新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義課件新人教A版必修第二冊

第七章復(fù)數(shù)7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，掌握用向量的模表示復(fù)數(shù)模的方法，理解共軛復(fù)數(shù)的概念．通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其幾何意義的理解、復(fù)數(shù)模的運用，共軛復(fù)數(shù)的概念的理解，體會數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).必備知識?探新知

復(fù)平面

知識點

1建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做________，x軸叫做______，y軸叫做_______.實軸上的點都表示_______；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．復(fù)平面實軸虛軸實數(shù)復(fù)數(shù)的幾何意義

知識點

2[提醒]

復(fù)數(shù)幾何意義的兩個注意點(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(a，b)而不是(a，bi)．想一想：如何理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的一一對應(yīng)關(guān)系？提示：(1)復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1，而不是i.(2)當(dāng)a＝0，b≠0時，a＋bi＝0＋bi＝bi是純虛數(shù)，所以虛軸上的點(0，b)(b≠0)都表示純虛數(shù)．(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中的z書寫時應(yīng)小寫；復(fù)平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z書寫時應(yīng)大寫．練一練：1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)原點是實軸和虛軸的交點．(

)(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)．(

)(3)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的無數(shù)多個向量對應(yīng)．(

)2．復(fù)數(shù)z＝3－5i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是_____________.√×√(3，－5)－3i復(fù)數(shù)的模

知識點

3|z||a＋bi||a|[拓展]

對復(fù)數(shù)模的三點說明(1)數(shù)學(xué)上所謂大小的定義是：在(實)數(shù)軸上右邊的比左邊的大，而復(fù)數(shù)的表示要引入虛數(shù)軸，在平面上表示，所以也就不符合關(guān)于大和小的定義，而且定義復(fù)數(shù)的大小也沒有什么意義，所以我們說兩個復(fù)數(shù)不能比較大小．(3)幾何角度理解：|z|表示復(fù)數(shù)的點Z到原點的距離．|z1－z2|表示復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點之間的距離．±1共軛復(fù)數(shù)

知識點

4(1)定義：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部_______，虛部_____________時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．相等互為相反數(shù)a－bi想一想：共軛復(fù)數(shù)有什么性質(zhì)？提示：(1)代數(shù)性質(zhì)：實部相等，虛部互為相反數(shù)．(2)幾何性質(zhì)：關(guān)于實軸對稱．練一練：1．已知i為虛數(shù)單位，若(x－2)＋yi和3x－i互為共軛復(fù)數(shù)，則實數(shù)x，y的值分別是(

)A．3,3 B．5,1C．－1，－1 D．－1,1[解析]

∵(x－2)＋yi和3x－i互為共軛復(fù)數(shù)，D2．若復(fù)數(shù)a＋1＋(1－a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[解析]

因為z＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a＋1,1－a)．B3．已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝______.關(guān)鍵能力?攻重難

當(dāng)k為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i對應(yīng)的點位于：(1)x軸正半軸上；(2)y軸負(fù)半軸上；(3)第四象限的角平分線上．[分析]

根據(jù)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，得到復(fù)數(shù)的實部與虛部之間應(yīng)滿足的條件，建立關(guān)于a的方程或不等式，即可求得實數(shù)a的值(或取值范圍)．題|型|探|究題型一復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)典例1[解析]

∵k∈R，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是實數(shù)，∴復(fù)數(shù)z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(k2－3k－4，k2－5k－6)．∴k＝6時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在x軸的正半軸上．[歸納提升]

1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系的實質(zhì)：復(fù)數(shù)的實部就是其對應(yīng)點的橫坐標(biāo)，復(fù)數(shù)的虛部就是其對應(yīng)點的縱坐標(biāo)．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點滿足的條件求參數(shù)值(或取值范圍)時，可根據(jù)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，找到復(fù)數(shù)實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求得參數(shù)值(或取值范圍)．

(1)復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限(2)若z＝(m＋1)－(m－1)i(i是虛數(shù)單位，m∈R)對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則(

)A．m<－1 B．m>1C．－1<m<1 D．m<－1或m>1對點練習(xí)?CB[解析]

(1)z＝－1－2i對應(yīng)點Z(－1，－2)，位于第三象限.(2)復(fù)數(shù)z＝(m＋1)－(m－1)i＝(m＋1)＋(1－m)i表示的點為(m＋1,1－m)，故選B．題型二復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)10＋7i，－6＋i對應(yīng)的點分別為A，B．若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(

)A．4＋8i B．16＋6iC．2＋4i D．8＋3i(2)在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.②判定△ABC的形狀．[分析]

根據(jù)復(fù)數(shù)與點、復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系求解．典例2C[解析]

(1)兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為A(10,7)，B(－6,1)，則C(2,4).故其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.(2)①由復(fù)數(shù)的幾何意義知：所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．2．復(fù)平面內(nèi)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)可通過向量的坐標(biāo)運算求得．3．一個向量不管怎樣平移，它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是不變的，但其起點與終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變．A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i對點練習(xí)?BDA．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i題型三復(fù)數(shù)的模(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.[分析]

(1)根據(jù)求模公式進行計算；(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a，b.典例3解法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的實部，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.

設(shè)z為純虛數(shù)，且|z－1|＝|－1＋i|，則復(fù)數(shù)z＝_______.對點練習(xí)?[解析]

因為z為純虛數(shù)，所以設(shè)z＝ai(a∈R，且a≠0)，±i題型四復(fù)數(shù)的模的幾何意義

設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形．(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.[解析]

(1)解法一：|z|＝2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓．解法二：設(shè)z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故點Z對應(yīng)的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓．典例4不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點的集合．不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點的集合．這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點的集合．如圖所示中的陰影部分，所求點的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界．[歸納提升]

解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題應(yīng)把握的兩個關(guān)鍵點：一是|z|表示點Z到原點的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；二是利用復(fù)數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決．

已知復(fù)數(shù)z的模為2，求|z－i|的最大值．[解析]

如圖所示，由|z|＝2，可知z對應(yīng)的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，于是本題轉(zhuǎn)化為在這個圓上求到點Q(0,1)的距離的最大值．顯然圓上的點P(0，－2)到點Q的距離最大，最大值為3.對點練習(xí)?易|錯|警|示混淆復(fù)數(shù)的模與實數(shù)的絕對值致誤

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡是(

)A．1個圓

B．線段C．2個點

D．2個圓[錯解]

由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故選D．[錯因分析]

錯解中忽視了“|z|”的幾何意義導(dǎo)致錯誤.典例5A[正解]

由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1應(yīng)舍去，故應(yīng)選A．[誤區(qū)警示]

由復(fù)數(shù)模的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義知，|z|表示z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點到原點的距離，因此|z|≥0.z＝i時，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作錯誤的遷移．

已知復(fù)數(shù)z1＝2－2i.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，試求復(fù)數(shù)z和z1所對應(yīng)的兩點間的距離的最大值．對點練習(xí)?課堂檢測?固雙基1．已知a、b∈R，那么在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個點的位置關(guān)系是(

)A．關(guān)于實軸對稱B．關(guān)于虛軸對稱C．關(guān)于原點對稱D．關(guān)于直線y＝x對稱[解析]

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個點為(a，－b)和(－a，－b)關(guān)于y軸對稱．BA．－1－2i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2iA3．設(shè)z＝a＋(a＋1)i(a，b