專題25“8”字型模型問題（解析版）-中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

專題25“8”字型模型問題【規(guī)律總結(jié)】模型1角的“8”字模型如圖所示，AB、CD相交于點O，連接AD、BC。結(jié)論：∠A+∠D=∠B+∠C。模型2邊的“8”字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC。結(jié)論：AC+BD>AD+BC。【典例分析】例1．（2020·全國九年級專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．例2．（2020·浙江金華市·八年級期末）如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，

∴，∴；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=（38°+42°）=40°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年級期中）如圖，將矩形紙片沿折疊，點落在邊上的點處，點落在點處，若，則的度數(shù)為（）．A．42° B．69° C．44° D．32°【答案】A【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，及矩形的性質(zhì)，求出，再利用“8”字模型求解即可．【詳解】由圖形翻折的性質(zhì)可知，，，，，利用“8”字模型，，故選：A．【點睛】本題考查了矩形翻折問題，能夠根據(jù)圖形翻折的性質(zhì)推理出是解決問題的關鍵，熟練運用“8”字模型是求最終結(jié)果的關鍵．二、填空題2．（2020·全國九年級專題練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．三、解答題3．（2020·全國九年級專題練習）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關鍵．4．（2020·全國九年級專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關鍵5．（2020·全國九年級專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．【答案】360°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．6．（2019·