專題21 圖形的相似（解析版）-2022中考數(shù)學(xué)高頻考點

2/2高頻考點：圖形的相似考點01平行線分線段成比例【高頻考點精講】1、三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。2、推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。（2）如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（3）平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例?！緹狳c題型精練】1．（2021?哈爾濱中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．答案：B．2．（2021?淄博中考真題）如圖，AB，CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F(xiàn)，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝解：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴＝+＝＝＝1，即＝1，∴．答案：C．3．（2021?郴州中考真題）如圖是一架梯子的示意圖，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．為使其更穩(wěn)固，在A，D1間加綁一條安全繩（線段AD1）量得AE＝0.4m，則AD1＝1.2m．解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），答案：1.2．4．（2021?連云港中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF＝3FE，則＝．解：如圖，∵BE是△ABC的中線，∴點E是AC的中點，∴＝，過點E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，答案：．5．（2021?上海中考真題）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，答案：．6．（2020?無錫中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為．解：如圖，過點D作DF∥AE，則＝＝，∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，∴DO＝DC，∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，∴S△ABO＝S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，當(dāng)CG⊥AB時，△ABC的面積最大為：4×2＝4，此時△ABO的面積最大為：×4＝．答案：．考點02相似三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點精講】1、相似三角形的判定（1）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）（2）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似）（3）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似。（三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似）（4）兩三角形三邊對應(yīng)平行，則兩三角形相似。（三邊對應(yīng)平行，兩個三角形相似）（5）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。（斜邊與直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似）2、相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成正比例。（2）相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方?！緹狳c題型精練】7．（2021?大慶中考真題）如圖，F(xiàn)是線段CD上除端點外的一點，將△ADF繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE．連接EF交AB于點H．下列結(jié)論正確的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH?EF D．EB：AD＝EH：HF解：∵△ADF繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正確；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴AE：EF＝1：，故B不正確；若AF2＝EH?EF成立，∵AE：EF＝1：，∴EH＝AF，∴EH＝EF，即H是EF的中點，H不一定是EF的中點，故C不正確；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故D正確；答案：D．8．（2021?綿陽中考真題）如圖，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，點Q是線段AB上的動點，則PQ的最小值是（）A． B． C． D．解：∵△DAB∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：BD＝4（負值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（AB）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，過B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴，∴＝，∴PQ＝，答案：A．9．（2021?錦州中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點（位于AB下方），CD交AB于點E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（）A．2 B．4 C．3 D．4解：連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG?BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，答案：D．10．（2021?內(nèi)江中考真題）如圖，在邊長為a的等邊△ABC中，分別取△ABC三邊的中點A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分別取ΔA1B1C1三邊的中點A2，B2，C2，得△A2B2C2；這樣依次下去…，經(jīng)過第2021次操作后得△A2021B2021C2021，則△A2021B2021C2021的面積為（）A． B． C． D．解：∵點A1，B1分別為BC，AC的中點，∴AB＝2A1B1，∵點A2，B2分別為B1C1，A2C2的中點，∴A1B1＝2A2B2，∴A2B2＝（）2?a，…∴AnBn＝（）n?a，∴A2021B2021＝（）2021?a∴△A2021B2021C2021的面積＝?[（）2021?a]2＝，答案：D．11．（2021?益陽中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，將△ABC繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，連接BB′，CC′，則△CAC′與△BAB′的面積之比等于9：4．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝，∴△ACC′∽△ABB′，∴＝（）2，∵∠CAB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴＝（）2＝．答案：9：4．12．（2021?山西中考真題）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為4．解：如圖，取AD中點F，連接EF，過點D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵點E為CD中點，點F為AD中點，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四邊形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四邊形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，答案：4．13．（2021?煙臺中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為3米．解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，答案：3．14．（2021?青島中考真題）已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD上一點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN．若，則MN+MC的最小值為2．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴A點與C點關(guān)于BD對稱，∴CM＝AM，∴MN+CM＝MN+AM≥AN，∴當(dāng)A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠F，∵∠DAE+∠DEH＝90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，∴∠CDG＝∠F，∴△DCG∽△FCE，∵，∴＝，∵正方形邊長為3，∴CF＝6，∵AD∥CF，∴＝＝，∴DE＝1，CE＝2，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴EF＝＝2，∵N是EF的中點，∴EN＝，在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，∴AE＝＝，∴AN＝2，∴MN+MC的最小值為2，答案：2．考點03位似變換【高頻考點精講】1、位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。2、位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)比等于k或﹣k。【熱點題型精練】15．（2021?沈陽中考真題）如圖，△ABC與△A1B1C1位似，位似中心是點O，若OA：OA1＝1：2，則△ABC與△A1B1C1的周長比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：解：∵△ABC與△A1B1C1位似，∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，∴△AOC∽△A1OC1，∴＝＝，∴△ABC與△A1B1C1的周長比為1：2，答案：A．16．（2021?東營中考真題）如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點B的橫坐標(biāo)是a，則點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是（）A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2解：設(shè)點B′的橫坐標(biāo)為x，則B、C間的水平距離為a﹣1，B′、C間的水平距離為﹣x+1，∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，答案：A．17．（2021?溫州中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點A，B的對應(yīng)點分別為點A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（）A．8 B．9 C．10 D．15解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，答案：B．18．（2021?重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），則△OAB與△OCD的相似比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3解：∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，∵△OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB與△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，答案：D．19．（2021?黔東南州中考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點分別為點A（2，1）、點B（2，0）、點O（0，0），若以原點O為位似中心，相似比為2，將△AOB放大，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（4，2）或（﹣4，﹣2）．解：如圖，觀察圖象可知，點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（4，2）或（﹣4，﹣2）．答案：（4，2）或（﹣4，﹣2）．20．（2021?嘉興中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是（4，2）．解：如圖，點G（4，2）即為所求的位似中心．答案：（4，2）．21．（2021?黔西南州中考真題）如圖，△