六年級數學上冊 第05講 立體幾何（教師版）全國通用

第5講立體幾何興趣篇一個長方體的長、寬、高分別為3厘米、2厘米、1厘米。若它的棱長總和等于另一個正方體的棱長總和，則長方體與正方體的表面積之比是多少？長方體體積比正方體體積少多少立方厘米？【分析】該長方體的棱長總和為：；則正方體的邊長為；長方體的表面積為：，體積為：；正方體的表面積為：；體積為：所以長方體與正方體的表面積之比為：，長方體的體積比正方體的體積少2立方厘米。如圖所示，將長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器。這個容器的體積是多少立方厘米？如果四角去掉邊長為3厘米的正方形呢？【分析】四個角都截去邊長為2的正方形之后，長方體容器的長為；寬為，其體積為（立方厘米）。如果四個角去的都是邊長為3的正方形，則新形成的長方體的長為，寬為，高為3，則新長方體的體積為（立方厘米）。用棱長是1厘米的小立方體拼成如圖所示的立體圖形。這個圖形的表面積是多少平方厘米？【分析】三視圖法：從前往后看：；從左往右看：；從上往下看：；則這個圖形的表面積為：（平方厘米）。（1）如圖所示，將一個棱長為6的正方體從某個角切掉一個長、寬、高分別為4、3、5的長方體，剩余部分的表面積是多少？（2）如圖所示，將一個棱長為5的正方體，從左上方切去一個長、寬、高分別為5、4、3的長方體，它的表面積減少了百分之幾？【分析】（1）切去該長方體之后，整個表面積沒有發(fā)生變化，則其表面積總和還為原表面積，為平方厘米。（2）原正方體的表面積為；現(xiàn)在表面積減少了；相當于減少了16%。5、如圖所示，有一個棱長為2厘米的正方體。從正方體的上面正中向下挖一個棱長為1厘米的正方體小洞；接著在小洞的底面正中再向下挖一個棱長為厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相同，棱長為厘米。最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？【分析】原正方體的表面積為,向下不斷的挖正方體之后，會增加四個面，則增加的表面積之和為。所以最后得到的立體圖形的表面積為平方厘米。6、（1）如圖所示，將4塊棱長為1的正方體木塊排成一排，拼成一個長方體。那么拼合后這個長方體的表面積，比原來4個正方體的表面積之和少了多少？（2）一個正方體形狀的木塊，棱長為1，如圖1所示，將其切成兩個長方體。這兩部分的表面積總和是多少？如果在此基礎上再切4刀（如圖2所示），將其切成大大小小共18塊長方體。這18塊長方體表面積總和又是多少？【分析】（1）每一次拼合會少兩個面，拼了3次，表面積之和少了平方厘米；（2）原正方體的表面積為，且一刀會增加兩個面，增加的面積為2，則兩部分的表面積之和為8；根據圖2，總共切了5刀，表面積增加了10，則這18塊長方體的表面積總和為16。（第四屆華杯賽初賽第3題）7、如圖所示，有一個圓柱和一個圓錐，它們的高和底面直徑標在圖上，單位是厘米。請問：圓錐體積與圓柱體積的比是多少？【分析】。（第三屆華杯賽初賽第5題）8、如圖所示，一塊三層蛋糕，由三個高都為1分米，底面直徑分別為1.5分米、1分米和0.5分米的圓柱體組成。請問：（1）這個蛋糕的表面積是多少平方厘米？（取3.14）（2）如果沿經過中軸線的平面切一刀，將該蛋糕分成完全相同的兩部分，那表面積之和又是多少？【分析】蛋糕的表面積為：（平方分米）新切一刀，表面積增加了，則現(xiàn)在的表面積變?yōu)?4.97平方分米9、有大、中、小三個立方體水池，它們的內部棱長分別是6米、3米、2米。三個池子都裝了半池水。現(xiàn)將兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面會升高多少厘米？（結果精確到小數點后兩位）【分析】這兩堆碎石的體積之和為：,如果均投入大水池的話，大水池的池面會升，即增加1.97厘米。10、有一個高24厘米，底面半徑為10厘米的圓柱形容器，里面裝了一半水?，F(xiàn)有一根長30厘米，底面半徑為2厘米的圓柱體木棒。將木棒豎直放入容器中，使棒的底面與容器的底面接觸。這時水面升高了多少厘米？【分析】令水面升高了x厘米，則，解之得x=0.5厘米.拓展篇1、如圖所示，將三個表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的鐵質正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗）。求這個大正方體的體積?！痉治觥扛鶕}意，最小正方體的邊長為3，次小的正方體邊長為6，大正方體的邊長為5，則他們的體積為：27+64+125=216立方厘米。2、一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96厘米。求這個長方體的表面積?！痉治觥扛鶕}意，寬×高=20；長×高=30；長×寬=24；則長方體的表面積為：2×寬×高+2×長×高+2×長×寬=148平方厘米3、如圖所示，有30個棱長為1米的正方體堆成一個四層的立體圖形。請問：這個立體圖形的表面積等于多少？【分析】三視圖法：從上往下看：其面積為：4×4×2=32；從左往右看：其面積為：10×2=20；從前往后看：其面積為：10×2=20。則其表面積和為72平方米。4、如圖1所示，將一個棱長為10的正方體從頂點切掉一個棱長為4的正方體，得到如圖2所示的立體圖形。這個立體圖形的表面積是多少？如果再從頂點切掉一個棱長為6的正方體，那么剩下的立體圖形的表面積又是多少？【分析】題中表面積沒有發(fā)生變化，仍為；觀察上圖，再從上圖切去一個邊長為6的正方體后，其少了2個的正方形，此時剩下的立體圖形的表面積為568。5、一個正方體被切成24個大小形狀一模一樣的小長方體（如圖所示），這些小長方體的表面積之和為162平方厘米。請問：原正方體的體積是多少？【分析】每切一刀，即增加兩個面，途中共增加12個面。則18個面的面積為162平方厘米。所以正方體的邊長為3厘米，則原正方體的體積為27立方厘米。6、圖中是一個棱長為4厘米的正方體，分別在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一個棱長1厘米的小正方體，做成一個玩具。該玩具的表面積是多少平方厘米？如果把這些洞都打穿，表面積又變成了多少？【分析】各挖去一個正方體，挖一個正方體，其表面積多了4個平面。則該玩具的表面積為6×4×4+6×4×1=120平方厘米。如若挖空，則可先求最外面的面積為，而內部的表面積之和為，所以把這些洞打穿后，整個表面積變?yōu)?26平方厘米。7、一個無蓋木盒從外面量時，其長、寬、高分別為10厘米、8厘米、5厘米。已知木板厚1厘米，那么做一個木盒，需要這樣的木板多少平方厘米？這個木盒的容積又是多少？【分析】由于此無蓋木盒的外部體積為立方厘米，而木盒的容積為立方厘米。則根據題意，可知需要這樣的木板立方厘米。這個木盒的容積為：立方厘米8、有一根長為20厘米，直徑為6厘米的圓鋼，在它的兩端各鉆一個4厘米深，底面直徑也為6厘米的圓錐形的孔，做成一個零件（如圖所示）。這個零件的體積為多少立方厘米？（取3.14）【分析】這個零件的體積為：立方厘米。9、現(xiàn)有一塊長、寬、高分別為10厘米、8厘米、6厘米的長方體木塊，把它切成體積盡可能大且底面在長方體表面上的圓柱體木塊，這個圓柱體木塊的體積為多少？（取3）【分析】根據題意，所切成的圓柱體木塊的體積為，則要讓半徑盡可能的大，最大讓，此時，此時圓柱體的體積為288立方厘米。10、張大爺去年用長2米、寬1米的長方形蘆葦圍成了一個容積最大的圓柱體糧囤。今年他改用長3米、寬2米的長方形蘆葦來圍，也同樣圍成容積最大的圓柱體糧囤。請問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍？【分析】長2米、寬1米所能圍成的容積最大的圓柱體糧囤的體積為：；長3米、寬2米的長方形蘆葦圍成的容積最大的圓柱體糧囤，其體積應為，則今年的糧囤的體積為去年糧囤體積的4.5倍。11、左邊正方形的邊長為4，右邊正方形對角線長度為6。如果按照圖中所示的方式旋轉，那么得到的兩個旋轉體的體積之比是多少？【分析】左邊正方形旋轉所圍成的體積為：；右邊正方形旋轉所圍成的體積為： 所以兩者所圍成的體積只比為：8:9。12、如圖，一個底面長30分米，寬10分米，高12分米的長方體水池，存有四分之三水池，請問：（1）將一個高11分米，體積330立方分米的圓柱放入水池，水面的高度為多少分米？（2）如果再放入一個同樣的圓柱，水面高度又變成了多少分米？（3）如果再放入一個同樣的圓柱，水面高度又變成了多少分米？【分析】若無完全覆蓋，現(xiàn)知原長方體水的體積為：立方分米，而現(xiàn)在放入的圓柱的底面積為：平方分米。將圓柱放入后，除去現(xiàn)在的圓柱即為有水部分，則水面高度為：分米。（2）若無完全覆蓋，再放入一個同樣的圓柱，則除去兩個圓柱為有水部分，有水部分的底面積為：平方分米，則水面高度為：平方分米。由于在此種情況下，已超過，則圓柱被完全覆蓋，所以現(xiàn)在的新體積為立方分米。則高應為分米；（3）再放入一個同樣的圓柱，顯然水面高度已經超過12，有水溢出，此時水面高度應為12分米。超越篇1、有一個棱長為20的大立方體，在它的每個角上按如圖所示的方式各做一個小立方體，于是得到8個小立方體。在這些立方體中，上面4個的棱長為12，下面4個的棱長為13。請問：所有這8個小立方體公共部分的體積是多少？【分析】上面四個立方體的公共部分是一個長方體，其底面積為一個正方形，底面邊長為 ，高為2；下面四個立方體的公共部分是一個長方體，其底面積也為一個正方形，底面邊長為6，高為13。所以這8個立方體的公共部分的也是一個小長方體，其底面為一個正方形，底面邊長為4，高位5。所以這個公共部分的體積為：。2、地上有一堆小立方體，從上面看時如圖1所示，從前面看時如圖2所示，從左邊看時如圖3所示。這一堆立方體一共有幾個？如果每個小立方體的棱長為1厘米，那么這堆立方體所堆成的立體圖形表面積為多少平方厘米？【分析】頂視圖法，從上面往下看的每一部分都應有小立方體，給他們分別以字母標上，則由圖2可知，第一列最大且必須有一個位3個小立方體堆砌而成；第2列最大只能有1個堆砌而成，即c=1,d=1，第3列，最大為2，且必須有1個為2，則e=2，或者f=2.再結合圖3，可知，b=3,a=2,e=2,f=1。所以共有a+b+c+d+e+f=2+3+1+1+2+1=10個；另外，整個表面積為6×10=60平方厘米，其中重復的有：4+2×7=18。所以這堆立方體所堆成的立體圖形的表面積為42平方厘米。3、（1）已知一個圓錐的底面直徑為6厘米，高為4厘米。求它的體積和表面積；（用表示）（2）用一個半徑為25厘米，圓心角為345.6°的扇形圍成一個圓錐。這個圓錐的體積是多少？如果圓心角是216°呢？（【分析】用表示）【分析】（1）根據題意，圓錐的體積為 立方厘米；其表面積為底面積與側面展開面積之和。底面積為：；側面展開面積為：，即為：。所以其面積之和為：平方厘米。（2）根據題意，現(xiàn)在知道圓心角，則所圍成的圓錐的半徑為：；所以高為7，則這個圓錐的體積為： 。如果圓心角為216°，則所圍成的圓錐的底面半徑為。則此時其高為20，其體積為：立方厘米4、將圖1、圖2中的平面圖形分別折疊成一個四棱錐和三棱柱，這兩個立體圖形的體積分別是多少？（圖1正中央是一個面積為18平方厘米的正方形，每邊上分別有一個腰長為5厘米的等腰三角形；圖2中的圖形由三個長方形和兩個直角三角形組成。）【分析】（1）圖1所圍成的圖形為底面為正方形的四棱錐，其底面積為18，則底面的對角線為6，所以其高為4，那么所圍成的四棱錐的體積為：立方厘米（2）圖2圍成的為底面為直角三角形的三棱柱，底面的面積為6，其高為12，則其體積為6×12=72立方厘米。5、一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，如圖圓柱體的底面直徑和高都是12厘米。其中有一些水，正放時水面離容器頂11厘米，倒放時，水面離頂部5厘米。請問：這個容器的容積是多少立方厘米？(取3.14)【分析】觀察可知，圓錐部分的高度應為11-x，則(11-x):(5-x)=3:1。則x=2.所以圓錐部分的高度為9。則這個容器的體積為： 立方厘米。6、有一個長方體水池，底面為邊長60厘米的正方形。立面插著一根長1米的木樁，木樁的底面是一個邊長15厘米的正方形。木樁有一部分浸在水中，一部分露在水面?，F(xiàn)在將木樁提起來24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木樁浸濕部分面積為多少平方厘米？【分析】令木棒提起后水面下降厘米。則此時浸濕的總高度為25.6厘米。所以露出水面的木樁的面積為：平方厘米。（2009年“數學解題能力展示”高年級復試第14題改編題）（2008年數學解題能力展示六年級初賽試題）7、如圖是一個有底無蓋的容器的平面展開圖，其中①是邊長為18厘米的正方形，②③④⑤是同樣大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同樣大的等邊三角形。那么，這個容器的容積是多少毫升？【分析】拼成的圖形如圖所示，其容積為整個長方體的體積減去4個三棱椎的體積。即為：毫升。拓展：（2009年迎春杯高年級復賽試題第14題）右圖中的⑴⑵⑶⑷是同樣的小等邊三角形，⑸⑹也是等邊三角形且邊長為⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同樣的等腰直角三角形，⑾是正方形。那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾為平面展開圖的立體圖形的體積是以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形體積的倍。本題中的兩個圖都是立體圖形的平面展開圖，將它們還原成立體圖形，可得到如下兩圖：其中左圖是以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形，是一個四個面都是正三角形的正四面體，右圖以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾為平面展開圖的立體圖形，是一個不規(guī)則圖形，底面是⑾，四個側面是⑺⑻⑼⑽，兩個斜面是⑸⑹．對于這兩個立體圖形的體積，可以采用套模法來求，也就是對于這種我們不熟悉的立體圖形，用一些我們熟悉的基本立體圖形來套，看看它們與基本立體圖形相比，缺少了哪些部分．由于左圖四個