工程力學(xué)課堂教學(xué)軟件教師版虛位移原理

第二篇彈性靜力學(xué)(二)

第3章虛位移原理在彈性桿件問(wèn)題中的應(yīng)用清華大學(xué)范欽珊

2024年1月11日

引言

基本概念

互等定理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

虛位移原理在彈性桿件上的應(yīng)用

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

結(jié)論與討論

引言

引言

分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的優(yōu)勢(shì)分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

引言分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

直接方法－利用平衡、變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系

應(yīng)力分析方法；

求解超靜定問(wèn)題的方法。

引言分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

引言

能量方法－利用能量原理（同時(shí)滿足平衡、變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系)

虛位移原理

虛力原理

最小勢(shì)能原理

最小余能原理

引言能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的優(yōu)勢(shì)能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的的優(yōu)勢(shì)

引言

一般能量守恒原理：可以確定加力點(diǎn)沿加力方向的位移ABCFP外力功＝系統(tǒng)的應(yīng)變能能解決什么問(wèn)題？不能解決什么問(wèn)題？能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的

6個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)

引言

可以確定任意點(diǎn)沿任意方向的位移；

可以確定位移函數(shù)；

既可以確定位移，又可以確定內(nèi)力和應(yīng)力；

既適用于線性問(wèn)題，又適用于非線性問(wèn)題；

可以用于直接求解超靜定；

容易擴(kuò)展到二維和三維問(wèn)題。

基本概念

基本概念

功和余功；

應(yīng)變能和余應(yīng)變能；

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計(jì)算；

功和余功

基本概念

基本概念功和余功討論一般的力和位移關(guān)系：廣義力與廣義位移－

力－線位移；

力偶－角位移；

均勻分布載荷－？；

均勻分布?jí)毫Γ?？；一般的力和位移關(guān)系－

基本概念功和余功功(work)－以位移作為積分變量dW=FPd

W=

dW=

FPd

dW

基本概念功和余功余功(complementarywork)

－以力作為積分變量dWc=

dFPdWc=

dFPFPWc=

dWc

應(yīng)變能和余應(yīng)變能

基本概念

基本概念

應(yīng)變能和余應(yīng)變能廣義的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

＝(),

=()

－可以是正應(yīng)力也可以是切應(yīng)力

－可以是正應(yīng)變也可以是切應(yīng)變

基本概念

應(yīng)變能和余應(yīng)變能應(yīng)變能(strainenergy)－以

為積分變量

=

d－應(yīng)變比能V

＝

dV－應(yīng)變能

基本概念

應(yīng)變能和余應(yīng)變能

余應(yīng)變能(complementary

strainenergy)－以

為積分變量

c

=

d

－余應(yīng)變比能Vc＝

c

dV

－余應(yīng)變能

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計(jì)算

基本概念

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計(jì)算幾個(gè)前提：

桿件變形后橫截面保持平面；

靜力學(xué)方程成立；

FNx=

AdAMz=-AydAMy=AzdAMx=AdA

細(xì)長(zhǎng)桿忽略剪力影響。

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計(jì)算對(duì)于線性問(wèn)題由

=

dV

＝

dV以及

＝E

和＝G

得到

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計(jì)算這一公式也可以由微段上內(nèi)力作功累加得到dxdx+

dxFNxFNx

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計(jì)算對(duì)于非線性問(wèn)題以及非線性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系得到V

和Vc的表達(dá)式。由

c

=

dVc＝

c

dV(參閱：工程力學(xué)教程(II)

第3章中的例題)

互等定理

互等定理功的互等定理

功的互等定理

位移互等定理

應(yīng)用能量守恒原理和疊加原理可以得到兩個(gè)互等定理

功的互等定理

互等定理FPmFPmFP－系統(tǒng)FS－系統(tǒng)

互等定理功的互等定理

功的互等定理(reciprocaltheoremofwork)FPmFPm

互等定理功的互等定理定理：一個(gè)力系的力在另一個(gè)力系引起的相應(yīng)的位移上所作之功等于另一個(gè)力系的力在這一個(gè)力系引起的相應(yīng)的位移上所作之功。FPm

PnS

P2S

P1S

互等定理FP－系統(tǒng)FS－系統(tǒng)

互等定理FP－系統(tǒng)FS－系統(tǒng)

S1P

S2P

SnP

S1P

S2P

SnP

互等定理FPm

互等定理

互等定理功的互等定理

互等定理功的互等定理特殊情形iFi

iij

jiji

jj

ijFjFi

ij=Fj

ji

位移互等定理

互等定理iFi

iij

jiji

jj

ijFj

互等定理位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=ji＝Fii1

iij

jiji

jj

ij1iFi

iij

jiji

jj

ijFj

互等定理位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=

ji

互等定理位移互等定理位移互等定理

一個(gè)力(廣義的)與另一個(gè)力(廣義的)若數(shù)值相等，則一個(gè)力(廣義的)在另一個(gè)力(廣義的)作用處引起的位移，數(shù)值上等于另一個(gè)力(廣義的)在這一個(gè)力(廣義的)作用處引起的位移。

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

原理表述

彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明

虛位移模式的多樣性

虛位移原理的應(yīng)用條件

原理表述

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理原理表述彈性體平衡的必要條件

對(duì)于處于平衡狀態(tài)的彈性體，令其自平衡位置起有一微小虛位移，則作用在彈性體上的外力在相應(yīng)的虛位移上所作之功與彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所作之功之和等于零。彈性體平衡

We＋Wi＝0

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理原理表述彈性體平衡的充分條件

對(duì)于處于某一位置的彈性體，令其自這一位置起有一微小虛位移，若作用在彈性體上的外力在相應(yīng)的虛位移上所作之功與彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所作之功之和等于零，則彈性體在這一位置保持平衡。彈性體平衡

We＋Wi＝0

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理原理表述虛位移原理

彈性體平衡的充分和必要條件是，作用在彈性體上的外力在相應(yīng)的虛位移上所作之功與彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所作之功之和等于零。彈性體平衡

We＋Wi＝0

彈性體平衡必要條件的簡(jiǎn)單證明

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明以承受分布載荷的簡(jiǎn)單支承梁為例平衡時(shí)，有平衡位置虛位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明令梁自變形后的平衡位置起，有一虛位移

w平衡位置平衡位置虛位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明

微段dx上的外力qdx在虛位移

w上所作虛功為(qdx)wxdx

全部外力在虛位移

w上所作之總虛功為

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明00

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明

全部外力在虛位移

w上所作之總虛功為

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明考察微段的變形和虛位移，計(jì)算內(nèi)力虛功平衡位置虛位移xdx

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明考察微段的變形和虛位移，計(jì)算內(nèi)力虛功平衡位置虛位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明考察微段的變形和虛位移，計(jì)算內(nèi)力虛功其中(d)

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡(jiǎn)單證明彈性體平衡

虛位移模式的多樣性

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是與真實(shí)位移有關(guān)的位移，也可以與真實(shí)位移無(wú)關(guān)

可以是真實(shí)位移的增量，這時(shí)外力的虛功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能的增量。虛位移原理變?yōu)閺椥泽w平衡

We＝V

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是某一(或某幾個(gè))真實(shí)位移的增量

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是另外一個(gè)與之相關(guān)的系統(tǒng)的真實(shí)位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是另外一個(gè)與之相關(guān)的系統(tǒng)的真實(shí)位移

可以是某一(或某幾個(gè))真實(shí)位移的增量

可以是與真實(shí)位移有關(guān)的位移，也可以與真實(shí)位移無(wú)關(guān)

可以是真實(shí)位移的增量，這時(shí)外力的虛功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能的增量。虛位移原理變?yōu)閺椥泽w平衡

We＝V

虛位移原理的應(yīng)用條件

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移原理的應(yīng)用條件

所有推證過(guò)程，只涉及小變形條件下的平衡方程，而與物性關(guān)系無(wú)關(guān)。

虛位移原理的應(yīng)用條件僅為小變形。

虛位移原理既適用于線性物性關(guān)系也適用于非線性物性關(guān)系。

虛位移原理在彈性桿件上的應(yīng)用

虛位移原理的應(yīng)用

求解位移曲線的近似方程

由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理

求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用

先假設(shè)一含有一個(gè)或幾個(gè)待定常數(shù)的位移函數(shù)，這一函數(shù)必須滿足連續(xù)條件和約束條件。

然后，以真實(shí)位移的增量作為虛位移原理的表達(dá)式：

We＝V

分別計(jì)算物外力虛功

We和應(yīng)變能增量

V

代入虛位移原理的表達(dá)式，得到待定常數(shù)從而求得位移函數(shù)。求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用例題已知：F、EI、l求：梁的位移曲線以及梁中點(diǎn)的撓度求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用例題1，假設(shè)位移函數(shù)2,計(jì)算應(yīng)變能3,由虛位移計(jì)算外力虛功和應(yīng)變能增量求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用2,計(jì)算應(yīng)變能3,由虛位移計(jì)算外力虛功和應(yīng)變能增量虛位移：外力虛功：應(yīng)變能增量：求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用3,由虛位移計(jì)算外力虛功和應(yīng)變能增量虛位移：外力虛功：應(yīng)變能增量：4，應(yīng)用虛位移原理確定待定常數(shù)

We＝V

求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用4，應(yīng)用虛位移原理確定待定常數(shù)

We＝V

5，確定位移曲線方程以及梁中點(diǎn)的撓度位移曲線方程求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用5，確定位移曲線方程以及梁中點(diǎn)的撓度位移曲線方程梁中點(diǎn)的撓度精確值誤差1.4%

由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理

虛位移原理的應(yīng)用

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

載荷系統(tǒng)：F1、F2、...、Fi、...、Fn

加力點(diǎn)位移：

1、

2

、...、i、...、n

虛位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

虛位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/外力虛功：應(yīng)變能增量：應(yīng)變能000

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虛功：應(yīng)變能增量：應(yīng)變能應(yīng)用虛位移原理

We＝V

000

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

系統(tǒng)的總應(yīng)變能對(duì)于某個(gè)力作用點(diǎn)沿加力方向位移的一階偏導(dǎo)數(shù)等于這個(gè)力。

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題已知：圖示結(jié)構(gòu)中，A、B、C三處均為鉸鏈，

AB桿和BC桿的拉壓剛度均為EI。FP

、

l、EI

等均為已知。求：加力點(diǎn)B處的位移。

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題

一般情形下，都是先由變形前的平衡位置求得桿的受力，再由受力計(jì)算變形或位移。

現(xiàn)在必須考察變形以后的平衡位置才能求得桿的受力，然后求得位移。問(wèn)題的性質(zhì)

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題解決問(wèn)題的思路

先將系統(tǒng)的應(yīng)變能V

表示成位移

B函數(shù):V

＝V

(

B)；

再應(yīng)用卡氏第一定理建立力FP與位移

B的關(guān)系。

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題1，建立位移

B與變形

l

之間的關(guān)系

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理1，建立位移

B與變形

l

之間的關(guān)系2,建立應(yīng)變能表達(dá)式V

＝V

(

B)例題

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理1，建立位移

B與變形

l

之間的關(guān)系2,建立應(yīng)變能表達(dá)式V

＝V

(

B)例題3,應(yīng)用卡氏第一定理建立力FP與位移

B之間的關(guān)系

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

應(yīng)用于彈性體的勢(shì)能駐值定理與最小勢(shì)能原理

鐵摩辛柯方法

瑞利－里茲法

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

應(yīng)用于彈性體的勢(shì)能駐值定理與最小勢(shì)能原理應(yīng)用于彈性體的勢(shì)能駐值定理與最小勢(shì)能原理彈性體的總勢(shì)能V＝V

＋VPV

－彈性勢(shì)能，即應(yīng)變能；

VP－載荷的位置勢(shì)能。

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用應(yīng)用于彈性體的勢(shì)能駐值定理與最小勢(shì)能原理

應(yīng)用于彈性體的勢(shì)能駐值定理：彈性體平衡構(gòu)形的充要條件是系統(tǒng)的總勢(shì)能取駐值。

V＝

V

＋

VP＝0

V

－彈性勢(shì)能增量；

VP－載荷的位置勢(shì)能增量。

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

應(yīng)用于彈性體的最小勢(shì)能原理：彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值。應(yīng)用于彈性體的勢(shì)能駐值定理與最小勢(shì)能原理

V＝

V

＋

VP

0

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

鐵摩辛柯方法

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用F=FPcr時(shí)，令其從直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變到鄰近的微彎屈曲構(gòu)形這時(shí)系統(tǒng)總勢(shì)能改變量為

V＝

V

＋

VP鐵摩辛柯方法

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

V＝

V

＋

VP

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(1)

對(duì)于一端固定、另一端自由的壓桿，假定屈曲位移函數(shù)：

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(2)

對(duì)于兩端鉸鏈的壓桿，假定屈曲位移函數(shù)：

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)

對(duì)于一端固定、另一端自由，承受軸向均布載荷的壓桿，假定屈曲位移函數(shù)：則應(yīng)變能的改變量為載荷位置勢(shì)能的改變量為

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)則應(yīng)變能的改變量為載荷位置勢(shì)能的改變量為

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)則應(yīng)變能的改變量為載荷位置勢(shì)能的改變量為

V

＋

VP＝0

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)近似解精確解

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法

瑞利－里茲法

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

首先假設(shè)包含未知參數(shù)(例如an,n=1,2,...)的屈曲構(gòu)形級(jí)數(shù)解，這一級(jí)數(shù)必須滿足幾何邊界條件；

其次根據(jù)所假設(shè)的解，計(jì)算以未知參數(shù)(例如an,n=1,2,...)表示的系統(tǒng)總勢(shì)能；根據(jù)勢(shì)能駐值定理

V＝0，由

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法根據(jù)勢(shì)能駐值定理

V＝0，由于其中都是任意的，于是得到據(jù)此即可確定未知參數(shù)a1,a2,...,an等等。

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法例題

兩端鉸支的變截面壓桿，截面的慣性矩按下列公式變化：求：臨界力。

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法例題

假設(shè)包含未知參數(shù)a1

的屈曲構(gòu)形為：系統(tǒng)的總勢(shì)能為

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法例題系統(tǒng)的總勢(shì)能為由

勢(shì)能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法

結(jié)論與討論

結(jié)論與討論

關(guān)于應(yīng)變能的計(jì)算

關(guān)于互等定理

應(yīng)用于剛體和變形體的虛位移原理之比較

關(guān)于虛位移模式的多樣性

能否通過(guò)虛位移原理確定彈性桿件的內(nèi)力和應(yīng)力

怎樣減小近似解的誤差

關(guān)于泛函和變分的概念

結(jié)論與討論

關(guān)于應(yīng)變能的計(jì)算

結(jié)論與討論關(guān)于應(yīng)變能的計(jì)算計(jì)算應(yīng)變能時(shí)能不能應(yīng)用疊加原理

不能；

能；

有時(shí)能，有時(shí)不能；什么時(shí)候能，什么時(shí)候不能？

－請(qǐng)讀者結(jié)合具體問(wèn)題加以分析研究

結(jié)論與討論關(guān)于應(yīng)變能的計(jì)算計(jì)算應(yīng)變能時(shí)能不能應(yīng)用疊加原理

M

和F

引起的應(yīng)變能是不是等于二者引起的應(yīng)變能之和？如果將

M

換為扭轉(zhuǎn)力偶Mx

,Mx

和F引起的應(yīng)變能是不是等于二者引起的應(yīng)變能之和？

關(guān)于互等定理

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?=?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?=?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?=?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理百分表

懸臂梁受力如圖示?，F(xiàn)用百分表測(cè)量梁在各處的撓度，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)方案。移動(dòng)百分表；固定百分表？

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理均布載荷q－廣義力廣義位移－？

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理

能不能應(yīng)用互等定理確定撓度曲線與梁的原軸線之間的面積？“互等

”必須有兩個(gè)相應(yīng)的系統(tǒng)，另一個(gè)系統(tǒng)是什么？

與所要求的面積相對(duì)應(yīng)的量又是什么？

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理

實(shí)心圓柱體承受軸向拉伸，請(qǐng)分析有幾種方法可以確定其體積改變量？

應(yīng)用于剛體和變形體的虛位移原理之比較

結(jié)論與討論應(yīng)用于剛體和變形體的虛位移原理之比較

結(jié)論與討論

都是討論平衡(位形或構(gòu)形)的充分和必要條件；

都是自平衡位置起令其有