高中數(shù)學(xué)平面向量題型歸納復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)平面向量題型歸納復(fù)習(xí)

題型一、平面向量的基本概念

要點(diǎn)：向量、平行(共線)向量、相等向量、零向量、單位向量等基本概念.

1、判斷正誤(正確的打4,錯(cuò)誤的打X)：

(1)有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段()

(2)共線的向量，起點(diǎn)不同，終點(diǎn)可以相同()

(3)長(zhǎng)度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線()

(4)方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等()

(5)若直線AB//CD,則荏〃麗()

(6)若荏〃而，則直線A8//C。()

(7)若alb,b//c,則a//c()

2、把平面上一切單位向量的終點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的起點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是—，把平行于某一

直線的一切向量平移到同一起點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是.

3、己知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量也與向量屜是平行向量，與就是共線向量，則加=.

4,如圖所示菱形ABC。中，對(duì)角線AC,8。相交于。點(diǎn)，ZDAB=60°,分別以A,B,C,D,O中的不

同兩點(diǎn)為始點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中：D

(1)寫出與蘇平行的向量；A<j°

(2)寫出與方模相等的向量.

題型二、平面向量的加減運(yùn)算

1、判斷正誤(正確的打4,錯(cuò)誤的打x)：

(I)AB-AB=O()

(2)OA-OB=AB()

2、下列四式中不能化簡(jiǎn)為標(biāo)的是()

A.AB+CD+BCB.AD+MB+~BC+CM

C.OC-OA+CDD.MB+AD-BM

3、已知P為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)中+而=正時(shí)，點(diǎn)P位于AABC的()

A.AB邊上B.BC邊上C.內(nèi)部D.外部

4、^\AB\=\AC\=\AB-AC\=2,則由+砌=.

5、已知長(zhǎng)度相等的三個(gè)非零向量0X,面，3滿足/+方+反=0,則由A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成的△A8C

的形狀是_____三角形.

6、如圖，OA,OB,OC在同一平面內(nèi)，ZAOB=ZBOC=ZCOA=\20°,且|o4|=|os|=|dc|=l,求礪

+OB+OC.

7、如圖，0在平行四邊形A8C￡＞外，已知礪=。，OB=b,OC^c,請(qǐng)用a,b,c表示說.

題型三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、判斷正誤(正確的打4,錯(cuò)誤的打X)：

(1)若入0=0(九￡/?),則九=0或。=0()

(2)若向量。//〃，則。=Za(XeR)()

(3)若向量b二入a(XGR),貝！Ja/力()

2、設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，。為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則

麗+麗+反+/等于()

A.0MB.20MC.30MD.40M

__1一一

3、在ZVIBC中，點(diǎn)。在邊AB上，且=設(shè)C8=G,面=5,則函=（）

2

1_22_143

A.—G+—brB.+—6rC.-a+-bD.—a+—br

33335555

4、設(shè)P是△4BC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+2BA=3BP,則()

A.PC+PA=QB.PC+2PA=0C.PA+PB+PC=0D.2PC+PA=0

5、。是平面上一定點(diǎn)，4,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足。戶=Q4+ZI(A分+A。)，Xe[0,

+8),則尸的軌跡一定通過△ABC的()

A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

/____\

6、已知0是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足。戶=04+2盥+笛，

XG10,+00),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△A8C的()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

7、已知向量m方不共線，若通=。+24B(j=-4a-b,CD=-5a-3b,則四邊形A5CO是

()

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.菱形

8、設(shè)向量a,b不平行，向量a-kb與2a+4)平行，則實(shí)數(shù)入二.

9、如圖，已知兩定點(diǎn)A、B,點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且滿足4戶=*A反試用函,0豆表示。戶.

8

10、設(shè)。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，則0X+無+反=000是A48C的重心.

11、若點(diǎn)。在A48C內(nèi)，且滿足284—63。+90。=0,設(shè)%BOC為ABOC的面積，SAABC為AA8C的面積,

則'純"=________

Sgsc

題型四、平面向量基本定理

在△ABC中，已知麗友，P為AD上一點(diǎn)，且滿足而=加m+3麗，則實(shí)數(shù)加的

1、如圖,

29

值為(

2

A.-

3

2、在△ABC中，已知。是AB邊上一點(diǎn)，若不方=2萬片，CD=ACA+^iCB,則巳的值為)

A.1B.—C.2D.—

23

3、如圖，四邊形A8CD是正方形，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E,使得DE=CD.若點(diǎn)P為線段。C上

的點(diǎn)，CP=PD.S.AP=mAE+nAB,則m-n=()

A.1B.2C.-1D.-2

4、若。，方是兩個(gè)不共線的向量，若XS=2a+kb,BC=a+b,CD=2a-b,且A、B、。三點(diǎn)共線，則實(shí)

數(shù)攵的值等于

5、在△ABC中，中線AM,BN交于點(diǎn)O,^OM=AAB+juAN,則入+p=

__2I

6、如圖所示，已知在△ABC中，AE=-AC,BD=—BC,BE交AO于點(diǎn)F,

33

AF=AAB+/aAC,則入+|i=

7,在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E為CO的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為凡設(shè)而=4,而=＞，試用a,b表

示向量BF.

8、在AABC中，。是8c的中點(diǎn)，AE=-EC,AD.8E相交于點(diǎn)F,若舒=/麗,BF=(1FE,

2

試求入+四的值.

9、如圖，在AABC中，已知麗=P是BN上一點(diǎn)，若可＞=〃*方+!北，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

24

10、如圖，平行四邊形A8CD中，點(diǎn)M在A3的延長(zhǎng)線上，且8"=!

2

證：M、N、。三點(diǎn)共線.

--1―?2―-

11、如圖，在△ABC中，E為邊AC的中點(diǎn)，試問在邊AC上是否存在一點(diǎn)。，使得8。=—8C+—BE?

若存在，說明點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12、如圖所示，在AABC中，點(diǎn)M是A8的中點(diǎn)，且BN與CM相交于點(diǎn)E,設(shè)荏=mAC

2

=b,試用基底a,8表示向量荏.

13、在△OAB中，0。=,函，OD^-OB,與8c交于點(diǎn)M,設(shè)幅=4,OB^b,以a,8為基底表

42

示OM.

14、如圖所示，平行四邊形ABCD中，A月=a,

(1)試用向量a,8來表示麗，AM.

(2)AM.DV交于點(diǎn)。，求AO：0M的值.

題型五、平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算

1、已知在平行四邊形ABC。中，AD=(3,7),通=(-2,3),對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、M,則麗的

坐標(biāo)為()

2、已知向量M與單位向量e同向，且A(1,-2),B(-5,26一2),則e的坐標(biāo)為()

3、已知A(-2,4),B(3,1),C(-3,-4),設(shè)Q=a,BC=b,CA=c.

(1)求2a-b+c；

(2)求滿足。=癡+〃。的實(shí)數(shù)如

4、已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)％為何值時(shí)，ka+b與。-3方平行？平行時(shí)是同向還是反向？

5、已知向量況=a,12),0B=(4,5),0C=(10,k).當(dāng)Z為何值時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線？

6、已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+

求：(1)，為何值時(shí)，點(diǎn)尸在x軸上？在y軸上？在第二象限？

(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能,求出相應(yīng)的f值？若不能，請(qǐng)說明理由.

題型六、平面向量的數(shù)量積

―,—.9___,__.

1、在△48C中，已知43?AC=—,AB=AC=3M,N分別是8c邊上的三等分點(diǎn)，則AM-AN的值是

2r

()

1113八，

A.—B.—C.6D.7

22

l13—?-.11

2、在△A3。中，AB=2,AD=2^J2,E,C分別在線段AO,。。上，且AE=—AD,BC=—BD,ACBE二一,

343

則乙4二()

7c7C27r3萬

A.—B.—C.D.—

4334

3、已知△ABC中，乙4二120。，且A8=3,AC=4,若麗=2通+近，且麗覺，則實(shí)數(shù)大的值為

)

22「10廠,-12

A.—B.—C.6D.—

1537

已知a,力均為單位向量，且（2。+力）?（a-2b）=一些,則向量〃，力的夾角為（）

4、

2

7171八3汽-5〃

A.—B.—C.——D.——

6446

已知向量a在向量。方向上的投影為-1,向量方在向量a方向上的投影為-,，且向=1，則依+2例=

5、

2

（）

A.273B.4C.2D.12

6、如圖所示的矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E,F分別為線段AB,DE的中點(diǎn)，則麗?次的值為

7、向量分滿足|a|=l,\a-b\=—,。與b的夾角為60。，則步|=

2

8、如圖，在平行四邊形A8CZ）中，A2=3,AD=2,ZBAD=60°.

（1）求ABAC的值；

（2）求cosNBAC的值.

9、已知向量Q,。滿足步|=5,\2a+b\=5y[3,\a-b\=5y/2,求的值.

27r

10、平面上三個(gè)單位向量a,b,c兩兩夾角都是——，求a-5與a+c的夾角.

3

11、如圖，已知平行四邊形A8C。中，BC=2,NBAD=45。，E為線段BC的中點(diǎn)，BFLCD,求樂?麗的

12、設(shè)a,8是兩個(gè)不共線的非零向量.

(1)若a,山，-(a+b)三個(gè)向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)在一直線上，求實(shí)數(shù)r的值;

3

(2)若回=|創(chuàng)=1且。與力夾角為60。，求向量公+2b與向量。與夾角的余弦值.

13^已知向量a二(4,-2),b-(-1,3),c=(6,8).

(1)求(a+b)c；(2)若a,(b-kc),求實(shí)數(shù)入的值.

14、已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中。=(1,2).

(1)若|c|=2百，且。與c共線，求c的坐標(biāo)；

(2)若曲=好且。+25與2a/垂直，求a與)的夾角0.

2

15、已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)人為何值時(shí)：

(1)ka+b與垂直？(2)依+)與a-3b平行？是同向還是反向?

(3)試用°,力表示c=(2,2).

16、已知向量。=(3,4),b=(-1,2).

(1)求向量。與入夾角的余弦值；

(2)若向量與4+2。平行，求入的值.

17、已知A(-1,2),B(2,8).

(1)若=—DA——AB,求麗的坐標(biāo)；

33

(2)設(shè)G(0,5),若屈上而,BE//BG,求上點(diǎn)坐標(biāo).

18、已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2).

(1)若|c|=2石且c//a,求c的坐標(biāo)；

(2)若。=(Lm)(T??<0)且a+2力與a-2b垂直，求a與》的夾角0.

19、已知向量a=(3,-),|Z>|=—,a與方的夾角為45。.

552

(1)求向量”在。方向上的投影；

(2)求a-b與a+b的夾角的余弦值.

20>已知向量Q=(1,2),b=(-2,1),k,r為正實(shí)數(shù)，x=a+(5+1)b,y=一一a+-b.

kt

(1)若工_Ly,求k的最大值；

(2)是否存在匕，，使W/y?若存在，求出攵的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案:

題型一、1、(1)7(2)4(3)X(4)4(5)4(6)X(7)x2、單位圓、直線

3、04、(1)AD,BC,CB；(2)AD,BC,CB,AB,BA,反，CD,BD,DB題

型二、1、x(2)x2、D3、D4、2百5、等邊6、07、OD=a+c-b

題型三、1、(1)T(2)x(3)42、D3、B4、B5、D6、D7、A

3__5__?

8、-29、-OA+-OB10、略11、一題型四、1、B2、C3、D4、0

889

9s-10、設(shè)荏=e“而=0,貝底=詬=02.:麗=，

23

——?1—?1——--.——.11——.—.——.311——-

C2,BM=-AB=-e,：.MN=BN-BM=—e”一ei.又：MD=AD-AM=e--Ci=3(-e^--e\)=3MN,

2t2322232

向量麗與麗共線.又M是公共點(diǎn)，故M、N、。三點(diǎn)共線.11、D