@由一道高考題引起的思考爪型三角形的解決策略（教師版）

由一道高考題引起的思考——爪型三角形的解決策略（2023年甲卷16題）在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．變式練習(xí)：變式1或已知型(2010年大綱卷理17)中，為邊上的一點(diǎn)，，，，則=________．變式2高線型（2016新課標(biāo)Ⅲ卷）在中，，邊上的高等于,則（）.A.B.C.D.變式3中線型（2005年湖北卷理18）在中，已知邊上的中線則=_______變式4角平分線型（2015年重慶卷理13）在中，的角平分線則變式5其他類型（2017年浙江卷14)已知，，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連結(jié)，則的面積是______，________.課堂小結(jié)：方法小結(jié)：?？碱}型：數(shù)學(xué)思想：方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想課后練習(xí)：（2015全國(guó)2卷）中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的倍．（1）求；（2）若=1，=求和的長(zhǎng).解析：（1），因?yàn)?，，所以，由正弦定理可?（2）因?yàn)?，所以，在和中，由余弦定理知，故，由?）知，所以.（2018年江蘇卷）在中，角的對(duì)邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為________.補(bǔ)充：張角定理在中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，那么.證明：因?yàn)椋扇切蚊娣e公式可得兩邊同除，得到解由張角定理有，即，整理得.所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.（2021新高考1卷）在中，，點(diǎn)在邊上，.證明：；若，求.解析：（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)椋裕椒?：向量法方法2.（等面積思想）（2）如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，又，所以，則．法3（坐標(biāo)法）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥，聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．（2022全國(guó)甲卷）已知中，點(diǎn)在邊上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．解析：設(shè)，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：．（23年乙卷18題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.（23年新高考2卷17題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【詳解】（1）在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.（2023年新高考1卷T17）已知在中，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．（1）解法1：先利用內(nèi)角和定理將變量轉(zhuǎn)化為角B，求出，再求解法2：先利用內(nèi)角和定理將變量轉(zhuǎn)化為角A，求出，再求，，即，又，，，，即，所以，.解法3：內(nèi)角和定理+同乘，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解解法4：內(nèi)角和定理+兩邊平方法，再利用恒等變換，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解解法5：內(nèi)角和定理+兩角和與差正弦展開+角化邊+射影定理解法6：內(nèi)角和定理+正弦平方差公