高中數(shù)學(xué)必修二第八章立體幾何初步單元測試卷(五)(含解析)

高中數(shù)學(xué)必修二第八章立體幾何初步單元測試卷⑸

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知三棱錐4一BCD中，平面4B。1平面BC￡>,BCLBD,AB=AD=BD=4^/3,BC=6,

則三棱錐4-BCD的外接球的表面積（）

A.f-B.36兀C.IOOTTD.1447r

J

2.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)邊長為〃的正方形，那么原平面四邊形的面積

等于（）

A.乎a?B.fa2C.2V2a2D.瞪好

3.直線/與平面a有兩個(gè)公共點(diǎn)，則（）

A./仁aB.///aC./與a相交D.Z<=a

4.魯班鎖運(yùn)用了中國古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時(shí)代各國工匠魯班所作，是由六根

內(nèi)部有槽的長方形木條，按橫豎立三方向各兩根凹凸相對(duì)咬合一起，形成的一個(gè)內(nèi)部卯禪的結(jié)

構(gòu)體.魯班鎖的種類各式各樣，千奇百怪.其中以最常見的六根和九根的魯班鎖最為著名.下

圖1是經(jīng)典的六根魯班鎖及六個(gè)構(gòu)件的圖片，下圖2是其中的一個(gè)構(gòu)件的三視圖（圖中單位：rmn）,

則此構(gòu)件的表面積為（）

俯視圖

圖］圖2

A.7600mm2B.8400mm2C.9200mm2D.10000mm2

5.正四棱錐P-力BCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長為迷，高為3,則它的外接球的

表面積為（）

A.4兀B.87rC.167rD.207r

6.若正四棱錐的側(cè)棱長為遮，側(cè)面與底面所成的角是45。，則該正四棱錐的體積是（）

A.|B.?C.券D.乎

33

7.已知直二面角。一1一。，點(diǎn)4€a,B€0,A、B到棱/的距離相等，直線AB與平面0所成的角

為30。，則AB與棱/所成的角的余弦是（）

A.fB.yC.；D.f

8.一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直且長分別為3、4、5,則它的外接球的表面積是（）

A.20V2TTB.25V2TTC.507rD.200?r

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.在矩形ABCQ中，AB=1,AD=2,△ABD沿對(duì)角線翻折，形成三棱錐4一BCD.下列判斷

正確的是（）

A.aAC=6”是“4B1CD”的充分條件

B.UAC=b”是“4B1CD”的必要條件

C,當(dāng)時(shí)，三棱錐4—BCD的體積為哼

D.三棱錐A-BCD外接球的表面積不是定值

10.在正三棱柱力中，AC=y[2,=1,點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）

A.取=萍+渾一砧

B,三棱錐。-ABiG的體積為,

6

C.ABy13。且4%〃平面416。

D.△ABC內(nèi)到直線力C.BBi的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分

11.如圖，在四棱柱4BCD中，41cl=遍，BD=1,直線41cl與BO所成的角為60。，

A4I=2VL三棱錐力1一8的0的體積為：，則（）

A.四棱柱4BC0-4述16。1的底面積為:

B.四棱柱4BCD-&B1C1D1的體積為5

C,四棱柱4BCD-&B1GD1的側(cè)棱與底面所成的角為45。

D.三棱錐&一48。的體積為:

12.如圖，在長方體4BCD-ABiGCi中，AAr=1,AB=ADE是側(cè)面人公劣。的中心，F(xiàn)

是底面ABCD的中心，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,A公所在直線分別為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，則()

A.”是單位向量

B.n=(1,0,6)是平面&BC的一個(gè)法向量

直線EF與所成角的余弦值為今

C.

點(diǎn)到平面的距離為:

D.E&BC

三、單空題(本大題共3小題，共15.()分)

13.如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點(diǎn)E、G分別為8C、0c中點(diǎn)，B

點(diǎn)尸為EC中點(diǎn)，則矩形去掉陰影部分后，以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的

幾何體的體積是.

DGC

14.16、已知物，n是直線，比，尸，了是平面，給出下列說法正確的序號(hào)為

①若a,afl產(chǎn)=幽，萬?!_陽則總J_&或者"-L乃.

②若,aC\y=m,戶［")/=%,則物〃花；

③若物不垂直于比，則物不可能垂直于比內(nèi)的無數(shù)條直線;

④若afl#=詡,mlln且花5B,貝勝〃產(chǎn)。

15.如圖，已知矩形ABCD,AD=2,E為A8邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將△ACE沿DE翻折至△A'DE,使得點(diǎn)

A在平面EBCQ上的投影在CQ上，且直線4。與平面EBCQ所成角為45。，則線段AE的長為

四、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體最長的棱長為外接球的體積為_(2)_.

五、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面4BCD1?平面PAD,4D〃8C,4B=BC=AP=1AD,AADP=

30°,ABAD=90°.

(1)證明PD1PB

(2)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且PM=：PC,若AMBC的面積為安，求四棱錐P-ABC。的體積

s3

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8CD為菱形，^BAD=60°,PA=PD=AD=2,點(diǎn)M在

線段PC上，N為AO的中點(diǎn).

⑴求證：BC1平面PNB

(2)若平面/MD1平面ABC￡>,M是線段PC上一點(diǎn)，且二面角M-BN-。為60。，試確定M的位置.

19.在正方體4BC。-41當(dāng)6。1中，E,尸分別為AG，BiJ的中點(diǎn)，ACCiBD=P,A^CtEF=Q,

如圖所示.

(1)點(diǎn)Q,B,F,E共面嗎？

(2)作出直線4C與平面BDEF的交點(diǎn)R的位置;

(3)點(diǎn)P,Q,R共線嗎？

20.在如圖所示的五面體A3CDEP中，AB//CD,AB=2AD=2,￡ADC=/.BCD=120°,四邊形

EDCF為正方形，平面EDCF1平面ABCD.

(1)證明：在線段AB上存在一點(diǎn)G,使得EG〃平面8。尸；

(2)求該五面體的體積.

21.如圖，在三棱錐P-48。中，△PAB和△C4B都是以A2為斜邊的等腰直角三角形，若

觸=2PC=也，。是PC的中點(diǎn)

(1)證明：AR\PC；

(2)求4。與平面ABC所成角的正弦值.

22.如圖，在四棱錐P-4BCD中，△PAD,。是以A。為斜邊的等腰直

角三角形，底面ABCD為直角梯形，C。14D,PB=1,AD=2DC=

2BC=2,為線段的中點(diǎn).

(1)證明：0B〃平面PC￡＞；

(2)求二面角P-AD-B的大小.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查球體表面積的計(jì)算，考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理,解決本題的關(guān)鍵在于找出線面垂直，

同時(shí)也考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

先利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理得出BC，平面ABO,并利用正弦定理計(jì)算出的外接圓直徑

2r,然后計(jì)算出外接球的半徑R,最后利用球體表面積公式可得出答案.

解：???平面ABD1平面BCD,平面4BDn平面BCD=BD,

BCLBD,BCu平面BCD,

???BC，平面ABD,

?：AB=AD=BD=4V3)

則△4B0是邊長為4百的等邊三角形，

由正弦定理可得，△4B0的外接圓直徑為'\

SII1—

設(shè)外接圓圓心為E,取外接球的球心為。，設(shè)外接球半徑為R,

則EO//BC,且OC=OB,BE=4,0E=^BC=3,

即R=y/OE2+BE2=5，?--R=5,

因此，該球的表面積為4兀/?2=loom

故選：C.

2.答案：C

解析：解：如圖所示，水平放置的圖形的斜二測直觀圖是正方形0A8C,

它的邊長為。，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，

所以。8=近。，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形的高為2&a，

所以原圖形的面積為S=a-2V2a=2顯心.

故選：C.

根據(jù)斜二測直觀圖的特征是平行于X軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度是原來的;，

求出原圖形的面積即可.

本題考查了斜二測直觀圖與平面圖形的面積的關(guān)系，斜二測畫法等，是基礎(chǔ)題目.

3.答案：D

解析：解：直線/與平面a有兩個(gè)公共點(diǎn)，

可設(shè)AC/,BEl,A&a,Bea,

由平面的基本性質(zhì)的公理1可得48ua,即lua.

故選：D.

運(yùn)用平面的基本性質(zhì)的公理1和線面的位置關(guān)系，即可得到所求結(jié)論.

本題考查平面的基本性質(zhì)的運(yùn)用，以及線面的位置關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：B

解析：解：由三視圖還原原構(gòu)件，可知該構(gòu)件是圖1中自右上起向下數(shù)第二個(gè)構(gòu)件.

由三視圖中的數(shù)據(jù)，可得該構(gòu)件的表面積為S=2x20x20+2x100x20+2x100x20+2x

20x10-2x40x10

=8400(mm2).

故選：B.

由三視圖還原原構(gòu)件，可知該構(gòu)件是圖1中自右上起向下數(shù)第二個(gè)構(gòu)件.結(jié)合三視圖中數(shù)據(jù)，由長

方形表面積公式求解.

本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：解：正四棱錐P-48CD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長為①，高為3,設(shè)它的外

接球的半徑為R，球心為。，底面ABC。的中心為

設(shè)。M=X.

則7?2=%2+(代)2,R+x=3.

解得：R2=4.

可得球的表面積為167r.

故選：C.

設(shè)正四棱錐P-4BCD的外接球的半徑為R,球心為。，底面ABC。的中心為M.設(shè)。M=X.根據(jù)勾股

定理可得R.

本題考查了正四棱錐與球的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：B

解析：解：過棱錐定點(diǎn)S作SE14。，SOl5FffiABCD,則E為臬

的中點(diǎn)，。為正方形ABC。的中心.法;

連結(jié)0E,則4SE。為側(cè)面SA。與底面ABCD所成角的平面角，：\

即ZSEO=45°./AC：\....>>0

設(shè)正四棱錐的底面邊長為小貝￥E=OE=S。=,,

SE=y[2E0=ya.

在RMSAE中，-SA2=AE2+SE2,

???3=—+—,解得a=2.

42

ASO=1,

二棱錐的體積v=；S正方形ABCD,SO=；X2?X1=（

故選B.

作出棱錐的高與斜高，得出側(cè)面與底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面邊長，代入

體積公式計(jì)算.

本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：解：如圖，,,,直二面角a—I—0,點(diǎn)A6a,a

A

A、8到棱/的距離相等，

直線AB與平面口所成的角為30。,

作4c11,交/于點(diǎn)C,作BD1I,交/于點(diǎn)D,

取3。中點(diǎn)E,取AC中點(diǎn)G,取CB中點(diǎn)F,

則FG平行且等于梳AB,EF平行且等于;CD,AC=BD,AC1平面￡,

BD，平面a,/.ABC=30°,

二NEFG是AB與棱/所成的角（或補(bǔ)角）,

設(shè)AC=BD=1,則BC=AD=3AB=2,CD=內(nèi)

EF=￥，F(xiàn)G=1,GE=2+那呼

???2%=率=-￥，

4B與棱/所成的角的余弦是孝.

故選：B.

作AC_U，交/于點(diǎn)C,作8D1，，交/于點(diǎn)。，取8。中點(diǎn)E,取AC中點(diǎn)G,取CB中點(diǎn)F,則"FG是

AB與棱/所成的角（或補(bǔ)角），由此能求出AB與棱/所成的角的余弦.

本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

8.答案：C

解析：解：此三棱錐的外接球即棱長分別為3、4、5的長方體的外接球

而長方體的體對(duì)角線即為球的直徑

???球的直徑2R=V32+42+52=5V2.

二外接球的表面積S=4n7?2=4兀x50兀

故選C

先將三棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題，再利用長方體的對(duì)角線計(jì)算公式，求得其外

接球的直徑，進(jìn)而利用球的表面積計(jì)算公式計(jì)算即可

本題主要考查了球與錐的接切問題，利用三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球即為對(duì)應(yīng)長方體的外

接球，可提高效率，減少運(yùn)算量.

9.答案:ABC

解析：解：若在AABC中，AB=1,BC=2,

aJ^AB2+AC2=BC2,即ABIAC,

又ABIAD,ACCtAD=A,貝ijAB_L平面AC。，

而CDu平面ACD,則AB1CO；

若力B_LCD,由4B±4D,ADC\CD=D,

貝1平面ACD,ACu平面ACD,可得4B1AC,

而AB=1,BC=2,可得=

故A、8都正確；

當(dāng)=可得AACO為c為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

可得匕-BCD=^B-ACD="X1X-X1Xy/3=故C正確；

.5ZO

取BO的中點(diǎn)O,連接。4,OC,由AABD和△BCD均以8。為斜邊的直角三角形,

可得。=OB=0C=OD=-BD=—，

422

可得。為三棱錐4一孔。的球心，則5球=4兀7?2=4兀.（苧）2=5兀，故力錯(cuò)誤.

故選：ABC.

考慮4C=V3，由勾股定理的逆定理和線面垂直的判定和性質(zhì)，推得4B1CD-.

再由4B_LC。，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)，推得4B14C,再由勾股定理可得/。=百，即可判定

A,B；

再由三棱錐的體積公式，計(jì)算可判斷C；

取的中點(diǎn)。，由等腰三角形的性質(zhì)可得0為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑R,由球的

表面積公式計(jì)算可判斷D.

本題考查命題的真假判斷，主要是空間線線的位置關(guān)系和棱錐的體積、棱錐的外接球的表面積求法,

考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

10.答案：ABD

解析：解:對(duì)于4,因?yàn)轫?*通+而）,陋=而-

麗（所以布=1四而一砧，所以A對(duì)；

對(duì)于8,三棱錐。-4當(dāng)6的體積與三棱錐A-DBiCi的

體積相等，

體積為2?（工?々?1）?（迎,sin60°）所以8對(duì)：

326

對(duì)于C,AABiB為等腰三解形，4B1為腰，不能與底邊

BiG垂直,BC//B1C1,

所以AB】1BC不成立，所以C錯(cuò)；

對(duì)于D,BB］，平面ABC,所以在△力BC內(nèi)到直線BBi的

距等于到點(diǎn)8的距離，由拋物線定義知，在AABC內(nèi)到直線AC.

點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，所以。對(duì).

故選：ABD.

A用向量加減法定義判斷；B用等體積法求體積判斷；C用反證法判斷；。用拋物線定義判斷.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間線面位置關(guān)系及棱錐體積，考查了拋物系定義及向量運(yùn)

算，屬中檔題.

11.答案：ABC

解析：

本題考查四棱柱的幾何特征，考查線面角、異面直線所成的角，考查體積計(jì)算，屬于中檔題.

連接AC,由=；|4C||BD|sin60。計(jì)算即可判斷A,由四棱柱的體積與其內(nèi)接四面體體積之比是

=

3：1,計(jì)算四棱柱48CD—的體積即可判斷B,設(shè)四棱柱的高為h,由以BCO-AB1clq^ABCD'

h,求出〃，計(jì)算側(cè)棱與底面所成的角即可判斷C,求出三棱錐兒-ABD的體積即可判斷。.

解：連接4C,易知4傳1=AC=心，

又A\C[/AC,直線&G與BO所成的角為60。，

???*BCD=；MC||BD|sin60°=j.

故四棱柱ABCD—的底面積為也即A正確，

因?yàn)樗睦庵捏w積與其內(nèi)接四面體體積之比是3：1,

???四棱柱486—48修也的體積為3倍三棱錐&-BC/的體積，即3x：|,

故8正確.

=S

設(shè)四棱柱的高為h,VABCD.A1B1C1D1ABCD,h,

即W=N/I=%=2,

24

設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為a,則h=AtA-sina,

sina——,

2

???a=45°,故C正確；

^Ai-ABD=；X?SABC。）,八=5,|,2=；.

故。錯(cuò)誤.

故選ABC.

12.答案：ABD

解析：解：由題意可知，4（0,0,0）,A1（0,0,1）,8（居0,0）,Bi（依,0,1）,C（V5,遮0）,D（0,VXO）,

因?yàn)镋是側(cè)面44/1。的中心，F(xiàn)是底面A8CZ）的中心，

所以E（0,乎,》F譚,苧,0）,

故前=喙

所以|。|=1,

所以品是單位向量，故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)槌?(V3,0,-l),e?=(0,6,0)，

所以取?元=元?元=u平面

0,0,又AiBCBC=B,AtB,BC4IBC,

所以元=(1,0,收)是平面&BC的一個(gè)法向量，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)榍?(券

,0,Ard=(V3,V3,—1)>

所以cos<朗,&d>=￡絲,=第，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

因?yàn)榻?(―V3,—y,|),所以1Kt|=2，

所以cos<荏，元>=矗=一乎，

所以點(diǎn)E到4BC的距離為d=|CT|cos<cT,n>=Y，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

根據(jù)題中給出的條件，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出前的坐標(biāo)，求出模即可判斷選項(xiàng)A,求出向量的

坐標(biāo)，證明五瓦五=0，就?五=0即可判斷選項(xiàng)B,求出兩條直線的法向量，利用夾角公式求解即可

判斷選項(xiàng)C,利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷選項(xiàng)D.

本題考查了線面距離的求解，平面法向量的求解，異面直線所成的角的求解，解題的關(guān)鍵是將問題

轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解.

13.答案：v

解析：解：幾何體為大圓柱減去一個(gè)半球和一個(gè)小圓柱后剩余部分.

vAB=2,BC=4,CF=-BC=1,CG=-AB=1,

42

???大圓柱的底面半徑為2,高為4,

半球的半徑為2,小圓柱的底面半徑和高均為1.

■?V=71-22?4—-23)—7T-I2-1=y7T.

故答案為：等.

幾何體為圓柱減去一個(gè)半球和一個(gè)小圓柱后剩余部分，使用作差法求出幾何體體積.

本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，體積計(jì)算，屬于中檔題.

14.答案：②④

解析：本題考查線面平行和線面垂直的判定。①由面面垂直性質(zhì)定理知：

當(dāng)卜一旦=也加，幾且萬，■時(shí),才有瓦匚萬；所以①錯(cuò);②因?yàn)閮善叫衅矫姹坏谌矫?/p>

截得的交線平行，所以②對(duì);③命題“若府不垂直于回，則府不可能垂直于區(qū)內(nèi)的無數(shù)條直線”

的逆否命題為“若所垂直于區(qū)內(nèi)的無數(shù)條直線，則府垂直于叵”，這不符線面垂直判定定理，

所以③錯(cuò);④因?yàn)閨ac￡=加;所以帆u￡又帆“所以由線面平行判定定理得可￡,

同理可得廠萬，所以④對(duì)；

15.答案：2y/2

解析：

【試題解析】

本題考查了線面角、直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

過4作4。1CD,垂足為。點(diǎn)，連接0E,設(shè)AE=X,則DE=y/4+x2,0E=4x^2,在Rt△ADE

中，cos"ED=而委，在△ODE中，結(jié)合余弦定理求得COSNOCE,即可得出.

解：如圖所示，過4作A。1CD,垂足為。點(diǎn)，連接OE,

由題意可得：4。1平面￡88,乙4'。。=45。.

vA'D=AD=2,0D=A'O=V2，

設(shè)AE=x,則DE=V4+x2,OE=Vx2-2,

x

在RtA/WE中，cos^AED=

22222

-FY-ArmITHr?nc(x^)+(V4+x)—(\!x-2)

在△中，「[_-----

ODEcosZ-ODE=----2--xV2xV4+x2

.X_(迎)2+(.4+%2)2(,工22)2

v'4+x22XV7XV4+X2

解得％=2y/2-

故答案為：2好.

16.答案：4

解析：解：由題意可知：幾何體的直觀圖如圖：幾何體是四棱錐，是長

方體的一部分，最長邊為A8,AB=^32+22+(V3)2=4>/

四棱錐的外接球就是長方體的外接球，半徑為:等=2,外接球的體積為：:

%X23=打.

33

故答案為：4；等.

判斷直觀圖的形狀，利用三視圖求解棱長與幾何體的外接球的體積即可.

本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，判斷三視圖的形狀是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力.

17.答案:解：(1)證明：???/BAD=90。，二84J.AD

???平面4BCD1平面PAD,交線為AD,

???BA_L平面PAD,???BALPD,

?平面48CD1平面PAD,AD/IBC,AB=BC=AP=\AD,UDP=30°,乙BAD=90°.

???AAPD=90°,???APLPD,

?-?BAHAP=A,?.PD1平面PAB,

?-?PBu平面PAB,：.PDLPB.

（2）解：設(shè)AD—2m,則AB=BC-AP—m,PD=y/3m>

由（1）知BA1平面PAD,■■■BA1AP,BP=y/BA2+AP2=y/2m,

取4。中點(diǎn)F,連結(jié)CF,PF,則CF〃BA,CF=m,

由（1）知B41平面PAD,???CF1平面PAD,???CF1PF,

PF=\AD=m,PC=VCF2+PF2=>/2m，

??

PM—3PC,?3CM="P,

PB2-（^BCy=^m2,

??,S〉MBC=^S&PBC=-BCX

由￥加2-季，解得m=2,

在4P4D中，PD=7（2m）2-m2=V3m,

P到AD的距離h=甯=率=值，

P到平面ABCD的距離h=V3,

二四棱錐P-4BCC的體積：

^P-ABCD=]S"BCD"=3X2X（2+4）X2Xy/3=2遮.

解析：⑴推導(dǎo)出841AD,從而BA_L平面PAD,BA1PD,再推導(dǎo)出4P1PD,從而PD，平面PAB,

由此能證明PC1PB.

（2）推導(dǎo)出B41AP,BP=y/BA2+AP2=揚(yáng)n,取AD中點(diǎn)F,連結(jié)CF,PF,^]CF//BA,CF=m,

推導(dǎo)出CF_L平面PAD,CF1PF,解得Tn=2,求出P到平面ABCD的距離h=遮，由此能求出四

棱錐P-4BCD的體積.

本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.答案：證明：（1）；P4=AD,N為4。的中點(diǎn)，

：.PN1AD,

又底面ABCD為菱形，ABAD=60°,

為等邊三角形，

又因?yàn)镹為AO的中點(diǎn)，

???BN1AD,

又PNCBN=N,PN.BNC平面PBN,

???AD_L平面PNB,

■■■AD//BC

■■■BC，平面PNB.

解：（2）?平面PAD1平面ABC。，且兩平面相交于AO,PN1AD

所以PN_L平面ABC。

從而PNJ.AO,PN1NB

又4D1NB,所以可以建立以N為原點(diǎn)，24為x軸，NB為y軸，N尸為z軸的空間直角坐標(biāo)系，

八

則N(OQ,0),B(0,V3,0),P(0,0,8)，C(-2,V3,0),￡>(-1,0,0),

設(shè)M(a/，c),'PM=AP^,

則(a/，c-V3)=(-2A,V32，-V3A),

(a=—22.

???(2?=A/3A,

=V3-V3A

M(-2尢V5X0一遮2),則NA/=(―2A,V3A,V3~V3A)?

平面8N。的法向量五=(0,0,1),

設(shè)平面3MN的法向量沅=(x,y,z),~NB=(0,73,0)

pH?N就=-2Ax+y/3Ay+(V3—V3A)z=0

則i__?_，

km?NB=V3y=0

取z=24,得沅=(V3-V3A,0,2A),

???二面角M—BN-D為60。，

-co|n-?n|2A11

-cos6°=而=如他)3",解得

M是PC的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角M—BN-D為60°.

解析：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，向量法的運(yùn)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想,

屬于中檔題.

(1)先證明PN1AD,再證明BN1AD,即有4。JL平面PNB,5LAD//BC,從而可證BC_L平面PNB.

(2)以N為原點(diǎn)，AM為x軸，NB為)，軸，NP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出M

是PC的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角M-BN-D為60。.

19.答案：解：(1)共面,

證明：由于CC1和BF在同一平面內(nèi)，且不平行，故必相交，

設(shè)交點(diǎn)為0,則0Ci=gC,

同理，直線力E與CCi也相交，

設(shè)交點(diǎn)為。「則01Ci=CiC,

故。1與。重合，得DE與BF交于0,

故O,B,F,E共面.

(2)在正方體4cl中，連接PQ,

QEA1C1,

AQC平面41C1C4

又QWEF,

.-?QC平面BDEF,即。是平面4GC4與平面BOEF的公共點(diǎn),

同理，尸也是平面&GC4與平面8ZJEF的公共點(diǎn).

二平面41GC4n平面80EF=PQ.

乂&Cn平面BDEF=R,

ReArC,

Re平面41cle4,RBDEF.

??.R是ZiC與P。的交點(diǎn).如圖.

(3)共線，證明：由(2)知，。(？=平面8。七尸0平面4140：1，R6&C,

而&Cu平面AiACCi，故R6平面4p4CCi，

同理，/?€平面8力￡尸，

故RePQ,即P,Q,火三點(diǎn)共線.

解析：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，是中檔題.

(1)點(diǎn)Q,B,F,E共面.設(shè)交點(diǎn)為O,則。Ci=C1C,同理，直線與eg也相交，設(shè)交點(diǎn)為?！?/p>

證明。1與O重合，得DE與BF交于O,故O,B,F,E共面.

(2)在正方體AC1中，連接P。，說明Q是平面41cle4與平面BOE尸的公共點(diǎn)，P也是平面兒弓口!與

平面BDEP的公共點(diǎn)；說明R6平面3OEF,判定R是41c與PQ的交點(diǎn).

(3)點(diǎn)P,Q,R共線.由(2)知，PQ=平面BOEFn平面ZMCCi，再利用平面的基本性質(zhì)，即可證得

結(jié)論.

20.答案：證明：(1)取的中點(diǎn)G,連接EG,

因?yàn)?B〃C0,/.ADC=/.BCD=120°,AB=2AD=2,

所以CD=1,又四邊形EOC尸是正方形，

所以EF//BG,EF=BG,

故四邊形EFBG為平行四邊形，故EG//BF,

因?yàn)镋GC平面BDF,BFu平面BDF,

所以EG〃平面BDF.

解：(2)因?yàn)槠矫鍱DCF1平面ABCZ),四邊形EDCF為正方形,

所以EDJ.OC,所以EO_L平面ABCD.

在A/IBD中，因?yàn)橐?DC=120。，

故4ZM8=60°,乂4B=2AD=2,

所以由余弦定理，得BD=V31所以乙4nB=90°,乙CDB=Z.CBD=30°,

則BC=DC=ED=1,平面8CE將五面體分成四棱錐E-4BCD和三棱錐B-CEF

故，=VE