2024屆四川省成都市龍泉一中、新都一中等九校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆四川省成都市龍泉一中、新都一中等九校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．正四棱柱的高為3cm,體對角線長為cm,則正四棱柱的側(cè)面積為()A．10 B．24 C．36 D．402．菱形ABCD，E是AB邊靠近A的一個三等分點(diǎn)，DE=4，則菱形ABCD面積最大值為（）A．36 B．18 C．12 D．93．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．4．設(shè)△的內(nèi)角所對的邊為，，，，則（）A． B．或 C． D．或5．已知函數(shù),若存在，且，使成立，則以下對實(shí)數(shù)的推述正確的是（）A． B． C． D．6．設(shè)是△所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則△與△的面積之比是（）A． B． C． D．7．在中，，BC邊上的高等于,則A． B． C． D．8．某學(xué)生用隨機(jī)模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發(fā)現(xiàn)有粒芝麻落入圓內(nèi)，則該學(xué)生得到圓周率的近似值為（）A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y≤1x≤2x+2y-2≥0，則A．1 B．2 C．3 D．410．已知函數(shù),則在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角所對的邊分別為，若，則=______．12．已知，則的最大值是____．13．已知過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是，則______．14．已知變量之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：_____.12340.13.1415．若直線：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.16．在圓心為，半徑為的圓內(nèi)接中，角，，的對邊分別為，，，且，則的面積為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某機(jī)構(gòu)通過對某企業(yè)今年的生產(chǎn)經(jīng)營情況的調(diào)查，得到每月利潤（單位：萬元）與相應(yīng)月份數(shù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：14712229244241196（1）根據(jù)如表數(shù)據(jù)，請從下列三個函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述與的變化關(guān)系，并說明理由，，，；（2）利用（1）中選擇的函數(shù)，估計月利潤最大的是第幾個月，并求出該月的利潤.18．如圖所示，在平面四邊形中，為正三角形.（1）在中，角的對邊分別為，若，求角的大小；（2）求面積的最大值.19．已知圓經(jīng)過（2，5），（﹣2，1）兩點(diǎn)，并且圓心在直線yx上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求圓上的點(diǎn)到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離.20．在一個盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，從中任取3支.求（1）恰有1支一等品的概率；（2）恰有兩支一等品的概率；（3）沒有三等品的概率.21．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當(dāng)為何值時，PB⊥AC？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

設(shè)正四棱柱，設(shè)底面邊長為，由正四棱柱體對角線的平方等于從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和，可得關(guān)于的方程.【題目詳解】如圖，正四棱柱，設(shè)底面邊長為，則，解得：，所以正四棱柱的側(cè)面積.【題目點(diǎn)撥】本題考查正棱柱的概念，即底面為正方形且側(cè)棱垂直于底面的幾何體，考查幾何體的側(cè)面積計算.2、B【解題分析】

設(shè)出菱形的邊長，在三角形ADE中，用余弦定理表示出cosA【題目詳解】設(shè)菱形的邊長為3a，在三角形ADE中，AD=3a,AE=a,DE=4，有余弦定理得cosA=10a2-166a故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查菱形的面積公式，考查二次函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.3、A【解題分析】

由原式，明顯考查斜率的幾何意義，故上下同除以得，再畫圖分析求得的取值范圍，再用基本不等式求解即可．【題目詳解】所求式，上下同除以得，又的幾何意義為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，由圖可得，當(dāng)過的直線與圓相切時取得臨界條件．當(dāng)過坐標(biāo)為時相切為一個臨界條件，另一臨界條件設(shè)，化成一般式得，因為圓與直線相切，故圓心到直線的距離，所以，，解得，故．設(shè)，則，又，故，當(dāng)時取等號．故，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜率的幾何意義，基本不等式的用法等．注意求斜率時需要設(shè)點(diǎn)斜式，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求得斜率，在用基本不等式時要注意取等號的條件．4、B【解題分析】試題分析：因為，，，由正弦定理，因為是三角形的內(nèi)角，且，所以，故選B．考點(diǎn)：正弦定理5、A【解題分析】

先根據(jù)的圖象性質(zhì)，推得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)條件分析求解．【題目詳解】解：是把的圖象中軸下方的部分對稱到軸上方，函數(shù)在上遞減；在上遞增．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位而得，在，上遞減，在，上遞增，若存在，，，，使成立，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)、反正切函數(shù)的圖象性質(zhì)及函數(shù)的圖象的平移．圖象可由的圖象向左、向右平移個單位得到，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】試題分析：依題意，得，設(shè)點(diǎn)到的距離為，所以與的面積之比是，故選B．考點(diǎn)：三角形的面積．7、D【解題分析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以．由正弦定理，知，即，解得，故選D．【考點(diǎn)】正弦定理【方法點(diǎn)撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時，需尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解．8、B【解題分析】

由落入圓內(nèi)的芝麻數(shù)占落入正方形區(qū)域內(nèi)的芝麻數(shù)的比例等于圓的面積與正方形的面積比相等，列等式求出的近似值.【題目詳解】邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，正方形的面積為，由幾何概型的概率公式可得，得，因此，該學(xué)生得到圓周率的近似值為，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用隨機(jī)模擬思想求圓周率的近似值，解題的關(guān)鍵就是利用概率相等結(jié)合幾何概型的概率公式列等式求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

作出可行域，作直線l:x+y=0，平移直線l可得最優(yōu)解．【題目詳解】作出可行域，如圖ΔABC內(nèi)部（含邊界），作直線l:x+y=0，平移直線l，當(dāng)直線l過點(diǎn)C(2,1)時，x+y=2+1=3為最大值．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域．10、C【解題分析】

先令,則可求得的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù),對賦值進(jìn)而限定范圍即可【題目詳解】由題,令,則,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時,的單調(diào)增區(qū)間為,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據(jù)正弦定理得12、4【解題分析】

利用對數(shù)的運(yùn)算法則以及二次函數(shù)的最值化簡求解即可．【題目詳解】，，，則．當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算法則應(yīng)用以及利用二次函數(shù)的配方法求最值．13、【解題分析】

由兩點(diǎn)求斜率公式及斜率等于傾斜角的正切值列式求解．【題目詳解】解：由已知可得：，即，則．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的斜率，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，代入數(shù)據(jù)即可計算出的值.【題目詳解】因為，，所以，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心求參數(shù)，難度較易.15、【解題分析】若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點(diǎn)應(yīng)在線段上（不包含點(diǎn)）,當(dāng)交點(diǎn)為時，直線的傾斜角為，當(dāng)交點(diǎn)為時，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為16、【解題分析】

已知條件中含有這一表達(dá)式，可以聯(lián)想到余弦定理進(jìn)行條件替換；利用同弧所對圓心角為圓周角的兩倍，先求出角的三角函數(shù)值，再求的正弦值,進(jìn)而即可得解.【題目詳解】，，在中，代入（1）式得：，整理得：圓周角等于圓心角的兩倍，，（1）當(dāng)時，，，.（1）當(dāng)時，，點(diǎn)在的外面，此時，，．【題目點(diǎn)撥】本題對考生的計算能力要求較高，對解三角形和平面幾何知識進(jìn)行綜合考查.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,理由見解析；（2）第5個月，利潤最大為245.【解題分析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，即可直接判斷出結(jié)果；（2）將題中，代入，求出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，以及自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由題目中的數(shù)據(jù)知，描述每月利潤（單位：萬元）與相應(yīng)月份數(shù)的變化關(guān)系函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，也不是單調(diào)函數(shù)；所以，應(yīng)選取二次函數(shù)進(jìn)行描述；（2）將，代入，解得，，∴，，，，∴，萬元.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦和角公式,化簡三角函數(shù)表達(dá)式,結(jié)合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,設(shè),由余弦定理及正弦定理用表示出.再根據(jù)三角形面積公式表示出,即可結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求得最大值.【題目詳解】（1）由題意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,設(shè),由余弦定理得：,∵為正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴為銳角,,,,∵∴當(dāng)時,.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)式的化簡變形,正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積的表示方法,正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.19、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解題分析】

（1）先求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線3x﹣4y+23＝0的距離即得解.【題目詳解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中點(diǎn)為（0，3），經(jīng)過A（2，5），B（﹣2，1）的直線的斜率為，所以線段AB中垂線方程為，聯(lián)立直線方程y解得圓心坐標(biāo)為（2，1），所以圓的半徑.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.（2）圓的圓心為（2，1），半徑r＝4.圓心到直線3x﹣4y+23＝0的距離d.則圓上的點(diǎn)到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離為d﹣r＝1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）恰有一支一等品，從3支一等品中任取一支，從二、三等品種任取兩支利用分布乘法原理計算后除以基本事件總數(shù)；（2）恰有兩枝一等品，從3支一等品中任取兩支，從二、三等品種任取一支利用分布乘法原理計算后除以基本事件總數(shù)；（3）從5支非三等品中任取三支除以基本事件總數(shù)．【題目詳解】（1）恰有一枝一等品的概率；（2）恰有兩枝一等品的概率；（3）沒有三等品的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型及其概率計算公式，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.21、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【題目詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因為O，E分別為BD.PD的中點(diǎn),所以EO