第4章圖形的相似 單元同步達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng) 2021-2022學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（含答案）

2021-2022學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第4章圖形的相似》單元同步達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)（附答案）

一.選擇題（共14小題，滿分42分））

1.如果包=5,那么三”的值為（）

b3b

A.AB.2C.旦D.2

3355

2.下列各組的四條線段mb,c,d是成比例線段的是（）

A.a=^,b=6,c=5,<r/=10B.a=1,b=2,c=3,d=4

C.b=3>c=2,D.a=2,b-?\/5)c=2^3，d=^15

3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E、產(chǎn)分別在A8,AC,8c邊上，DE//BC,EF//AB,則下

列式于一定正確的是()

BF

AAD_DEB_C地型AD_FC

'DB'BC-DB'FC-DB"BFD-DB'BC

4.如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)相似三角形△ABC和△￡￡)廠,則NABC+NACB的度數(shù)為

()

C.60°D.45°

5.在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比，三角形的周長(zhǎng)（）

A.沒(méi)有發(fā)生變化B.放大了10倍

C.放大了30倍D.放大了100倍

6.如圖，取一張長(zhǎng)為“，寬為匕的矩形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，若要

使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊。、6應(yīng)滿足的條件是（）

第一次對(duì)折第二次對(duì)折

---------?

A.a=2\[2bB.a—\f2bC.a=4bD.a=2b

7.如圖，AB〃CQ〃EF,則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（)

C.3D.4

8.如圖所示，直線y=L-1與x軸交于A,與y軸交于8,在第一象限內(nèi)找點(diǎn)C,使△AOC

2

與△AOB相似，則共能找到的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4

9.在△ABC中，。、E分別是邊AB與AC的中點(diǎn)，8c=4,下面四個(gè)結(jié)論：①。E=2；②

△AOEs/MBC；③△4OE的面積與aABC的面積之比為1：4；?/\ADE的周長(zhǎng)與aABC

的周長(zhǎng)之比為1：4；其中正確的有（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

10.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,F,G分別在邊BC,CD,D4上，四邊形EFGH由

兩個(gè)正方形組成且AB=1,則線段BE的長(zhǎng)為（）

A.V5-1B.3-75C.3一&D.遙―]

22

11.如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)是3,BP=CQ,連接AQ,。尸交于點(diǎn)O,并分別與邊CZ）,

BC交于點(diǎn)F,E,連接AE,下列結(jié)論：①AQ_L￡>P：@OA2=O￡?OP；③S^AOD=S四邊形

OECF;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（）

A.1B.3C.2D.0

12.如圖是一塊三角形鋼材ABC,其中邊8c=60。"，高AO=40a”，把它加工成正方形零

件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上，則這個(gè)正方形零件的

邊長(zhǎng)是（）

C.30D.36

13.如圖，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和

平面鏡.手電筒的燈泡位于點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)8處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木

板的邊緣點(diǎn)F,落在墻上的點(diǎn)E處.點(diǎn)E到地面的高度ED=3.5m,點(diǎn)F到地面的高度

FC=1.5H,燈泡到木板的水平距離AC=54",墻到木板的水平距離為8=4〃?.已知光

在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、。在同一水平面上，則燈泡到地

面的高度GA為（）

E

地面。C平面鏡A

A.\.2mB.1.3加C.\AmD.1.5機(jī)

14.如圖，在△AO8中，A,8兩點(diǎn)在x軸的上方，以點(diǎn)。為位似中心，在4軸的下方按1：

2的相似比作△AOB的位似圖形△408.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡的坐標(biāo)是（4,-2）,則點(diǎn)8

填空題(共12小題，滿分36分)

15.如圖，已知△AOE和△4BC的相似比是1：2,且△AOE的面積是1,則四邊形。BCE

的面積是

一.

16.如圖，在△ACD中，A3=6,BC=5,AC2=AB(AB+8C),且△D4Bs/iDCA,若A。

=3AP,點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值是_

二

cA

17.若旦=&=§(〃W2c),則b-2d=____________

ac7a-2c

18.如圖，兩條直線被三條平行直線所截，DE=2,EF=3,AB=1,則AC

------/CL，

19.如圖，△ABC中，AB=AC,ZA=30°，點(diǎn)。在邊AC.上，將△A3。沿8。翻折，點(diǎn)A

的對(duì)稱點(diǎn)為A,使得4O〃8C,則ZBOC=_______,AD=

BC

CB

20.如圖，在Rt/SACB中，ZABC=90°,。為BC邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,交AC于

F,若AB=4,BC=6,則線段EF的長(zhǎng)為

21.在△ABC中，AB=6cm,AC=9cm,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8開(kāi)始沿BA邊運(yùn)動(dòng)，速度為Icvn/s；

動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始沿AC邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cw/s.如果￡),E兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)它

們運(yùn)動(dòng)s時(shí)，由。，A,E三點(diǎn)連成的三角形與△ABC相似.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,6),B(8,0),點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

C的直線/將AAOB截成兩部分，直線/交折線4-0-8于點(diǎn)P.當(dāng)截成兩部分中有三

角形與AAOB相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

23.如圖△4BC中，48=6,BC=8,4c=7,點(diǎn)力，E分別在AB,BC上，將△BOE沿ED

折疊,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸剛好落在AC上.當(dāng)與△ABC相似時(shí)的長(zhǎng)為

24.如圖，矩形4BCD中，AB=6,BC=8,對(duì)角線BD的垂直平分線E尸交4。于點(diǎn)E、交

BC于點(diǎn)F,則線段EF的長(zhǎng)為

D

B'C

25.如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,。是AB上一點(diǎn)，且A￡>=工，DE//BC,ZDBE

3

=90°,連接AE.若AC=3,BC=4,則AE的長(zhǎng)為.

26.如圖，矩形ABC。中，AB=2,BC=&,E為CD中點(diǎn),連接AE、BD交于點(diǎn)P,連

接PC,則PC的長(zhǎng)為.

三.解答題(共4小題，滿分40分)

27.如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,ZiABC是格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)

處).

(1)在圖1中畫出一個(gè)格點(diǎn)△4BC1,使得△AiBCi與△ABC相似，周長(zhǎng)之比為2：1；

(2)在圖2中畫出一個(gè)格點(diǎn)△AzB2c2,使得△42&C2與△ABC相似，面積之比為2：1.

圖1圖2

28.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是邊A。、CD上的點(diǎn)，AE=ED,DF=1DC,連

4

接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：AABEs^DEF；

(2)若正方形的邊長(zhǎng)為4,求8G的長(zhǎng).

BCG

29.如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前

走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米.

(1)求路燈A的高度；

(2)當(dāng)王華再向前走2米，到達(dá)尸處時(shí)，他的影長(zhǎng)是多少？

RC.nEF

30.如圖，AF,AG分別是△A8C和△AOE的高，ZBAF^ZDAG.

(1)求證：△ABCs/\AOE；

(2)若?！?3,也上，求BC的長(zhǎng).

AB5

參考答案

一.選擇題（共14小題，滿分42分）

1.解：設(shè)。=5犬，則b=3x,

...a-b—5x-3x2x2,

b3x3x3

故選：B.

2.解:A.4X10W6X5,故不符合題意，

A1X4W2X3,故不符合題意，

C.&X3r2X^,故不符合題意，

￡>.2X715=75X273.故符合題意，

故選：D.

3.解：?:DE//BC,

???—AD—_—AE',

DBEC

"：EF//AB,

?AEBF

??而同，

??A?D=B一F,

DBFC

故選：B.

4.解：?：AABCSADEF,

...NBAC=/OEF=180°-45°=135°,

ZABC+ZACB=180a-ZBAC=45°.

故選：D.

5.解：在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比，則邊長(zhǎng)擴(kuò)大10倍，故三角形的

周長(zhǎng)放大了10倍.

故選：B.

6.解：；小矩形與原矩形相似，原矩形紙片的邊長(zhǎng)為。、b,

1

~7~a,

?-?-4--_?b^―,

ba

4

.'.a2—4b2,

：.a=2b（負(fù)數(shù)舍去）,

故選：D.

7.解：'.'AB//CD//EF,

:.△BCD—ABEF,"CQs△厚B,/XABC^/XFEC.

.?.圖中共有3對(duì)相似三角形.

故選：C.

8.解：?.?點(diǎn)C在第一象限，

，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，有兩種情形，

當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，也有兩種情形，共有4種情形.

在aABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

J.DE//BC,DE=LC=2,

2

，AADE^AABC,

故①②正確；

V/\ADE^/\ABC,叫」，

BC2

.?.△AQE的面積與△ABC的面積之比為1：4,

△ADE的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)之比為1：2,

故③正確，④錯(cuò)誤.

故選：C.

10.解：由題意知，GF=2EF,

?.?四邊形ABC。是正方形，

.*.ZD=ZC=ZB=90°,AB=BC=DC=\.

NDFG+NCFE=/CFE+NCEF=90°,

NDFG=NCEF,

：ADFGSACEF,

?GFDF=9

EFCE

設(shè)BE=x,則CE=1-x,

:.DF=2CE=2-2x,

同理可得△CEFs/\BAE,

??.C--E=---C--F?

ABBE

???1---x~—_CF，

1x

：.CF=x-^,

°：CD=AB,

2-2x+x-x2=1,

解得x=近二1(負(fù)值舍去)，

2

:.BE=^T.

2

故選：D.

11.解：I?四邊形4BC￡>是正方形，

：.AD=BC,ND4B=N4BC=90°,

,:BP=CQ,

；.AP=BQ,

在△D4P與△AB。中，

，AD=AB

<ZDAP=ZABQ>

AP=BQ

：./\DAP^^\ABQ(SAS),

：.AP=AQ,

?.?/Q+NQAB=90°,

：.ZP+ZQAB=90a,

...NAOP=90°,

J.AQA.DP,故結(jié)論①正確；

'：ZDOA=ZAOP=90°,ZADO+ZP=ZADO+ZDAO=90°,

：.ZDAO^ZP,

：./\DAO<^/\APO,

?AO=OP

"ODDA"

：.AO1=OD'OP,

'：AE>AB,

：.AE>AD,

：.OD#OE,

；.0A2W0E?0P；故結(jié)論②錯(cuò)誤；

在△CQF與△BPE中，

'NFCQ=NEBP

<CQ=BP>

ZQ=ZP

:.△CQFQXBPE(ASA),

：.CF=BE,

：.DF=CE,

在△A。F與△OCE中，

'AD=CD

<ZADC=ZDCE?

DF=CE

：./\ADF^/\DCECSAS),

S&ADF=SADCE,

S^ADF-S^DFO=S^DCE-S〉DOF,

即Sz\AOD=S四邊形。ECG故結(jié)論③正確；

故選：C,

12.解：??,四邊形EG”尸為正方形,

C.BC//EF,

.?.△AEFs/vlBC；

設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為xcm,則K￡)=EF=x“"，AK=(40-x)cm,

"：ADLBC,

?EF=AK

**BCAD)

?x=40-x

"6040

解得：x=24.

即：正方形零件的邊長(zhǎng)為24C〃7.

故選：B.

13.解：由題意可得：FC//DE,

則△BFCS/XBED,

故氏=生，

BDDE

即BC=1.5,

BC+43.5

解得：BC=3,

則AB=5.4-3=2.4(相)，

V光在鏡面反射中的入射角等于反射角,

：.ZFBC^ZGBA,

又,：NFCB=NGAB,

?AG=FC

*'ABBC，

-AG1.5

2.43

解得：AG=1.2Cm),

故選：A.

14.解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x,y）,

因?yàn)辄c(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8的坐標(biāo)是（4,-2）,

所以根據(jù)位似變換的坐標(biāo)特點(diǎn)得-2?x=4,-2?y=-2,

即x=-2,y=l,故點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-2,1）.

故選：C.

填空題（共12小題，滿分36分）

15.解：?.?△AOE和△ABC的相似比是1：2,且△AOE的面積是1,

.SAADE_z1s2_1

2AABC24

??SAABC=45AADE=4,

?'?S四邊形￡>BCE=S/\ABC-SAAD￡—4-1—3.

故答案為：3.

16.解：:XDABs^DCA,

?ADBD

^DC'AD"

.6BD

“5+BD=6'

解得：BD=4（負(fù)值舍去），

■:△DABS[\DCN,

???A-C二--C-D二--9二--3，

ABAD62

?：AC2=AB（AB+BC）,

：.甩把）2=AB（AB+BC）,

：.AB=4,

：.AB=BD=4,

過(guò)B作BH1AD于H,

：.AH=^AD=3,

2

BH=^AB2-AH2=V42-32=A/7）

：AO=34P,AD=6,

：.AP=2,

當(dāng)尸Q，AB時(shí)，PQ的值最小，

；NAQP=/AHB=90°,ZPAQ^ZBAH,

：.XAPQsXABH,

?AP=PQ

"ABBH，

?2=PQ

',47F

：.PQ=^J_,

2

故答案為：近.

ac7

?d--2d_5

c~2c7

.b-2d=5

*'a-2c7,

故答案為：1.

7

18.解：'：h//l2//h,

?.邁=旭，

"EF而，

???2-_-1J

3BC

，BC=3,

2

：.AC=AB+BC=1+莖=5,

22

故答案為：區(qū).

2

19.解:方法一：；AB=4C,NA=30°,

：.ZABC=ZC=15°

???△A3。沿B。翻折,

.?.NA'=乙4=30°,

'：A'D//BC,

.?./A'BC=NA'=30°,

.,.NA'BA=/ABC-乙4'BC=45°,

/XABD沿BO翻折，

:.NDBA=NDBA'=22.5",

.?.NB￡>C=NA+NQBA=52.5°；

延長(zhǎng)A'。交A8于E,過(guò)E作EF_LA'B于F,如圖:

；AB=AC,A'D//BC,

：.AD=AE,

'：△48。沿8。翻折，

：.AD^A'￡)=4'G=AE,BG=BE,

?.,△ABO沿8。翻折，A'D//BC,

，NA=NA'=ZA'BC=30°,

而NC=75°,

AZBGC=75°,NEBF=45°,

:.BC=BG=BE,

設(shè)AD=A'D=AE=A'G=a,EF=x,

RtZXA'E尸中，4'尸=心，

□△BE/7中，BF—x,BE=\[^,

由A8=A'B可得：a+y[2>c—y[3x+x,

解得x=「

V3-V2+1

BE=BC=&x="至_a,

V3-V2+1__

?AD=a=MF+1一遍-2用

,*BC近~2

V3-V2+1a

方法二：-：AB=AC,N4=30°,

...NABC=NC=75°

*/△ABD沿BO翻折，

.?.NA'=ZA=30°,

\'A'D//BC,

.?.NA'BC=NA'=30°,

：.N4'BA=ZABC-BC=45°,

?.,△AB。沿B。翻折，

；.NDBA=NDBA'=22.5°,

...NBOC=/A+NOB4=52.5°；

過(guò)G作G”_LAB于”，如圖：

\"AB=AC,ZA=30°,

；.NA8C=/ACB=75°,

,/△AB。沿B。翻折，

AZA'=30°,

\"A'D//BC,

.?.NA'BC=30°,

：.ZABA'=45°,

...△BG”是等腰直角三角形，

設(shè)GH=BH=m,則BG=&，w,

心△AG”中，ta*=SlL

AH

AH=yJ^/n>

AB=AH+BH=｛加+m,

.\A'B=AB=yf2m+mf

???A'G=4歸-BG=an+m-也加,

VZACB=15°,/A'8C=30°,

：.ZBGC=ZA'GD=15°,

：.BC=BG=yp2)n,

VZA,=30°,NA'GD=75°,

AZA'DG=75°,

?\A'D=A'G=yf2in+rn~V^%，

.??AO=V9%+m

.?.AD=V^m+m-&m=

BCV^m2

故答案為：52.5°,娓-2f.

2

20.解：過(guò)點(diǎn)。作。G〃8尸交AC于點(diǎn)G,如右圖所示,

為BC邊的中點(diǎn)，BC=6,

：.BD=3,

;在Rtz^ACB中，ZABC=90°,48=4,

AA￡>=VAB2+BD2=5,

?.?BE_LA。于點(diǎn)E,交AC于凡

?g￡=AB,BD-12

一ADV

"：AB=4,8E=￡ZAEB=90°,

5

卷~譚,

設(shè)。G=x,則BF=2x,EF=2x-超，

5

'."EF//DG,

...△AEFS/\AQG,

?AEEF

，-AD=DG

解得，尸毀，

17

：.EF=2x-絲=2X毀一絲=毀

517585

故答案為：的.

85

：.AD=6-t,

；ZA=ZA,

二分兩種情況：

①當(dāng)膽=包?時(shí)，

ABAC

即2L=",解得：r=3；

692

②當(dāng)坐=延時(shí)，

ACAB

即2L=",解得：?=歿；

967

綜上所述：當(dāng)［=2?或型■時(shí)，ZvlOE與△4BC相似.

27

22.解：當(dāng)尸C〃OB時(shí)，XAPCsMOB,

由點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，可得P為0A的中點(diǎn)，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）；

當(dāng)PC〃OA時(shí)，ABCPs/\BA0,

由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得P為08的中點(diǎn)，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）；

當(dāng)PCJ_AB時(shí)，如圖，

"：ZCBP=ZOBA,

...RSPCsRtZWO,

.BC=BP

■麗BA'

■:點(diǎn)B(8,0)和點(diǎn)A(0,6),

*,-y4fi=V62+82=10,

?.?點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

：.BC=5,

-5_=_BP(

■京Io'

4

：.OP=OB-BP=8-至=工，

44

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0),

4

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)、(4,0)、(―,0).

4

故答案為：(0,3)、(4,0)、(Z,0).

23.解：?.?將△BDE沿。E翻折得到△尸Z)E,

：.BE=EF,

：BC=8,

：.CE=S-BE,

當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí)，奧=里或毆，即8-BE=些或8-BE=些,

BCABACAB8676

解得：BE=21或壁，

713

故答案是：24或壁.

713

D,

24.解：：四邊形A8CZ)是矩形，

AZA=90°,又A8=6,AO=BC=8,

.\BD=^AB2+AD2=10,

尸是8。的垂直平分線，

：.0B=0D=5,NBOF=90°,又NC=90°,

.?.△BOFs^BCD,

?OF=BO

**CDBC，

???0--F_--5f

68

解得，0尸=工，

4

???四邊形488是矩形，

.'.AD//BC,乙4=90°,

：.ZEDO=ZFBO,

是8。的垂直平分線，

：.BO=DO,EFLBD,

在△DEO和△B/O中，

<ZED0=ZFB0

"BO=DO>

ZE0D=ZF0B

:./XDEOmABFO(ASA),

OE=OF,

：.EF=2OF^^-.

2

故答案為：生.

2

25.解：：/ACB=90°,AC=3,BC=4,

;MB=VAC2+BC2=V32+42=5,

\"AD=—,

3

：.BD=AB-AD=3.,

3

'：DE//BC,

：.NABC=NBDE,

'：ZC=ZDBE=90°,

:.叢ACBS^EBD,

?AC=BC

"BEBD，

.

BEI'

3

：.BE=2,

;=22=

MFVAB+BEV52+22=倔'

故答案為：V29.

26.解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PQ_LBC,

:四邊形A8C。是矩形，

J.AB//CD,AB=CD,AD=BC,ZBAD=90°,

為C。的中點(diǎn)，

：.DE=1.CD=1.AB,

22

/\ABP^/\EDP,

.AB=PB

**DEPD"

?-?-2_P--B,

1PD

.PB2

BD3

■:PQLBC,

J.PQ//CD,

:./XBPQsABDC,

?PQ=BP=2,

"CDBDE，

,:CD=2,

：.PQ=A,

3

：A8=2,