桿件的拉伸與壓縮

第2章桿件的拉伸與壓縮提要：軸向拉壓是構(gòu)件的基本受力形式之一，要對其進(jìn)行分析，首先需要計(jì)算內(nèi)力，在本章介紹了計(jì)算內(nèi)力的基本方法一截面法，然后畫內(nèi)力圖。但是僅僅知道內(nèi)力還不能判斷材料是否會發(fā)生破壞，因此還必須了解內(nèi)力在截面上的分布狀況，即應(yīng)力。由試驗(yàn)觀察得到的現(xiàn)象作出平面假設(shè)，進(jìn)而得出橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式。根據(jù)有些構(gòu)件受軸力作用后破壞形式是沿斜截面斷裂，進(jìn)一步討論斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式。為了保證構(gòu)件的安全工作，需要滿足強(qiáng)度條件，根據(jù)強(qiáng)度條件可以進(jìn)行強(qiáng)度校核，也可以選擇截面尺寸或者計(jì)算容許荷載。本章還研究了軸向拉壓桿的變形計(jì)算，一個(gè)目的是分析拉壓桿的剛度問題，另一個(gè)目的就是為解決超靜定問題做準(zhǔn)備，因?yàn)槌o定結(jié)構(gòu)必須借助于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系所建立的補(bǔ)充方程，才能求出全部未知力。在超靜定問題中還介紹了溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力的概念及計(jì)算。不同的材料具有不同的力學(xué)性能，本章介紹了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳鋼和鑄鐵在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能。2.1軸向拉伸和壓縮的概念在實(shí)際工程中，承受軸向拉伸或壓縮的構(gòu)件是相當(dāng)多的，例如起吊重物的鋼索、桁架中的拉桿和壓桿、懸索橋中的拉桿等，這類桿件共同的受力特點(diǎn)是：外力或外力合力的作用線與桿軸線重合；共同的變形特點(diǎn)是：桿件沿著桿軸方向伸長或縮短。這種變形形式就稱為軸向拉伸或壓縮，這類構(gòu)件稱為拉桿或壓桿。本章只研究直桿的拉伸與壓縮?？蓪⑦@類桿件的形狀和受力情況進(jìn)行化簡，得到如圖2.1所示的受力與變形的示意圖，圖中的實(shí)線為受力前的形狀，虛線則表示變形后的形狀。圖2.1軸向拉壓桿件變形示意圖2.2拉（壓）桿的內(nèi)力計(jì)算2.2.1軸力的概念為了進(jìn)行拉（壓）桿的強(qiáng)度計(jì)算，必須首先研究桿件橫截面上的內(nèi)力，然后分析橫截面上的應(yīng)力。下面討論桿件橫截面上內(nèi)力的計(jì)算。取一直桿，在它兩端施加一對大小相等、方向相反、作用線與直桿軸線相重合的外力，使其產(chǎn)生軸向拉伸變形，如圖2.2（a）所示。為了顯示拉桿橫截面上的內(nèi)力，取橫截面把拉桿分成兩段。

桿件橫截面上的內(nèi)力是一個(gè)分布力系，其合力為，如圖桿件橫截面上的內(nèi)力是一個(gè)分布力系，其合力為，如圖2.2(b)和2.2(c)所示。由于外力的作用線與桿軸線相重合，所以 的作用線也與桿軸線相重合，故稱 為軸力(axialforce)。由左段的靜力平衡條件 有：，得。為了使左右兩段同一橫截面上的軸力具有相同的正負(fù)號，對軸力的符號作如下規(guī)定：使桿件產(chǎn)生縱向伸長的軸力為正，稱為拉力(tension)；使桿件產(chǎn)生縱向縮短的軸力為負(fù)，稱為壓力(compression)。不難理解，拉力的方向是離開截面的，壓力的方向是指向截面的。圖2.2軸向拉壓桿橫截面的內(nèi)力2.2.2用截面法求軸力在上面分析軸力的過程中所采用的方法稱為截面法(sectionmethod)，它是求內(nèi)力的一般方法，也是材料力學(xué)中的基本方法之一。截面法的基本步驟是：在需要求內(nèi)力的截面處，假想地將桿件截開為兩部分。任取一部分為研究對象，畫出其受力圖，注意，要將另一部分對其的作用力(或力偶)加到該研究對象的受力圖中。利用平衡條件建立平衡方程，求出截面內(nèi)力。為了便于由計(jì)算結(jié)果直接判斷內(nèi)力的實(shí)際指向，無論截面上實(shí)際內(nèi)力指向如何，一律先設(shè)為正方向，即未知軸力均設(shè)為拉力。求出來的結(jié)果如果是正值，說明實(shí)際指向與所設(shè)方向相同，即為拉力；如果求出來的結(jié)果是負(fù)值，說明實(shí)際指向與所設(shè)方向相反，即為壓力。2.2.3軸力圖多次利用截面法，可以求出所有橫截面上的內(nèi)力，一般以與桿件軸線平行的坐標(biāo)軸表示各橫截面的位置，以垂直于該坐標(biāo)軸的方向表示相應(yīng)的內(nèi)力值，這樣作出的圖形稱為軸力圖(axialforcediagram)，也稱為圖。軸力圖能夠簡潔明了的表示桿件各橫截面的軸力大小及方向，它是進(jìn)行應(yīng)力、變形、強(qiáng)度、剛度等計(jì)算的依據(jù)。下面說明軸力圖的繪制方法：選取一坐標(biāo)系，其橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面的軸力，然后根據(jù)各段內(nèi)的軸力的大小與符號，就可繪出表示桿件軸力與截面位置關(guān)系的圖線，即所謂軸力圖。這樣從軸力圖上不但可以看出各段軸力的大小，而且還可以根據(jù)正負(fù)號看出各段的變形是拉伸還是壓縮。【例2.1】一等直桿，其受力情況如圖2.3所示，試作其軸力圖。圖2.3例2.1圖解：一般來說解題首先應(yīng)搞清問題種類，由該桿的受力特點(diǎn)可知它是軸向拉壓桿，其內(nèi)力是軸力。下面用截面法求內(nèi)力。在AB之間任取一橫截面1-1，將桿件分為兩部分，取左邊部分為研究對象（以右邊部分為研究對象也可），由靜力平衡條件列方程由有得在BC之間任取一橫截面2-2，截面將桿件分為兩部分，取左邊部分為研究對象（以右邊部分為研究對象也可），由靜力平衡條件列方程由有得在CD之間任取一橫截面3-3，截面將桿件分為兩部分，取左邊部分為研究對象（以右邊部分為研究對象也可），由靜力平衡條件列方程由有得根據(jù)AB、BC、CD段內(nèi)軸力的大小和符號，畫出軸力圖，如圖2.4所示。注意，畫軸力圖時(shí)一般應(yīng)與受力圖對正，當(dāng)桿件水平放置或傾斜放置時(shí)，正值應(yīng)畫在與桿件軸線平行的橫坐標(biāo)軸的上方或斜上方，而負(fù)值則畫在下方或斜下方，并且標(biāo)出正負(fù)號。當(dāng)桿件豎直放置時(shí)，正負(fù)值可分別畫在不同側(cè)并標(biāo)出正負(fù)號；軸力圖上應(yīng)該標(biāo)明所有橫截面的內(nèi)力值，可以適當(dāng)?shù)禺嬕恍┛v標(biāo)線，縱標(biāo)線必須垂直于坐標(biāo)軸；旁邊應(yīng)標(biāo)明內(nèi)力圖的名稱。熟練以后可以不必畫各隔離體的受力圖。圖2.4例2.1圖2.3橫截面及斜截面上的應(yīng)力2.3.1橫截面上的應(yīng)力橫截面是垂直于桿軸線的截面，前面已經(jīng)介紹了如何求桿件的軸力，但是僅知道桿件橫截面上的軸力，并不能立即判斷桿在外力作用下是否會因強(qiáng)度不足而破壞。例如，兩根材料相同而粗細(xì)不同的直桿，受到同樣大小的拉力作用，兩桿橫截面上的軸力也相同，隨著拉力逐漸增大，細(xì)桿必定先被拉斷。這說明桿件強(qiáng)度不僅與軸力大小有關(guān)，而且與橫截面面積有關(guān)，所以必須用橫截面上的內(nèi)力分布集度(即應(yīng)力)來度量桿件的強(qiáng)度。在拉(壓)桿橫截面上，與軸力相對應(yīng)的是正應(yīng)力，一般用表示。要確定該應(yīng)力的大小，必須了解它在橫截面上的分布規(guī)律。一般可通過觀察其變形規(guī)律，來確定正應(yīng)力 的分布規(guī)律。取一等直桿，在其側(cè)面上面兩條垂直于軸線的橫線 和，如圖2.5(a)所示，在兩端施加軸向拉力，觀察發(fā)現(xiàn)， 和 仍為直線，且仍然垂直于軸線，只是分別平移到了 和(圖2.5(a)中虛線)，這一現(xiàn)象是桿件變形的外在反應(yīng)。根據(jù)這一現(xiàn)象，從變形的可能性出發(fā)，可以作出假設(shè)：原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于軸線，這個(gè)假設(shè)稱為平面假設(shè)(planesectionassumption)，該假設(shè)意味著桿件變形后任意兩個(gè)橫截面之間所有縱向線段的伸長相等。又由于材料的均質(zhì)連續(xù)性假設(shè)，由此推斷：橫截面上的應(yīng)力均勻分布，且方向垂直于橫截面，即橫截面上只有正應(yīng)力且均勻分布，如圖2.5(b)所示(這一推斷已被彈性試驗(yàn)證實(shí))。圖2.5平面假設(shè)示意圖設(shè)桿的橫截面面積為，微面積上的內(nèi)力分布集度為，由靜力關(guān)系得:得拉桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式(2.1)式中為橫截面上的正應(yīng)力，為橫截面上的軸力，為橫截面面積。公式(2.1)也同樣適用于軸向壓縮的情況。當(dāng)為拉力時(shí)，為拉應(yīng)力當(dāng)為壓力時(shí)，為壓應(yīng)力，根據(jù)前面關(guān)于內(nèi)力正負(fù)號的規(guī)定，所以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。應(yīng)該指出，正應(yīng)力均勻分布的結(jié)論只在桿上離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)的部分才成立，在荷載作用點(diǎn)附近的截面上有時(shí)是不成立的。這是因?yàn)樵趯?shí)際構(gòu)件中，荷載以不同的加載方式施加于構(gòu)件，這對截面上的應(yīng)力分布是有影響的。但是，實(shí)驗(yàn)研究表明，加載方式的不同，只對作用力附近截面上的應(yīng)力分布有影響，這個(gè)結(jié)論稱為圣維南(Saint-Venant)原理。根據(jù)這一原理，在拉(壓)桿中，離外力作用點(diǎn)稍遠(yuǎn)的橫截面上，應(yīng)力分布便是均勻的了。一般在拉(壓)桿的應(yīng)力計(jì)算中直接用公式(2.1)。當(dāng)桿件受多個(gè)外力作用時(shí)，通過截面法可求得最大軸力 ，如果是等截面桿件，利用公式就可立即求出桿內(nèi)最大正應(yīng)力 ；如果是變截面桿件，則一般需要求出每段桿件的軸力，然后利用公式(2.1)分別求出每段桿件上的正應(yīng)力，再進(jìn)行比較確定最大正應(yīng)力 ?！纠?.2】一變截面圓鋼桿 ，如圖2.6(a)所示，已知， ， ，， ， 。試求：各截面上的軸力，并作軸力圖。桿的最大正應(yīng)力。解：(1)求內(nèi)力并畫軸力圖分別取三個(gè)橫截面IT、11-11、IIITII將桿件截開，以右邊部分為研究對象，各截面上的軸力分別用 、 、表示，并設(shè)為拉力，各部分的受其中負(fù)號表示軸力與所設(shè)方向相反，即為壓力。作出軸力圖如圖2.6(c)所示。圖2.6例2.2圖(2)求最大正應(yīng)力由于該桿為變截面桿， 、及 三段內(nèi)不僅內(nèi)力不同，橫截面面積和段內(nèi)也不同，這就需要分別求出各段橫截面上的正應(yīng)力。利用式(2.1)分別求得的正應(yīng)力為和段內(nèi)由上述結(jié)果可見，該鋼桿最大正應(yīng)力發(fā)生在 段內(nèi)，大小為2.3.2斜截面上的應(yīng)力前面討論了拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力，但實(shí)驗(yàn)表明，有些拉(壓)桿的破壞往往發(fā)生在斜截面上。為了全面研究桿件的強(qiáng)度，還需要進(jìn)一步討論斜截面上的應(yīng)力。設(shè)直桿受到軸向拉力的作用，其橫截面面積為，用任意斜截面 將桿件假想的切開，設(shè)該斜截面的外法線與軸的夾角為，如圖2.7a所示。設(shè)斜截面的面積為則設(shè)為 截面上的內(nèi)力，由左段平衡求得為 ，如圖2.7(b)所示。仿照橫截面上應(yīng)力的推導(dǎo)方法，可知斜截面上各點(diǎn)處應(yīng)力均勻分布。用 表示其上的應(yīng)力，則式中的為橫截面上的正應(yīng)力。將應(yīng)力 分解成沿斜截面法線方向分量 和沿斜截面切線方向分量，稱為正應(yīng)力(normalstress)，稱為剪應(yīng)力(shearstress)，如圖2.7c所示。關(guān)于應(yīng)力的符號規(guī)定為：正應(yīng)力符號規(guī)定同前，剪應(yīng)力繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)為正，反之為負(fù)。的符號規(guī)定：由軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到外法線方向時(shí)為正，反之為負(fù)。由圖2.7c可知(2.2)(2.3)從公式(2.2)、(2.3)可以看出， 和均隨角度而改變。當(dāng) 時(shí)， 達(dá)到最大值，其值為，斜截面 為垂直于桿軸線的橫截面，即最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上；當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，其值為，最大剪應(yīng)力發(fā)生在與軸線成 角的斜截面上。圖2.7斜截面的應(yīng)力以上分析結(jié)果對于壓桿也同樣適用。盡管在軸向拉(壓)桿中最大剪應(yīng)力只有最大正應(yīng)力大小的二分之一，但是如果材料抗剪比抗拉(壓)能力要弱很多，材料就有可能由于剪應(yīng)力而發(fā)生破壞。有一個(gè)很好的例子就是鑄鐵在受軸向壓力作用的時(shí)候，沿著45°斜截面方向發(fā)生剪切破壞。2.3.3應(yīng)力集中的概念前面所介紹的應(yīng)力計(jì)算公式適用于等截面的直桿，對于橫截面平緩變化的拉壓桿按該公式計(jì)算應(yīng)力在工程實(shí)際中一般是允許的；然而在實(shí)際工程中某些構(gòu)件常有切口、圓孔、溝槽等幾何形狀發(fā)生突然改變的情況。試驗(yàn)和理論分析表明，此時(shí)橫截面上的應(yīng)力不再是均勻分布，而是在局部范圍內(nèi)急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中(stressconcentration)o如圖2.8(a)所示的帶圓孔的薄板，承受軸向拉力 的作用，由試驗(yàn)結(jié)果可知：在圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增大；而在離這一區(qū)域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力迅速減小而趨于均勻，如圖2.8(b)所示。在I-I截面上，孔邊最大應(yīng)力 與同一截面上的平均應(yīng)力 之比，用表示(2.4)稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)(theoreticalstressconcentrationfactor)，它反映了應(yīng)力集中的程度，是一個(gè)大于1的系數(shù)。試驗(yàn)和理論分析結(jié)果表明：構(gòu)件的截面尺寸改變越急劇，構(gòu)件的孔越小，缺口的角越尖，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。因此，構(gòu)件上應(yīng)盡量避免帶尖角、小孔或槽，在階梯形桿的變截面處要用圓弧過渡，并盡量使圓弧半徑大一些。各種材料對應(yīng)力集中的反應(yīng)是不相同的。塑性材料(如低碳鋼)具有屈服階段，當(dāng)孔邊附近的最大應(yīng)力到達(dá)屈服極限 時(shí)，該處材料首先屈服，應(yīng)力暫時(shí)不再增大，若外力繼續(xù)增大，增大的內(nèi)力就由截面上尚未屈服的材料所承擔(dān)，使截面上其它點(diǎn)的應(yīng)力相繼增大到屈服極限，該截面上的應(yīng)力逐漸趨于平均，如圖2.9所示。因此，用塑性材料制作的構(gòu)件，在靜荷載作用下可以不考慮應(yīng)力集中的影響。而對于脆性材料制成的構(gòu)件，情況就不同了。因?yàn)椴牧喜淮嬖谇?，?dāng)孔邊最大應(yīng)力的值達(dá)到材料的強(qiáng)度極限時(shí)，該處首先產(chǎn)生裂紋。所以用脆性材料制作的構(gòu)件，應(yīng)力集中將大大降低構(gòu)件的承載力。因此，即使在靜載荷作用下也應(yīng)考慮應(yīng)力集中對材料承載力的削弱。不過有些脆性材料內(nèi)部本來就很不均勻，存在不少孔隙或缺陷，例如含有大量片狀石墨的灰鑄鐵，其內(nèi)部的不均勻性已經(jīng)造成了嚴(yán)重的應(yīng)力集中，測定這類材料的強(qiáng)度指標(biāo)時(shí)已經(jīng)包含了內(nèi)部應(yīng)力集中的影響，而由構(gòu)件形狀引起的應(yīng)力集中則處于次要地位，因此對于此類材料做成的構(gòu)件，由其形狀改變引起的應(yīng)力集中就可以不再考慮了。以上是針對靜載作用下的情況，當(dāng)構(gòu)件受到?jīng)_擊荷載或者周期性變化的荷載作用時(shí)，不論是塑性材料還是脆性材料，應(yīng)力集中對構(gòu)件的強(qiáng)度都有嚴(yán)重的影響，可能造成極大危害。圖2.8帶圓孔薄板的應(yīng)力集中圖2.9塑性材料的應(yīng)力集中2.4虎克定律桿件在軸向拉伸或壓縮時(shí)，其軸線方向的尺寸和橫向尺寸將發(fā)生改變。桿件沿軸線方向的變形稱為縱向變形，桿件沿垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形。設(shè)一等直桿的原長為，橫截面面積為，如圖2.10所示。在軸向拉力 的作用下，桿件的長度由變?yōu)?，其縱向伸長量為圖2.10軸向伸長變形示意圖稱為絕對伸長，它只反映總變形量，無法說明桿的變形程度。將 除以得桿件縱向正應(yīng)變?yōu)?2.5)當(dāng)材料應(yīng)力不超過某一限值 (以后將會講到，這個(gè)應(yīng)力值稱為材料的“比例極限”)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即(2.6)這就是虎克定律(Hookelaw)，是根據(jù)著名的英國科學(xué)家RobertHooke命名的。公式(2.6)中的是彈性模量，也稱為楊氏模量(Young’smodulus)，根據(jù)另一位英國科學(xué)家ThomasYoung命名的，由于是無量綱量，故的量綱與相同，常用單位為 ( )，隨材料的不同而不同，對于各項(xiàng)同性材料它均與方向無關(guān)。公式(2.5)、(2.6)同樣適用于軸向壓縮的情況。將公式(2.1)和(2.6)代入公式(2.5)，可得虎克定律的另一種表達(dá)式為(2.7)由該式可以看出，若桿長及外力不變， 值越大，則變形 越小，因此，反映桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱為桿件的抗拉(抗壓)剛度(axialrigidity)。公式(2.7)也適用于軸向壓縮的情況，應(yīng)用時(shí) 為壓力，是負(fù)值，伸長量算出來是負(fù)值，也就是桿件縮短了。設(shè)拉桿變形前的橫向尺寸分別為和，變形后的尺寸分別為和(圖2.10)，則由試驗(yàn)可知，二橫向正應(yīng)變相等，故(2.8)試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向正應(yīng)變與縱向正應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，該常數(shù)稱為泊松比(Poisson’sratio)，用 來表示，它是一個(gè)無量綱的量，可表示為(2.9)或(2.10)公式(2.9)、(2.10)同樣適用于軸向壓縮的情況。和彈性模量一樣，泊松比也是材料的彈性常數(shù)，隨材料的不同而不同，由試驗(yàn)測定。對于絕大多數(shù)各向同性材料， 介于0到0.5之間。幾種常用材料的和值，列于表2-1中。表2-1材料的彈性模量和泊松比彈性常數(shù)鋼與合金鋼四A全鋁合擊銅鑄鐵木(順紋)200?22070?72100?12080?1608?120.25?0.300.26?0.340.33?0.350.23?0.27【例2.3】如圖2.11(a)所示的鉛垂懸掛的等截面直桿，其長度為，橫截面面積為，材料的比重為，彈性模量為。試求該桿總的伸長量。圖2.11例2.3圖解：1)計(jì)算吊桿的內(nèi)力以吊桿軸線為坐標(biāo)軸，吊桿底部為原點(diǎn)取坐標(biāo)系，則任一橫截面的位置可用 來表示。任取一橫截面，取下面部分為研究對象(如圖2.11(b))，得桿內(nèi)任意橫截面上的軸力為2)計(jì)算吊桿的變形因?yàn)闂U的軸力是一變量，因此不能直接應(yīng)用虎克定律來計(jì)算變形，在處截取微段來研究，受力情況如圖2.11(c)所示。因極其微小，故該微段上下兩面的應(yīng)力可以認(rèn)為相等，該微段的伸長為則桿的總伸長量為【例2.4】圖2.12(a)所示一簡易托架，尺寸如圖所示，桿件的橫截面面積分別為， ，兩桿的彈性模量E=200GPa，P=60kN，試求B點(diǎn)的位移。解(1)計(jì)算各桿的內(nèi)力截?cái)郆C和BD兩桿，以結(jié)點(diǎn)B為研究對象，設(shè)BC桿的軸力為 ，BD桿的軸力為 ，如圖2.12(b)所示。根據(jù)靜力平衡方程計(jì)算得⑵計(jì)算B點(diǎn)的位移，由公式(2.7)可求出BC桿的伸長量為BD桿的變形量為計(jì)算出的結(jié)果為負(fù)值說明桿件是縮短的。假想把托架從結(jié)點(diǎn)B拆開，那么BC桿伸長變形后成為 ，BD桿壓縮變形后成 ，分別以C點(diǎn)和D點(diǎn)為圓心，以CB和DB為半徑作弧相交于B處，該點(diǎn)即為托架變形后B點(diǎn)的位置。由于是小變形，和是兩段極短的弧，因而可分別用BC和BD的垂線來代替，兩垂線的交點(diǎn)為， 即為B點(diǎn)的位移。這種作圖法稱為“切線代圓弧”法。現(xiàn)用解析法計(jì)算位移。為了清楚起見，可將多邊形 放大，如圖2.12(c)所示。由圖可知：B點(diǎn)的水平位移和垂直位移分別為B點(diǎn)的總位移為與結(jié)構(gòu)原尺寸相比很小的變形稱為小變形。在小變形的條件下，一般按結(jié)構(gòu)的原有幾何形狀與尺寸計(jì)算支座反力和內(nèi)力，并可以采用上述用切線代替圓弧的方法確定位移，從而大大簡化計(jì)算。在以后的學(xué)習(xí)中也有很多地方利用它來簡化計(jì)算。圖2.12例2.4圖2.5材料在拉伸壓縮時(shí)的力學(xué)性能2.5.1材料的拉伸與壓縮試驗(yàn)前面討論拉(壓)桿的計(jì)算中曾經(jīng)涉及到材料的一些力學(xué)性能，例如彈性模量、泊松比等，后面將要學(xué)習(xí)的強(qiáng)度計(jì)算中還要涉及另外一些力學(xué)性能。所謂力學(xué)性能是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的強(qiáng)度和變形方面的特性。它是通過各種試驗(yàn)測定得出的，材料的力學(xué)性能和加載方式、溫度等因素有關(guān)。本節(jié)主要介紹材料在靜載(緩慢加載)、常溫(室溫)下拉伸(壓縮)試驗(yàn)的力學(xué)性能。常溫靜載拉伸實(shí)驗(yàn)(tensiletest)是測定材料力學(xué)性能的基本試驗(yàn)之一，在國家標(biāo)準(zhǔn)(《金屬材料室溫拉伸試驗(yàn)方法》，GB/T228-2002)中對其方法和要求有詳細(xì)規(guī)定。對于金屬材料，通常采用圓柱形試件，其形狀如圖2.13所示，長度為標(biāo)距(gagelength)。標(biāo)距一般有兩種，即和 ，前者稱為短試件，后者稱為長試件，式中的 為試件的直徑。圖2.13金屬材料圓柱形試件低碳鋼和鑄鐵是兩種不同類型的材料，都是工程實(shí)際中廣泛使用的材料，它們的力學(xué)性能比較典型，因此，以這兩種材料為代表來討論其力學(xué)性能。2.5.2低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼( )是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼，過去俗稱A3鋼。將低碳鋼試件兩端裝入試驗(yàn)機(jī)(Test-machine)上，緩慢加載，使其受到拉力產(chǎn)生變形，利用試驗(yàn)機(jī)的自動繪圖裝置，可以畫出試件在試驗(yàn)過程中標(biāo)距為段的伸長和拉力之間的關(guān)系曲線。該曲線的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，稱之為試件的拉伸圖，如圖2.14。拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān)，將拉力除以試件的原橫截面面積，得到橫截面上的正應(yīng)力，將其作為縱坐標(biāo)；將伸長量除以標(biāo)距的原始長度，得到應(yīng)變作為橫坐標(biāo)。從而獲得 曲線，如圖2.15所示，稱為應(yīng)力一應(yīng)變圖(stress-straindiagram)或應(yīng)力一應(yīng)變曲線。圖2.14低碳鋼試件的拉伸圖圖2.15低碳鋼拉伸時(shí)的 曲線圖由低碳鋼的 曲線可見，整個(gè)拉伸過程可分為下述的4個(gè)階段。1.彈性階段 當(dāng)應(yīng)力小于點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力時(shí)，如果卸去外力，變形全部消失，這種變形稱為彈性變形(elasticdeformation)。因此，這一階段稱之為彈性階段。相應(yīng)于點(diǎn)的應(yīng)力用表示，它是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力，故稱為彈性極限(elasticlimit)。在彈性階段內(nèi)，開始為一斜直線 ，這表示當(dāng)應(yīng)力小于 點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即(2.11)即符合虎克定律，由公式(2.11)可知，為斜線的斜率。與點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力用表示，它是應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力，故稱之為比例極限(proportionallimit)。在曲線上，超過點(diǎn)后段的圖線微彎，與極為接近，因此工程中對彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分。低碳鋼的比例極限 ，彈性模量 。當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限后，若卸去外力，材料的變形只能部分消失，另一部分將殘留下來，殘留下來的那部分變形稱為殘余變形或塑性變形。2.屈服階段 當(dāng)應(yīng)力達(dá)到點(diǎn)的相應(yīng)值時(shí)，應(yīng)力幾乎不再增加或在一微小范圍內(nèi)波動，變形卻繼續(xù)增大，在 曲線上出現(xiàn)一條近似水平的小鋸齒形線段，這種應(yīng)力幾乎保持不變而應(yīng)變顯著增長的現(xiàn)象，稱為屈服或流動， 階段稱之為屈服階段。在屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。由于上屈服極限一般不如下屈服極限穩(wěn)定，故規(guī)定下屈服極限為材料的屈服強(qiáng)度(yieldstrength)，用表示。低碳鋼的屈服強(qiáng)度為 。若試件表面經(jīng)過磨光，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，可在試件表面看到與軸線約45°的一系列條紋，如圖2.16所示。這可能是材料內(nèi)部晶格間相對滑移而形成的，故稱為滑移線(slip-lines)。由前面的分析知道，軸向拉壓時(shí)，在與軸線成45°的斜截面上，有最大的剪應(yīng)力?？梢?，滑移現(xiàn)象是由于最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值而引起的。圖2.16低碳鋼試件屈服時(shí)表面滑移線3.強(qiáng)化階段 屈服階段結(jié)束后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，增加拉力使它繼續(xù)變形，這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。從點(diǎn)到曲線的最高點(diǎn)，即階段為強(qiáng)化階段。點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力是材料所能承受的最大應(yīng)力，故稱極限強(qiáng)度(ultimatestrength)，用表示。低碳鋼的強(qiáng)度極限 。在這一階段中，試件發(fā)生明顯的橫向收縮。如果在這一階段中的任意一點(diǎn)處，逐漸卸掉拉力，此時(shí)應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系將沿著斜直線 回到點(diǎn)，且 近似平行于 。這時(shí)材料產(chǎn)生大的塑性變形(plasticdeformation)，橫坐標(biāo)中

表示殘留的塑性應(yīng)變，則表示彈性應(yīng)變。如果立即重新加載，應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系大體上表示殘留的塑性應(yīng)變，沿卸載時(shí)的斜直線 變化，到點(diǎn)后又沿曲線 變化，直至斷裂。從圖2.15中看出，在重新加載過程中，直到點(diǎn)以前，材料的變形是彈性的，過點(diǎn)后才開始有塑性變形。比較圖中的和 兩條曲線可知，重新加載時(shí)其比例極限得到提高，故材料的強(qiáng)度也提高了，但塑性變形卻有所降低。這說明，在常溫下將材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段，然后卸載，再重新加載時(shí)，材料的比例極限提高而塑性降低，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。在工程中常利用冷作硬化來提高材料的強(qiáng)度，例如用冷拉的辦法可以提高鋼筋的強(qiáng)度?？捎袝r(shí)則要消除其不利的一面，例如冷軋鋼板或冷拔鋼絲時(shí)，由于加工硬化，降低了材料的塑性，使繼續(xù)軋制和拉拔困難，為了恢復(fù)塑性，則要進(jìn)行退火處理。4.局部變形階段 在點(diǎn)以前，試件標(biāo)距段內(nèi)變形通常是均勻的。當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)后，試件變形開始集中于某一局部長度內(nèi)，此處橫截面面積迅速減小，形成頸縮(necking)現(xiàn)象，如圖2.17所示。由于局部的截面收縮，使試件繼續(xù)變形所需的拉力逐漸減小，直到 點(diǎn)試件斷裂。圖2.17低碳鋼試件的頸縮現(xiàn)象從上述的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可知，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到 時(shí)，材料會產(chǎn)生顯著的塑性變形，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的正常工作；當(dāng)應(yīng)力達(dá)到時(shí)，材料會由于頸縮而導(dǎo)致斷裂。屈服和斷裂，均屬于破壞現(xiàn)象。因此，和是衡量材料強(qiáng)度的兩個(gè)重要指標(biāo)。材料產(chǎn)生塑性變形的能力稱為材料的塑性性能。塑性性能是工程中評定材料質(zhì)量優(yōu)劣的重要方面，衡量材料塑性的指標(biāo)有延伸率和斷面收縮率，延伸率定義為(2.12)式中：——試件斷裂后長度，一一原長度。斷面收縮率定義為(2.13)式中：試件斷裂后斷口的面積，試件原橫截面面積。式中：試件斷裂后斷口的面積，試件原橫截面面積。工程中通常將延伸率 5%的材料稱為塑性材料(ductilematerials), W5%的材料稱為脆性材料(brittlematerials)。低碳鋼的延伸率=25%~30%，截面收縮率=60%，是塑性材料;而鑄鐵、陶瓷等屬于脆性材料。2.5.3其它材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能1.鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能鑄鐵拉伸時(shí)的 曲線如圖2.18所示。整個(gè)拉伸過程中 關(guān)系為一微彎的曲線，直到拉斷時(shí)，試件變形仍然很小。在工程中，在較低的拉應(yīng)力下可以近似地認(rèn)為變形服從虎克定律，通常用一條割線來代替曲線，如圖2.18中的虛線所示，并用它確定彈性模量。這樣確定的彈性模量稱為割線彈性模量。由于鑄鐵沒有屈服現(xiàn)象，因此強(qiáng)度極限 是衡量強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。圖2.18鑄鐵拉伸時(shí)的 曲線圖2,其它幾種材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖2.19(a)中給出了幾種塑性材料拉伸時(shí)的的曲線，它們有一個(gè)共同特點(diǎn)是拉斷前均有較大的塑性變形，然而它們的應(yīng)力一應(yīng)變規(guī)律卻大不相同，除16Mn鋼和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強(qiáng)化階段和局部變形階段外，其它材料并沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常以產(chǎn)生的塑性應(yīng)變?yōu)?.2%時(shí)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用 來表示，如圖2.19(b)所示。常用材料的力學(xué)性能由表2-2給出。表2-2常用材料的力學(xué)性質(zhì)材料名稱牌號(MPa)(MPa)(%)備注普通碳素鋼Q215215335?45026?31對應(yīng)舊牌號A2Q235235375?50021?26對應(yīng)舊牌號A3Q255255410?55019?24對應(yīng)舊牌號A4Q275275490?63015?20對應(yīng)舊牌號A5續(xù)表

材料名稱牌號(MPa)(MPa)(%)備注優(yōu)質(zhì)碳素鋼252754502325號鋼353155302035號鋼453556001645號鋼553806451355號鋼低合金鋼15MnV3905301815錳釩16Mn3455102116錳合金鋼20Cr5408351020銘40Cr785980940銘30CrMnSi88510801030銘錳硅鑄鋼ZG200-40020040025ZG270-50027050018灰鑄鐵HT150150HT250250鋁合金LY1227441219硬鋁注：表示標(biāo)距 的標(biāo)準(zhǔn)試樣的伸長率；灰鑄鐵的 為拉伸強(qiáng)度極限。(a)(b)圖2.19幾種塑性材料拉伸時(shí)的 曲線圖2.5.4材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能一般細(xì)長桿件壓縮時(shí)容易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，因此材料的壓縮試件一般做成短而粗。金屬材料的壓縮試件為圓柱，混凝土、石料等試件為立方體。低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖2.20所示。為了便于比較，圖中還畫出了拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線，用虛線表示。可以看出，在屈服以前兩條曲線基本重合，這表明低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量、屈服極限 等都與拉伸時(shí)基本相同。不同的是，隨著外力的增大，試件被越壓越扁卻并不斷裂，如圖2.21所示。由于無法測出壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限，所以對低碳鋼一般不做壓縮實(shí)驗(yàn)，主要力學(xué)性能可由拉伸實(shí)驗(yàn)確定。類似情況在一般的塑性金屬材料中也存在，但有的塑性材料，如銘鉬硅合金鋼，在拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限并不相同，因此對這些材料還要做壓縮試驗(yàn)，以測定其壓縮屈服極限。圖2.20低碳剛壓縮時(shí)的 曲線圖圖2.21低碳剛壓縮時(shí)的變形示意圖脆性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能與壓縮時(shí)有較大區(qū)別。例如鑄鐵，其壓縮和拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線分別如圖2.22中的實(shí)線和虛線所示。由圖可見，鑄鐵壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限比拉伸時(shí)大得多，約為拉伸時(shí)強(qiáng)度極限的3?4倍。鑄鐵壓縮時(shí)沿與軸線約成45°的斜面斷裂，如圖2.23所示，說明是剪應(yīng)力達(dá)到極限值而破壞。拉伸破壞時(shí)是沿橫截面斷裂，說明是拉應(yīng)力達(dá)到極限值而破環(huán)。其它脆性材料，如混凝土和石料，也具有上述特點(diǎn)，抗壓強(qiáng)度也遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度。因此，對于脆性材料，適宜做承壓構(gòu)件。圖2.22鑄鐵壓縮時(shí) 曲線圖圖2.23鑄鐵壓縮時(shí)斷裂示意圖綜上所述，塑性材料與脆性材料的力學(xué)性能有以下區(qū)別：塑性材料在斷裂前有很大的塑性變形，而脆性材料直至斷裂，變形卻很小，這是二者基本的區(qū)別。因此，在工程中，對需經(jīng)鍛壓、冷加工的構(gòu)件或承受沖擊載荷的構(gòu)件，宜采用塑性材料。塑性材料抵抗拉壓的強(qiáng)度基本相同，它既可以用于制作受拉構(gòu)件，也可以用于制作受壓構(gòu)件。在土木工程中，出于經(jīng)濟(jì)性的考慮，常使用塑性材料制作受拉構(gòu)件。而脆性材料抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)高于其抗拉強(qiáng)度，因此使用脆性材料制作受壓構(gòu)件，例如建筑物的基礎(chǔ)等。但是材料是塑性還是脆性是可以隨著條件變化的，例如有些塑性材料在低溫下會變得硬脆，有些塑料材料會隨著時(shí)間的增加變脆。溫度、應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變率等都會使其發(fā)生變化。2.6強(qiáng)度條件與截面設(shè)計(jì)的基本概念前面已經(jīng)討論了軸向拉伸或壓縮時(shí)，桿件的應(yīng)力計(jì)算和材料的力學(xué)性能，因此可進(jìn)一步討論桿的強(qiáng)度計(jì)算問題。2.6.1許用應(yīng)力由材料的拉伸或壓縮試驗(yàn)可知：脆性材料的應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限 時(shí)，會發(fā)生斷裂；塑性材料的應(yīng)力達(dá)到屈服極限(或)時(shí)，會發(fā)生顯著的塑性變形。斷裂當(dāng)然是不容許的，但是構(gòu)件發(fā)生較大的變形一般也是不容許的，因此，斷裂是破壞的形式，屈服或出現(xiàn)較大變形也是破壞的一種形式。材料破壞時(shí)的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力(ultimatestress)，用表示。塑性材料通常以屈服應(yīng)力作為極限應(yīng)力，脆性材料以強(qiáng)度極限 作為極限應(yīng)力。根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件的應(yīng)力稱為工作應(yīng)力(workingstress)。為了保證構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度，要求構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。由于分析計(jì)算時(shí)采取了一些簡化措施，作用在構(gòu)件上的外力估計(jì)不一定準(zhǔn)確，而且實(shí)際材料的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)試樣可能存在差異等因素可能使構(gòu)件的實(shí)際工作條件偏于不安全，因此，為了有一定的強(qiáng)度儲備，在強(qiáng)度計(jì)算中，引進(jìn)一個(gè)安全系數(shù)(factorofsafety)，設(shè)定了構(gòu)件工作時(shí)的最大容許值，即許用應(yīng)力(allowablestress)，用[]表示式中是一個(gè)大于1的系數(shù)，因此許用應(yīng)力低于極限應(yīng)力。確定安全系數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮材質(zhì)的均勻性、構(gòu)件的重要性、工作條件及載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性等。在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中傾向于根據(jù)構(gòu)件材料和具體工作條件，并結(jié)合過去制造同類構(gòu)件的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和當(dāng)前的技術(shù)水平，規(guī)定不同的安全系數(shù)。對于各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)和許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)手冊或規(guī)范中有具體規(guī)定。一般在常溫、靜載下，對塑性材料取=1.5?2.2，對脆性材料一般取=3.0?5.0甚至更大。2.6.2強(qiáng)度條件為了保證構(gòu)件在工作時(shí)不至于因強(qiáng)度不夠而破壞，要求構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，于是得到強(qiáng)度條件(strengthcondition)為W (2.15)對于軸向拉伸和壓縮的等直桿，強(qiáng)度條件可以表示為W (2.16)式中： 一一桿件橫截面上的最大正應(yīng)力， 一一桿件的最大軸力，A——橫截面面積，——材料的許用應(yīng)力。如對截面變化的拉(壓)桿件(如階梯形桿)，最大應(yīng)力不僅應(yīng)考慮到軸力為最大值的截面，還應(yīng)考慮在橫截面面積最小的截面，因此需要求出每一段內(nèi)的正應(yīng)力，找出最大值，再應(yīng)用強(qiáng)度條件。根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決以下幾類強(qiáng)度問題。強(qiáng)度校核若已知拉壓桿的截面尺寸、荷載大小以及材料的許用應(yīng)力，即可用公式(2.16)驗(yàn)算不等式是否成立，進(jìn)而確定強(qiáng)度是否足夠，即工作時(shí)是否安全。設(shè)計(jì)截面若已知拉壓桿承受的荷載和材料的許用應(yīng)力，則強(qiáng)度條件變成N(2.17)以確定構(gòu)件所需要的橫截面面積的最小值確定承載能力若已知拉壓桿的截面尺寸和材料的許用應(yīng)力，則強(qiáng)度條件變成W (2.18)以確定構(gòu)件所能承受的最大軸力，再確定構(gòu)件能承擔(dān)的許可荷載。最后還應(yīng)指出，如果最大工作應(yīng)力 略微大于許用應(yīng)力，即一般不超過許用應(yīng)力的5%,在工程上仍然被認(rèn)為是允許的?！纠?.5】用繩索起吊鋼筋混凝土管，如圖2.24(a)所示，管子的重量 ，繩索的直徑，容許應(yīng)力 ，試校核繩索的強(qiáng)度。(b)圖2.24例2.5圖解：1)計(jì)算繩索的軸力以混凝土管為研究對象，畫出其受力圖如圖2.24(b)所示，根據(jù)對稱性易知左右兩段繩索軸力相等，記為 ，根據(jù)靜力平衡方程有計(jì)算得2)校核強(qiáng)度故繩索滿足強(qiáng)度條件，能夠安全工作?！纠?.6】例2.4所示結(jié)構(gòu)(圖2.12(a))中，若BC桿為圓截面鋼桿，其直徑d=18.5mm，BD桿為8號槽鋼，兩桿的[]=160MPa，其它條件不變，試校核該托架的強(qiáng)度。解1)計(jì)算各桿的內(nèi)力由例2.4的結(jié)果有2)校核兩桿的強(qiáng)度對于BC桿，其橫截面面積為 ，利用公式(2.1)，則該桿的工作應(yīng)力為工作應(yīng)力大于許用應(yīng)力，但是其增大幅度并不大由于在工程上增幅在5%以內(nèi)被認(rèn)為是允許的，所以強(qiáng)度符合要求。對于BD桿，由型鋼表查得其橫截面面積為10.24 ，則桿的工作應(yīng)力計(jì)算結(jié)果表明，托架的強(qiáng)度是足夠的?！纠?.7】圖2.25(a)為簡易起重設(shè)備的示意圖，桿AB和BC均為圓截面鋼桿，直徑均為，鋼的許用應(yīng)力 ，試確定吊車的最大許可起重量 。解：1)計(jì)算AB、BC桿的軸力設(shè)AB桿的軸力為 ，BC桿的軸力為 ，根據(jù)結(jié)點(diǎn)B的平衡(圖2.25b)，有解得上式表明，AB桿受拉伸，BC桿受壓縮。在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，可取絕對值。(2)求許可載荷由公式(2.18)可知，當(dāng)AB桿達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)W當(dāng)BC桿達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)W得W兩者之間取小值，因此該吊車的最大許可載荷為(b)圖2.25例2.7圖2.7拉壓超靜定問題2.7.1超靜定問題的概念前面所討論的問題中，約束反力和桿件的內(nèi)力都可以用靜力平衡方程全部求出。這種能用靜力平衡方程式求解所有約束反力和內(nèi)力的問題，稱為靜定問題(staticallydeterminateproblem)。但在工程實(shí)踐上由于某些要求，需要增加約束或桿件，它們的約束反力或內(nèi)力，僅憑靜力平衡方程式不能完全求得，未知約束反力的數(shù)目超過了所能列出的獨(dú)立靜力平衡方程式的數(shù)目，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題(staticallyindeterminateproblem)。例如圖2.26(a)所示的結(jié)構(gòu)，其受力如圖2.26(b)所示，根據(jù)AB桿的平衡條件可列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，即 、、 ，而未知力有4個(gè)，即、、和 ，顯然，僅用靜力平衡方程不能求出全部的未知量，所以該問題為超靜定問題。未知力數(shù)比獨(dú)立平衡方程數(shù)多出的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)，故該問題為一次超靜定問題。(a)(b)圖2.26一次超靜定問題的受力分析圖(a)超靜定結(jié)構(gòu)示意圖；(b)超靜定桿的受力分析2.7.2超靜定問題的解法超靜定問題的解法一般從以下三個(gè)方面的條件來進(jìn)行考慮：靜力平衡方程。補(bǔ)充方程(變形協(xié)調(diào)條件)。物理關(guān)系(虎克定律、熱膨脹規(guī)律等)?，F(xiàn)以一簡單問題為例來說明。【例2.8】圖2.27(a)所示的結(jié)構(gòu)，1、2、3桿的彈性模量為 ，橫截面面積均為 ，桿長均為。橫梁AB的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1、2、3桿的剛度，故可將橫梁看成剛體，在橫梁上作用的荷載為P。若不計(jì)橫梁的自重，試確定1、2、3桿的軸力。(a)(b)(c)圖2.27例2.8圖解：設(shè)在荷載作用下，橫梁AB移動到位置(圖2.27(b))，則各桿皆受拉伸。設(shè)各桿的軸力分別為、和，且均為拉力(圖2.27c)。由于該力系為平面平行力系，只有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，而未知力有三個(gè)，故為一次超靜定問題。解決這類問題可以先列出靜力平衡方程。(a)(b)要求出三個(gè)軸力，還要列出一個(gè)補(bǔ)充方程。在力 作用下，三根桿的伸長不是任意的，它們之間必須保持一定的互相協(xié)調(diào)的幾何關(guān)系，這種幾何關(guān)系稱之為變形協(xié)調(diào)條件。由于橫梁AB可視為剛體，故該結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件為： 三點(diǎn)仍在一直線上(如圖2.27(b)所示)。設(shè)、 、分別為1、2、3桿的變形，根據(jù)變形的幾何關(guān)系可以列出變形協(xié)調(diào)方程為(c)桿件的變形和內(nèi)力之間存在著一定的關(guān)系，稱之為物理關(guān)系，即虎克定律，當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時(shí)，由虎克定律可知， ， (d)將物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)條件，即可建立內(nèi)力之間應(yīng)保持的相互關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是所需的補(bǔ)充方程。也就是說，將(d)式代入化)式得整理后得(e)這就是我們所要建立的補(bǔ)充方程。將(a)、(b)、(e)式聯(lián)立求解，得，，由計(jì)算結(jié)果可以看出：1、2桿的軸力為正，說明實(shí)際方向與假設(shè)一致，變形為伸長；為負(fù)值，說明3桿實(shí)際方向與假設(shè)相反，變形為縮短。這說明橫梁AB是繞著CB兩點(diǎn)之間的某一點(diǎn)發(fā)生了逆時(shí)針轉(zhuǎn)動。一般說來，在超靜定問題中內(nèi)力不僅與荷載和結(jié)構(gòu)的幾何形狀有關(guān)，也和桿件的抗拉剛度EA有關(guān)，單獨(dú)增大某一根桿的剛度，該桿的軸力也相應(yīng)增大，這也是靜不定問題和靜定問題的重要區(qū)別之一。2.7.3溫度應(yīng)力問題在工程實(shí)際中，構(gòu)件或結(jié)構(gòu)物會遇到溫度變化的情況。例如工作條件中溫度的改變或季節(jié)的變化，這時(shí)桿件就會伸長或縮短。靜定結(jié)構(gòu)由于可以自由變形，當(dāng)溫度變化時(shí)不會使桿內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力。但在超靜定結(jié)構(gòu)中，由于約束增加，變形受到部分或全部限制，溫度變化時(shí)就會使桿內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。計(jì)算溫度應(yīng)力的方法與荷載作用下的超靜定問題的解法相似，不同之處在于桿內(nèi)變形包括兩個(gè)部分，一是由溫度引起的變形，另一部分是外力引起的變形?！纠?.9】圖2.28(a)所示的桿件AB,兩端與剛性支承面聯(lián)接。當(dāng)溫度變化時(shí)，固定端限制了桿件的伸長或縮短，AB兩端就產(chǎn)生了約束反力，試求反力 和(圖2.28(b))。(a)(b)圖2.28例2.9圖解：由靜力平衡方程 得出(a)由于未知支反力有兩個(gè)，而獨(dú)立的平衡方程只有一個(gè)，因此是一個(gè)一次超靜定問題。要求解該問題必須補(bǔ)充一個(gè)變形協(xié)調(diào)條件。假想拆去右端支座，這時(shí)桿件可以自由地變形，當(dāng)溫度升高時(shí)，桿件由于升溫而產(chǎn)生的變形(伸長)為(b)式中為材料的線膨脹系數(shù)。然后，在右端作用 ，桿由于 作用而產(chǎn)生的變形(縮短)為式中，E為材料的彈性模量，A為桿件橫截面面積。事實(shí)上，桿件兩端固定，其長度不允許變化，因此必須有(d)這就是該問題的變形協(xié)調(diào)條件。將(b)、(c)兩式代入式^)得(e)則由于軸力 ，故桿中的溫度應(yīng)力為 。當(dāng)溫度變化較大時(shí)，桿內(nèi)溫度應(yīng)力的數(shù)值是十分可觀的。例如，一兩端固定的鋼桿，/°C，當(dāng)溫度變化40°C時(shí)，桿內(nèi)的溫度應(yīng)力為在實(shí)際工程中，為了避免產(chǎn)生過大的溫度應(yīng)力，往往采取某些措施以有效地降低溫度應(yīng)力。例如，在管道中加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留伸縮縫，這樣可以削弱對膨脹的約束，從而降低溫度應(yīng)力?！纠?.10】剛性無重橫梁AB在O點(diǎn)處鉸支，并用兩根抗拉剛度相同的彈性桿懸吊著，如圖2.29(a)所示，當(dāng)兩根吊桿溫度升高 時(shí)，求兩桿內(nèi)所產(chǎn)生的軸力。解：(1)列靜力平衡方程截取圖2.29b所示的研究對象，設(shè)1桿的軸力為 ，2桿的軸力為 ，由靜力平衡方程 可得(a)(2)列變形協(xié)調(diào)方程假想拆除兩桿與橫梁間的聯(lián)系，允許其自由膨脹。這時(shí)，兩桿由于溫度而產(chǎn)生的變形均為 。把已經(jīng)伸長的桿與橫梁相連接時(shí)，兩桿內(nèi)就分別引起了軸力和 并使兩桿再次變形。由于兩桿變形使橫梁繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，最終位置如圖2.29(b)中虛線所示，圖中的和分別為1、2桿所產(chǎn)生的總變形，包括溫度和軸力所引起的變形。由變形協(xié)調(diào)條件得=2 (b)(3)列出物理方程。， (c)將式(c)代入式(b)得上式即為補(bǔ)充方程。聯(lián)立求解(a)、(d)兩式，為負(fù)值，說明1桿受壓力，軸力與所設(shè)的方向相反。圖2.29例2.10圖2.7.4裝配應(yīng)力構(gòu)件制造上的微小誤差是難免的。在靜定結(jié)構(gòu)中，這種誤差只會使結(jié)構(gòu)的幾何形狀略微改變，不會使構(gòu)件產(chǎn)生附加內(nèi)力。但在超靜定結(jié)構(gòu)中，情況就不一樣了，桿件幾何尺寸的微小差異，還會使桿件內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力。如圖2.30所示靜定結(jié)構(gòu)，若桿AB比預(yù)定的尺寸制作短了一點(diǎn)，則與桿AC聯(lián)接后，只會引起A點(diǎn)位置的微小偏移，如圖中虛線所示。而圖2.31(a)所示的超靜定結(jié)構(gòu)中，設(shè)桿3比預(yù)定尺寸作短了一點(diǎn)，若使三桿聯(lián)結(jié)，則需將桿3拉長，桿1、2壓短，強(qiáng)行安裝于 點(diǎn)處。此時(shí)，桿3中產(chǎn)生拉力，桿1、2中產(chǎn)生壓力。這種由于安裝而引起的內(nèi)力稱為裝配內(nèi)力，與之相應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。計(jì)算裝配應(yīng)力的方法與解超靜定問題的方法相似，僅在幾何關(guān)系中考慮尺寸的差異。下面舉例說明。圖2.30靜定結(jié)構(gòu)無裝配內(nèi)力【例2.8】圖2.