高中數(shù)學(xué)必修二8.2立體圖形的直觀圖

8.2立體圖形的直觀圖（精練）

【題組一斜二測畫法的理解】

1.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是

A.原圖形中平行于x軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于x軸，長度不變

B.原圖形中平行于y軸的線段,其對(duì)應(yīng)線段平行于），'軸,長度變?yōu)樵瓉淼膅

C.在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系時(shí)，NY'O'），'必須是45°

1）.在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同

【答案】C

【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，平行于x軸或在x軸上的線段其長度在直觀圖中不變,平行于y軸或在y

軸上的線段其長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼牟⑶襈xO'y'=45°或135°,

故選：C.

2.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）利用斜二測畫法畫直觀圖時(shí)，下列說法中正確的是（）

①兩條相交直線的直觀圖是平行直線；②兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線；③正方形的直觀圖是平

行四邊形：④梯形的直觀圖是梯形.

A.①@B.③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，所以①錯(cuò)；

兩條垂直直線的直觀圖是兩條相交但不垂直的直線，所以②錯(cuò)；

根據(jù)直觀圖的畫法中，平行性保持不變，可得③，④正確.

故選:B.

3.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在畫水平放置的平面圖形時(shí)，若在原來的圖形中，兩條線段平行且相等,

則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段

A.平行且相等B.平行不相等

C.相等不平行D.既不平行也不相等

【答案】A

【解析】斜二測畫法的法則是平行于x的軸的線平行性與長度都不變；

平行于y軸的線平行性不變，但長度變?yōu)樵L度的一半.

故在原來的圖形中兩條線段平行且相等，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段也平行且相等.

故選A.

4.（2021?浙江?寧波市北侖中學(xué)高一期中）（多選）給出以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論，其中正確的是（）

A.水平放置的角的直觀圖一定是角B.相等的角在直觀圖中仍然相等

C.相等的線段在直觀圖中仍然相等D.兩條平行線段在直觀圖中仍是平行線段

【答案】AD

【解析】水平放置的角的直觀圖一定是角，故A正確；角的大小在直觀圖中都會(huì)發(fā)生改變，有的線段在直

觀圖中也會(huì)改變，比如正方形的直方圖中，故BC錯(cuò)誤；

由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，所以D正確.

故選:AD

5.（2021-全國?高二課時(shí)練習(xí)）用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，判斷下列命題的真假.

（1）三角形的直觀圖還是三角形；

（2）平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形；

（3）正方形的直觀圖還是正方形；

（4）菱形的直觀圖還是菱形.

【答案】（1）真命題；（2）真命題；（3）假命題；（4）假命題.

【解析】（1）三角形的直觀圖還是三角形，為真命題.

（2）平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，為真命題.

（3）正方形的直觀圖，邊長不全相等，不是正方形，所以命題為假命題.

（4）菱形的直觀圖，邊長不全相等，不是菱形，所以命題為假命題.

【題組二平面圖形的直觀圖】

1.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知等腰三角形A8C,則在如圖所示的四個(gè)圖中，可能是的

直觀圖的是（）

【答案】1）

【解析】根據(jù)坐標(biāo)軸夾角為45?；?35。，等腰三角形ABC的直觀圖如圖所示:

y

只有③④符合

故選：D

2（2021?北京順義?高一期末）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，有下列結(jié)論：

①三角形的直觀圖是三角形；

②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；

③正方形的直觀圖是正方形；

④菱形的直觀圖是菱形.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.①③C.①④D.②④

【答案】A

【解析】由斜二測畫法規(guī)則可知，相交關(guān)系不變，①正確；

平行關(guān)系不變，②正確；

正方形的直觀圖是平行四邊形，③錯(cuò)誤；

平行于y軸的線段長減半，平行于x軸的線段長不變，④錯(cuò)誤，

故選：A.

3.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定）.

（1）矩形；（2）平行四邊形；（3）正三角形；（4）正五邊形

【答案】見解析

【解析】（1）根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：

(2)根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得:

y

(3)根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得:

4.（2021?浙江?高一單元測試）畫出圖中水平放置的四邊形ABC。的直觀圖.

【答案】圖見解析.

【解析由斜二測畫法：縱向減半，橫向不變；即可知/、C在對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'（3,1）,C'（O，），而反〃對(duì)應(yīng)點(diǎn)以。'位

置不變，如下圖示:

【題組三空間幾何的直觀圖】

1（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）畫出一個(gè)上、下底面邊長分別為1,2,高為2的正三棱臺(tái)的直觀圖.

【答案】見解析

【解析】①建立空間直角坐標(biāo)系，畫x軸、y軸、z軸相交于點(diǎn)。.使x軸與y軸的夾角為45°,y軸與z軸的

夾角為90°,

②底面在尸軸上取線段0。取。。=且，且以。為中點(diǎn)，作平行于x軸的線段A8,使A8=2,在y軸上取線

6

段OC,使oc=正.連接8C,CA,則AABC為正三棱臺(tái)的下底面的直觀圖.

3

③畫上底面在z軸上取O。'，使00=2,過點(diǎn)?！鱋x//3,O）；//Oy,建立坐標(biāo)系x'oy.在x'oy中,類似

步驟②的畫法得上底面的直觀圖VAEC，.

④連線成圖連接A4',BB'、CC',去掉輔助線，將被遮住的部分畫成虛線，則三棱臺(tái)ABC-A'B'C'即為要求畫

的正三棱臺(tái)的直觀圖.

2.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測畫法畫出底面邊長為2c處側(cè)棱長為3c0的正三棱柱的直觀圖.

【答案】見解析.

【解析】正三棱柱直觀圖如圖:

3.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)圓錐由等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)形成，畫出這個(gè)圓錐的直觀圖.

【答案】見解析.

【解析】圓錐直觀圖如F：

X

4（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.

【答案】見解析

【解析】畫法：（1）如圖（1）,在正六邊形A8CDEF中，取AO所在直線為x軸，AD的垂直平分線MN為y

軸，兩軸相交于點(diǎn)〃在圖（2）中，畫相應(yīng)的V軸與），'軸，兩軸相交于點(diǎn)。，使NxOy'=45".

（2）在圖⑵中，以0'為中點(diǎn)，在x軸上取A'￡>'=AD，在y,軸上取"M=；MN以點(diǎn)M為中點(diǎn)，畫B,C'平

行于x軸，并且等于BC；再以M'為中點(diǎn)，畫FE'平行于V軸，并且等于尸E.

⑶連接AB,C'D,DE,FA，并擦去輔助線x軸和y軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖

A'B'C'OEF'圖⑶.

【題組四直觀圖的還原和計(jì)算】

1.（2021?山東?棗莊八中高一期中）如圖一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45。，腰和上

底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）

A.2+&B.匕蟲C.2電D.1+V2

22

【答案】A

【解析】???平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底長均為1的等腰梯形,

平面圖形為直角梯形，且直角腰長為2,上底邊長為1,

???梯形的下底邊長為1+a,

???平面圖形的面積S=^^x2=2+亞

2

故選：A

2.（2021?廣西?桂平市麻胴中學(xué)高一月考）已知一個(gè)△心心利用斜二測畫法畫出直觀圖如圖所示，其中B,

0'=2,O'C=5,O'A'=3,則原△/比1的面積為（）

21V2n21yli

A.21B.—C.----u.

22-----------------4

【答案】A

【解析】由已知"0'=2,O'C=5,O'A'<

BO=2,CO=5,04=6,且8,C在x軸上,力在y軸上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

...△/16。的面積5=1*8。乂04=21,

2

y

故選：A.

3.（2021?山西?懷仁市大地學(xué)校高中部高一月考）已知一個(gè)三棱柱的高為3,如圖是其底面用斜二測畫法

畫出的水平放置的直觀圖，其中O'A'=O'3'=O'C'=1,則此三棱柱的體積為（）

4C.6D.12

【答案】C

【解析】如圖所示，設(shè)三棱柱的底面三角形為

根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，因?yàn)?O'B'=O'C'=1,

可得OB=OC=1,OA=2,即3C=2,OA=2,且BCLOA,

可得LHC=；|8CHOA|=；X2X2=2,所以該棱柱的體積為V=S6=2x3=6.

故選：C.

4.（2021-江西?浮梁縣第一中學(xué)高一月考）若水平放置的四邊形4O8C按“斜二測畫法”得到如圖所示的

直觀圖，其中HC7/O5,AC,-LBC,A'C'=1,B'C'=無，05=2,則原四邊形AO8C的面積為（）

所以原圖形OACB中，AC//OB.OAVOB,AC=\,08=2,AO=24O'=2xV5xa=4，

所以梯形OACB的面積為S=；(1+2)x4=6.

故選：B.

5.（2021?全國?高一單元測試）一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底長均為1

的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）

y,

CZ_____B'

/O'D'l+x/2A,X,

A.1金B(yǎng).1+變C.1+V2D.2+V2

222

【答案】D

【解析】在直觀圖中，O'A'=2x（lxcos45°）+l=&+l,

所以原圖是一個(gè)直角梯形，且上底為1,下底為0+1，高為2x1=2,

所以原圖的面積為1+&+1、2=2+及

2

故選：D

6.（2021?湖南?長郡中學(xué)高一期中）一個(gè)菱形的邊長為4cm,一個(gè)內(nèi)角為60。，將菱形水平放置并且使較

長的對(duì)角線成橫向，則此菱形的直觀圖的面積為（）.

A.8\/3cm2B.4\Z3cm2C.2-Jbcm2D.Jbcm2

【答案】C

【解析】由條件可知，較長的對(duì)角線的長度是J42+42—2X4X4XCOS120=4版m，

較短的對(duì)角線的長度是742+42-2X4X4XCOS60=4cm，

根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，AC=SBD=2'菱形直觀圖的面積S=R限2咚=2辰m?

故選：C

7（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長為4,則

此正方形的面積可能為（）

A.16B.64C.32D.無法確定

【答案】AB

【解析】根據(jù)題意，正方形的直觀圖如圖所示：

①若直觀圖中平行四邊形的邊A9=4,

則原正方形的邊長為/W=A'Q=4,所以該正方形的面積為S=4x4=16；

②若宜觀圖中平行四邊形的邊A'。'=4，

則原正方形的邊長為4）=4。'=8,所以該正方形的面積為S=8x8=64,

故選：AB.

8.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）正方形ONB'C'的邊長為1cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,

則原圖形的周長是，面積是一

【解析】根據(jù)斜二測畫法，還原出原圖，如圖,

其中。4=lcm,在RsOAB中，OB=2缶m，

所以AB=SA+OB?=3（cm）.

所以四邊形04BC的周長為8cm.面積是2\Z5cm—

故答案為：8cm；2j5cm?

9.（2021?湖北?武漢市吳家山中學(xué)高二月考）水平放置的矩形438,48=女01,AD=1cm,則其直觀

圖的面積為.

【答案】逑cm?

4

【解析】利用斜二測畫法作出直觀圖，如圖所示，產(chǎn)生平行四邊形AQCQ',

其中A3'=3,A'D'=-,ZD'A'B'=45,

2

過C'點(diǎn)作C尸，A'"于尸，則C'F=lsin45=—,

24

則SXB'CD'=A'B'xC'F=3x曰=￥(cm2).

故答案為：逑cm?.

4

10.（2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）如圖：矩形0月0〃的長為4cm,寬為2cm,。是A8

的中點(diǎn)，它是水平放置的一個(gè)平面圖形/靦的直觀圖，則四邊形加w的周長為：cm；

由斜二測畫法的規(guī)則知與X軸平行或重合的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變;

與y軸平行或重合的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄遗cy'軸平行的性質(zhì)不變.

還原出原圖形如上圖所示，其中A5=AE=4cm,OC=20'C'=2x2^2=442cm

/.BC=yJOB2+OC2=6cm

所以原圖形的周長為2x(4+6)=20cm

IL(2021,四川省眉山第一中學(xué)高二月考(文))水平放置的“A3c的斜二測直觀圖如圖所示，已知At=3,

8。=2,則原圖AB長度為.

【答案】5

【解析】由斜二測畫法規(guī)則可知，原圖中的滿足：Z4CB=90°,AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4

在中，由勾股定理可得：AB=\l31+42=5.

故答案為：5.

12.（2021?上海市大同中學(xué)高二月考）如圖，若平行四邊形A'9。》是用斜二測畫法畫出的水平放置的平

面圖形AB