微分方程概念和一階微分方程

第5章微分方程基礎(chǔ)5.2一階微分方程5.1微分方程的基本概念5.3可降階的二階微分方程5.4二階常系數(shù)線性齊次微分方程5.5微分方程在醫(yī)藥學中的應(yīng)用5.1微分方程的基本概念5.1.1引例2.微分方程的階4.微分方程的解5.1.2微分方程的基本概念1.微分方程3.線性微分方程5.微分方程的初始條件解根據(jù)題意有這就是曲線y=f(x)所滿足的微分方程對其兩端積分可得5.1.1引例解即求未知函數(shù)S=S(t).設(shè)列車開始制動后t秒內(nèi)行駛了S米，由題意，列出微分方程：積分一次得再積分一次得根據(jù)題意知S應(yīng)滿足:因假定路程S是從開始制動時算起，故S(0)=0.將這兩個條件代入(*)式得初始條件于是制動后列車的運動規(guī)律為初始條件(*)凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實質(zhì)

聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.5.1.2微分方程的基本概念1.微分方程（或微分）的關(guān)系式，稱為微分方程.未知函數(shù)是多注定義未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程.本章只研究常微分方程，簡稱為微分方程，有時也簡稱為方程.例如是常微分方程，方程方程是偏微分方程.聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導數(shù)元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程.分類1

常微分方程,偏微分方程.2.微分方程的階一階微分方程高階(n)微分方程分類2微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.例例如：一般n階線性微分方程具有形式如果方程為y及的一次有理整式，是二階線性微分方程.這里a1(x)，…，an(x)，f(x)是x的已知函數(shù).則稱為n階線性微分方程.不是線性方程的方程稱為非線性方程.3.線性微分方程分類3

線性與非線性微分方程.分類4

單個微分方程與微分方程組.例如：是二階非線性方程.定義為方程的解.例如：如果函數(shù)代入微分方程，能使微分方程變?yōu)楹愕仁?，則稱函數(shù)如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)隱式解.是微分方程的解，則稱為方程的函數(shù)是方程的解.4.022-=dtsd4.微分方程的解例如：隱式解.注今后不把解和隱式解加以區(qū)別，統(tǒng)稱為方程一階微分方程有解和而關(guān)系式x2+y2=1就是方程的的解.定義如果n階常微分方程的解中含有n個獨立的任意常數(shù)，則稱它為微分方程的通解.不含任意常數(shù)的解稱為它的特解.例如注1通解不一定就是所有解.是方程的通解；是方程的通解.注2求微分方程的通解時，通解中的C不能被省略，但“C為任意常數(shù)”可以被省略.例如：這兩個解不包括在通解中.的通解，其中C為任意常數(shù).容易驗證y=1和y=-1都是方程的解.但或是方程5.微分方程的初始條件解所必需滿足的條件，這就是所謂初始條件.為了確定微分方程一個特解，通常給出這個用未知函數(shù)及其各階導數(shù)在某個特定點的值作為確定通解中的任意常數(shù)而得到特解的條件，稱為初始條件

定義:如例1中的(2,3)是初始條件.過定點的積分曲線;一階二階過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線。初值問題

求微分方程滿足初始條件的解的問題.5.微分方程的初始條件解所求特解為#一階微分方程第5章微分方程基礎(chǔ)5.2一階微分方程5.1微分方程的基本概念5.3可降階的二階微分方程5.4二階常系數(shù)線性齊次微分方程5.5微分方程在醫(yī)藥學中的應(yīng)用5.2一階微分方程5.2.1可分離變量的微分方程5.2.3一階線性微分方程5.2.2齊次微分方程

5.2.1可分離變量的微分方程一階微分方程的一般形式是的已知函數(shù).是其中形如的微分方程稱為已分離變量的微分方程.5.2一階微分方程兩邊同時積分，得注其中C是任意常數(shù).為了明顯起見，將不定積分看成f(x)的一個原函數(shù)，而將積分常數(shù)C

（為通解表達式任意常數(shù)）單獨寫出來.的方程稱為可分離變量的微分方程.形如或分離變量后，兩邊同時積分，即可得到通解。#5.2.2齊次微分方程形如的微分方程稱為齊次微分方程.令則代入方程，得到關(guān)于未知函數(shù)u,自變量x的微分方程變量可分離兩邊積分得分離變量得回代，即可得通解.將的通解.解原方程可寫為例1求微分方程其為齊次方程.令則原方程變?yōu)槠渲蠧為任意常數(shù).代入上式中的u，便得原方程的通解為以#即分離變量得兩邊積分得即5.2.3一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程.“線性”指在方程中含有未知函數(shù)y注而Q(x)稱為自由項.和它的導數(shù)的項都是的一次項，稱為一階齊次線性微分方程.稱為一階非齊次線性微分方程.當自由項Q(x)=0時，當Q(x)≠0時，方程即通解為其中C為任意常數(shù).一階齊次線性方程的解法是可分離變量方程，分離變量并積分討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:一階非齊次線性方程的解法只要解得C(x),則可直接寫出非齊次方程通解為：常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.作常數(shù)變易由對應(yīng)的齊次方程的通解:得到非齊次方程通解形式代入原微分方程,解出待定的C(x)即可。為此積分得非齊次線性微分方程的通解非齊次方程特解對應(yīng)齊次方程通解具體步驟常數(shù)變易法具體步驟如下：1.求出對應(yīng)的齊次微分方程的通解2.將上式中的常數(shù)C換成待定的函數(shù)C(x)，設(shè)非齊次微分方程的通解為3.將上式代入原非齊次方程,解出待定的C(x)原非齊次微分方程的通解.4.將解出的C(x)代回,即得

例1解將方程改寫為求方程的通解（n為常數(shù)）.1.先求對應(yīng)齊次線性方程的通解.由得到齊次線性方程的通解為2.由常數(shù)變易法,設(shè)非齊次線性方程的通解為3.將上式代入原非齊次方程,解出待定的C(x)原方程的通解為注求解非齊次線性微分方程時，也可直接利用通解公式.即其中是任意常數(shù).4.將解出的C(x)代回即得

解例2例3解：由常數(shù)變易法（2）設(shè)非齊次微分方程的通解為（1）（3）（4）#例4由題意得：又曲線過點從而：C=0即：解：微分方程;微分方程的階;線性微分方程小結(jié)微分方程的解及其分類(1)通解微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。(2)特解確定了通解中任意常數(shù)以后的解。特解的圖象

一條積分曲線。通解的圖象

積分曲線族。初始條件

用來確定任意常數(shù)的條件。第一節(jié)微分方程的基本概念本節(jié)主要討論了常見的幾種較為簡單的一階微分方程的解法，主要包括可分離變量方程、齊次方程、一階線性微分方程等.可分離變量方程：通過分離變量并積分即可得到通解.或5.2一階微分方程小結(jié)從而可化為可分離變量方程求解.