數(shù)字電路與系統(tǒng)設(shè)計第2章-邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字電路

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)張延軍北京理工大學(xué)zhangyj@本章內(nèi)容2.1概述

2.2邏輯變量和邏輯函數(shù)2.3邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)律2.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式2.5邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法2.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.7非完全描述邏輯函數(shù)2.8邏輯函數(shù)的描述2024/1/122zhangyj@邏輯代數(shù)概述事物的二值性：“真”與“假”、“快”與“慢”、“是”與“非”等。邏輯代數(shù)是研究事物發(fā)展變化的因果關(guān)系的數(shù)學(xué)分支。邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)January12,20243zhangyj@邏輯變量與邏輯函數(shù)January12,20244zhangyj@邏輯事物的因果之間所應(yīng)遵循的規(guī)律，最基本的邏輯關(guān)系包括“與”邏輯、“或”邏輯、“非”邏輯。邏輯變量邏輯代數(shù)中的二值變量，邏輯變量的取值只有“0”和“1”兩個值，代表成對出現(xiàn)的邏輯概念，如“真”和“假”、“開”和“關(guān)”，“有”和“無”等?！芭c”邏輯關(guān)系EABY“與”邏輯關(guān)系

：當(dāng)決定事件的各個條件全部具備之后，事件才會發(fā)生。Y=A?B=A&B=A∩B=A·B=ABABY000010100111邏輯表達(dá)式（邏輯乘法）“與”邏輯真值表邏輯符號(“與”門)引入邏輯變量A、B、Y分別代表兩個開關(guān)和燈泡的狀態(tài)。A(B)=1:開關(guān)閉合；A(B)=0:開關(guān)斷開；Y=1:燈泡亮；Y=0:燈泡滅“或”邏輯關(guān)系January12,20246zhangyj@“或”邏輯關(guān)系

：當(dāng)決定事件的各個條件中有一個或一個以上具備之后，事件就會發(fā)生。EABY邏輯符號(“或”門)Y=AUB=AVB=A|B=A+BABY000011101111邏輯表達(dá)式（邏輯加法）“或”邏輯真值表“非”邏輯關(guān)系January12,20247zhangyj@“非”邏輯關(guān)系

：決定事件的條件只有一個，當(dāng)條件具備時，事件不會發(fā)生，條件不存在時，事件發(fā)生。REAY邏輯符號(“非”門)AY0110邏輯表達(dá)式（邏輯取反）“非”邏輯真值表讀作“A反”、“A非”或“A補(bǔ)”波形圖—邏輯運算的另一種表示法采用波形圖也可以對邏輯運算進(jìn)行描述，下圖為“與”運算的波形圖January12,20248zhangyj@BAF邏輯運算的五種表示方法

邏輯運算名稱真值表邏輯表達(dá)式邏輯符號波形圖January12,20249zhangyj@邏輯運算的優(yōu)先次序單變量上的“非”運算優(yōu)先級最高。如等?！芭c”運算(邏輯乘)要優(yōu)先于“或”運算(邏輯加)。括弧“（）”內(nèi)的運算優(yōu)先于括弧外的運算。如

，先對B取反，再算“或”運算，最后算

“與”運算。多變量上的“非”運算相當(dāng)于加括弧。如：

相當(dāng)于January12,202410zhangyj@邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)：把“與”、“或”、“非”三種基本邏輯運算組合成邏輯表達(dá)式，并將該邏輯表達(dá)式的運算結(jié)果賦予另外一個邏輯變量。如：記為：

January12,202411zhangyj@邏輯自變量邏輯因變量邏輯函數(shù)

January12,202412zhangyj@任何一個邏輯行為都可用一個邏輯函數(shù)來描述F：燈L的狀態(tài)F=1：燈亮F=0：燈滅A：K下的狀態(tài)A=1：K下向上扳A=0：K下向下扳B：K上的狀態(tài)A=1：K上向上扳A=0：K上向下扳邏輯自變量也稱為輸入邏輯變量邏輯因變量也稱為輸出邏輯變量邏輯函數(shù)與邏輯電路的關(guān)系邏輯函數(shù)和邏輯電路是對應(yīng)的邏輯函數(shù)可以由邏輯電路來實現(xiàn)；邏輯電路可以由邏輯函數(shù)來表示。January12,202413zhangyj@邏輯代數(shù)公理邏輯代數(shù)公理—邏輯常數(shù)“0”和“1”的基本運算規(guī)則。January12,202414zhangyj@0?0=00?1=1?0=01?1=1與0+0=00+1=1+0=11+1=1或非0=11=0邏輯代數(shù)基本定律名稱公式類別0-1律自等律互補(bǔ)律1.A·0=02.A·1=A3.A·A=0*1’.A+1=1*2’.A+0=A3’.A+A=1*常量和變量間的等式交換律結(jié)合律分配律4.A·B=B·A5.(A·B)·C=A·(B·C)6.A·(B+C)=A·B+A·C4’.A+B=B+A5’.(A+B)+C=A+(B+C)6’.A+B·C=(A+B)(A+C)*類似普通代數(shù)變量間的等式重疊律反演律(德·摩根定理）還原律A·A=A*8.A·B=A+B*9.A=A*7’.A+A=A*8’.A+B=A·B*邏輯代數(shù)特有January12,202415zhangyj@帶*的公式在普通代數(shù)里沒有反演定律的證明反演定律推廣（推廣到多個變量的情況）January12,202416zhangyj@ABA·BA+BA+BA·B001111011100101100110000A·B·C·…=A+B+C+…

A+B+C+…=A·B·C·…最簡單的證明方法：真值表用代數(shù)方法證明基本定律證明公式6’：A+B·C=(A+B)(A+C)證：

January12,202417zhangyj@（還原律）（摩根定理）（分配律）（摩根定理）（還原律）特別注意在邏輯代數(shù)中不會出現(xiàn)指數(shù)和系數(shù)

A?AA2；A+A2A在邏輯代數(shù)中沒有減法和除法A(A+B)=A→A+B=1？？？

A+AB=A+B→AB=B？？？January12,202418zhangyj@利用代入規(guī)則證明狄·摩根定理可以擴(kuò)展到多個輸入變量

狄·摩根定理：

(1)(2)令B=C·D，代入（1）式：再令B=C+D，代入（2）式：

邏輯代數(shù)運算的三個重要原則（規(guī)則一）代入規(guī)則：任何一個邏輯等式，將等式兩邊出現(xiàn)的同一個邏輯變量都代之以同樣的邏輯函數(shù)，邏輯等式仍然成立。January12,202419zhangyj@邏輯代數(shù)運算的三個重要原則反函數(shù)：若兩個邏輯函數(shù)F和G的輸入變量相同，而且F和G對于任意的一組輸入變量取值都有相反的函數(shù)值，則稱這兩個函數(shù)互反（互補(bǔ)），記做。（規(guī)則二）反演規(guī)則：對于任意邏輯函數(shù)F，做以下三種變化后可以得到F的反函數(shù)F。1）把原表達(dá)式中所有的“·”運算符換成“+”運算符，同時把所有的“+”運算符換成“·”運算符。2）把原表達(dá)式中所有的邏輯常量“0”換成邏輯常量“1”，而把所有的邏輯常量“1”換成邏輯常量“0”。3）把原表達(dá)式中所有的原變量換成反變量，再把所有的反變量換成原變量。January12,202420zhangyj@邏輯代數(shù)運算的三個重要原則運用反演規(guī)則需要特別注意以下兩點：1）絕不能打亂原式的運算順序；2）不屬于單變量上的非號應(yīng)保留不變January12,202421zhangyj@邏輯代數(shù)運算的三個重要原則對偶式：對于任意邏輯函數(shù)F，做以下三種變化后即得到F的對偶式（對偶函數(shù)）F

’。1）把原表達(dá)式中所有的“·”運算符換成“+”運算符，同時把所有的“+”運算符換成“·”運算符。2）把原表達(dá)式中所有的邏輯常量“0”換成邏輯常量“1”，而把所有的邏輯常量“1”換成邏輯常量“0”。3）原表達(dá)式中所有的原變量和反變量均保持不變。January12,202422zhangyj@邏輯代數(shù)運算的三個重要原則（規(guī)則三）對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)相等，則他們的對偶式（對偶函數(shù)）也相等。January12,202423zhangyj@若F=G，則F’=G’。一般情況下：邏輯代數(shù)基本定律表格中，右邊一欄的公式分別是左邊一欄公式的對偶式邏輯代數(shù)基本定理（定理一）合并定理January12,202424zhangyj@證明：

邏輯代數(shù)基本定理（定理二）吸收定理January12,202425zhangyj@證明：

邏輯代數(shù)基本定理（定理三）添加項定理January12,202426zhangyj@證明：

邏輯代數(shù)基本定理（定理四）January12,202427zhangyj@證明：

復(fù)合運算和復(fù)合邏輯門復(fù)合運算：將三種基本運算（與、或、非）按某種形式進(jìn)行的簡單的組合構(gòu)成的新的邏輯運算。復(fù)合邏輯門：用于實現(xiàn)復(fù)合邏輯運算的邏輯門電路，簡稱復(fù)合門。January12,202428zhangyj@復(fù)合運算復(fù)合運算1：“與非”、“或非”、“與或非”January12,202429zhangyj@

與非：

“與非”門

或非：

“或非”門

與或非：

“與或非”門復(fù)合運算復(fù)合運算2：“異或”January12,202430zhangyj@

定義：

“異或”門ABF000011101110擴(kuò)展到多變量：異或運算滿足如下基本規(guī)律：1）交換律2）結(jié)合律3）分配率

自行證明復(fù)合運算“異或”運算的特性January12,202431zhangyj@特性1：多變量“異或”運算的結(jié)果取決于變量中取值為“1”的變量的個數(shù)，而與取值為“0”的變量的個數(shù)無關(guān)。若取值為“1”的變量的個數(shù)是奇數(shù)，則“異或”的結(jié)果為“1”；若取值為“1”的變量的個數(shù)為偶數(shù)，則“異或”的結(jié)果為“0”。特性2：異或運算具有因果互換關(guān)系。即，等式兩邊的邏輯變量可以互相交換位置而仍然保持等式的成立。

由特性1可得：“異或”函數(shù)中任意一個輸入變量取反，將導(dǎo)致運算結(jié)果取反復(fù)合運算復(fù)合運算3：“同或”January12,202432zhangyj@“同或”門ABF001010100111擴(kuò)展到多變量：同或運算滿足如下基本規(guī)律：1）交換律2）結(jié)合律3）分配率

自行證明

定義：

復(fù)合運算“同或”運算的特性January12,202433zhangyj@特性1：多變量“同或”運算的結(jié)果取決于變量中取值為“0”的變量的個數(shù)，而與取值為“1”的變量的個數(shù)無關(guān)。若取值為“0”的變量的個數(shù)是偶數(shù)，則“同或”的結(jié)果為“1”；若取值為“0”的變量的個數(shù)為奇數(shù)，則“同或”的結(jié)果為“0”。特性2：“同或”運算具有因果互換關(guān)系。即，等式兩邊的邏輯變量可以互相交換位置而仍然保持等式的成立。

由特性1可得：“同或”函數(shù)中任意一個輸入變量取反，將導(dǎo)致運算結(jié)果取反

邏輯運算符號的完備性由“與”、“或”、“非”三種基本邏輯運算可以組成任意邏輯函數(shù)，因此，“與”、“或”、“非”是一組邏輯功能完備的邏輯運算符?！芭c非”、“或非”、“與或非”中的任何一種運算都能單獨實現(xiàn)“與”、“或”、“非”這三種基本邏輯運算，都可單獨組成任何一個邏輯函數(shù)，因此“與非”、“或非”、“與或非”運算各自都是功能完備的邏輯運算符。January12,202434zhangyj@例：用“或非”門實現(xiàn)“與”、“或”、“非”運算邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式一個邏輯函數(shù)可以有多種表達(dá)式形式“與或”表達(dá)式“或與”表達(dá)式“與非-與非”表達(dá)式“或非-或非”表達(dá)式“與或非”表達(dá)式January12,202435zhangyj@“或與”表達(dá)式“與非-與非”表達(dá)式“或非-或非”表達(dá)式“與或非”表達(dá)式有沒有相對唯一的表達(dá)式？最大項和最小項January12,202436zhangyj@最小項：n個變量的最小項是n個變量的積，其中每一個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。最大項：n個變量的最大項是n個變量的和，其中每一個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。n個變量則有2n個最小項和2n個最大項三變量最小項真值表January12,202437zhangyj@No.變量值A(chǔ)BCm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm7ABC000010000000100101000000201000100000301100010000410000001000510100000100611000000010711100000001最小項的性質(zhì)性質(zhì)1：對于任意一個最小項，只有一組變量的取值使它的值為1，而當(dāng)變量取其它各組值時，該最小項的值都是0。性質(zhì)2：任意兩個不同的最小項的乘積（相“與”）恒為0。性質(zhì)3：全體最小項之和（相“或”）恒為1。January12,202438zhangyj@三變量最大項真值表January12,202439zhangyj@No.變量值A(chǔ)BCM7A+B+CM6A+B+CM5A+B+CM4A+B+CM3A+B+CM2A+B+CM1A+B+CM0A+B+C000011111110100111111101201011111011301111110111410011101111510111011111611010111111711101111111最大項的性質(zhì)性質(zhì)1：對于任意一個最大項，只有一組變量的取值使它的值為0，而當(dāng)變量取其它各組值時，該最大項的值都是1。性質(zhì)2：任意兩個不同的最大項的和（相“或”）恒為1。性質(zhì)3：全體最大項之積（相“與”）恒為0。January12,202440zhangyj@最大項和最小項的關(guān)系January12,202441zhangyj@變量數(shù)相同，編號相同的最小項和最大項之間存在互補(bǔ)關(guān)系。邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式1：最小項之和式January12,202442zhangyj@由若干個最小項相“加”（相“或”）而構(gòu)成，也叫標(biāo)準(zhǔn)“與或”式。例如：可以簡寫為：例題：把展開為最小項之和式解：任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以被展開成唯一的最小項之和式邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式2：最大項之積式January12,202443zhangyj@由若干個最大項相“乘”（相“與”）而構(gòu)成，也叫標(biāo)準(zhǔn)“或與”式。例如：可以簡寫為：例題：把展開為最大項之積式解：任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以被展開成唯一的最大項之積式邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式由真值表寫邏輯表達(dá)式最小項之和最大項之積January12,202444zhangyj@No.ABCF000001001020100301

1141000510116110171111三人表決邏輯真值表兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間的關(guān)系January12,202445zhangyj@兩種表達(dá)式所含的編號是互相補(bǔ)充的，即最大項之積式中的最大項編號正好是最小項之和式中未包含的號碼，反之亦然。反函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式設(shè)F=∑(1,3,6,7)根據(jù)F+F=1，知F=∑(0,2,4,5)另一方面：F=∑(1,3,6,7)=∏(1,3,6,7)由此知，給定Ｆ，可直接寫出Ｆ的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式January12,202446zhangyj@邏輯函數(shù)的化簡F=AB+AC+BC=AB+AC化簡邏輯函數(shù)帶來的好處：

實現(xiàn)同一個邏輯關(guān)系可節(jié)省門、減少輸入端數(shù)，提高電路的經(jīng)濟(jì)性、穩(wěn)定性January12,202447zhangyj@ABFACBCABFAC邏輯函數(shù)的化簡經(jīng)常需要將函數(shù)化簡為下列五種形式之一“與或”表達(dá)式：F=AB+AD“或與”表達(dá)式：F=(A+B)(C+D)“與非-與非”表達(dá)式：F=ABCD“或非-或非”表達(dá)式：F=A+B+C+D“與或非”表達(dá)式：F=AB+CD這是我們的基本技能之一，必須掌握J(rèn)anuary12,202448zhangyj@邏輯函數(shù)的化簡本節(jié)主要介紹“與或”表達(dá)式的化簡，因為任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式都成展開成一個“與或”表達(dá)式；從一個最簡“與或”表達(dá)式，很容易得到“與非-與非”、“與或非”等其他形式的表達(dá)式只要掌握了“與或”表達(dá)式的化簡方法，利用對偶式，不難化簡“或與”表達(dá)式最簡“與或”表達(dá)式應(yīng)該滿足如下兩個條件：表達(dá)式中乘積項的個數(shù)應(yīng)該是最少的滿足以上條件的前提下，每一個乘積項中所含的變量個數(shù)最少January12,202449zhangyj@邏輯函數(shù)的化簡代數(shù)化簡法卡諾圖化簡法系統(tǒng)化簡法（Q-M化簡法）（自學(xué)內(nèi)容）January12,202450zhangyj@邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法：反復(fù)運用基本公式和常用公式消去多余項和多余因子，以便求得最簡表達(dá)式。并項法消項法消元法配項法January12,202451zhangyj@邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法并項法：利用合并定理和互補(bǔ)律將兩項合并成一項，同時消去一個“因子”（變量）。January12,202452zhangyj@例邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法消項法：利用吸收定理和添加項定理律消去多余的項。January12,202453zhangyj@例邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法消元法：利用吸收定理消去多余的項。January12,202454zhangyj@例邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法配項法：利用互補(bǔ)律，重疊率和添加項定理等，在邏輯表達(dá)式中先添項目，再消項。January12,202455zhangyj@例邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法例題：January12,202456zhangyj@“或與”表達(dá)式的化簡最簡“或與”表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)：“或項”（“和”項）最少每個“或項”所含的變量個數(shù)最少“或與”表達(dá)式的化簡方法1）利用邏輯代數(shù)基本定律和基本定理2）利用對偶式，先將“或與”表達(dá)式轉(zhuǎn)換成“與或”表達(dá)式，化簡后再轉(zhuǎn)換成“或與”表達(dá)式January12,202457zhangyj@“或與”表達(dá)式的化簡例：求以下函數(shù)的最簡“或與”式1)求F’2)化簡F’3)求(F’)’,即FJanuary12,202458zhangyj@最簡“與非-與非”表達(dá)式化簡目標(biāo)：表達(dá)式的“非”號最少（不包含單個變量上的“非”號）每個“非”號下的變量個數(shù)最少化簡方法：用“求反加非”和反演律將已化簡的“與或”式變換為最簡“與非-與非”表達(dá)式January12,202459zhangyj@最簡“與非-與非”表達(dá)式例：用最少的“與非”門實現(xiàn)解：先求F的最簡“與或”式：用“取反加非”的方式將F變成最簡“與非-與非”式

January12,202460zhangyj@最簡“或非-或非”表達(dá)式化簡目標(biāo)：表達(dá)式的“非”號最少（不包含單個變量上的“非”號）每個“非”號下的變量個數(shù)最少化簡方法：用“求反加非”和反演律將已化簡的“或與”式變換為最簡“或非-或非”表達(dá)式January12,202461zhangyj@最簡“或非-或非”表達(dá)式例：用最少的“或非”門實現(xiàn)解：先求F的最簡“或與”式用“取反加非”的方式將F變成最簡“或非-或非”式

January12,202462zhangyj@最簡“與或非”表達(dá)式化簡目標(biāo)：“與”項的個數(shù)最少每個“與”項所含的變量個數(shù)最少化簡方法：對的最簡“與或”式“求反”，就得到F的最簡“與或非”式January12,202463zhangyj@最簡“與或非”表達(dá)式例：求的最簡“與或非”式解：先求的最簡“與或”式

所以F的最簡“與或非”式為

January12,202464zhangyj@邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯相鄰最小項（“邏輯相鄰項”或“相鄰項”）January12,202465zhangyj@任意兩個變量個數(shù)相同的最小項，如果組成它們的各個變量（原變量或反變量）中，只有一個變量互補(bǔ)（互反）而其余變量均相同（同為原變量或反變量）時，就稱這兩個最小項是邏輯相鄰的最小項，簡稱“邏輯相鄰項”或“相鄰項”?！獭獭獭羶蓚€邏輯相鄰的最小項相“或”，結(jié)果將產(chǎn)生一個“與”項并同時消掉一個變量。如：卡諾圖的構(gòu)成January12,202466zhangyj@AB0

1

0

10132二變量卡諾圖ABC00

0111100

101324

576三變量卡諾圖0132457612

1315148

91110ABCD00

01

11

1000

01

11

10四變量卡諾圖最小項編號卡諾圖的構(gòu)成January12,202467zhangyj@0

1

3

24

57612

13

15

1489

11

10BCDE000111

1000011110A=016171918202123222829313024252726BCDE000111

1000011110A=1五變量卡諾圖卡諾圖的特點n變量的卡諾圖有2n個小方格，每個小方格表示一個最小項。變量按行、列分為兩組，每組變量的取值按格雷碼排列?？ㄖZ圖任一行或一列的兩端上的小方格所代表的最小項在邏輯上是相鄰的。在幾何空間上應(yīng)該把卡諾圖看成上下、左右循環(huán)連接的圖形，如同一個封閉球面。對于變量個數(shù)大于四個的情形，僅用二維幾何空間的位置相鄰性已經(jīng)不能完全地表示最小項的邏輯相鄰性卡諾圖不止有一種形式。January12,202468zhangyj@邏輯函數(shù)的卡諾圖表示第一步根據(jù)邏輯函數(shù)中變量的個數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖框第二步根據(jù)給定函數(shù)的表達(dá)式形式（各種表達(dá)形式或真值表）填寫卡諾圖框圖（往卡諾圖上小方格里填寫“1”或“0”January12,202469zhangyj@對于給定的邏輯函數(shù)，如何用卡諾圖表示？邏輯函數(shù)為最小項之和式January12,202470zhangyj@在卡諾圖中，將表達(dá)式中所有的最小項所對應(yīng)的小方格里都填寫“1”，其余小方格里都填寫“0”。1001011000011110ABC01111100011110ABC01025700011110ABC01簡化畫法邏輯函數(shù)為最大項之積式January12,202471zhangyj@將卡諾圖上編號與表達(dá)式中最大項編號相同的小方格里都填寫“0”，而其余的小方格里都填寫“1”。1001011000011110ABC01三變量最小項m7和最大項M7的卡諾圖January12,202472zhangyj@0000001000011110ABC011111110100011110ABC01m7的卡諾圖M7的卡諾圖從圖中“1”的個數(shù)看，m7只有一個格為“1”，而M7除一個格為“0”外，其余均為“1”，這就是最大項和最小項名稱的由來。上圖證明了最大項和最小項的互補(bǔ)關(guān)系。邏輯函數(shù)為真值表形式序號AB

CF012345670000010100111

0010111011110100111January12,202473zhangyj@若卡諾圖上的某個小方格所代表的最小項，在真值表里所對應(yīng)的函數(shù)F取值為“1”，則該小方格里填“1”；否則就填“0”。1001011100011110ABC01邏輯函數(shù)為一般“與或”式January12,202474zhangyj@將“與或”式中所有“與”項在卡諾圖中所覆蓋的區(qū)域內(nèi)的所有小方格都填“1”（已經(jīng)填過“1”的小格除外），其余都填“0”。00011110ABC0101100010邏輯函數(shù)為一般“或與”式January12,202475zhangyj@將“或與”式中所有“或”項在卡諾圖中所覆蓋的區(qū)域內(nèi)的所有小方格都填“0”（已經(jīng)填過“0”的小格除外），其余都填“1”。00011110ABC0111100110邏輯函數(shù)為其他形式的邏輯表達(dá)式January12,202476zhangyj@將這些表達(dá)式轉(zhuǎn)化為“與或”式或者“或與”式，再填寫卡諾圖例1：00011110ABC0111111100邏輯函數(shù)為其他形式的邏輯表達(dá)式January12,202477zhangyj@將這些表達(dá)式轉(zhuǎn)化為“與或”式或者“或與”式，再填寫卡諾圖例2：00011110ABC0110111001卡諾圖的性質(zhì)January12,202478zhangyj@性質(zhì)1：若F的卡諾圖中所有的小格都填“1”，則F=1。性質(zhì)2：若F的卡諾圖中所有的小格都填“0”，則F=0。性質(zhì)3：若將F的卡諾圖中所有小格內(nèi)的“0”都換成“1”、“1”都換成“0”，則得到F的卡諾圖。（卡諾圖反演）00011110ABC010001010000011110ABC1110101101函數(shù)F的卡諾圖補(bǔ)函數(shù)F的卡諾圖求反卡諾圖的運算-“乘”卡諾圖的相“乘”（“與”）運算：若函數(shù)F為某兩個函數(shù)F1和F2相“與”而構(gòu)成，則F的卡諾圖等于F1的卡諾圖和F2的卡諾圖的“與”。即：

若F=F1·F2，則K(F)=K(F1)·K(F2)January12,20247900011110ABC0111111100011110ABC1111110100011110ABC01111101F1的卡諾圖F2的卡諾圖F1·F2的卡諾圖?卡諾圖的運算-“加”卡諾圖的相“加”（“或”）運算：兩個函數(shù)相“或”的卡諾圖等于這兩個函數(shù)各自的卡諾圖相“或”。即：

若F=F1+F2，則K(F)=K(F1)+K(F2)January12,20248000011110ABC1000100100011110ABC0001101000011110ABC10011011F1的卡諾圖F2的卡諾圖F1+F2的卡諾圖+卡諾圖的運算-“異或”卡諾圖的“異或”運算：兩個函數(shù)相“異或”，其卡諾圖等于這兩個函數(shù)各自的卡諾圖相“異或”。即：

若F=F1⊕F2，則K(F)=K(F1)⊕K(F2)January12,20248100011110ABC1000100100011110ABC0001101000011110ABC10011011F1的卡諾圖F2的卡諾圖F1⊕F2的卡諾圖⊕卡諾圖的運算（例）例：求函數(shù)的卡諾圖。解：利用卡諾圖運算，先分解函數(shù)設(shè)則January12,202482zhangyj@卡諾圖的運算（例）January12,202483zhangyj@0010011100011110ABCF2的卡諾圖011101100000011110ABCF2的卡諾圖011111011100011110ABCF1的卡諾圖01

求反?1101000000011110ABCF1·F2的卡諾圖01=卡諾圖的運算（例）January12,2024zhangyj@0111001000011110ABCF3的卡諾圖011001000000011110AF4的卡諾圖01=1110001000011110AF3⊕F4的卡諾圖011101000000011110F1·F2的卡諾圖01+=1111001000011110F的卡諾圖01BCBCBCAABC最小項合并規(guī)律把邏輯相鄰的最小項合并（相“或”）在一起，結(jié)果將產(chǎn)生一個“與”項，并消去一個邏輯變量January12,202485zhangyj@卡諾圈最小項合并規(guī)律在卡諾圖上將兩個相鄰的小格“圈”在一起，相當(dāng)于把這兩個小格所代表的“邏輯相鄰”的最小項合并（相“或”）在一起，從而產(chǎn)生一個“與項”并消去一個互補(bǔ)的變量。January12,202486zhangyj@1500011110ABC010200011110ABC0131100011110ABCD00011110121300011110ABCD00011110最小項合并規(guī)律卡諾圖上四個相鄰的最小項合并（相“或”）在一起，從而產(chǎn)生一個“與項”并消去兩個變量。013200011110ABCD0001111046121400011110ABCD000111100281000011110ABCD00011110最小項合并規(guī)律January12,202488zhangyj@以此類推卡諾圖上8個相鄰的最小項可以合并成一個“與項”并消去三個變量……45761213151400011110ABCD000111100246121481000011110ABCD00011110013245761213151489111000011110ABCD00011110五變量最小項合并在單一的四變量圖中，相鄰關(guān)系與四變量的卡諾圖一樣。在兩圖之間，相應(yīng)的小方格也同樣相鄰。January12,202489zhangyj@0132457612131514891110BCDE0001111000011110A=0bbccdda16171918202123222829313024252726BCDE0001111000011110A=1ccdda用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)—求最簡“與或”式最簡“與或”式化簡：圈“1”合并1）畫卡諾圖框；2）填值；3）圈組合并（最小覆蓋原則）；4）寫“與或”式。January12,202490zhangyj@最小覆蓋原則

卡諾圖上的每一個填“1”小格都要被卡諾圈所覆蓋，也就是說，每一個“1”都至少被圈組合并一次。在滿足上一條件的情況下，卡諾圖上卡諾圈的個數(shù)要盡量少。每個卡諾圈所包含的填“1”小格的個數(shù)要盡量多，但必須是2i（i=0,1,2,….,n）個；每個卡諾圈都至少包含一個其他所有卡諾圈不包含的填“1”小格。即：每個卡諾圈都必須至少有一個獨屬于它自己的填“1”小格。January12,202491zhangyj@用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)例：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

January12,202492zhangyj@00011110ABCD000111101111100000111011圈組合并時注意事項January12,202493zhangyj@畫卡諾圈時，要求“圈”的個數(shù)盡可能少00011110ABCD00011110110101110011000000011110ABCD000111101101011100110000VS.圈法不正確圈法正確圈組合并時注意事項January12,202494zhangyj@畫卡諾圈時，要求被“圈”的小格盡可能多00011110ABCD00011110111111110011000000011110ABCD000111101111111100110000VS.圈法不正確圈法正確圈組合并時注意事項January12,202495zhangyj@卡諾圈中所圈小格的個數(shù)必須符合2i的形式，只有相鄰的小格才能被圈組合并在一起00011110ABCD00011110000001100110000000011110ABCD000111100010011001000000圈法正確圈法不正確圈組合并時注意事項January12,202496zhangyj@圈組合并順序是“先多后少”,不要出現(xiàn)多余的卡諾圈00011110ABCD000111100010011001000000多余的卡諾圈圈組合并時注意事項例：用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)January12,202497zhangyj@00011110ABCD000111101010111110110100五變量邏輯函數(shù)化簡例：用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)January12,202498zhangyj@00011110BCDE00011110032457138111000011110BCDE00011110161918202927A=0A=1用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)—求最簡“或與”式方法一：利用函數(shù)F的反函數(shù)求最簡“或與”式圈“0”求F的最簡“與或”式。對F進(jìn)行反演運算，就得到F的最簡“或與”式。00011110ABCD000111100000011101110111例：求的最簡“或與”式F的卡諾圖用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)—求最簡“或與”式方法二：直接圈“0”寫“或”項得到函數(shù)F的最簡“或與”式00011110ABCD000111101100010011000000例：求的最簡“或與”式F的卡諾圖多輸出邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法利用各函數(shù)間的公共項，達(dá)到整體化簡的目的例：化簡如下兩個邏輯函數(shù)（1）分別化簡F1和F20010001100011110ABC011011000000011110ABC01F1的卡諾圖F2的卡諾圖多輸出邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法利用各函數(shù)間的公共項，達(dá)到整體化簡的目的例：化簡如下兩個邏輯函數(shù)（2）利用公共項整體化簡0010001100011110ABC011011000000011110ABC01F1的卡諾圖F2的卡諾圖非完全描述邏輯函數(shù)完全描述邏輯函數(shù)對輸入變量的每一組取值都有確定的函數(shù)值F（“1”或“0”）與之對應(yīng)非完全描述邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)不是被完全定義的，對于某些組變量的取值，函數(shù)有確定的取值與之對應(yīng)；而對于另外其他組變量的取值，函數(shù)沒有確定的取值與之對應(yīng)。January12,2024103zhangyj@非完全描述邏輯函數(shù)的表示January12,2024104zhangyj@任意項（無關(guān)項）：使函數(shù)值為任意值（僅限于“0”和“1”）的變量取值所對應(yīng)的最小項。用小寫希臘字母φ