn)辄c(diǎn)M（2,揚(yáng),5（1.0）,

直線BM的斜率k33f=3a=小.

2—1

所以.垂線/的方程為x=-6y+2................................................../分

設(shè)點(diǎn)5（七,丁]），T（x2,y2）.

x=-75^+2,1-

,,?.?2r-W3v+3=O.............................................2分

{『一爐=1

]“+”=2百

則A=（T4）2-4x2x3=24,3........................................3分

>V'2=7

即157■卜戊+尸他+%）2_4mz=2-J6..............................................4分

原點(diǎn)。到直線/的距離為d=l，

所以，AOST的面積為：x|ST|xd=92而X1H#..................................-5分

（法2）因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2.我，點(diǎn)B的坐標(biāo)為8（1,0）直線艮"的斜率.

1csst=在0=6所以垂線/的方程為x=My+2.................................一1分

2—1

設(shè)點(diǎn)S（X]，M）,T（孫冉），

X=-Jiy+2.、

,，二?得2r+4x-7=0.................-............................2分

{丁一y=1

X[+、2=-2

則A=42+4X2X7=72，7.................................................3分

xlx2^-

即I不一與卜7（xl+x2）2-4X1X2=4..................................................4分

垂線，與〉軸的交點(diǎn)為（0.乎）.

所以.￡^OST的面積為:x|%]—|x二=：*3?x-j—=y/6.

(2)?@作為條件,③作為結(jié)論

令點(diǎn)D(0,%)，，版(加J，O)(M>1),

由題意得3(1.0)，4(-1.0).

???4Q、Af三點(diǎn)共線，

又?：ob=加,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為5(0，招)........................................................8分

x()十，

直線艮”的斜率=#7?

玉)一1

:BMLEQt

k3M>0

設(shè)點(diǎn)。(%.。),

2?

丁宜線EQ的斜率kE0=4=2Jo±L.

-J'O7。

券詈2

??1。。卜2.

0@作為條件,②作為結(jié)論

令點(diǎn)ZXO.Vp),jbXM>D，

由已知點(diǎn)3的坐標(biāo)為H(LO),4-L0),

三點(diǎn)共線,

端口.............-........-.................-..........................7分

又，：ob=Di:，

工點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(0,^^),.............................................................................................................8分

%+1

又???|。。卜2,點(diǎn)。在戈軸正華軸上，...2(2,0),

2州

戈o+l=Jb,

又「2臺(tái)，

2現(xiàn)Q---------=--1,

(.v0-l)(x0+l)x0--l

:.BM1.EQ.12分

②③作為條件.①作為結(jié)論

令點(diǎn)2X0,").M(%,)bXM>l)，不妨設(shè)%>0,

■三點(diǎn)共線.

。母>。'且人品=品=有.................................8分

:點(diǎn)Q在X軸正半軸上且I。。1=2,???點(diǎn)2(2,0).

VBM1EQ,

—.................-”10分

kBMJO

又^

.必=漁』>0且/=儂尤=與式=竺心，

“"y}XQ-IX0+I

f2加即而=瓦...............................................................................................................12分

22.(12分)

解：(1)設(shè)/(：0工-—'.CY，........................................1分

當(dāng)mW0時(shí)./‘(力="兄幅一】一1<0,

.??/?在RL：取調(diào)遞減：......................................................2分

當(dāng)m>0時(shí)，設(shè)尸(x)=me叫-1-1,尸'6)=>0.

???/'(x)在R上單調(diào)遞增,

.?.當(dāng)xe(y.f巴)，/,(x)<0,"X)在區(qū)間(TO.匕巴巴)上單調(diào)遞減：

mm

當(dāng)了(X)在xe(匕皿.+8),r(x)>0,f(x)在區(qū)間(匕色巴,2)上中調(diào)遞增.........3分

mm

/、、/?、/\Mr-1ln"+l/，,、mr-i1W"xemr'—I

(2)(i)g(x)=e----------(m>A0s),g*(x)=7neTO1------=----------------，

mmxmx

設(shè)A(x)=m2.tew-1-1.則/(%)=m2(mx+1>"*1-1.

???力'(x)>0,/.h(x)在區(qū)間(0,內(nèi))上單調(diào)遞增.

1—InwInwIni,

由(I)可知當(dāng)m=l時(shí)，則/(》)》/(-----)=----=-^-=0,即e""》x,...........................4分

mm1

._2J.4-1」

,,h(m2+1)=m2-(w-+1)-ew^"'-1>m*'(m-+1)--+1)-1F

.-13_3

??h(m-+1)>m*-m--mm--1=0

又?.?力(0)=7,由零點(diǎn)存在性定理可知.

存在x”(0.”F+l)，使得咐)=°，叩網(wǎng)*)

；.g(x)在區(qū)間(0當(dāng))上單調(diào)遞減,在區(qū)間(孫內(nèi))上單調(diào)遞增...........................5分

當(dāng)時(shí),由(*)可知gOOHeET-Mxi+l=l-'啊?1%+D,且呵eET=Lwi,

mnrxim

設(shè)可工)=工/T,w'(x)=(x+l)ex-1>0,則P(x)在(O.yc)上單調(diào)遞增.

敘1)=1.??.〃/<1,又由胴》1???期《人忘1，

???1一〃%(111毛+1)》1-"%》0.即虱?》8(再)》0?與條件矛盾,....