高中數(shù)學第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓練題 (38)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓練題（38）

一、單項選擇題（本大題共13小題，共65.（）分）

1.體積為史至的三棱錐4-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2V5.AB<2五,則該三棱

3

錐外接球的表面積為

A.207rB.C.D.

31212

2.在正方體ZBCD-AiBiGCi中，N為底面ABC。的中心，尸為線段為5上的動點（不包括兩個端

點），M為線段AP的中點，則下列判斷錯誤的是（）

A.CM>PN

B.CM與PN是異面直線

C.平面P4N平面80/Bi

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

3.在正方體4BC0-&當?shù)囊灾?，N為底面A8C。的中心，尸為線段&么上的動點（不包括兩個端

點），M為線段AP的中點，則下列判斷錯誤的是（）

A.CM與PN是異面直線

B.CM>PN

C.平面PAN_L平面80。近1

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

4.如圖，正方體48。。一4181（:1。1中，E是棱441的中點，若三棱錐E-外接球的半徑R等

于也，則正方體48。。-481Q么的梭長為（）.

4

5.對于棱長為1的正方體4BCC—&B1G01，有如下結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論是（）

A.以正方體的頂點為頂點的幾何體可以是每個面都為直角三角形的四面體

B.過點A作平面為8。的垂線，垂足為H,貝IJA,H,G三點共線

C.過正方體中心的截面圖形不可能是正六邊形

D.三棱錐4—8修。1與正方體的體積之比為1:3

6.如圖，正方體4BC0—4iBiCiDi中，E是棱的中點，若三棱錐E-外接球的半徑R等

于也，則正方體4BC。-&81Q么的棱長為

4

7.三棱錐S-力BC的所有頂點都在球。的表面上,S4，平面ABC,AB1BC,又S4=AB=BC=1,

則球。的表面積為（）.

A.—B.C.37rD.12兀

2-2TC

8.邊長為1的正四面體的外接球的半徑為R,其內(nèi)切球的半徑為廣，則￡=（）

K

B.日C.iD.i

9.在四棱錐P—4BCZ）中，PA=2,PB=PC=PD=y[7,AB=AD=巾，BC=CD=2,則四

棱錐P-ABCD的體積為

A.2V3B.V3C.V5D.3

10.已知三棱錐P-ABC每對異面的棱長度都相等，且△ABC的邊長分別為VIL3,4,則三棱錐P-

48c外接球的體積為（）

A.6V27TB.9V27TC.18兀D.36兀

11.長方體4BC0-中的8個頂點都在同一球面上，AB=3,AD=4,AAr=5,則該球

的表面積為（）

A.200兀B,507rC.IOOTTD.25兀

12.在三棱錐P—ABC中，AB=2,AC1BC,若該三棱錐的體積為|,則其外接球表面積的最小值

為（）

”C647rc257r

A.57rRcV

,12?4

13.把平面圖形"上的所有點在一個平面上的射影構(gòu)成的圖形M'叫作圖

形M在這個平面上的射影.如圖，在三棱錐A—BCD中，BDLCD,

AB1DB,AC1DC,AB=DB=5,CD=4,將圍成三棱錐的四

個三角形的面積從小到大依次記為Si，S2,S3,S4,設(shè)面積為S2的三角形所在的平面為a,則面

積為S4的三角形在平面a上的射影的面積是（）

A.2V34B.yC.10D.30

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

14.如圖,正方體2BCD-力iBiGDi的棱長為I,點M64B1，N6BG，且AM=

BN牛立,則下列說法正確的是（）

A.AAt1MN；

B.A[Ci〃MN；

C.MN〃平面

D.MN與aCi是異面直線.

15.在正方體4BC。一為當?shù)囊灾?，M在/C上，N在8。上，且瓦e=3祝，同=3麗，則

AB

A.CN〃平面441cl

B.異面直線MN與4力所成角的正切值為迎

C.MN1平面&CD1

D.過A、的、M三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形

三、填空題（本大題共13小題，共65.0分）

16.有下列命題：①邊長為1的正四面體的內(nèi)切球半徑為噂

②正方體的內(nèi)切球、棱切球（正方體的每條棱都與球相切）、外接球的半徑之比為1：V2：V3;

③棱長為1的正方體4BCQ-41當口。1的內(nèi)切球被平面截得的截面面積為?④已知正方

體的棱長為1，每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大

值為立

2

其中正確命題的序號是（請?zhí)钏姓_命題的序號）；

17.三棱錐ABC。中，AB=AD=CB=CD=BD=66,AC=9,若4B,C,D在同一個球面上，

則該球的表面積為.

18.已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面

積是這個球面面積的白，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為

lo

19.已知長方體ABCD-4B1GO1的底面ABC。是邊長為1的正方形，

側(cè)棱44=夜，過8Di作平面a分別交棱CG于點E,F,則四

邊形BFQE面積的最小值為.

20.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角

形，E為PA中點,BE=—PB，則球。的體積為.

2

21.已知等邊△ABC的邊長為4舊，MN分別是AB,AC的中點，將△4MN沿MN折起得到四棱錐

4-MNCB,點P為四棱錐4-MNCB的外接球球面上任意一點，當四棱錐4一MNC8的體積達

到最大時，P到平面MNCB的距離的最大值為_______.

22.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是______.

俯視圖

23.如圖，在邊長為2的正方形4P1P2P3中，邊P1P2,p2P3的中點分別為8,C,現(xiàn)將A4P1B,ABP2C,

ZCP34分別沿"，BC,CA折起使點A，P2,P3重合，重合后記為點P，得到三棱錐P—HBC.則

三棱錐P-4BC的外接球體積為________.

24.己知圓錐的母線長為5,側(cè)面積為20乃，則此圓錐的體積為.

25.己知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2cm,圓心角為空的扇形，則此圓錐的高為_cm

26.已知圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，圓臺的高為2V5CTH，母線與軸的夾角為30。,

則這個圓臺的軸截面的面積等于cm3.

27.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的禪卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示

的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90。樣卯起

來.若正四棱柱的高為6,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個

球形容器內(nèi)，則該球形容器的體積的最小值為(容器壁的厚度

忽略不計).

28.在長方體ABCD-41B1C1D1中，AB=BC=2,=1,則直線4cl與平

面ADD14所成角的余弦值等于

四、解答題(本大題共2小題，共24.0分)

29.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面A8C。是平行四邊形，PA=PC=W，PB=PD=V61

/.APB=Z.CPD=90。，設(shè)平面PABD平面PCO=L

(1)證明：1//AB；

(2)若平面P48，平面PCD,求四棱錐P-4BCD的體積.

30.如圖，48是圓0的直徑，點C是圓。上一點，PAJL平面A8C,E,F分別是PC、PB邊上的中

點，點M是線段AB上任意一點，若4P=4C=BC=2.

(1)求證AE1BC.

(2)若三棱錐M-AEF的體積等于右求霽.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的體積，考查球的表面積，考查錐體的外接球問題，屬于難題.

求出AB的長，確定出三棱錐，建立空間直角坐標系，求出半徑即可.

解：考慮極限情況，在長方體中，如圖所示（48分別為長方體棱上的中點），

BC=AC=BD=AD=3,CD=2遙,則ACBC三△C4D,

設(shè)。為CD中點，易得C。=。。=6，OB=OA=卜_（可=2,

則在Rt△04B中，AB=V22+22=2企，

而根據(jù)題干信息AB<2vL則點8在上圖中的Q（不包含端點）上運動，

當運動到三棱錐4-BC。的體積為卓時，此時的三棱錐如圖所示（?！?為三棱鍵的高）:

由幾何關(guān)系可得△4CD的面積為SMCD?|0*=2花，

故匕-86=：x2岔x\B0'\=野，解得|8。，|=V3.

則在RtAOBO'中，B0=2,\B0'\=V3.則。。'=1,

而。4=2,則20'=1,則8為MN中點（M,N分別為對應(yīng)長方體棱上的中點），

而在△4CC中，AD=AC,O為CD中點，sin^DAO=—，cos^DAO=

33

由二倍角公式可得sin4D4C=延，

9

設(shè)小ACD的外接圓半徑為r,則利用正弦定理可得2r=

s\nz.DAO

解得r=p

而4D=AC,O為。。中點，所以△4CD的外接圓圓心一定在OA所在的直線上，

而r=：>04=2,故外接圓圓心在0A的延長線上，

設(shè)該三棱錐的外接球的球心為P,01為△4CD的外接圓圓心，則0通=；,

則POi1底面。1&4。，

而。14U底面01C4D,故P。］10遇，

而CD1AOr,

設(shè)三棱錐外接球的半徑為上

故建立如圖所示的空間直角坐標系（01為原點，為y軸，POi為z軸，CO的平行線為x軸）:

設(shè)p（0,0,z）則a（o,：,o）,s（0,；,V3）,

則|PB|=\PA\=R,

則用+（z-8）2=%z2=R,

解得z=-"（說明P在上圖所示的z軸的負半軸上），

則催吟

故外接球的表面積S=4nR2=yTT.

故選B.

2.答案：B

解析：

本題考查共面，面面垂直，正方體的截面等問題，需根據(jù)各個知識點進行推理證明判斷，難度較大.

由CN,PM交于點A得共面，可判斷B,利用余弦定理把CM,PN都用4C,AP表示后可比較大小，證明

AN與平面BDDiBi后可得面面垂直，可判斷C,作出過P,A,C三點的截面后可判斷。.

解：連接PC,由正方體性質(zhì)可得C,N,4共線，

而PA,AC在APAC所在的平面內(nèi)，且點M在直線PA上，點N在直線AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故8錯誤；

記4PAe=9,則PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP-ACcosd,

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosd=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又AP<AC,

4

CM2-PN2=-(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正確;

由于正方體中，AN1BD,BBrABCD,ANu平面4BCD,

則BB1J_4N,BBiCBD=B,BB］、8。在平面BBi。山內(nèi)

可得AN1平面BBWi。，

力Nu平面PAN,從而可得平面P4N1平面BDDiBi，故C正確；

取Ci%中點K,連接KP,KC,&Ci，易知PK〃&Ci，

又正方體中，AXCX//AC,.-.PK//AC,PK,AC共面，PKC4就是過P,4,C三點的正方體的截面,

PKC4是等腰梯形.D正確.

故選B.

3.答案：A

解析：

本題考查共面，面面垂直，正方體的截面等問題，需根據(jù)各個知識點進行推理證明判斷，難度較大.

由CMPM交于點A得共面，可判斷A,利用余弦定理把CM,PN都用AC,4P表示后可比較大小，證明

AN與平面BDDiBi后可得面面垂直，可判斷C,作出過P,A,C三點的截面后可判斷D

解：連接PC,由正方體性質(zhì)可得C,N,4共線，

而PA,AC在A/MC所在的平面內(nèi)，且點M在直線PA上，點N在直線AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故A錯誤；

記4PAe=9,則PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP■力Ceos。，

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosO=AC2+-AP2-AP-ACcosG,又4P<AC,

4

CM2-PN2=^AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故B正確;

由于正方體中，AN1BD,BBiJL平面ABC。，ANu平面ABCD,

則BB1J_4N,BBiCBD=B,BB>8。在平面內(nèi)

可得ANL平面

力Nu平面PAN,從而可得平面P4N1平面故C正確；

在平面4&GD1中，過點尸作PK〃&G交GDi于K,連接KC，4Ci，

又正方體中，AiCJ/AC,

PK//AC,PK,4c共面，PKCA就是過P,A,C三點的正方體的截面,

易知41P=C1K,AA1=CC[=AP=CK,

所以PKCA是等腰梯形.D正確.

故選A.

4.答案：B

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定，考查空間想象能力及計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定三棱錐E-8名。外接球的球心位置，然后運用勾股定理即可解題.

解：設(shè)當。中點為F,易證BDJ.BB1，后尸1平面881。.

所以三棱錐E-BaD外接球的球心在E尸上，

設(shè)正方體棱長為a,球心為。.則OX+FB2=0B2t

.?.(/?-^)2+(ya)2=/?2.

解得a=2.

故選員

解析：略

6.答案：B

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定，考查空間想象能力及計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定三棱錐E-B/D外接球的球心位置，然后運用勾股定理即可解題.

解：設(shè)aD中點為尸，易證EFJ?平面B/D

所以三棱錐E-BBi。外接球的球心在EF上，

設(shè)正方體棱長為。，球心為0,

則。產(chǎn)+F域=OBl，

??.（"亨）2+凈）2=/?2.

解得a=2.

故選反

7.答案：C

解析：

本題考查三棱錐S-ABC的外接球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定三棱錐S-ABC的外接球的球心與半

徑，屬于較易題.

根據(jù)題意，三棱錐S-ABC擴展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點，求出

正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S-48C的外接球的表面積.

解:三棱錐S-4BC的所有頂點都在球0的表面上,SA平面ABC,AB1BC,又SA=AB=BC=1,

三棱錐擴展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，

...球的半徑R=2.xVl2+I2+I2=—.

22

球的表面積為：4nR2=4兀X(y)2=37r.

故選C.

8.答案：C

解析：

本題考查正四面體的外接球與內(nèi)切球的關(guān)系，根據(jù)幾何體的特征找出關(guān)系即可求解.

解：如圖，

由正四面體的性質(zhì)可知,外接球和內(nèi)切球的球心都是。且在高線4。1上，其中0A為外接球的半徑R,

。。1為內(nèi)切球的半徑r，

連接力。并延長交平面ABC于點G,則G是△ABC的中心，連結(jié)DO1并延長交BC于中點E,則A,

G,E三點共線，且鬻=：=詈，

CtUJCzi

連結(jié)GO】，GOJ/AD,則鬻=：=:,

故選C.

9.答案：D

解析：

本題主要考查棱錐及其結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積，涉及解三角形以及線面垂直的判斷，屬于難題.

連接AC,相交于點O,連接PO,作出圖像，先證得BO1平面PAL,進而得到=泗.

S^AC，再由幾何分析得到P。=4。，設(shè)O4=x,OC=y,利用OB?=7--=4-y2,cos乙40P+

cos/POC=0聯(lián)立即可解得x,y,再進行求解即可.

解：連接AC,8。相交于點0,連接尸0,如圖，

由對稱性易得，ACA.BD,。為8。的中點，

又PB=PD,。為8。的中點，P。JLBD,

又POCAC=0,P0U平面P4C,4CU平面P4C，.?.B。_L平面PAC,

?'?^P-ABCD~^B-PAC+^D-PAC=gBD-ShPAC,

由已知可得△ABD三△PBD,所以P0=4。，

設(shè)04=x,0C=y,

OB2=7-x2=4-y2,化簡得必=/一3,

cosZ.AOP+COSZ.P0C="+*+'t=0,聯(lián)立y2=%2—3求得工=2,y=1,

2x22xyJJ

即。4=2,0C=1,BD=20B=2后/=2V7-x2=273,

???AC—3,

??.在三角形PAC中cos"4C=瞽fj又"AC為三角形內(nèi)角，???""=，

NXNXJZ

???SNAC=\PA-AC-sin/尸4c=當,

???Vp-ABCD=沙.SgAC*x2gx手=3，

故選D

10.答案：B

解析：

本題考查棱錐的外接球的體積的計算，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題.

依題意將三棱錐可以補形成一個長方體，該長方體的各面上的對角線長分別為VH,3,4,設(shè)長方

體的長、寬、高分別為a,b,c,求出長方體的對角線長即得到球的直徑，即可求體積.

解：由于三棱錐P-4BC每對異面的棱長度都相等，所以該三棱錐可以補形成一個長方體，且該長

方體的各面上的對角線長分別為"T,3,4,

設(shè)該長方體的長、寬、高分別為。，b,c,

且不妨設(shè)a?+爐=-^/Yf2=11，a2+c2=32=9,b2+c2=42=16.

所以a2+b2+c2=i8,

所以三棱錐的外接球的直徑為Va2+岳+c2=3VL

三棱錐P—ABC外接球的體積為與x（吧產(chǎn)9傷r，

故選8.

11.答案：B

解析：

本題考查簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征、球的表面積和體積，屬于基礎(chǔ)題.

求出球半徑，即可求出結(jié)果.

22

解：由已知，ACr=y/AB+AD+AAr=,9+16+25=5企，

所以長方體4BCC-4/165的外接球半徑R=午=苧，

故外接球的表面積為4兀/?2=507r.

故選B.

12.答案：D

解析：

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與球的位置關(guān)系，屬于中檔題.

設(shè)4C=a,BC=b,棱錐的高為兒根據(jù)體積得出。，6與/?的關(guān)系，根據(jù)勾股定理得出外接球半徑

R關(guān)于/?的表達式，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出R的最小值，代入球的表面積公式即可求解.

解：設(shè)4C=a,BC=b,棱錐的高為〃，

則a?+&2=22=4,|x^abh=|,

故a?+b2=4>2ab,ab<2,h=-^->2,

ab

當且僅當a=b時等號成立，

設(shè)三棱錐外接球半徑R,

則鹿=仁）2+（九一幻2,

即&2=1+（無_R）2,R=警,

即R=2+3

2h2

設(shè)?=tftE[1,+8）,

則R=C+3

由于R=t4-尚在tE[1,+8）上單調(diào)遞增，

故R出，

4

故外接球表面積的最小值為ATTRJEx佇丫=

故選。.

13.答案：A

解析：解：如圖所示，面積為S4的三角形在平面a上的射影為AOAC,

面積為:xV25+9x4=2V34,

故選：A.

由題意，面積為S4的三角形在平面a上的射影為△OAC,即可得出結(jié)論.

本題考查射影的概念，考查三角形面積的計算，比較基礎(chǔ).

14.答案：AC

解析:

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，涉及直線與直線，直線與平面間的位置關(guān)系判定，考查了空間想象

能力，屬于中檔題.

分別過點N作&Bi，&G的垂線，垂足分別為Mi，M得到1平面4B1GD1，NN】J?平面

4B1GD1，且MM/NN/即可得到四邊形為矩形，然后結(jié)合選項分析判斷即可求解.

解：分別過點M,N作為B「BiG的垂線，垂足分別為Mi，N],

因為平面4&B1B1平面4道16。1，

且平面44避避n平面4$1的。1=A/i，

所以MM11平面48住1。1，

又MiMu平面

所以MMi1MM

同理可得NN1，平面4道傳1。1，

所以MMJ/NM，

又AM=BN豐則BiM=GN

所以翳=盟=舞NNi_CiN__CM

BB[C]B

即MM[=整=B["i，NN1=貴=CM，

所以MM】=NM，

所以MM】」NN{

所以四邊形MMiMN為矩形，

所以MN〃aN「

又A&_LM/i，

所以441，MN,故A正確；

由黑=BM黯=8必，

又為Mi=GM=I-B1N1，即81Ml與aM不一定相等，

所以41cl與%Ni不一定平行，即4C1與MN不一定平行，

故3錯誤；

因為MN〃MiN「且用iMu平面為B1C1D1，MNC平面48傳1。1，

所以MN〃平面&&GD1，故C正確；

當M，N分別為4%，BG的中點時，滿足&CJ/M1M，此時41c"/MN,故。錯誤.

故選AC.

15.答案：BC

解析：

本題考查了線面平行，異面直線所成角，線面垂直，空間向量加減運算，正方體中的截面問題，考

查了空間想象能力，屬于中檔題.

結(jié)合已知條件，對每個選項進行分析判斷即可得到答案.

解：由題意，平面441G與平面441cle是同一個平面，而CN與平面441GC交于點C,則A錯誤；

1111

MN=1^C+CB+BN=-B^C-~BC+-JD=-+FC)-BC+-+BC)

="-鬲+硝-芯+家-而+硝=-1(AB+BC+CC7)=則MN〃AC「

于是NCMD就是異面直線MN與A。所成角，在直角三角形4的。中，CDL&AD,經(jīng)計算得

tanzCjXD=V2.則8正確；

由于4G，平面BiCOi，又MN〃AC、,所以MN1平面B】CDi，則C正確；

延長AN交BC于點G,由△>!/”/?AB/VG,得G為BC的中點，延長C】M交BC于點G「同理可得

GI為BC的中點，

所以G與Gi重合，取A/i的中點H,連接A4和即得截面AGG”,從而截面4GGH為菱形，

則力錯誤.

故選BC.

16.答案：①②③

解析：

本題考查多面體與球的位置關(guān)系，考查球的截面的性質(zhì)和勾股定理的運用，考查等積法的運用，以

及轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.

運用正四面體的性質(zhì)和體積公式，結(jié)合等積法可得球的半徑，可判斷①；

由正方體與內(nèi)切球、棱切球和外接球的關(guān)系，求得半徑，可判斷②；

求得正方體內(nèi)切球半徑，結(jié)合球的截面性質(zhì)，以及勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)，即可判斷③.

解：①邊長為1的正四面體的高為九=J1—（4）2=導

可得正四面體的體積為V=L直九=立，

3412

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,由等積法可得=（S為正四面體的全面積）

解得r=",故①正確；

②設(shè)邊長為1的正方體的內(nèi)切球、棱切球（正方體的每條棱都與球相切）、外接球的半徑

分別為6，r2，r3，可得2rl=1,2r2=魚，2r3=V3,

即有心：廠2：丁3=1：V2；V5,故②正確；

③棱長為1的正方體4BC0的內(nèi)切球的半徑為右

設(shè)內(nèi)心為/,可得4/=萬!=曰，/在截面的射影為等邊三角形的中心0,

可得。/=Ja/2_&02=J|_（^xV2）2=*

由球的截面的性質(zhì)可得截面圓的半徑為JH=可得截面圓的面積為也故③正確；

④要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面力/D1與GBD中間的,

且過棱的中點的正六邊形，且邊長為立，

2

2

所以其面積為S=6x?.g）=手，故④錯誤;

故答案為①②③.

17.答案：1567r

解析：

本題考查了棱錐外接球的表面積求解，屬于中檔題.

根據(jù)題意可知，。的射影位于AABC的外心。1上，外接球球心位于。。1上，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理

求外接球半徑即可.

解：??,ZM=DB=DC,則。的射影位于△ABC的外心3上，且外接球球心位于DO】上，

由余弦定理可知cosZTlBC=1°叱=-=>sin乙4BC=丫^，

2X10888

9136

則4A8C外接圓半徑r=逗x5=不，

8

則嶼=J108-（副=急

22

設(shè)外接球半徑為凡則（篇—R）+（券）=R2=R=的,

該球的表面積為S-ITTR21567r，

故答案為1567r.

18.答案：|

解析：解：不妨設(shè)球的半徑為：4；球的表面積為：64兀，圓錐的底面積為：12兀，圓錐的底面半徑

為:26；

由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，求的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三

角形

由此可以求得球心到圓錐底面的距離是142_（2舊）2=2,

所以圓錐體積較小者的高為：4-2=2,同理可得圓錐體積較大者的高為：4+2=6：

所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為：

故答案為：I

所成球的半徑，求出球的面積，然后求出圓錐的底面積，求出圓錐的底面半徑，即可求出體積較小

者的高與體積較大者的高的比值.

本題是基礎(chǔ)題，考查旋轉(zhuǎn)體的體積，球的內(nèi)接圓錐的體積的計算，考查計算能力，空間想象能力，

常考題型.

19.答案:V2

解析:

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題，

由題意，四邊形EBFDi的面積S=2XSABEDJ在平面EBF。1中作EMJ.BQ,垂足為則S=2X

|xEMxBDr,BD】=2,只要求EM最短長即可，進而求解.

解：連接BDi，在平面EBP%中作EMJ.垂足為M,

由題意，四邊形EBP5是平行四邊形，

則四邊形EBF5的面積S=2XSABE%，

則S=2xTxEMxBD]

易得BDi=2,

???求四邊形EBFDi的面積最小值，只要求EM最短長即可,

當E是441中點時最短，

此時EM=—,

2

四邊形EBFD1的面積最小值Smin=2x：xEMx眄

=2x-x—x2=V2

22

故四邊形BF%E面積的最小值為迎,

故答案為近.

20.答案：\ZSTT

解析：

本題主要考查的是幾何體的外接球問題，屬于基礎(chǔ)題.

可先由條件結(jié)合勾股定理得到三棱錐三側(cè)棱兩兩垂直，再用補形法求解即可.

解：設(shè)PA=PB=PC=2x,則PE==6x，

所以BE?=PE?+PJ?2,則APIBP,

又P4=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，

所以PA,PB,PC兩兩垂直，

則三棱錐P-力BC的外接球即為以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球，

又PA=VL正方體體對角線長為歷，

所以球半徑為爭所以球。的體積為午x（日）=6，

故答案為\所開.

21.答案：V13+1

解析：

本題綜合考查了折疊問題，與幾何體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為平面問題求解，考查面面垂直、線面垂直的判

定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用、平行關(guān)系的應(yīng)用、點到面的距離的求解.立體幾何問題中點到面的距離

常利用體積橋的方式將所求距離變成幾何體的高，構(gòu)造方程，通過解方程求得結(jié)果.

折疊為空間立體圖形，得出四棱錐A-MNC8的外接球的球心，利用平面問題求解得出四棱錐4-

MNCB的外接球半徑R,則R2=AF2+OF2=13,由此能求出四棱錐A-MNCB的體積最大時，P

到平面MNCB距離的最大值.

由題意得NMBC=g,取BC的中點E,

則E是等腰梯形MNCB外接圓圓心.尸是A/IMN外心，

作0E1平面MNCB,OF，平面AMN,

則。是四棱錐A-MNC8的外接球的球心，且。F=DE=3,AF=2.

設(shè)四棱錐4-MNCB的外接球半徑R,則R2=AF2+OF2=13,

0E=DF=AD-AF=3-2=1,

.?.當四棱錐A-MNCB的體積最大時，

P到平面MNCB距離的最大值為：

dmax=R+0E=V13+1.

故答案為：V13+1.

22.答案：—Ov—

解析：解：根據(jù)三視圖知，

該幾何體是側(cè)面P4B，底面ABC的三棱錐，

如圖所示；

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該三棱錐外接球的球心。在上,

設(shè)。。=a,則（5百一a）2=a2+52,

解。=嗎

3

???外接球的半徑為

R=P0=5百-|遮=竽，

???外接球的體積為

V_2（10勺3_400061

一3（3）?27?

故答案為：幽包.

27

根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)面垂直于底面的三棱錐，

畫出圖形，結(jié)合圖形求出該三棱錐外接球的半徑，再求它的體積.

本題考查了三棱錐外接球的體積問題，是基礎(chǔ)題.

23.答案：V6TT

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和球的體積公式，屬中檔題.

根據(jù)PA,PB,PC兩兩垂直得到2R=g不代入體積公式計算得到答案.

解：易知PA,PB,PC兩兩垂直，PA=2,PB=PC=1,

將三棱錐P-ABC放入對應(yīng)的長方體內(nèi)得到2R=Vl2+l2+22.

任

..RD=一,

2

V=,R3—V67T.

故答案為泥兀.

24.答案：16TT

解析：解：設(shè)圓錐的底面半徑為，，則5姆=叮*5=20兀，

r=4,

二圓錐的圖九=V52—r2=3>

二圓錐的體積U=^nr2h=1x16兀x3=167r.

故答案為：16兀.

根據(jù)側(cè)面積公式計算底面半徑，再計算圓錐的高，代入體積公式計算體積.

本題考查了圓錐的側(cè)面積和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

25.答案：巫

3

解析：

本題考查圓錐的幾何特征，屬于基礎(chǔ)題.

由圓錐的側(cè)面展開圖可以算出圓錐的母線及底面圓的半徑，再由勾股定理即可計算圓錐的高.

解：因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2cvn,圓心角為三的扇形,

所以扇形的半徑也就是圓錐的母線，為2cm.

可以求出扇形的弧長為2x二：；，也就是圓錐底面圓的周長，

因此，圓錐底面圓的半徑為“:

3x27r3

所以圓錐的高為卜—(I1=￥(cm>

故填照

3

26.答案：8-\/3

解析：

本題考查了圓臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意求出圓臺的上、下底面半徑，再計算軸截面的面積.

解：設(shè)圓臺的下底面半徑為上上底面半徑為r；

由2TTR=3-2nr,得R=3r；

由圓臺的高為h=2>J~3cm>

母線與軸的夾角為30。，如圖所示；

則三=tan30°,即與=膽,

h2<33

解得丁=1,所以R=3r=3；

所以圓臺的軸截面的面積為

S軸截面=?X(2+6)X2yf3=8/3(cm2).

故答案為8V1

27.答案：生@萬

解析:

本題考查正棱柱的外接球的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,

考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

由題意，該球形容器的半徑的最小值為2R=11+4+36,即可求出該球形容器的體積的最小值.

解：由題意，該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個長方體體對角線的一半，外接圓直徑為

長寬高分別為1,2,6的長方體的體對角線，設(shè)外接圓半徑為R,

即2R=71+4+36.

所以口=豆，

2

???該球形容器體積的最小值為：irrX(^)3衛(wèi)迎7T.

3276

故答案為：史@

6

28.答案：-

3

解析:

本題考查了直線與平面所成角余弦值的求法，關(guān)鍵是找到線面垂直，即可找出線面所成的角，屬于

中檔題.

利用線面角定義，找到線面角的平面角，結(jié)合三角函數(shù)求出線面角即可.

解：連接

因為ABCD-4/iGDi為長方體，

所以CCi，平面ADD14,

由線面角的定義可知，即為直線AC】與平面ADD14所成角的

因為AB=BC=2,AAr=1,

所以cos/CiAD1=嚕=7華莖叩=—>

114cl