建筑力學(xué)電子教案14靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

第十四章靜定構(gòu)造的位移計算14．1概述一、構(gòu)造位移的定義構(gòu)造在荷載或其它要素作用下，會發(fā)生變形。由于變形，構(gòu)造上各點的位置將會挪動，桿件的橫截面會轉(zhuǎn)動，這些挪動和轉(zhuǎn)動稱為構(gòu)造的位移。二、位移的分類位移線位移：截面形心的直線挪動間隔角位移：截面的轉(zhuǎn)角位移絕對位移相對位移廣義位移三、剛架的位移舉例A點的線位移程度線位移豎向線位移截面A的角位移C、D兩點的程度相對線位移(D)H=C+DA、B兩個截面的相對轉(zhuǎn)角AB=A+B四、引起位移的緣由普通有：荷載〔如前兩剛架〕、溫度改動〔如圖a〕、支座挪動〔如圖b〕資料收縮、制造誤差等五、計算位移的目的有以下三個方面：1、驗算構(gòu)造剛度。即驗算構(gòu)造的位移能否超越允許的位移限制值2、為超靜定構(gòu)造的計算打根底。在計算超靜定構(gòu)造內(nèi)力時，除利用靜力平衡條件外，還需求思索變形協(xié)調(diào)條件，因此需計算構(gòu)造的位移。3、在構(gòu)造的制造、架設(shè)、養(yǎng)護過程中，有時需求預(yù)先知道構(gòu)造的變形情況，以便采取一定的施工措施，因此也需求進展位移計算。14.2虛功原理和單位荷載法一、變形體的虛功原理功：力對物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳送和轉(zhuǎn)換能量的量度實功：力在本身引起的位移上所作的功當(dāng)靜力加載時，即：FP1由0添加至FP114由0添加至14力Fp1在位移14上作的實功W14=FP11414虛功：力在其他要素引起的位移上作的功其特點是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小堅持不變梁彎曲后，再在點2處加靜力荷載FP2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移12為力FP2引起的FP1的作用點沿FP1方向的位移。力FP1在位移12上作了功，為虛功，大小為W12=FP112在小變形條件下，12由圖示的原始外形、尺寸計算，并稱此形狀為虛功計算的位移形狀。與之相應(yīng)，F(xiàn)P1單獨作用的形狀為虛功計算的力形狀。當(dāng)力形狀的外力在位移形狀的位移上作外力虛功時，力形狀的內(nèi)力也在位移形狀各微段的變形上作內(nèi)力虛功。根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理：任何一個處于平衡形狀的變形體，當(dāng)發(fā)生恣意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。虛功原理也可以簡述為：“外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功〞。二、單位荷載法1、定義：運用虛功原理，經(jīng)過加單位荷載務(wù)虛際位移的方法。2、計算構(gòu)造位移的普通公式K=K+RiCi=d+N+Q式中，=1那么d+N+Q—RiCi經(jīng)進一步推導(dǎo)，可得式中：E彈性模量；G剪切模量；A橫截面積；I截面慣性矩；k截面外形系數(shù)。如：對矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。14.3靜定構(gòu)造在荷載作用下的位移計算一、靜定構(gòu)造在荷載作用下的位移公式假設(shè)構(gòu)造只需荷載作用，因支座挪動引起的剛體位移＝0，位移公式那么為Ci對于曲桿〔曲率半徑r〕，荷載作用下的位移公式為＋彎矩的影響軸力的影響剪力的影響曲率的影響圖a所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比r/h=10,彈性模量之比E/G=2.5，曲桿B端形心在豎向荷載FP作用下的豎向線位移由對應(yīng)于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：Q:N:r=1200:1:3:2設(shè)虛擬形狀〔圖b〕計算虛內(nèi)力，用截面法計算實踐形狀的內(nèi)力，代人位移公式運算，并留意矩形截面的不均勻系數(shù)=1.2，計算結(jié)果為中彎矩、軸力、剪力、曲率對應(yīng)的四部分之比M:=二、各類桿件構(gòu)造在荷載作用下的位移公式〔1〕梁和剛架梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的，位移計算公式中取第一項便具有足夠的工程精度〔2〕桁架各桿為鏈桿，而且是同資料的等直桿。桿內(nèi)只需軸力，且處處相等。因此只取公式中的第二項并簡化為適用的方式〔3〕組合構(gòu)造既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式中的前兩項〔4〕拱普通計軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽略不計三、虛擬形狀的選取欲求構(gòu)造在荷載作用下的指定位移，須取相應(yīng)的虛擬形狀。即取同一構(gòu)造，在要求位移的地方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：1〕欲求一點的線位移，加一個單位集中力2〕欲求一處的角位移，加一個單位集中力偶3〕欲求兩點的相對線位移，在兩點的連線上加一對指向相反的單位集中力4〕欲求兩處的相對角位移，加一對指向相反的單位集中力偶5〕欲求桁架某桿的角位移在桿的兩端加一對平行、反向的集中力，兩力構(gòu)成單位力偶。力偶臂為d，每一力的大小為1/d力和力偶統(tǒng)稱為廣義力，單位廣義力用=1表示線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移，用⊿表示單位廣義力有截然相反的兩種設(shè)向，計算出的廣義位移那么有正負之分：正值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向一樣負值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相反〔2〕計算,FNP;四、靜定桁架的位移計算計算步驟為〔1〕設(shè)虛擬形狀；〔3〕用桁架的位移計算公式計算位移。例14-1圖示桁架各桿的EA相等，求C結(jié)點的豎向位移vc解:〔1〕設(shè)虛擬形狀〔如上圖b所示〕〔2〕計算N和FNP〔標(biāo)于上圖b.a〕〔3〕代公式求C點的豎向位移例14-2圖示鋼桁架，圖中括號內(nèi)數(shù)值為桿件橫截面面積〔單位cm2〕。答應(yīng)撓度與跨長的比值，試校核桁架的剛度。解對稱簡支桁架在對稱荷載作用下，最大撓度發(fā)生在桁架的對稱面處。須計算結(jié)點3的豎向位移，然后進展剛度校核。1〕建立虛擬形狀〔如圖b所示〕2〕計算N和FNP，并標(biāo)于圖b、a上3〕求3點的豎向位移，進展剛度校核N/(1/mm)/mm計算半個桁架的，列表如下:1420000003-7豎桿002-6豎桿312500+0.62525000025000100003-6斜桿500000-0.625-10000000.812500100001-6斜桿270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦FNP/NA/mm2編號桿件根據(jù)上表，得<所以，桁架滿足剛度條件五、梁的位移及剛度校核1、梁的位移撓度：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移用w表示，規(guī)定w向下為正。轉(zhuǎn)角：橫截面的角位移

，規(guī)定順時針轉(zhuǎn)為正在工程設(shè)計手冊中列有常見梁的位移的計算結(jié)果〔如表14.1所示〕，可供計算時查用。表14.1梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式2.懸臂梁彎曲力偶作用在自在端1.懸臂梁集中荷載作用在自在端最大撓度轉(zhuǎn)角荷載類型續(xù)表時4.簡支梁集中荷載作用跨中位置上3.懸臂梁均勻分布荷載作用在梁上－時6簡支梁彎曲力偶作用在梁的一端5簡支梁均勻分布荷載作用在梁上-〔在處〕續(xù)表-2．梁的剛度校核梁的位移過大，那么不能正常任務(wù)對于梁的撓度，其答應(yīng)值以答應(yīng)的撓度與梁跨長之比為規(guī)范在工程上，吊車梁的＝1/600鐵路鋼桁梁的＝1/900梁的剛度條件為:例14-3圖示簡支梁由工字鋼制成，跨度中點處接受集中載荷Fp。知Fp=40KN，跨度=3m，許用應(yīng)力=160MPa，許用撓度[w]=/500，彈性模量E=2×105MPa，試選擇工字鋼的型號。解〔1〕按強度條件選擇工字鋼型號梁的最大彎矩為：＝按彎曲正應(yīng)力強度條件選截面查型鋼表選用20a工字鋼,其彎曲截面系數(shù)為237cm3，慣性矩I=2370cm4〔2〕校核梁的剛度=4.75mm<[]=梁的剛度足夠所以，選用20a工字鋼3、提高梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度L、荷載作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：增大梁的抗彎剛度EI增大梁的EI值主要是設(shè)法增大梁截面的慣性矩I值，普通不采用增大E值的方法。在截面面積不變的情況下，采用合理的截面外形，可提高慣性矩I?！?〕減小梁的跨度L梁的變形與其跨度的n次冪成正比。設(shè)法減小梁的跨度L，將有效地減小梁的變形，從而提高其剛度。在構(gòu)造構(gòu)造允許的情況下，可采用兩種方法減小L值：①添加中間支座而②兩端支座內(nèi)移如下圖，將簡支梁的支座向中間挪動而變成外伸梁，一方面減小了梁的跨度，從而減小梁跨中的最大撓度；另一方面在梁外伸部分的荷載作用下，使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度〔圖c〕，從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生的向下的撓度被抵消一部分，減小了梁跨中的最大撓度值。(3)改善荷載的作用情況在構(gòu)造允許的情況下，合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況，以降低彎矩，從而減小梁的變形，提高其剛度。如下圖，將集中力分散作用，甚至改為分布荷載，那么彎矩降低，從而梁的變形減小，剛度提高。14.4圖乘法一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：〔1〕桿段的軸線為直線〔2〕桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)直梁和剛架的位移公式那么為〔3〕MP圖和圖中至少有一個直線圖形

２．圖乘法原理圖乘法求位移的普通表達式為留意：[1].應(yīng)取自直線圖中[2].假設(shè)與在桿件的同側(cè),取正值;反之,取負值[3].如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形.3.圖乘法的步驟:(1).設(shè)虛擬形狀；(2).畫圖、圖；(3).圖乘求位移下面引見幾個規(guī)那么圖形的面積和形心位置當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時，可以將其分解成幾個簡單的圖形，分別與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。4.圖形的分解梯-梯同側(cè)組合：同側(cè)組合：異側(cè)組合由區(qū)段疊加法作的彎矩圖，其彎矩圖可以看成一個梯形和一個規(guī)那么拋物線圖形的疊加。曲-折組合階梯形截面桿二、圖乘法計算直梁和剛架的位移下面舉例運用圖乘法求直梁和剛架的位移例14.4試求圖a所示外伸梁C點的豎向位移CV。梁的EI=常數(shù)解MP、圖分別如圖(b).(c)所示。BC段的MP圖是規(guī)范二次拋物線；AB段的MP圖較復(fù)雜，但可將其分解為一個三角形和一個規(guī)范二次拋物線圖形。由圖乘法得代入以上數(shù)據(jù),于是例14.5試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移cv。設(shè)EI=解:荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖bc所示。在AB段,MP和圖均是三角形；在BC段，MP圖可看作是由B.C兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的規(guī)范拋物線圖[即圖b中虛線與曲線之間包含的面積]疊加而成。將上述各部分分別圖乘再疊加，即得例14.6試求圖(a)所示剛架結(jié)點B的程度BH。位移設(shè)各桿為矩形截面，截面尺寸為bxh，慣性矩l=,E為常數(shù)，只思索彎矩變形的影響。解:先作出MP圖和圖,分別如圖(b)(c)所示。運用圖乘法求得結(jié)點B的程度位移為：14.5靜定構(gòu)造由于支座位移所引起的位移靜定構(gòu)造由于支座挪動并不產(chǎn)生內(nèi)力也無變形，只發(fā)生剛體位移。如圖a所示靜定構(gòu)造,其支座發(fā)生程度位移C1、豎向位移C2和轉(zhuǎn)角C3，現(xiàn)要求由此引起的任一點沿任一方向的位移，例如求k點豎向位移K。由于從實踐形狀中取出的微段ds的變形為d這種位移仍用虛功原理來計算。由位移計算的普通公式=du=

于是上式可簡化為K=-Ci－這就是靜定構(gòu)造在支座位移時的位移計算公式。式中為虛擬形狀圖b的支座反力，Ci為實踐形狀的支座位移，Ci為反力虛功。當(dāng)與實踐支座位移Ci的方向一致時其乘積取正，相反時取負。此外，上式右邊前面還有一個負號，不可漏掉。cH、豎向位移例14.7圖(a)所示靜定剛架，假設(shè)支架A發(fā)生圖示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.Cv。試求C點的程度位移解在C點處分別加一程度和豎向的單位力，求出其支座反力如圖(b)(c)所示。由公式－K=-Ci得：cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cmcv=-1.5×1=-1.5cm14.6互等定理一、功的互等定理圖示構(gòu)造的兩種形狀，分別作用FP1和FP2，稱之為第一形狀和第二形狀。虛功W12為虛功W21為比較，得功的互等定理:W12=W21即:功的互等定理普通方式為:因此得到功的互等定理：第一形狀的外力在第二形狀的相應(yīng)位移上所作的外力虛功，等于第二形狀的外力在第一形狀的相應(yīng)位移上所作的外力虛功。二、位移互等定理條件：在構(gòu)造的兩種形狀中都只作用一個荷載，且為單位荷載。單位荷載所引起的位移稱為位移系數(shù)，用表示〔圖a.b〕

根據(jù)功的互等定理1??即這就是位移互等定理：第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移。上述定理中，單位力可以是廣義單位力，相應(yīng)的位移系數(shù)亦為廣義位移。21與12能夠含即義不同，但二者數(shù)值相等。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一種運用，它反映在超靜定構(gòu)造中假設(shè)兩個支座分別發(fā)生單位位移時，兩個形狀中相應(yīng)支座反力的互等關(guān)系。單位位移引起的支座反力稱為反力系數(shù)，用rij表示根據(jù)功的互等定理，有即這就是反力互等定理，它闡明支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生與上述反力相應(yīng)的單位位移所引起的支座1的反力。r21×1=r12×1r21=r12應(yīng)留意支座的位移與該支座的反力在作功關(guān)系上的對應(yīng)關(guān)系，即線位移與集中力相對應(yīng)，角位移與集中力偶相對應(yīng)。能夠r12與r21一個是反力偶，一個是反力，但二者的數(shù)值相等。小結(jié)本章主要討