2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題章末測評卷模塊綜合測評

模塊綜合測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2021山東青島模擬)“ab=4”是“直線2x+ay1=0與直線bx+2y2=0平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.如圖,四面體SABC中,D為BC中點,點E在AD上,AD=3AE,則SE=()A.13B.2C.12D.13.圓P:(x+3)2+(y4)2=1關(guān)于直線x+y2=0對稱的圓Q的方程是()A.(x+2)2+(y1)2=1B.(x+2)2+(y5)2=1C.(x2)2+(y+5)2=1D.(x4)2+(y+3)2=14.如圖,在一個60°的二面角的棱上有兩點A,B,線段AC,BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi),并且都垂直于棱AB,若AB=AC=BD=4,則線段CD的長為()A.43 B.16 C.8 D.425.坐標原點O(0,0)在動直線mx+ny2m2n=0上的投影為點P,若點Q(1,1),那么|PQ|的取值范圍為()A.2,32C.22,36.(2021遼寧沈陽期末)正確使用遠光燈對于夜間行車很重要.已知某家用汽車遠光燈(如圖)的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點處,若燈口直徑是20cm,燈深10cm,則光源到反光鏡頂點的距離是()A.2.5cm B.3.5cm C.4.5cm D.5.5cm7.如圖,四棱柱SABCD中,底面是正方形,各側(cè)棱都相等,記直線SA與直線AD所成角為α,直線SA與平面ABCD所成角為β,二面角SABC的平面角為γ,則()A.α>β>γ B.γ>α>βC.α>γ>β D.γ>β>α8.已知雙曲線x24-y2b2=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2且與x軸垂直的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點,|AB|=35,M(4,1),若雙曲線上存在一點P使得|PM|+|PF2|≤tA.52 B.2 C.52+4 D.524二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.在下列四個命題中,錯誤的有()A.坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B.直線的傾斜角的取值范圍是[0,π]C.若一條直線的斜率為tanα,則此直線的傾斜角為αD.若一條直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tanα10.若a=(1,λ,2),b=(2,1,1),a與b的夾角為120°,則λ的值為()A.17 B.17 C.1 D.111.(2021河北石家莊檢測)已知P是橢圓C:x26+y2=1上的動點,Q是圓D:(x+1)2+y2=15上的動點,則A.橢圓C的焦距為5B.橢圓C的離心率為30C.圓D在橢圓C的內(nèi)部D.|PQ|的最小值為212.定義空間兩個向量的一種運算a?b=|a|·|b|·sin<a,b>,則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有()A.a?b=b?aB.λ(a?b)=(λa)?bC.(a+b)?c=(a?c)+(b?c)D.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a?b=|x1y2x2y1|三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.過點(1,2)的直線l將圓x2+y24x=0分成兩段弧,當劣弧所對圓心角最小時,直線l的斜率k=.

14.下列結(jié)論中,正確的個數(shù)是.

①若a,b,c共面,則存在實數(shù)x,y,使a=xb+yc②若a,b,c不共面,則不存在實數(shù)x,y,使a=xb+yc③若a,b,c共面,b,c不共線,則存在實數(shù)x,y,使a=xb+yc④若a=xb+yc,則a,b,c共面15.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,則異面直線BC1與A1B1所成角為;二面角ABC1C的余弦值是.

16.(2021山東聊城期末)已知拋物線的方程為x2=2py(p>0),過拋物線的焦點,且斜率為1的直線與拋物線交于A,B兩點,|AB|=8,則p=,M為拋物線弧AOB上的動點,△AMB面積的最大值是.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)求分別滿足下列條件的直線l的方程.(1)已知點P(2,1),l過點A(1,3),P到l距離為1;(2)l過點P(2,1)且在x軸、y軸上截距的絕對值相等.18.(12分)已知A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5),(1)求平面ABC的一個法向量;(2)證明:向量a=(3,4,1)與平面ABC平行.19.(12分)(2021河南洛陽檢測)過點P(0,2)的直線與拋物線C:x2=4y相交于A,B兩點.(1)若AP=2PB,且點A在第一象限,求直線AB的方程;(2)若A,B在直線y=2上的射影分別為A1,B1,線段A1B1的中點為Q,求證:BQ∥PA1.20.(12分)如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.(1)求證:AM∥平面BDE;(2)求二面角ADFB的大小;(3)試在線段AC上找一點P,使得PF與CD所成的角是60°.21.(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在拋物線C上,點A(2p,0).若當MF⊥x軸時,△MAF的面積為5.(1)求拋物線C的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求點M的坐標.22.(12分)(2021黑龍江雙鴨山期中)在平面直角坐標系xOy中,如圖,已知橢圓C:x24+y2=1的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓C上且異于點A,B,直線AP,PB與直線l:y=2分別交于點M,(1)設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,判斷k1·k2是否為定值?請證明你的結(jié)論.(2)求線段MN長的最小值.(3)當點P運動時,以MN為直徑的圓是否經(jīng)過y軸上的定點?請證明你的結(jié)論.模塊綜合測評1.B∵兩直線平行,∴斜率相等,即可得ab=4,∵不能重合,當a=1,b=4時,滿足ab=4,但是重合,∴兩直線平行時需ab=4,且a≠1,b≠4.故選B.2.B四面體SABC中,D為BC中點,點E在AD上,AD=3AE,∴SE=SA+13AD=SA+13.B圓P:(x+3)2+(y4)2=1,圓心為(3,4),半徑為1,關(guān)于直線x+y2=0對稱的圓半徑不變,設(shè)對稱圓的圓心為(a,b),則a解得a所求圓的標準方程為(x+2)2+(y5)2=1.4.DCD=CA+AB+BD,∴CD2=CA2∵CA⊥∴CA·AB=0,BD∵CA·BD=|CA||BD|cos120°,∴CD2=42+42+422×16×12=32,∴|CD|=45.A直線mx+ny2m2n=0,可化為m(x2)+n(y2)=0,故直線過定點M(2,2),坐標原點O(0,0)在動直線mx+ny2m2n=0上的投影為點P,故∠OPM=90°,所以P在以O(shè)M為直徑的圓上,圓的圓心為C(1,1),半徑為2,根據(jù)點與圓的關(guān)系,|CQ|=(1+1)2+故2=22-2≤|PQ|≤2+22=36.A設(shè)對應(yīng)拋物線的標準方程為y2=2px,由題意知拋物線過點(10,10),得100=2p×10,得p=5,則p2=2.5,即焦點坐標為(2.則光源到反光鏡頂點的距離是2.5cm.7.C連接AC,BD,交于點O,連接OS,則OA,OB,OS兩兩垂直,以O(shè)為原點,OA為x軸,OB為y軸,OS為z軸,建立空間直角坐標系,設(shè)AB=2,則S(0,0,2),A(2,0,0),D(0,2,0),B(0,2,0),SA=(2,0,2),AD=(2,2,0),SB=(0,2,2),cosα=|SA平面ABCD的法向量n=(0,0,1),cosβ=|n設(shè)平面SAB的法向量m=(x,y,z),則m取x=1,得m=(1,1,1),cosγ=|m∵cosα<cosγ<cosβ,∴α>γ>β.8.D雙曲線的左、右焦點分別為F1(c,0),F2(c,0),漸近線方程為y=±bax令x=c,解得y=±bca可得|AB|=2bca,|AB|=3即2bca=35,由a=2,c2=a2+b解得b=5,c=3,即有雙曲線的方程為x24-由題意可知,若P在左支上,由雙曲線的定義可得|PF2|=2a+|PF1|,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4=(4+3)2+1+4=當且僅當M,P,F1共線時,取得最小值4+52;若P在右支上,由雙曲線的定義可得|PF2|=|PF1|2a,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|2a≥|MF1|4=524,當且僅當M,P,F1共線時,取得最小值524.綜上可得,所求最小值為524.9.ABCD對于A,當直線與x軸垂直時,直線的傾斜角為90°,斜率不存在,∴A錯誤;對于B,直線傾斜角的取值范圍是[0,π),∴B錯誤;對于C,一條直線的斜率為tanα,此直線的傾斜角不一定為α,如y=x的斜率為tan5π4,它的傾斜角為π4,∴對于D,一條直線的傾斜角為α?xí)r,它的斜率為tanα或不存在,∴D錯誤.10.AC∵a=(1,λ,2),b=(2,1,1),a與b的夾角為120°,∴cos120°=a·解得λ=1或λ=17.11.BC依題意可得c=6-1=5,則C的焦距為25設(shè)P(x,y)(6≤x≤6),則|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1x2所以圓D在C的內(nèi)部,且|PQ|的最小值為4512.AD對于A,a?b=|a|·|b|sin<a,b>,b?a=|b|·|a|sin<b,a>,故a?b=b?a恒成立;對于B,λ(a?b)=λ(|a|·|b|sin<a,b>),(λa)?b=|λ||a|·|b|sin<λa,b>,故λ(a?b)=(λa)?b不會恒成立;對于C,取a,b,c為兩兩垂直的單位向量,易得(a+b)?c=2,(a?c)+(b?c)=2,則此時(a+b)?c=(a?c)+(b?c)不成立;對于D,cos<a,b>=x1x2+y1y2即有a?b=|a|·|b|·1-x1x2=x12y22+x22y則a?b=|x1y2x2y1|恒成立.13.22過點(1,2)的直線l將圓(x2)2+y2=4分成兩段弧,當劣弧所對的圓心角最小時,就是弦長最小,就是與圓心(2,0)和點(1,2)的連線垂直的直線,連線的斜率是2-01-2=2,∴14.3對于①,向量b,c共線,且a與b,c不共線時,不存在實數(shù)x,y,使a=xb+yc,∴①錯誤;對于②,根據(jù)空間向量的共面定理,結(jié)合逆否命題與原命題的真假性,得:a,b,c不共面時,不存在實數(shù)x,y,使a=xb+yc,∴②正確;對于③,若a=0時,與b,c共面,且b,c不共線,則存在實數(shù)x=y=0,使a=0·b+0·c=0,∴③正確;對于④,根據(jù)空間向量的共面定理得,當a=xb+yc時,a,b,c共面,∴④正確.綜上,正確的命題是②③④.15.π333建立如圖空間直角坐標系,A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),ABC1=(1,0,1),A1B1=(1,1,0),由cos<BC1,A1故異面直線BC1與A1B1所成角為π3設(shè)平面ABC1的一個法向量為m=(a,b,c),由m由a=1,得m=(1,1,1),平面BC1C的一個法向量n=(0,1,0),cos<m,n>=1316.242∵拋物線的方程為x2=2py(p>0),過拋物線的焦點F,且斜率為1的直線與拋物線交于A,B兩點,故直線AB的方程為yp2=x0,即y=x+p2,且直線AB的傾斜角為45代入拋物線的方程為x2=2py,可得x22pxp2=0.設(shè)A,B兩點的橫坐標分別為m,n,m<n,由韋達定理可得m+n=2p,mn=p2.∵|AB|=|AF|+|BF|=yA+p2+yB+p2=故拋物線的方程為x2=4y,AB的直線方程為y=x+1.設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+m,代入拋物線方程,得x24x4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=1.與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x1,兩直線間的距離為d=|1+1∴△AMB面積的最大值為12·|AB|·d=12×8×2=417.解(1)當l斜率不存在時,l的方程為x=1,滿足條件;當l斜率存在時,設(shè)l:y3=k(x1),即kxy+3k=0,由d=|2k得k=34,即l:3x+4y15=0綜上l:x=1,或3x+4y15=0.(2)當直線過原點時,直線的斜率為1-02-0=1當直線截距相等時,設(shè)為xa+ya則a=3,即x+y3=0.當直線截距互為相反數(shù)時,設(shè)為xa+y-則a=1,即xy1=0.綜上,直線方程為x2y=0,或x+y3=0,或x+y1=0.18.(1)解∵A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5),∴AB=(2,1,3),AC=(1,3,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC的一個法向量,則有n·AB=(x,y,z)·(2,1,3)=2xy+3z=0,n·AC=(x,y,z)·(1,3,2)=x3y+2z=0.由-解得x=y=z,取x=1,則平面ABC的一個法向量為(1,1,1).(2)證明若存在實數(shù)m,n,使a=mAB+nAC,即(3,4,1)=m(2,1,3)+n(1,3,2),則-解得m所以a=57AB+117AC,19.(1)解設(shè)直線AB的方程為y=kx+2(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,聯(lián)立方程得x消去y,得x24kx8=0,Δ=16k2+32>0.∴x1+又AP=(x1,2y1),PB=(x2,y22),由AP=2PB,得x1=2x2,代入①解得k=12∴直線AB的方程為y=12x+2,即x2y+4=0(2)證明設(shè)直線y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),∴A1(x1,2),B1(x2,2),∴Qx1∴BQ=x1+x22∵x1+x22-x2·(4)x1·(2y2)=4·x2-x12+x1·(y2+2)=2x22x1+x1y2+2x1=2x2+x1y2=2x2+x1·x224=2x2+x24∴BQ∥PA1.20.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,則點N,E的坐標分別是22∴NE=又點A,M的坐標分別是(2,2,0),∴AM=∴NE=AM且NE與AM不共線,∴NE∥又∵NE?平面BDE,AM?平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)解∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,∴AB⊥平面ADF.B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2∴AB=(2,0,0)為平面DAF的法向量.∵NE·DB=-22∴NE·NF=-22,-22,1∴cos<AB,NE>=∴AB,NE的夾角是60即所