專題12 倍長中線問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題12倍長中線問題【規(guī)律總結(jié)】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對(duì)頂角）倍長中線最重要的一點(diǎn)，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。【典例分析】例1．（2021·河南新鄉(xiāng)市·新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4【答案】B【分析】先延長到，且，并連接，由于，，利用易證，從而可得，在中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得，從而易求．【詳解】解：延長到，使，連接，則AE=2AD，∵，，，∴，，在中，，即，∴．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．例2．（2019·山東臨沂市·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則點(diǎn)A到直線CD的距離是_____．【答案】4【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD=，延長CD到H使DH=CD，由線段中點(diǎn)的定義得到AD=BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=BC=4．【詳解】∵DC⊥BC，∴∠BCD=，∵∠ACB=，∴∠ACD=，如圖，延長CD到H使DH=CD，

∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，在ΔADH與ΔBCD中，，∴ΔADH?ΔBCD(SAS)，∴AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴點(diǎn)A到CD的距離為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考察全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·遼寧葫蘆島市·九年級(jí)期末）在與中，，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請(qǐng)給予證明；如果沒有，請(qǐng)說明理由；（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）具有，證明見解析；（3）14或．【分析】（1）；當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，∠ADE=90o，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，再證△ACE≌△BCE（SAS）利用性質(zhì)得AE=BE即可；（2）成立（具有）延長到點(diǎn)，使，連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可知是的中位線，有結(jié)論，先證，再證，即可；（3）分兩種情況∠BCD再BC的左邊與右邊，構(gòu)造Rt△ECH，∠HCE=60o或Rt△CGE，∠GCE=30o，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）結(jié)論即可．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，∠ADE=90o，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴AF=EF=FD，∴，∵BC=AC，∠ACB=90o，CD=DE，∠CDE=90o，∴∠DCE=∠DEC=45o，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o，∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o=135o=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS），∴AE=BE，∴，故答案為：；（2）成立（具有）證明：延長到點(diǎn)，使，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）14或．過E作EH⊥BC于H，∴在Rt△ECD中，CE=2，∵∠BCD=105o，∴∠HCE=105o-∠DCE=60o，∴CH=，EH=，∵BC=，∴BH=BC-CH=-，∴FD2=；延長BC，過E作EG⊥BC于G，∵∠BCD=105o，∠DCE=45o，∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o，∴GE=，∴CG=，∴∴FD2=．綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形中位線，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，涉及的知識(shí)多，習(xí)題難度大，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出準(zhǔn)確的圖形，畫圖時(shí)應(yīng)注意分類來畫是解題關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2021·全國八年級(jí)）如圖，中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，連接，則與的大小關(guān)系為A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】如圖，延長ED到T，使得DT＝DE，連接CT，TF，證明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．【詳解】解：如圖，延長到，使得，連接，．，，，在和中，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．（2020·四川綿陽富樂國際學(xué)校）如圖，在中，，是中線，是角平分線，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與，重合），連接、．給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中一定正確的有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】①根據(jù)面積法可得，，從而可得①正確；②由是中線，無法得出，故可判斷②錯(cuò)誤；③運(yùn)用SAS證明得，在中運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論，從而判斷③；④在上截取，連接，運(yùn)用證明得，在中運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論，從而判斷④．【詳解】解：①過作于，于，過作于，是角平分線，，，，，，，故①正確；②，平分，，是中線，無法得出，故②錯(cuò)誤；③延長到使，連接，是中線，，在和中，在中，，，，故③正確；④在上截取，連接，是角平分線，，在和中，，，在中，，，即，故④正確；綜上①③④正確．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中線，角平分線以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出輔助線．二、填空題3．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中八年級(jí)期末）如圖，在正方形中，分別是、邊上的點(diǎn)，將四邊形沿直線翻折，使得點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則________．【答案】【分析】根據(jù)中點(diǎn)這個(gè)條件考慮倍長，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而結(jié)合翻折得性質(zhì)產(chǎn)生等腰三角形，綜合等腰三角形的性質(zhì)通過設(shè)未知數(shù)表示各線段，再通過相似三角形建立等式求解正方形的邊長，最后利用三角函數(shù)值快速求解．【詳解】如圖，連接B，延長交于點(diǎn)，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得為等腰三角形，，作于點(diǎn)，設(shè)，則正方形邊長為，則，，，，由，得，則，解得，則，設(shè)，則，設(shè)，則，此時(shí)作，，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，及三角函數(shù)的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握做輔助線的方法是解決問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再有就是結(jié)合圖中構(gòu)造出的全等或相似，準(zhǔn)確列式計(jì)算也是本題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．4．（2020·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在矩形中，分別為邊，的中點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、．已知，，則的長為______________．【答案】【分析】延長，交于，已知，，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，即可得，通過，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得FN、CN的長；同理延長，交于點(diǎn)，即可求出CM的長，即可得MN．【詳解】解：延長，交于，∵四邊形為矩形，，∴，，，∵為中點(diǎn)，∴，在中，，由勾股定理得：，∵，，為中點(diǎn)，，∴，在與中，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，，延長，交于點(diǎn)，∵為中點(diǎn)，∴，在與中，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)相結(jié)合，注意構(gòu)造輔助線構(gòu)造8字型全等及相似是解題的關(guān)鍵，屬于中等偏難題型．三、解答題5．（2020·宜春市宜陽學(xué)校八年級(jí)月考）閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長至，使得，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【詳解】（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點(diǎn)，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點(diǎn)睛】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關(guān)系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構(gòu)造三角形，用三角形全等轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，用三邊關(guān)系求取值范圍，用垂直平分線轉(zhuǎn)化線段，用等腰三角形證角是解題關(guān)鍵，6．（2020·重慶西南大學(xué)銀翔實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）在等腰和等腰中，，連為中點(diǎn)，連．（1）如圖1，請(qǐng)寫出與的關(guān)系，并說明理由；（2）將圖1中的旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)OM=，理由見解析；（2）（1）結(jié)論成立，理由見解析【分析】（1）延長OM至E，使ME=MO，連接DE，AE，可判斷四邊形AODE為平行四邊形，得到AO=DE，根據(jù)三角形，四邊形內(nèi)角和定理，結(jié)合條件可判定△BOC≌△EDO，得到BC=OE，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）延長MO至E，使ME=OM,連接DE，AE利用（1）中的方法即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：OM=，理由如下：如圖OM至E，使ME=OM，連接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，∴四邊形AODE為平行四邊形，∴AO=DE，又∵AO=BO，∴OB=DE，∵∠BOC+∠AOD=360°－∠COD－∠AOB=180°，又∠EDO+∠DOA=180°，∴∠BOC=∠EDO，又OC=OD，在△BOC和△EDO中，∴△BOC≌△EDO，∴BC=OE，又∵OM=OE∴OM=BC；（2）（1）中結(jié)論任然成立，理由如下：延