高中數(shù)學(xué)(人教版)必修二《立體幾何》綜合提升卷

中學(xué)數(shù)學(xué)（人教版）必修二《立體幾何》綜合提升卷

一.選擇題（共13小題，滿分65分，每小題5分）

1.（5分）設(shè)三棱柱ABC-AiBiG的側(cè)棱及底面垂直,ZBCA=90°,BC=CA=2,若該棱

柱的全部頂點(diǎn)都在體積為迎的球面上，則直線BiC及直線ACi所成角的余弦值為

3

（）

A.2B.2c.JlD.在

3333

2.（5分）設(shè)I、m、n表示不同的直線，a、B、y表示不同的平面，給出下列4個(gè)命

題：

①若m〃L且m_La,則l_La；

②若m〃l,且m〃a,則l〃a；

③若aP）B=l,pny=m,yHa=n,貝Ul〃m〃n；

④若aCB=m,PClY=I,aDy=n,且n〃。，則m〃l.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（5分）某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

363

4.（5分）如圖，平面PABL平面a,ABua,且APAB為正三角形，點(diǎn)D是平面a內(nèi)

的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是菱形，點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，AC及0D交于點(diǎn)Q,lua,且ILAB,則PQ

及I所成角的正切值的最小值為（）

DC=DDi=2AD=2AB,AD1DC,AB〃DC,給出以下結(jié)論:

（1）異面直線AiBi及CDi所成的角為45。；

（2）DiClACi；

（3）在棱DC上存在一點(diǎn)E,使DiE〃平面AiBD,這個(gè)點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；

（4）在棱AAi上不存在點(diǎn)F,使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的工.

5

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD_LCD.將四邊形ABCD

沿對(duì)角線BD折成四面體A―BCD,使平面A，BD_L平面BCD,則下列結(jié)論：

①ASBD；

②CA及平面AZBD所成的角為30°；

③NBA，C=90。；

④四面體N-BCD的體積為工

3

其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

7.（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，E是CD上一點(diǎn)，AB=AD=3,AAi=2,

CE=1,P是AAi上一點(diǎn)，且DP〃平面AEBi，F(xiàn)是棱DDi及平面BEP的交點(diǎn)，則DF的

長(zhǎng)為（）

A.1B.3C.WD.且

943

8.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某個(gè)多面體的三視圖,

若該多面體的全部頂點(diǎn)都在球。表面上，則球。的表面積是（）

9.（5分）如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ABCD,M是正方形BBCC的中心,

P是△ACD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).滿意PM=PD,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是（）

A.迎1B.迎lc.V11D.V14

22

10.（5分）如圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形.給定下列三個(gè)命題：

①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖；

②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖；

③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

11.（5分）已知二面角a-I-0為60。，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面a、B內(nèi)，P到B的距離

為Q到a的距離為2、歷，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

12.（5分）一個(gè)正方體的綻開圖如圖所示，B,C,D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方

體一條棱的中點(diǎn).在原來的正方體中，CD及AB所成角的余弦值為（）

A.豆B,叵C.豆D.逗

105510

13.（5分）異面直線a,b成80。角，點(diǎn)P是a,b外的一個(gè)定點(diǎn)，若過P點(diǎn)有且僅有

2條直線及a,b所成的角相等且等于a則6屬于集合（）

A.{0）0°<0<40°}B.{0400<6<50°}C.{040°<0<90°}D.{0|50°<0<

90°}

二.解答題（共7小題，滿分85分）

14.（10分）如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)及其

邊界上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到點(diǎn)Bi的距離為

（1）要使AiCi_L平面BBiP,則點(diǎn)P在何位置？

（2）設(shè)直線B】P及平面ACDi所成的角為0,求sine的取值范圍.

15.（10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,PA=2?,BC=CD=2,ZACB=

ZACD=2L.

3

（I）求證：BD_L平面PAC；

（H）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿意PF=7FC,求三棱錐P-BDF的體積.

16.（10分）如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截

而得，已知FA,平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,。為AB的中點(diǎn).

（I）求平面DEF及平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；

（II）在DE上是否存在一點(diǎn)P,使CP_L平面DEF?假如存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存

在，說明理由.

17.（10分）如圖，長(zhǎng)方形框架ABCD-A'BCD，,三邊AB、AD、AA，的長(zhǎng)分別為6、8、

3.6,AE及底面的對(duì)角線BD垂直于E.

（1）證明A'E"LB'D'；

（2）求AE的長(zhǎng).

18.（12分）在正方體ABCD-AiBiCiDi中，已知E、F、G分別是棱AB、AD、DiAi的

中點(diǎn).

（1）求證：BG〃平面AiEF：

（2）若P為棱CCi上一點(diǎn)，求當(dāng)上等于多少時(shí)，平面AiEF,平面EFP?

P5

19.（15分）ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PAL面ABCD,且PA=AD=2,

AB=1,AC=V3-

（1）求證：平面ACD,平面PAC；

（2）求異面直線PC及BD所成角的余弦值；

（3）設(shè)二面角A-PC-B的大小為9,試求tan9的值.

20.（18分）如圖，Z^ABC各邊長(zhǎng)均為4,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC

邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將4ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

（1）證明：平面ADF_L平面BCD；

（2）求三棱錐C-DEF的體積；

（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP1DE?假如存在，求出史的值；假如不存

BC

在，請(qǐng)說明理由.

中學(xué)數(shù)學(xué)（人教版）必修二《立體幾何》綜合提升卷

參考答案及試題解析

一.選擇題（共13小題，滿分65分，每小題5分）

1.（5分）（2016秋?小店區(qū)校級(jí)期中）設(shè)三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱及底面垂直，Z

BCA=90。，BC=CA=2,若該棱柱的全部頂點(diǎn)都在體積為邃上的球面上，則直線B】C及直

3

線ACi所成角的余弦值為（）

A.-IB.2C.D.也

3333

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系及距

離.

【分析】依據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形得出AB為截面圓的直徑，求出AB的值以及三

棱柱外接球的半徑R;再利用三角形以及空間向量的學(xué)問求出向量訪及用夾角的余

弦值的肯定值即可.

【解答】解：VZBCA=90°,BC=CA=2,

.\AB=2&,且為截面圓的直徑；

又三棱柱外接球的體積為空，

3

.?4.R3=^22L,

33

解得外接球的半徑為R=2；

△ABCi中，AB±BCi，AB=2點(diǎn),ACi=2R=4,

BCi=J42T2&)2=2&；

又藺西，K[C=BpB+BC=-CC7-CB-

二苞'?昭=菽，（-西）-AC*AB-cc^2-cc^*CB

=0-0-（2V2）2-0

=-8,

寓日夠=7（2V2）2+22=VT2；

...異面直線BiC及ACi所成的角9的余弦值為:

AC[.B[C

COS0=-8|-2

|Aq|X|B^|V12XV12W

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算問題，解題時(shí)可以利用兩向量所成的角進(jìn)

行計(jì)算，是綜合性題目.

2.（5分）（2014?紅崗區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)I、m、n表示不同的直線，a、仇丫表示不同

的平面，給出下列4個(gè)命題：

①若m〃l,且m_l_a,則l_La；

②若m〃L且m〃a,則l〃a；

③若aPlgl,pny=m,yAa=n,則l〃m〃n；

④若aCB=m,PAy=l,aAy=n,且口〃0,貝Um〃l.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】LO：空間中直線及直線之間的位置關(guān)系；2K：命題的真假推斷及應(yīng)用；LP：

空間中直線及平面之間的位置關(guān)系.

【專題】16：壓軸題.

【分析】本題考查的是直線之間，直線及平面之間的位置關(guān)系，可借助圖象解答.

【解答】解：易知命題①正確；在命題②的條件下，直線I可能在平面a內(nèi)，故命題

為假；在命題③的條件下，三條直線可以相交于一點(diǎn)，故命題為假；在命題④中，由

ar）Y=n知，nua且nuy,由nua及〃0aC0=m,得n〃m,同理n〃l,故m〃l,命

題④正確.

故答案選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線及直線間的位置關(guān)系，以及直線及平面間的位置關(guān)系，

留意二者的聯(lián)系及區(qū)分.

3.（5分）（2016?永州模擬）某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

()

363

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】17：選作題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系及距

離.

【分析】由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體：左邊是半個(gè)圓錐，右邊是四分之一個(gè)圓

柱，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由柱體、錐體體積公式求出幾何體的體積，

【解答】解：依據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)組合體：

左邊是半個(gè)圓錐，右邊是四分之一個(gè)圓柱（斜切半圓柱），

且圓柱的底面半徑是1、母線長(zhǎng)是2；圓錐的底面半徑、高都是1,

..?幾何體的體積V=l-x-^-TTXl2X14-yITX12X2

—兀兀_2兀

6^23

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復(fù)原兒何體是解題的關(guān)鍵,

考查空間想象實(shí)力.

4.（5分）（2017?寧波模擬）如圖，平面PAB,平面a,ABca,且aPAB為正三角形,

點(diǎn)D是平面a內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是菱形，點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，AC及0D交于點(diǎn)Q,lea,

且則PQ及I所成角的正切值的最小值為（）

A-J-3挈B.向乎C.bD.3

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；41:向量法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；5G：

空間角.

【分析】由題意畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,ZOAD=0(O<0<n),把

異面直線所成角的余弦值化為含有6的三角函數(shù)式，換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【解答】解：如圖，不妨以CD在AB前側(cè)為例.

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、0P所在直線為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2,ZOAD=0(0<e<n),貝I」P(0,0,遂)，

D(2sin0,-l+2cos0,0),

-r-cos9°)，

ooo

'加=(《sin8,-^--|-cose,?)，

ooo

設(shè)a及AB垂直的向量X(i,0,0)，則PQ及I所成角為a.

2.A,_________

?——,gind?o

則cosa|==一=1.3=,sin8s」.

IOPIInIJ^-Jl.coseV8-cos9V8-cos8

22

令t=cos。(-l<t<l),則s=_L二t_,s，=tT6t+1,

(8-t)2

令s'=0,得t=8-W7，

:.當(dāng)t=8-W7時(shí),s有最大值為16-6萬

則cosa有最大值為416-6b，此時(shí)最小值最小為16j?T5.

...正切值的最小值為腐戶.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角，考查空間想象實(shí)力和思維實(shí)力，訓(xùn)練了利用空間

向量及導(dǎo)數(shù)求最值，屬難題.

5.（5分）（2013?浙江模擬）如圖，在直四棱柱（側(cè)棱及底面垂直的四棱柱）ABCD-

A1BGD1中，已知DC=DDi=2AD=2AB，AD±DC,AB〃DC,給出以下結(jié)論：

（1）異面直線AiBi及CDi所成的角為45。；

（2）DiClACi；

（3）在棱DC上存在一點(diǎn)E,使DiE〃平面AiBD,這個(gè)點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；

（4）在棱AAi上不存在點(diǎn)F,使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的

5

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】LS：直線及平面平行的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LM：異面直線

及其所成的角；LX：直線及平面垂直的性質(zhì).

【專題】11：計(jì)算題；14:證明題；16：壓軸題.

【分析】干脆利用已知條件推出異面直線所成的角推斷（1）的正誤；通過直線及平面

的位置關(guān)系推斷（2）的正誤；通過直線及平面的平行推斷（3）的正誤；幾何體的體

積推斷（4）的正誤即可.

【解答】解：（1）由題意可知DC=DDi=2AD=2AB,AD1DC,AB//DC,所以△DDiCi是

等腰直角三角形，AiBi〃CiDi,異面直線AiBi及CDi所成的角為45。，所以（1）正確.

（2）由題意可知，ADJ_平面DDiCiC,四邊形DDiCiC是正方形，所以DiC_LDCi，

可得DiCJ_AJ；（2）正確;

對(duì)于（3）在棱DC上存在一點(diǎn)E,使DiE〃平面AiBD,這個(gè)點(diǎn)為DC的中點(diǎn)，因?yàn)?/p>

DC=DDi=2AD=2AB,如圖HG紅D.E，所以E為中點(diǎn)，正確.

21

）設(shè)則棱柱的體積為：當(dāng)在時(shí)，的體積為:

（4AB=1,1±2_X1X1=->FAiAi-BCD

22

明顯體積比為所以在棱上存在點(diǎn)使三棱錐

1X1X1X2X1=1,2>1，AAiF,F-

32395

BCD的體積為直四棱柱體積的工，所以（4）不正確.

5

正確結(jié)果有（1）、（2）、（3）.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的體積的求法，直線及平面的位置關(guān)系的

推斷，考查空間想象實(shí)力計(jì)算實(shí)力.

6.（5分）（2011?上饒校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD

±CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A-BCD,使平面ABDJ_平面BCD,則

下列結(jié)論：

①ASBD；

②CA'及平面A'BD所成的角為30°；

③NBA（=90。；

④四面體A，-BCD的體積為1.

3

其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)

的體積.

【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題.

【分析】依據(jù)題意，依次分析命題：對(duì)于①可利用反證法說明真假，若①成立可得BD

1A'D,產(chǎn)生沖突；對(duì)于②由CA'及平面AED所成的角為/CA，D=45。知②的真假；對(duì)于

③aBAD為等腰RtA,CD,平面A'BD,得BA'_L平面A'CD,依據(jù)線面垂直可知/

BA，C=90。，對(duì)于④利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案.

【解答】解：若①成立可得BDLAD,產(chǎn)生沖突，故①不正確；

由CA，及平面A'BD所成的角為NCA'D=45。知②不正確；

由題設(shè)知：ABA'D為等腰爪△,CD,平面A'BD,得BA」平面A'CD,于是③正確；

二④不正確.

VA，.BCDVc-A，BD.

其中正確的有1個(gè)

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，同時(shí)考

查了空間想象實(shí)力，論證推理實(shí)力，解題的關(guān)鍵是須對(duì)每一個(gè)進(jìn)行逐一判定.

7.（5分）（2017春?保定期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，E是CD上一點(diǎn)，

AB=AD=3,AAi=2,CE=1,P是AA］上一點(diǎn)，且DP〃平面AEBi，F(xiàn)是棱DDi及平面BEP

的交點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為（）

A.1B.旦C.SD.2

943

【考點(diǎn)】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系及距離.

【分析】在棱AB上取點(diǎn)M,使得BM=1,

過點(diǎn)M作MN〃BBi，交ABi于N,連接EM、EN,

證明平面EMN〃平面ADDiAi，求出MN的值，

由AP=MN得出DP〃平面AEB；

再取DG=AP,連接CG,利用平行關(guān)系求出DF的長(zhǎng).

【解答】解：在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiJDi的棱AB上取點(diǎn)M,使得BM=1,

過點(diǎn)M作MN〃BBi，交ABi于N,連接EM、EN,如圖所示；

則平面EMN〃平面ADDiAi；

；BBi=2AM=2BM,

3

.,.當(dāng)AP=MN=9時(shí)，DP〃EN,

3

即DP〃平面AEB；

VF是棱DDi及平面BEP的交點(diǎn),

.?.EF〃BP；

取DG=AP=A,連接CG,則CG〃BP,

3

，EF〃CG,

DF=2DGW

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的平行及垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了求線段長(zhǎng)的應(yīng)用

問題，是綜合題.

8.（5分）（2016?丹東二模）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某個(gè)

多面體的三視圖，若該多面體的全部頂點(diǎn)都在球0表面上，則球。的表面積是（）

A.36nB.48rcC.56nD.64n

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積；LG：球的體積和表面積.

【專題】15：綜合題；31：數(shù)形結(jié)合；46：分割補(bǔ)形法；58：解三角形；5F：空

間位置關(guān)系及距離.

【分析】依據(jù)三視圖知幾何體是三棱錐為棱長(zhǎng)為4的正方體一部分，畫出直觀圖，由

正方體的性質(zhì)求出球心0到平面ABC的距離d、邊AB和AC的值，在4ABC中，由余

弦定理求出cos/ACB后，求出NACB和sinNACB,由正弦定理求出^ABC的外接圓的

半徑r,由勾股定理求出球。的半徑，由球的表面積公式求解.

【解答】解：依據(jù)三視圖知幾何體是：

三棱錐D-ABC為棱長(zhǎng)為4的正方體一部分，直觀圖如圖所示：

?.?該多面體的全部頂點(diǎn)都在球0,且球心。是正方體的中心，

/.由正方體的性質(zhì)得，球心0到平面ABC的距離d=2,

由正方體的性質(zhì)可得，

AB=BD=J「+22=AC=4A/2，

設(shè)4ABC的外接圓的半徑為r,

在AABC中，由余弦定理得，

S，/A「R=AC2+BC2-AB2=32+4-20

2-AC-BC2X4V2X22

，NACB=45°,則sin/ACB=返，

2_

由正弦定理可得，2r=—里—=率=2屈,則「=傷，

sinZACBV2_

2

即球0的半徑R=A/r2+d2=5/i4>

，球O的表面積S=4nR2=56n,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求幾何體外接球的表面積，正弦定理、余弦定理，以及正方

體的性質(zhì)，結(jié)合三視圖和對(duì)應(yīng)的正方體復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象實(shí)力.

9.（5分）（2016?衢州模擬）如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-AECU,M是正方

形BBCC的中心，P是△ACD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).滿意PM=PD,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)

度是（)

A.2ZHB.運(yùn)仁VT10.V14

22

【考點(diǎn)】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系及距離.

【分析】滿意PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且及MD垂直的平面，依據(jù)P

是△ACD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，可得點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST.T在中點(diǎn)，S

在4等分點(diǎn)，利用余弦定理，求出ST即可.

【解答】解：滿意PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且及MD垂直的平面，

,；P是△ACD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，

...點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST.T在中點(diǎn)，

S在4等分點(diǎn)時(shí)，SD=3如，SM=J￡J=3加,滿意SD=SM

；.SD=3&,TD=2點(diǎn)

,',ST=-J18+8-2X3V2X2V2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查軌跡的求解，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)

算實(shí)力，屬于中檔題.

10.（5分）（2011?山東）如圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形.給定下列三個(gè)命題：

①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖；

②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖；

③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

【考點(diǎn)】L7：簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖.

【專題】5Q：立體幾何.

【分析】由三棱柱的三視圖中，兩個(gè)矩形，一個(gè)三角形可推斷①的對(duì)錯(cuò)，由四棱柱的

三視圖中，三個(gè)均矩形，可推斷②的對(duì)錯(cuò)，由圓柱的三視圖中，兩個(gè)矩形，一個(gè)圓可

以推斷③的真假.本題考查的學(xué)問點(diǎn)是簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖，其中嫻熟駕馭各種幾

何體的幾何特征進(jìn)而推斷出各種幾何體中三視圖對(duì)應(yīng)的平面圖形的形態(tài)是解答本題的

關(guān)鍵.

【解答】解：存在正三棱柱，其三視圖中有兩個(gè)為矩形，一個(gè)為正三角形滿意條件，

故①為真命題；

存在正四棱柱，其三視圖均為矩形，滿意條件，故②為真命題；

對(duì)于隨意的圓柱，其三視圖中有兩個(gè)為矩形，一個(gè)是以底面半徑為半徑的圓，也滿意

條件，故③為真命題；

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖，其中嫻熟駕馭各種幾何體的幾

何特征進(jìn)而推斷出各種幾何體中三視圖對(duì)應(yīng)的平面圖形的形態(tài)是解答本題的關(guān)鍵.

11.（5分）（2009?全國(guó)卷I）已知二面角a-I-0為60。，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面a、p

內(nèi)，P至的距離為?,Q至Ija的距離為2?,貝IJP、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

A.1B.2C.2?D.4

【考點(diǎn)】LQ：平面及平面之間的位置關(guān)系.

【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題.

【分析】分別作QA_La于A,ACJJ于C,PB，B于B,PDL于D,連CQ,BD則/ACQ=

NPBD=60。，在三角形APQ中將PQ表示出來，再探討其最值即可.

【解答】解：如圖

分別作QA_La于A,AC_U于C,PBJ_0于B,PD_LI于D,

連CQ,BD則NACQ=NPDB=60。，叱2M,BP

.,.AC=PD=2

又；PQ=7AQ2+AP2W12+AP2>2^3

當(dāng)且僅當(dāng)AP=0,即點(diǎn)A及點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.

故答案選c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面及平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線及平面之間的

位置關(guān)系，考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算實(shí)力和推理論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）（2008?四川）一個(gè)正方體的綻開圖如圖所示，B,C,D為原正方體的頂點(diǎn)，

A為原正方體一條棱的中點(diǎn).在原來的正方體中，CD及AB所成角的余弦值為（）

A,在B,叵C.豆D.叵

105510

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】11:計(jì)算題；16：壓軸題.

【分析］先還原正方體，將對(duì)應(yīng)的字母標(biāo)出，CD及AB所成角等于BE及AB所成角，

在三角形ABE中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.

【解答】解：還原正方體如右圖所示設(shè)AD=L

則研、石，AF=1,BE=EF=2?,

AE=3,CD及AB所成角等于BE及AB所成角，

所以余弦值為四/擷而焉無有'

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算實(shí)力和推理論

證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）（2008?上海模擬）異面直線a,b成80。角，點(diǎn)P是a,b外的一個(gè)定點(diǎn)，

若過p點(diǎn)有且僅有2條直線及a,b所成的角相等且等于e,則e屬于集合（）

A.{0）0°<0<40°}B.{0400<0<50°}C.{940°<6<90"}D.{0|50°<9<

90°}

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題.

【分析】先將異面直線a,b平移到點(diǎn)P,求出/BPE的角平分線和NEPD的角平分線

及a和b的所成角，介于兩者之間有且只有兩條，小于最小的則不存在，大于最大的

小于90。則有4條，等于90。有且只有一條.

【解答】解：先將異面直線a,b平移到點(diǎn)P,則NBPE=80。，ZEPD=100°

而NBPE的角平分線及a和b的所成角為40。，

而NEPD的角平分線及a和b的所成角為50°

當(dāng)8G伯400<0<50°}

???直線及a,b所成的角相等且等于6有且只有2條，

使直線在面BPE的射影為NBPE的角平分線，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，以及射影等

學(xué)問，考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算實(shí)力和推理論證實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

二.解答題（共7小題，滿分85分）

14.（10分）（2015春?廣安校級(jí)月考）如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)

P在四邊形ABCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到點(diǎn)Bi的距離為

（1）要使AiCi_L平面BBiP,則點(diǎn)P在何位置？

（2）設(shè)直線BiP及平面ACDi所成的角為0,求sin。的取值范圍.

【考點(diǎn)】LW：直線及平面垂直的判定.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系及距離；5G：空間角；

5H：空間向量及應(yīng)用.

【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，以BA為半徑畫圓弧AC,交BD連線于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所

求，證明BiP=&，且AiCi，平面BBiP即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量聒及平面ACDi的法向量7所成角的余弦值，即

可得出直線BiP及平面ACDi所成角0的正弦值取值范圍.

【解答】解：(1)依據(jù)題意，以點(diǎn)B為圓心，以BA為半徑畫圓弧AC,交BD連線于

點(diǎn)P.

如圖所示，則點(diǎn)P即為所求.

：BP=BA=1,ABiP=V2；

又BD±AC,AC/7A1C1，

/.BPlAiCi；

又BBi_LAiCi，且BCABBi=B,

，AiCi_L平面BBiP；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則B(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),

Bi(0,0,1),Di(-1,1,1),

設(shè)點(diǎn)P(cosa,sina,0),則a6[2L,n]；

2

AC=(1，1，0),虹|；二(0,1,1),B[聲(cosa,sina,-1)；

設(shè)平面ACDi的法向量為二(x,y,z),

則[二"竺°,即卜+尸。，

n，AD]=0ly+z=0

令x=l,則y=-1,z=l,/.n=(1,-1,1)；

.____—BiP*n

ACOS<Rp,n>=----二一

1

iBjPlX|n|

____________cosa-sina-1___________

Vsin*2a*4+cos2a+(-l)2'712+(-l)2+l2

V2cos(C1+—)-1

=76；

Vae[2L,n],/.a+2Le[12L,12L],

2444

cos(a+-2L)G[-1,-2^],

42

."，V2cos(a+2L)-1G[-V2--2]；

彳>e［2^k，冷

?直線BiP及平面ACDi所成的角0,

.,.sin6=cos<y7,n>￡［逅，2&恒，

DJ36

sine的取值范圍是［運(yùn)，2'+,場(chǎng).

36

X

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直線及平面垂直的推斷問題，也考查了空間角的計(jì)算問題,

是綜合性題目.解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意向量法的合理運(yùn)用.

15.（10分）（2013?重慶）如圖,四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,PA=2?,BC=CD=2,

ZACB=ZACD=2L.

3

（I）求證：BD_L平面PAC；

（II）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿意PF=7FC,求三棱錐P-BDF的體積.

【考點(diǎn)】LW：直線及平面垂直的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專題】16：壓軸題；5F：空間位置關(guān)系及距離.

【分析】（I）由等腰三角形的性質(zhì)可得BD_LAC,再由PA,底面ABCD,可得PALBD.再

利用直線和平面垂直的判定定理證明BD_L平面PAC.

（H）由側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿意PF=7FC,可得三棱錐F-BCD的高是三棱錐P-BCD的

高的工.求出4BCD的面積SABCD,再依據(jù)三棱錐P-BDF的體積V=VPBCD-VF

8

BCD=f，SABCD，PA'y，SABCD'J'W，運(yùn)算求得結(jié)果?

【解答】解：（I）：BC=CD=2,.*.△BCD為等腰三角形，再由NACB=/ACD

3

BD1AC.

再由PA_L底面ABCD,可得PA_LBD.

而PAAAC=A,故BDJ_平面PAC.

（II）?.,側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿意PF=7FC,

三棱錐F-BCD的高是三棱錐P-BCD的高的

8

△BCD的面積SABCD=lBC?CD?sinZBCD=1X2X2Xsirr^=?.

223

三棱錐P-BDF的體積V=Vp.BCD-V.?-PA=4X

FBCD=1.SABCD.PA--SABCD

JJOO

?ABCD叩A(chǔ)

77

=^-XV3X2V3=Y

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用間接解法求棱錐的體積,

屬于中檔題.

16.（10分）（2010?宿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底

面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA_L平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,。為

AB的中點(diǎn).

（I）求平面DEF及平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；

（H）在DE上是否存在一點(diǎn)P,使CP_L平面DEF?假如存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存

在，說明理由.

【考點(diǎn)】LW：直線及平面垂直的判定；MJ：及二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.

【專題】11:計(jì)算題；15：綜合題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想.

【分析】（工）依據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，通過法向量求出平面DEF及平面ABC

相交所成銳角二面角的余弦值.

（H）假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P,設(shè)出坐標(biāo)，依據(jù)CP_L面DEF,得到所以而及平面DEF

的法向量血共線，求出入，得到DP即可.

【解答】解：以。為原點(diǎn)，OB,OC,Oz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

C（0,73-0）,D（1,0,1）,E（0,炳,3）,F（-1,0,2）.

（I）平面ABC的法向量為ni=（0,01）.

設(shè)平面DEF的法向量為廿（x,y,z）,血=（-1,炳,2）.

廣,.

由n2y=0得「xW^2z=0所以[z=2x

W

n2DF=Ol-2x+z=0y="V3x

取x==l,得ri2=（1,-2）.

所以cos<mi,m2>=1n'_返，所以平面DEF及平面ABC相交所成銳

In1||n2|1X2A/22

角二面角的余弦值為返.

2

（口）假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P,設(shè)P（x,y,z）,

因?yàn)榻?入正，故（x-1,y,z-1）=入（-1,2）,

所以P（-X+1,揚(yáng)，2入+1）,所以CP=（-X+1,揚(yáng)-?，2X+1）.

因?yàn)槠紺P,面DEF,所以而及平面DEF的法向量也共線，

所以1]1=空文，解得入=工，

,X24

所以而=!正，HP|DP|=1|DE|,所以DP=返.

442

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線及平面垂直的判定，以及及二面角相關(guān)的立體幾何問題綜合運(yùn)

用.通過數(shù)形結(jié)合，以及對(duì)學(xué)問的綜合考查，達(dá)到考查學(xué)生基本實(shí)力的目的，屬于中

檔題.

17.（10分）（1980?全國(guó)）如圖，長(zhǎng)方形框架ABCD-ABCD,三邊AB、AD、AA，的長(zhǎng)

分別為6、8、3.6,AE及底面的對(duì)角線BD垂直于E.

（1）證明A'E"LB'D'；

（2）求AE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】11：計(jì)算題；14：證明題；16：壓軸題.

【分析】（1）先由AA」平面A'B'C'D',可轉(zhuǎn)化為AAlB'D',又AE_LBD,由線面垂直

的推斷定理可得BDU平面AAE得證.

（2）先由等面積法/\舊'叫叮=人任?8'"求得人在，再由勾股定理求得AE.

【解答】（1）證明：AA'_L平面A'B'C'DT/.AA'lB'D'.

又AE_LB'D',...B'D」平面AA'E,

因此:B'D'lA'E

（2）解：AB?AD=A'E?BD'（都是△A'B'D'面積的2倍）

.?.6X8=A'EX^62+g2,

.,.A'E=4.8

AE=Vs.62+4.82=6-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，主要涉及了線線，線面，面面垂直的關(guān)系,

以及基本量的關(guān)系.屬中檔題.

18.（12分）在正方體ABCD-AiBiCiDi中，已知E、F、G分別是棱AB、AD、DiAi的

中點(diǎn).

（1）求證：BG〃平面AiEF：

（2）若P為棱CCi上一點(diǎn)，求當(dāng)且_等于多少時(shí)，平面AiEF,平面EFP?

【考點(diǎn)】LZ：平面及平面垂直的性質(zhì)；LS：直線及平面平行的判定.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系及距離.

【分析】（1）連接BD、DG,證明平面BGD〃平面AiEF,再證明BG〃平面4EF；

（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

平面AiEF的法向量及平面EFP的法向量相互垂直，即可求出衛(wèi)的值.

PC1

【解答】解：（1）正方體ABCD-AiBiCiDi中，E、F、G分別是棱AB、AD、DiAi的中

點(diǎn)，

連接BD、DG,則EF〃BD,

GD〃AiF,

又BD。平面AiEF,EFu平面AiEF,所以BD〃平面AiEF；

同理，GD〃平面AiEF,

且BDCIGD=D,BDu平面BGD,GDu平面BGD,

所以平面BGD〃平面AiEF,

又BG<=平面BGD,

所以BG〃平面AiEF；

(2)以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,CP=t(OWtWl),

Ai(1,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

D(0,0,0),E(1,L0),F(1,0,0),P(0,1,t)；

22

EF=(_—>■—,0),pi'=(0,-—,1).

22孫2

設(shè)平面AiEF的法向量為二(x,y,z),

EIfn,EF=O

則______，

n?EAi=O

-yx-^-y=0

即｛&%,

-1y+z=0

取x=l,得n=(1，T，_

2

又尾(-1，--t),

2

設(shè)平面EFP的法向量為U(a,b,c),

則日號(hào)0,

m,EP=O

卷af=0

即，

-a卷b+tc=O

取a=l,得ir=(1,-1)

2t

又平面AiEF_L平面EFP,

所以n?ir=l+l-且=0，解得t=2,

4t8

所以CP=1,

8

即《工=3時(shí)，平面AiEF，平面EFP.

PC15

勘

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線垂直的證明，也考查了直線及平面平行的證明以及使二

面角為直二面角的線段的比值的求法問題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意向量法的合理運(yùn)

用.

19.（15分）（2011?湖南學(xué)業(yè)考試）ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PA

IffiABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=?.

（1）求證：平面ACD,平面PAC；

（2）求異面直線PC及BD所成角的余弦值；

（3）設(shè)二面角A-PC-B的大小為9,試求tan0的值.

【考點(diǎn)】LY：平面及平面垂直的判定；LM：異面直線及其所成的角；MT：二面角的平

面角及求法.

【專題】11：計(jì)算題；14：證明題；16：壓軸題.

【分析】（1）由已知中，PA,面ABCD,結(jié)合面面垂直的判定定理，我們易得平面ACD

，平面PAC；

（2）令A(yù)C及BD交點(diǎn)為0,PA的中點(diǎn)為E,連接OE,則OE〃PC,則直線PC及BD

所成角等于直線OE及BD所成角，解三角形OEB,即可得到答案.

（3）A作AG1PC交PC于G,過G作GF1PC交PB于F,連接AF.則二面角A-PC

-B的平面角為NAGF,解三角形AGF,即可得到答案.

【解答】證明：（1）面ABCD,

PAC平面PAC

工平面ACD,平面PAC；

解：（2）令A(yù)C及BD交點(diǎn)為0,PA的中點(diǎn)為E,連接0E,BE如圖所示:

為BD的中點(diǎn)，則E0=lpC=liypA2+AC2=2/1,且0E〃PC

XVPAlff