高思奧數(shù)導引小學五年級含詳解答案第06講：和差倍分問題

第6講和差倍分問題

內容概述

在和差倍問題中引入“分數(shù)倍”的概念，并理解其含義。解題中應合理選取單位“I”，題

目中隱藏的不變量或公共量往往是關鍵。

典型問題

興趣篇

1.運輸連要將450枚彈藥送到前線，其中炮彈占了之,其余都是手榴彈。由于遇上敵軍

9

伏擊，炮彈損失了2,而手榴彈只剩下3。送到時還剩多少枚彈藥？

58

2.學校舉行新年自助餐會，一共準備了1000瓶飲料，其中一部分是可樂，剩下的全是果

汁。一個小時后，果汁已減少了1,但可樂的數(shù)量卻沒有改變。如果此時飲料還剩下

5

872瓶，那么可樂的數(shù)量是多少瓶？

3.口袋里裝著紅、黃、綠三種顏色的球。其中紅球占總球數(shù)的1,黃球占總球數(shù)的

34

綠球比黃球多50個?？诖镆还灿袔讉€球？

4.游戲公司計劃生產(chǎn)一批限量版的游戲機?，F(xiàn)在已完成計劃的工，如果再生產(chǎn)340臺,

12

總產(chǎn)量就超過計劃的原計劃生產(chǎn)多少臺？

8

5.一個工人加工一批機器零件，第一天完成了任務的第二天完成了剩下部分的

53

前兩天一共完成了56個。請問：這批零件共有幾個？

6.紅星機械廠有三個車間，第一車間的人數(shù)是第二、三車間人數(shù)的士，第二車間的人數(shù)

2

是第一、三車間人數(shù)和的工，第三車間有105人。求該廠工人的總數(shù)。

3

7.甲桶中的水比乙桶中的多1,丙桶中的水比甲桶中的少請問：乙、丙兩桶哪桶水

55

多？如果把三桶水倒入一個大缸里，甲桶中的水占其中的幾分之幾？

8.下圖是某市的園林規(guī)劃圖，其中草地占正方形的3,竹林占圓形的2,正方形和圓形

47

的公共部分是水池。已知竹林的面積比草地的面積少450平方米。問：水池的面積是多

少平方米？

9.阿奇和小悅都有很多科普書，阿奇的科普書數(shù)量是小悅的-。后來小悅送給阿奇11本

8

書后，阿奇的科普書數(shù)量就變成了小悅的士。原來阿奇比小悅少多少本書？

7

10.課間同學們都在操場上活動，其中女生占總人數(shù)的2。后來又來了12個女生，使得女

9

生人數(shù)達到男生人數(shù)的3。操場上現(xiàn)在有多少名同學？

7

拓展篇

1.等候公共汽車的人整齊地排成一列，阿奇也在其中。他數(shù)了一下人數(shù)，發(fā)現(xiàn)排在他前面

的人數(shù)占總人數(shù)的排在他后面的人數(shù)占總人數(shù)的-O從前往后數(shù)，阿奇排在第幾個？

34

2.五年級原來有學生325人，新學期男生增加25人，女生減少了，，結果總人數(shù)增加了

20

16人。請問：現(xiàn)在有男生多少人？

3.冬冬、阿奇兩人玩電子游戲，通過第一關后，冬冬得了120分，阿奇得了200分。接下

來，他們倆在第二關得到了相同的分數(shù)。累加兩關總得分，冬冬的得分是阿奇的3。兩

4

人在第二關各得了多少分？

4.有一堆磚，搬走總數(shù)的L后又運來306塊。這時這堆磚比最開始還多了L這堆磚原來

45

有多少塊？

5.用一批紙裝訂一種練習本。第一天裝訂了120本，還剩全部紙張的2;第二天又裝訂了

5

65本，還剩下1350張紙。這批紙原來一共有多少張？

6.剛打完籃球，冬冬覺得非?？?，就拿起一大瓶礦泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一

半，第二口又喝了剩下的1,第三口則喝了剩下的上，第四口再喝剩下的,，第五口喝

345

了剩下的此時瓶子里還剩0.5升礦泉水，那么最開始瓶子里有幾升礦泉水？

6

7.現(xiàn)有蘋果、桔子、梨、菠蘿四種水果若干個，蘋果的數(shù)目是其他三種水果總數(shù)的桔

6

子的數(shù)目是其他三種水果總數(shù)的-，梨的數(shù)目是其他三種水果總數(shù)的菠蘿有56個。

165

這些水果一共有多少個？

8.2008年5月，某愛心慈善組織向四川大地震中受災嚴重的汶川地區(qū)捐贈帳篷。他們第

一次向汶川運來了全部帳篷的3,第二次運了50頂帳篷。這時，已運來的帳篷數(shù)恰好

8

是沒運來的°。請問：還有多少頂帳篷沒有運來？

7

9.如圖，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它們的長度之和是360厘米。甲木棒有之露在

4

水面上，乙木棒有士露在水面上外，丙木棒有二露在水面上。請問：水深是多少厘米？

75

10.阿奇和冬冬一起玩游戲牌。開始時阿奇手里的牌數(shù)是冬冬手里牌數(shù)的-;玩了若干局后,

5

阿奇贏了冬冬的20張牌，此時阿奇手里的牌數(shù)反而是冬冬手里牌數(shù)的工。請問：阿奇

5

此時一共有多少張牌？

11.口袋里有若干個球，其中紅球占了總球數(shù)的上。后來又放了8個紅球，這時紅球占了

12

總球數(shù)的L現(xiàn)在口袋里有多少個球？

2

12.水池中立著長短兩根木樁。長木樁露出水面部分比短木樁露出部分長2。當水面升高

5

口厘米后，短木機械論者露出水面的部分比長木樁露出部分短3。如果水面再升高

5

多少厘米，短木樁露出水面長度將是長木樁露出水面長度的L?

12

超越篇

1.裝訂車間的工人要將一批書打包后磁送往郵局，每包中裝的書一樣多。第一次，他們領

來這批書的工，結果打了14個包還多35本。第二次他們把剩下的書全部取走，連同

12

第一次多出的零頭一起，剛好又打了11包。請問：這批書共有多少本？

2.勞動小學五年級選出女生總人數(shù)的工和22名男生參加數(shù)學競賽，剩下的女生數(shù)是剩下

11

男生人數(shù)的2倍。如果女生的總人數(shù)比男生的總人數(shù)多2人，那么勞動小學五年級共有

多少人？

3.有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子。已知第一堆里的黑子和

第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2。把這三堆棋子集中在一起,

5

白子占全部棋子的幾分之幾？

4.某工廠有A、B、C、￡＞、E五個車間，人數(shù)各不相等。由于工作需要，把8車間工人的！

2

調入4車間，C車間工人的上調入B車間，D車間工人的，調入C車間，車間工人的L

346

調入。車間?，F(xiàn)在五個車間都是30人。原來每個車間各有多少人？

5.從飛機的窗口向外望去，阿奇看見部分海島、部分白云以及不大的一片海域。其中白云

占去了窗口面畫的一半，它遮住了全部海島的1,因此海島只占窗口畫面的請問：

44

被白云遮住的那部分海洋占窗口畫面的幾分之幾？

6.有4B、C、。四根材料相同的蠟燭，其中A和8一樣粗，C和。一樣粗，A和C一樣

長，B和。一樣長。把四根蠟燭同時點燃，過了6小時，。首先燒完，此時B所剩長

度是C的2倍；再過1小時40分鐘，C正好燒完。請問：A、8還可以再燃燒多久？

7.如圖所示，兩根粗細相同、材質量長度不同的蠟燭豎直地漂在水面上。一開始，長蠟燭露

出水面的部分是短蠟燭總長度的一半；將兩根蠟燭同時點燃1小時后，長蠟燭露出水面的

部分與短蠟燭總長度相等。已知蠟燭漂在水面上時，露出水面的長度始終等于蠟燭在水下

長度的那么短蠟燭還可再燒多久，長蠟燭還可再燒多久？

9

8.甲、乙、丙三個好朋友去超市買了100元的商品。如果甲付錢，那么甲剩下的錢將是乙、

丙剩下錢的工；如果乙付錢，那么乙剩下的錢將是甲、丙剩下錢的2；如果丙付錢，丙用

1316

他的會員卡就可以享受9折優(yōu)惠，只需付90元，那么丙剩下的錢將是甲、乙剩下錢的

3

問：甲、乙、丙開始時一共帶了多少錢？

第6講和差倍分問題

內容概述

在和差倍問題中引入“分數(shù)倍”的概念，并理解其含義。解題中應合理選取單位“1”,題

目中隱藏的不變量或公共量往往是關鍵。

典型問題

興趣篇

13.運輸連要將450枚彈藥送到前線，其中炮彈占了3,其余都是手榴彈。由于遇上敵軍

9

伏擊，炮彈損失了2,而手榴彈只剩下3。送到時還剩多少枚彈藥？

58

【分析】由于炮彈損失士，因而炮彈剩下士，炮彈總共剩下450x2x9=150（枚）。由于手

5595

榴彈只剩下3,因而手榴彈總共剩下450x（l-*]x3=75（枚）。綜上所述，還剩下

8I9）8

150+75=225（枚）彈藥。

14.學校舉行新年自助餐會，一共準備了1000瓶飲料，其中一部分是可樂，剩下的全是果

汁。一個小時后，果汁已減少了1,但可樂的數(shù)量卻沒有改變。如果此時飲料還剩下

5

872瓶，那么可樂的數(shù)量是多少瓶？

【分析】由于飲料還剩872瓶，說明喝了1000-872=128（瓶），而可樂的數(shù)量沒有變，則

這128瓶都是果汁，果汁總數(shù)量為128+（=640（瓶），可樂的數(shù)量為1000-640=360（瓶）。

15.口袋里裝著紅、黃、綠三種顏色的球。其中紅球占總球數(shù)的1,黃球占總球數(shù)的

34

綠球比黃球多50個。口袋里一共有幾個球？

【分析】由已知，綠球占總數(shù)的=所以綠球比黃球多總數(shù)的二一1=!。那么

34121246

總數(shù)有50+』=300（個）。

6

16.游戲公司計劃生產(chǎn)一批限量版的游戲機。現(xiàn)在已完成計劃的工，如果再生產(chǎn)340臺，

12

總產(chǎn)量就超過計劃的原計劃生產(chǎn)多少臺？

8

【分析】超過計劃的相當于完成計劃的2,則原計劃有340+[2-9]=480（臺）。

88（812J

17.一個工人加工一批機器零件，第一天完成了任務的1,第二天完成了剩下部分的

53

前兩天一共完成了56個。請問：這批零件共有幾個？

【分析】第一天完成任務的L第二天完成任務的11-!卜」=巴。兩天總共完成白+&=工，

5I5J31551515

7

這批零件共有56——=120（個工

15

18.紅星機械廠有三個車間，第一車間的人數(shù)是第二、三車間人數(shù)的1,第二車間的人數(shù)

2

是第一、三車間人數(shù)和的1,第三車間有105人。求該廠工人的總數(shù)。

3

【分析】第一車間：（第二車間+第三車間）=1:2,可得第一車間：工人總數(shù)=1:3=4:12;

第二車間：（第一車間+第三車間）=1:3,可得第二車間：總人總數(shù)=1:4=3:12。則工人總

數(shù)為12份，第三車間為12-3-4=5份，則工人總數(shù)為105+5x12=252。

19.甲桶中的水比乙桶中的多1,丙桶中的水比甲桶中的少請問：乙、丙兩桶哪桶水

55

多？如果把三桶水倒入一個大缸里，甲桶中的水占其中的幾分之幾？

【分析】假設法，假設乙桶水有水100噸，則甲桶有水100x（+100=120（噸），丙桶有水

120-120x1=96（噸）。很明顯，乙桶水多。如果把三桶水倒入一個大缸里，共有水

100+120+96=316（噸）。甲桶水占120+316=＞。

79

20.下圖是某市的園林規(guī)劃圖，其中草地占正方形的3,竹林占圓形的2,正方形和圓形

47

的公共部分是水池。已知竹林的面積比草地的面積少450平方米。問：水池的面積是多

少平方米?

相差4-1=1倍，差450平方米，則水池=450+,=900平方米.

222

21.阿奇和小悅都有很多科普書，阿奇的科普書數(shù)量是小悅的3。后來小悅送給阿奇11本

8

書后，阿奇的科普書數(shù)量就變成了小悅的士。原來阿奇比小悅少多少本書？

7

【分析】科普書數(shù)量比，阿奇：小悅=3:8,后來阿奇：小悅=4:7。正好小悅送給阿奇1份，

阿奇收到小悅的1份。則1份為11本。原來阿奇比小悅少5份，少5x11=55本。

22.課間同學們都在操場上活動，其中女生占總人數(shù)的2。后來又來了12個女生，使得女

9

生人數(shù)達到男生人數(shù)的二。操場上現(xiàn)在有多少名同學？

7

【分析】差不變，原來女生人數(shù)：總人數(shù)=2:9,差為7份。后來了12個女生，現(xiàn)在女生

人數(shù)：總人數(shù)=3:(3+7)=3:10,差為7份，女生多了1份，所以總人數(shù)為12x10=120。

拓展篇

11.等候公共汽車的人整齊地排成一列，阿奇也在其中。他數(shù)了一下人數(shù)，發(fā)現(xiàn)排在他前面

的人數(shù)占總人數(shù)的排在他后面的人數(shù)占總人數(shù)的從前往后數(shù)，阿奇排在第幾個？

34

0111

【分析】由題意，阿奇一個人占總人數(shù)的1-±-上=‘。所以總人數(shù)為1+上=12人。排在

341212

阿奇前面的人數(shù)為12x*=8人。所以阿奇排在第9個。

3

12.五年級原來有學生325人，新學期男生增加25人，女生減少了工，結果總人數(shù)增加了

20

16人。請問：現(xiàn)在有男生多少人？

【分析】女生減少25-16=9人。所以女生共有9+工=180人?，F(xiàn)有男生325-180+25=170

20

人。

13.冬冬、阿奇兩人玩電子游戲，通過第一關后，冬冬得了120分，阿奇得了200分。接下

來，他們倆在第二關得到了相同的分數(shù)。累加兩關總得分，冬冬的得分是阿奇的3。兩

4

人在第二關各得了多少分？

【分析】后來，阿奇和冬冬的得分之比為3:4,差是1份，可是分數(shù)差為200-120=80分，

所以（3:4）x80=240:320。所以兩人在第二關各得了240-120=120分。

14.有一堆磚，搬走總數(shù)的，后又運來306塊。這時這堆磚比最開始還多了L這堆磚原來

45

有多少塊？

【分析】由已知，運來的磚不僅補上了原來搬走的部分，而且還比最開始的總數(shù)多出了g,

因此這306塊磚石原來磚塊總數(shù)的1+'=2。所以原來這堆磚有306+2=680塊。

452020

15.用一批紙裝訂一種練習本。第一天裝訂了120本，還剩全部紙張的2:第二天又裝訂了

5

65本，還剩下1350張紙。這批紙原來一共有多少張？

【分析】第一天還剩上的紙，那么裝訂用了總數(shù)的三，這部分對應的是120本練習本，因此

55

所有的紙一共可以裝訂的練習本數(shù)量為120+9=200（本）。第二天又裝訂了65本練習本，

5

這樣剩下的紙還能裝訂200-120-65=15（本），因此每本練習本需要使用1350+15=90（張）

紙。因此這批紙一共有90x200=18000（張）。

16.剛打完籃球，冬冬覺得非常渴，就拿起一大瓶礦泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一

半，第二口又喝了剩下的1,第三口則喝了剩下的1,第四口再喝剩下的第五口喝

345

了剩下的此時瓶子里還剩0.5升礦泉水，那么最開始瓶子里有幾升礦泉水？

6

【分析】喝完第一口之后，這瓶水還剩下1-工=1,喝完第二口之后，剩下的水占整瓶水的

22

=l;喝完第三口之后，剩下的水占整瓶水的，=,；喝完第四口之后，

2I3J33I4

剩下的水占整瓶水的;=/：最后喝完第五口之后，剩下的水占整瓶水的

Ixfl-lk-!-.,由已知這部分為0.5升。因此原來這瓶水有0.5+2=3（升）。

5I6；66

17.現(xiàn)有蘋果、桔子、梨、菠蘿四種水果若干個，蘋果的數(shù)目是其他三種水果總數(shù)的L,桔

6

子的數(shù)目是其他三種水果總數(shù)的-，梨的數(shù)目是其他三種水果總數(shù)的2,菠蘿有56個。

165

這些水果一共有多少個？

【分析】們把四種水果的總數(shù)看作單位“1”，每種水果所占的分率為：蘋果占其他三種總數(shù)

的那么蘋果占所有水果總數(shù)的」L=_L,類似地，桔子占所有水果總數(shù)的二—二9,

61+675+1621

7?1591

梨占所有水果總數(shù)的」=之。那么菠蘿占所有水果總數(shù)的1-'-2-±=±,也就是56

2+5772173

個。所以，所有水果一共有56+1=168（個）。

3

18.2008年5月，某愛心慈善組織向四川大地震中受災嚴重的汶川地區(qū)捐贈帳篷。他們第

一次向汶川運來了全部帳篷的3，第二次運了50頂帳篷。這時，已運來的帳篷數(shù)恰好

8

是沒運來的°。請問：還有多少頂帳篷沒有運來？

7

【分析】第二次運來后，已經(jīng)運來的是沒運來的3,即為已經(jīng)運來的是全部帳篷的二_=9

75+712

所以50頂帳篷對應所以全部帳篷為50+」-=1200（頂）。那么沒有運來的帳

1282424

篷有1200x（1-意=70（）（頂）。

19.如圖，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它們的長度之和是360厘米。甲木棒有白露在

4

水面上，乙木棒有2露在水面上外，丙木棒有2露在水面上。請問：水深是多少厘米？

75

【分析】三根木棒浸在水中的長度是相等的，所以我們以浸在水里面的長度為“1”份。甲

木棒有3露在水面外，因此甲有1一3=1浸入水中，于是甲的長度為=份。類似

4444

44237

地，乙木棒有二露在水面外，有1-？二三浸在水里，所以乙的長度為“12三=份：丙木

77773

棒有上露在水面外，有1-*=三浸在水里，所以乙的長度為三廿己”份。三根木棒的總

55553

長度為360厘米，因此“1”份的長度為360+（4+g+g[=45（厘米），即水深為45厘米。

20.阿奇和冬冬一起玩游戲牌。開始時阿奇手里的牌數(shù)是冬冬手里牌數(shù)的-;玩了若干局后,

5

阿奇贏了冬冬的20張牌，此時阿奇手里的牌數(shù)反而是冬冬手里牌數(shù)的2。請問：阿奇

5

此時一共有多少張牌？

【分析】玩牌的過程中兩人牌的總數(shù)是不變的，所以我們可以把牌的總數(shù)作為單位“1”。開

4aas

始的時候，阿奇手里的牌是總數(shù)的—2_=三，冬冬手里的牌是總數(shù)的1-±=2。贏了20張

3+5888

牌后，阿奇手里的牌變成了總數(shù)的二_二工，比原來多了_1一3=_1,這部分正是阿奇贏

7+51212824

57

的20張牌，因此牌的總數(shù)為20+2=96（張）。所以現(xiàn)在阿奇手里的牌有96x'=56（張）。

2412

23.口袋里有若干個球，其中紅球占了總球數(shù)的后來又放了8個紅球，這時紅球占了

12

總球數(shù)的L現(xiàn)在口袋里有多少個球？

2

【分析】差不變，原來紅球數(shù)量：總球數(shù)=5:12,差為7份，后來紅球數(shù)量：總球數(shù)=1:2,

差為1份，所以我們要把第二個比擴大7倍，變?yōu)?:14,那么8個紅球對應2份，4個球就

是1份，現(xiàn)在口袋里有14份，共有14x4=56（個）球。

24.水池中立著長短兩根木樁。長木樁露出水面部分比短木樁露出部分長2。當水面升高

5

11厘米后，短木機械論者露出水面的部分比長木樁露出部分短3。如果水面再升高

5

多少厘米，短木樁露出水面長度將是長木樁露出水面長度的,？

12

【分析】假設升高了11厘米后，長木棍露出部分為5x厘米，那么短木棍露出部分為

5xx（l-|）=2r厘米。則升高之前長木棍露出部分為（5x+ll）厘米，短木棍露出部分為

（2x+ll）厘米，它們的差為（5x+ll）-（2x+ll）=3x厘米。由已知可列方程=*,解

2x+115

得x=2。所以升高了11厘米后，長木棍露出部分為5x2=10厘米，短木棍露出部分為

2x2=4厘米。設水面再升高），厘米，短木樁露出長度將是長木樁露出長度的卷?？闪蟹匠?/p>

解得廣臬即沙米。

超越篇

7.裝訂車間的工人要將一批書打包后磁送往郵局，每包中裝的書一樣多。第一次，他們領

來這批書的工，結果打了14個包還多35本。第二次他們把剩下的書全部取走，連同

12

第一次多出的零頭一起，剛好又打了11包。請問：這批書共有多少本？

7

—x=14y+35

12■,把兩

【分析】設這批書一共有x本，每包有書y本。根據(jù)題意可列方程:

5

—x+35=lly

12

（isoO

個式子加起來可以得到x=25y,帶入其中一個式子可以得到《x=，那么這批書共有

[y=60

1500本。

8.勞動小學五年級選出女生總人數(shù)的,和22名男生參加數(shù)學競賽，剩下的女生數(shù)是剩下

11

男生人數(shù)的2倍。如果女生的總人數(shù)比男生的總人數(shù)多2人，那么勞動小學五年級共有

多少人？

【分析】設男生一共有x人，則女生一共有（x+2）人。根據(jù)題意可列方程

9=(x-2)3<,解得x=42?？側藬?shù)為2x+2=2x42+2=86人。

9.有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子。已知第一堆里的黑子和

第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2。把這三堆棋子集中在一起,

5

白子占全部棋子的幾分之幾？

【分析】設第一堆有黑色棋子x枚，白色棋子y枚。則第二堆中有黑色棋子），枚，白色棋子

x枚，隨即可得下表：

黑色棋子白色棋子

第一堆Xy

第二堆yX

第三堆|(f)

總的白色棋子數(shù)為g（x+y）,總棋子數(shù)為3（x+y）,這樣的話，白子占全部棋子的

3（x+y）9°

10.某工廠有A、B、C、D、E五個車間，人數(shù)各不相等。由于工作需要，把8車間工人的,

2

調入4車間，C車間工人的［調入8車間，。車間工人的!調入C車間，車間工人的1

346

調入。車間。現(xiàn)在五個車間都是30人。原來每個車間各有多少人？

【分析】先看E車間，由于調走還剩2,還剩30人，那么E車間原來有30+2=36人；

666

13

再看D車間，如果沒有E車間的6個人調入，D車間現(xiàn)有24人，由于調走上，還剩二，那

44

么D車間原來有24+3=32人；再看C車間，如果沒有D車間的32x」=8個人調入，C車間

44

1?9

現(xiàn)有22人，由于調走上，還剩上，那么C車間原來有22+*=33人；再看B車間，如果沒

333

有C車間的33x1=11個人調入，B車間現(xiàn)有19人，由于調走上,還剩上,那么B車間原來

322

有19+'=38人；再看A車間，如果沒有B車間的38x』=19個人調入，A車間現(xiàn)有11人，

22

由于A車間沒有調走的工人，那么A車間原來有14人。綜上所述，五個車間各有

II,38,33,32,36人。

11.從飛機的窗口向外望去，阿奇看見部分海島、部分白云以及不大的一片海域。其中白云

占去了窗口面畫的一半，它遮住了全部海島的1,因此海島只占窗口畫面的請問：

44

被白云遮住的那部分海洋占窗口畫面的幾分之幾？

1a

【分析】假設整個畫面是4份，白云占2份，露出的海島占1份，露出的占整個海島的=

44

3441

所以整個海島占1+三=2份，白云遮住的海島就是？-1=上份，而白云遮住的部分只有兩部

4333

分，不是海島就是海域，所以，白云遮住的海域是2-!=2份，占整個畫面的9+4=工。

33312

12.有人B、C、。四根材料相同的蠟燭，其中A和B一樣粗，。和。一樣粗，A和°