2023-2024學(xué)年四川省成都重點(diǎn)中學(xué)高二（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年四川省成都重點(diǎn)中學(xué)高二（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，甲獲勝的概率為0.4，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這兩位同學(xué)打3局比賽甲恰好獲勝2局的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，制定1，2，3，4表示甲獲勝，用5，6，7，8，9，0表示乙獲勝，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3局比賽的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了30組隨機(jī)數(shù)：

102

231

146

027

590

763

245

207

310

386

350

481

337

286

139

579

684

487

370

175

772

235

246

487

569

047

008

341

287

114

據(jù)此估計(jì)，這兩位同學(xué)打3局比賽甲恰好獲勝2局的概率為(

)A.13 B.310 C.252.與圓x2+y2=1A.一個(gè)橢圓上 B.一個(gè)圓上 C.一條拋物線上 D.雙曲線的一支上3.若直線l1：mx+y+1=0與直線lA.2 B.?2 C.12 4.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑AB=6，深度MO=2，信號(hào)處理中心F位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，若PA.4 B.3 C.2 D.15.設(shè)F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0A.2 B.3 C.2 6.三棱錐P?ABC中，△PAB和△ABC都是等邊三角形，AB=A.12 B.1 C.32 D.與7.設(shè)圓C：x2+y2=3，直線l：x+3y?6=0，點(diǎn)A.[?12,1] B.[8.已知橢圓C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2：x2a2A.7 B.27 C.4二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yA.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.極差10.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，A.橢圓焦距為3 B.橢圓方程為x24+y2=11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，A.BE?BF=6

B.B1G⊥平面BEF12.在矩形ABCD中，AB=23，BA.當(dāng)EA+EC=8時(shí)，四棱錐E?ABCD體積的最大值為8

B.當(dāng)EA2+EC2=16時(shí)，四棱錐E?AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.空間直角坐標(biāo)系中，兩平面α與β分別以n1=(2,1,1)與n2=14.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，C=“取出的2球至少有一個(gè)白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為_(kāi)_____．

①A與D為對(duì)立事件；②B與C是互斥事件；③C與15.已知拋物線M：x2=8y，直線l：y=kx+2與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與圓：N：x2+y2?416.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

為進(jìn)一步增強(qiáng)疫情防控期間群眾的防控意識(shí)，使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護(hù)知識(shí)，提高預(yù)防能力，做到科學(xué)防護(hù)，科學(xué)預(yù)防．某組織通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行新冠肺炎疫情防控科普知識(shí)問(wèn)答．共有100人參加了這次問(wèn)答，將他們的成績(jī)(滿分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

18.(本小題12分)

已知雙曲線C和橢圓x24+y21=1有公共的焦點(diǎn)，且離心率為3．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程．

(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)作直線l交雙曲線19.(本小題12分)

如圖：三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c,C20.(本小題12分)

已知圓C的圓心在y軸上，點(diǎn)P是圓C的上任一點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?95,?75)時(shí)，P到直線3x+4y?24=0距離最大．

(1)求圓的方程；

21.(本小題12分)

如圖，四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E、F分別為DC、BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線O1O垂直于上下底面，且O1O與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．

(122.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點(diǎn)A(?1,32)在橢圓C上，點(diǎn)P是y軸正半軸上的一點(diǎn)，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查隨機(jī)模擬，隨機(jī)事件發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題．

由隨機(jī)模擬產(chǎn)生了30組隨機(jī)數(shù)中，表示打3局比賽甲恰好獲勝2局的有9組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果．【解答】

解：由題意知模擬打3局比賽甲恰好獲勝2局的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了30組隨機(jī)數(shù)，

在30組隨機(jī)數(shù)中表示打3局比賽甲恰好獲勝2局的有：102，146，245，310，481，337，139，235，246，共9組隨機(jī)數(shù)，

∴所求事件的概率為930=310．2.【答案】D

【解析】解：由x2+y2?8x+12=0，得(x?4)2+y2=4，

畫出圓x2+y2=1與(x?4)2+y2=4的圖象如圖，

設(shè)圓P3.【答案】D

【解析】解：∵直線mx+y+1=0與直線2x+y?2=0互相垂直，

∴?4.【答案】B

【解析】解：設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，

因?yàn)锳B=6，MO=2，

所以點(diǎn)A(2,3)在拋物線上，

所以9=4p，故p=94，

所以拋物線的方程為y2=92x，

所以拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(98,0)，準(zhǔn)線方程為x=?98，

在方程y2=92x中取x=155.【答案】A

【解析】【分析】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．

方法一：根據(jù)題意畫圖，由圖形的對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a的關(guān)系，可求雙曲線的離心率．

方法二：由題意畫出圖形，先求出|PQ|，再由|【解答】

解：方法一：設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A，由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸，

又∵|PQ|=|OF|=c，

∴|PA|=c2，

∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

∴A為圓心，|OA|=c2，

∴Pc2,c2，又P點(diǎn)在圓x2+y2=a2上，

∴c24+c24=a2，即c22=6.【答案】A

【解析】解：如圖所示，

取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，

∵△PAB，△ABC為等邊三角形，

∴PE⊥AB，CE⊥AB，∵PE∩CE=E，

∴AB⊥面PEC，∵PC?面7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于較難題．

解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用幾何知識(shí)，判斷出PO【解答】

解：圓C外有一點(diǎn)P，圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q，∠OPQ在PQ與圓相切時(shí)取得最大值，

因?yàn)閟in∠OPQ=QOPO，QO為定值，即半徑，

PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈(0,π2)，

所以∠OPQ也隨之變小，可以得知，

當(dāng)∠OPQ=60°，且PQ與圓相切時(shí)，PO=2，

而當(dāng)PO>2時(shí)，Q在圓上任意移動(dòng)，∠OPQ8.【答案】B

【解析】解：設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，|PF1|=m、|PF2|=n，

則m+n=2a1、m?n=2a2，

解得m=a1+a2、n=a1?a2，

在△PF1F29.【答案】BD【解析】解：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)均相差為c，故AC錯(cuò)誤，

由D(X+b)=D(X)線性公式可知，方差不變，故B正確；

由極差的定義可知，極差不變，故10.【答案】BC【解析】解：因?yàn)椤鰽F1B的周長(zhǎng)為8，所以4a=8，得a=2，

因?yàn)閥=x?3過(guò)F2，所以c=3，所以b2=a2?c=c2=4?3=1，所以橢圓的焦距為23，故A錯(cuò)誤；

所以橢圓的方程為程為x24+y2=1，故B正確；11.【答案】AB【解析】解：建系如圖，則根據(jù)題意可得：

B(0,0,0)，E(1,2,2)，F(xiàn)(0,2,1)，G(2,1,0)，B1(0,0,2)，

∴BE=(1,2,2)，BF=(0,2,1)，B1G=(2,1,?2)，EF=(?1,0,?1)，

12.【答案】AB【解析】解：在矩形ABCD中，AB=23，BC=2，E為平面ABCD外一點(diǎn)，

對(duì)于A，由EA+EC=8>AC=AB2+BC2=4，

則在平面ACE內(nèi)，點(diǎn)E的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的橢圓上，

易知該橢圓的焦距AC=4=2c，EA+EC=2a=8，

則b=a2?c2=23，

由橢圓的性質(zhì)，可知點(diǎn)E到AC的距離最大值為EF=23，

此時(shí)EF⊥AB且AF=BF，如圖：

當(dāng)EF為四棱錐E?ABCD的高時(shí)，四棱錐E?ABCD的體積可取得最大值，如圖：

此時(shí)平面ABE⊥平面ABCD，則四棱錐E?ABCD的體積可取得最大值13?EF?AB?BC=13×23×23×2=8，故13.【答案】(1【解析】解：設(shè)直線l的一個(gè)方向向量為a=(x,y,z)，

由兩平面α與β分別以n1=(2,1,1)與n2=(0,2,1)為其法向量，

可得a?n1=2x+y+14.【答案】①④【解析】解：口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，

事件A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，

C=“取出的2球至少有一個(gè)白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個(gè)白球”．

在①中，A與D為對(duì)立事件，故①正確；

在②中，B與C能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；

在③中，C與E能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故③錯(cuò)誤：

在④中，∵C∪E=Ω，∴P(C∪E)=1，故④正確；15.【答案】9+【解析】解：因?yàn)閽佄锞€M的方程為x2=8y，

所以拋物線M的焦點(diǎn)為F(0,2)，準(zhǔn)線y=?2，

則直線y=kx+2過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，

當(dāng)k=0時(shí)，聯(lián)立y=2與x2=8y可得，x=±4

所以|AF|=|DF|=4，則1|AF|+1|DF|=12；

當(dāng)k≠0時(shí)，如圖，

過(guò)A作AK⊥y軸于K，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y軸于E，

則|EK|=|EF|+|FK|=p+|16.【答案】[?【解析】【分析】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中檔題．

利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合圓與圓位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合可得．【解答】

解：設(shè)P(x,y)，由PA?PB?20，得(?12?x)(?聯(lián)立方程組x解得x=1,y=7或x=?5,17.【答案】解：(1)由圖可知，10×(2×0.005+a+0.02+0.025+0.03)=1，解得a=0.015．

這100人問(wèn)答成績(jī)的平均數(shù)約為45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從問(wèn)答成績(jī)?cè)赱60,80)內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，

則問(wèn)答成績(jī)?cè)赱60,70)內(nèi)的有22+3×5=2人，分別記為A，B；

問(wèn)答成績(jī)?cè)凇窘馕觥?1)由頻率之和為1即可求解a，由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解平均數(shù)，

(218.【答案】解：(Ⅰ)橢圓x24+y21=1焦點(diǎn)F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)，

設(shè)雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，

由題意可知，c=3a2+b2=c2e=ca=3，解得a2=【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)，即可求解；

(Ⅱ)根據(jù)已知條件，設(shè)出直線l的方程，再與雙曲線的方程聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解．

本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)A1N=A1A+AN=?AA1+12AB=?CC1+12(CB?CA)=?12a+12b?c，【解析】(1)先將A1N用a,b,c表示，再根據(jù)向量的模和數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解；

(2)先將20.【答案】解：(1)由題意，PC垂直直線3x+4y?24=0，設(shè)圓心C(0,a)，

當(dāng)P的坐標(biāo)為(?95,?75)時(shí)，kPC=a+7595=5a+79，

∴5a+79?(?34【解析】(1)當(dāng)P到直線3x+4y?24=0距離最大時(shí)，PC與3x+4y?24=21.【答案】解：(1)證明：因?yàn)镺O1⊥平面ABCD，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,OF,OO1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)閭?cè)棱所在直線與上下底面中心的連線OO1所成的角為45°，

所以O(shè)O1=2，

則B(2,2,0)，D1(?1,?1,2)，C1(?1,1,2)，F(xiàn)(0,2,0