第8講：數(shù)學思想方法之數(shù)形結(jié)合思想探討公開課

【高考數(shù)學專題講座】

第8講：數(shù)學思想方法之數(shù)形結(jié)合思想探討

數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式，實際上兩者

的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學思想方法常見的數(shù)學思想有：建

模思想、歸納思想，分類思想、化歸思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

中學基礎(chǔ)數(shù)學的基本知識分三類：一是數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)

等；二是形的知識，如平面幾何、立體幾何等；三是數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。

數(shù)形結(jié)合思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來的思想方法，根據(jù)解決問題的需要，可

以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究（以形助數(shù)），即以形作為手段，數(shù)為目的，比如

應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)：或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題去研究（以數(shù)

輔形），即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想，

不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思想方法，在高考中經(jīng)常考查。

數(shù)與形轉(zhuǎn)換的三條途徑：（1）建系：通過坐標系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解；（2）

轉(zhuǎn)化：通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點，把問題轉(zhuǎn)化到形的角度來考慮，如將后年轉(zhuǎn)化為勾股定理或

平面上兩點間的距離等；（3）構(gòu)造：通過對數(shù)（式）與形特點的分析，聯(lián)想相關(guān)知識構(gòu)造圖形或函數(shù)等，

比如構(gòu)造一個幾何圖形，構(gòu)造一個函數(shù)，構(gòu)造一個圖表等。

數(shù)形結(jié)合的三種主要解題方式：（1）數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即根據(jù)所給出的“數(shù)”的特點，構(gòu)造符合條

件的幾何圖形，用幾何方法去解決；（2）形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即根據(jù)題目特點，用代數(shù)方法去研究幾何問

題；（3））數(shù)形結(jié)合，即用數(shù)研究形，用形研究數(shù)，相互結(jié)合，使問題變得簡捷、直觀、明了。

運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題要遵循的三個原則：（1）等價性原則：要注意由于所作的草圖

不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系帶來的負面效應(yīng)；（2）雙向性原則：即進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的

代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易失真；（3）簡單性原則：不要為了“數(shù)形結(jié)合”而

數(shù)形結(jié)合，而取決于是否有效、簡便和更易達到解決問題的目的。

運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時的三點注意事項：（1）要熟記常見函數(shù)或曲線的形狀和位置，

畫圖要比較準確，明白一些概念和運算的兒何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既

分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；（2）要恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好

數(shù)形轉(zhuǎn)化；（3）要正確確定參數(shù)的取值范圍。

結(jié)合2012年全國各地高考的實例，我們從下面七方面探討數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：（1）數(shù)形結(jié)合思想

在集合問題中的應(yīng)用；（2）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用；（3）數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線問題中的

應(yīng)用；（4）數(shù)形結(jié)合思想在方程與不等式問題中的應(yīng)用；（5）數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用；

（6）數(shù)形結(jié)合思想在平面向量問題中的應(yīng)用；（7）數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何問題中的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用：在集合運算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合

的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。

典型例題：

例1.（2012年全國大綱卷文5分）已知集合4={x|x是平行四邊形},B={x\x是矩形},C={x\

x是正方形},D{xIx是菱形},則【】

A.AjBB.CqBC.DeCD.AcD

【答案】Bo

【考點】集合的概念，集合的包含關(guān)系。

【解析】平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關(guān)系如圖，由圖知A是大的集合，C是最小的集合，因此，

選項A、C、、D錯誤，選項B正確。故選B。

正方形

例2.（2012年上海市文4分）若集合A={x|2x-l>0},8=卜卜|<1},則。01久=▲

【答案】（g,1）。

【考點】集合的概念和性質(zhì)的運用，一元一次不等式和絕對值不等式的解法。

2x—1>0x>_1(\A

【解析】由題意，得<?2=>-<x<l,：.ADB--,1b

N<1_______2UJ

-101/21

例3.(2012年山東省文5分)函數(shù)f(x)=--—+<4-x2的定義域為【】

ln(x+l)

A[-2,0)U(0,2]B(-1,0)U(0,2]C[-2,2].D(-1,2]

【答案】Bo

【考點】函數(shù)的定義域。分式、對數(shù)、二次根式有意義的條件。

ln(x+l)^0[XHO

【解析】根據(jù)分式、對數(shù)、二次根式有意義的條件，得，x+l>0,解得<x>-1

4-x2>0[-2<x<2

/.函數(shù)f(x)=—!一+V4-X2的定義域為(-l,0)U(0,2]。故選Bo

ln(x+l)

例4.(2012年重慶市理5分)設(shè)平面點集A=](x,y)(y-x)(y--)>0>,B={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2<l),

則所表示的平面圖形的面積為【】

、3347t

(A)-n(B)-7t(C)-7T(D)—

4572

【答案】Do

【考點】線性規(guī)劃中可行域的畫法，雙曲線和圓的對稱性。

y-x>0y-x<0

【分析】(y-x)(y-L)20,

1或<

Xy——>0y--<0

xx

又：(x-l)2+(j-l)2<1,

滿足上述條件的區(qū)域為如圖所示的圓內(nèi)部分I和山。

y=工,(x-1)2+(y-1)2=1的圖象都關(guān)于直線產(chǎn)X對稱,

X

???【和IV區(qū)域的面積相等，II和IH區(qū)域的面積相等，即圓內(nèi)部分I和HI的面積之和為單位圓面積

的一半，為工。故選D。

2

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用：函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了

數(shù)形結(jié)合的特征與方法。特別地，數(shù)列是--種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)

于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。

典型例題：

例1.(2012年山東省理5分)設(shè)a>。a^l,貝廣函數(shù)f(x)=a*在R上是減函數(shù)”，是“函數(shù)

g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)”的1]

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【答案】Ao

【考點】充分必要條件的判斷，指數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的性質(zhì)。

【解析】Vp："函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”等價于0<a<l,

q：“函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)”等價于2—a>0且awl,即0<a<2且axl,

；.p是q成立的充分不必要條件“故選A。

例2.(2012年北京市理5分)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2X-2,若同時滿足條件：

①VxeR,f(x)V0或g(x)V0,@3xe(-oo,-4),f(x)g(x)<0,

則m的取值范圍是▲

【答案】(-4,-2)。

【考點】簡易邏輯，函數(shù)的性質(zhì)。

【解析】由g(x)=2X-2<0得x<l。

;條件①VxeR,f(x)V0或g(x)V0,??.當xNl時,f(x)<0?

當m=0時,f(x)=0,不能做到f(x)在xNl時,f(x)<0,所以舍去。

作為二次函數(shù)開口只能向下，二!!!*：。，且此時兩個根為X1=2m,x2=-m-3o

(八fm<0

m<0

為保證條件①成立，必須<X]=2mvl=^><m<—=>-4cm<0。

2

x=-m-3<l、

—2[m>-4A

又由條件②態(tài)￡(-8,-4),f(x)-g(x)<0的限制，可分析得出X￡(-00,-4)時，f(x)恒負。

???就需要在這個范圍內(nèi)有得正數(shù)的可能，即一4應(yīng)該比X],X2兩根中小的那個大。

由2m=-m-3得m=-l,

.?.當0)時，—m—3<T,解得交集為空集，舍去。

當m=-l時，兩根同為一2>—4,舍去。

當me(-4,-1)時，2m<Tnm<-2。

綜上所述，me(-4,-2)。

例3.(2012年全國大綱卷理5分)已知函數(shù)y=/-3x+c的圖像與x軸恰有兩個公共點，貝ijc=[]

A.-2或2B.一9或3C.-1或1D.-3或1

【答案】A

【考點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【解析】若函數(shù)圖像與x軸有兩個不同的交點，則需要滿足其中一個為零即

可。因為三次函數(shù)的圖像與x軸恰有兩個公共點，結(jié)合該函數(shù)的圖像，可知

只有在極大值點或者極小值點有一點在X軸時滿足要求(如圖所示)。

32

y-x-3x+cfy'-3x-3=3(x+。

.?.當m±l時，函數(shù)取得極值。

由y*=]=0或4=1=0可得c-2=0或c+2=O,BPc=+2?故選A。

例4.(2012年全國課標卷理5分)設(shè)點P在曲線>=:產(chǎn)上，點。在曲線y=ln(2x)上，貝最小值

為【】

(A)l-ln2(B)V2(l-ln2)(C)l+ln2(D)72(1+In2)

【答案】B。

【考點】反函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【解析】?.?函數(shù)y=與函數(shù)y=ln(2x)互為反函數(shù)，.?.它們的圖象關(guān)于y=x對稱。

函數(shù)y=g/上的點P(x,；/)到直線y=x的距離為4

設(shè)函數(shù)g(x)=；e,—X，則g'(x)=；e'—l，???g(x)min=lTn2。

...由圖象關(guān).于y=x對稱得：|PQ|最小值為24加=0(1—In2)。故選3。

例5.(2012年北京市理5分)某棵果樹前n年的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看,

前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為【】

A.5B.7C.9D.11

S(")?

01234567891011”

【答案】C?

【考點】直線斜率的幾何意義。

【解析】據(jù)圖像識別看出變化趨勢，利用變化速度可以用導(dǎo)數(shù)

來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的。實際上，前n

年的年平均產(chǎn)量就是前n年的總產(chǎn)量S與n的商：㈣，在

n

圖象上體現(xiàn)為這一點的縱坐標與橫坐標之比。

因此，要使前m年的年平均產(chǎn)量最高就是要這一點的

縱坐標與橫坐標之比最大，即這一點與坐標原點連線的傾斜角最大。圖中可見。當n=9時，傾斜角最大。

從而m值為9。故選C。

例6.(2012年天津市理5分)函數(shù)/4)=2'+1-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是【】

(A)0(B)1(02(D)3

【答案】Bo

【考點】函數(shù)的零點的概念，函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【分析】?.?/。)=2〃〃2+3/>0,函數(shù)/(幻=2、+/一2在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

又：/(0)=2°+03-2=-1<0,/(1)=2'+13-2=1>0?

函數(shù)/。)=2"+/一2在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點。故選B。

例7.(2012年山東省理5分)設(shè)函數(shù)f(x)=Jg(x)=ax2+bx(a,beR,a*0),若y=f(x)的圖像與

y=g(x)圖像有且僅有兩個不同的公共點A(xi，yi),B(X2，y2),則下列判斷正確的是【】

A.當a<0時，xi+x2<0,y)+y2>0B.當a<0時，xi+x2>0,yi+y2<0

C.當a>0時，xi+x2<0,yi+y2<0D.當a>0時，xi+x2>0,yi+y2>0

【答案】Bo

【考點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【解析】令工=ax?+bx,貝ij1=ax^+bx?(xw())。

x

設(shè)F(x)=ax3+bx2,F(x)=3ax2+2bx。

)2b

^FXx)=3ax2+2bx=0,則x=-3

3a

要使y=f(x)的圖像與y=g(x)圖像有且僅有兩個不同的公共點必須：

F(—)=a(-—)3+b(-—)2=1,整理得4b3=27a2。

3a3a3a

取值討論：可取a=±2,b=3來研究。

當a=2,b=3時,2x^+3x?=1,解得二—1,x?=g，此時=—1,y2=2,止匕時

X]+x2<0,y1+y2>0；

當a=—2b=3時，—2x3+3x2=1,解得二1,x2=—；，此時=1,y2=—2,此時

X)+x2>0,y]+y2<0o故選B。

例8.(2012年重慶市理5分)設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)y=(l—x)/(x)的圖

像如題圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是【】

(A)函數(shù)/(x)有極大值/⑵和極小值/(I)

(B)函數(shù)/(幻有極大值/(—2)和極小值/⑴

(C)函數(shù)/(%)有極大值/(2)和極小值/(-2)

(D)函數(shù)/(x)有極大值/(—2)和極小值/(2)

【答案】D。

【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)的圖象。

【分析】由圖象知，)，=(1—x)/(x)與x軸有三個交點，一2,1,2,2)=0,了(2)=0。

由此得到x,y,l-x,/(X)和/(x)在(YO,+8)上的情況:

Xy,-2)-2(-2,1)1(1,2)2(2,4W)

y+0—0+0—

1-X+++0———

——

/(x)+0——0+

/(X)/極大值非極值極小值/

:./(x)的極大值為/(-2),/(x)的極小值為/(2)。故選Do

例9.(2012年天津市理5分)已知函數(shù))=應(yīng)槿的圖象與函數(shù)>=履-2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)上

x-1

的取值范圍是▲.

【答案】(0』)U(l,4)。

【考點】函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，利用函數(shù)圖像確定兩函數(shù)的交點。

【分析】函數(shù)y

x-ix-1

3-

當1時，y=

x-1II

p-1,,

7=++1仁<X<1

當x<1時，y=

l,x<-1

綜上函數(shù)交上x+Lx>1

<一x—1,—iKxvlo

x—\

x+<-1

作出函數(shù)的圖象，要使函數(shù)y與y=Zx有兩個不同的交點，則直線y=Zx必須在藍色或黃色區(qū)

域內(nèi)，如圖，此時當直線經(jīng)過黃色區(qū)域時3(1,2),攵滿足lv%<2,當經(jīng)過藍色區(qū)域時，攵滿足

綜上實數(shù)k的取值范圍是(0,1)U(l,4)o

1

［a—ah,a<bf

例10.(2012年福建省理4分)對于實數(shù)a和b,定義運算“*”：=設(shè)

\bCID9cib.

/(x)=(2x-l)*(x-l),且關(guān)于X的方程/(%)=皿"ZWR)恰有三個互不相等的實數(shù)根X1，X2fX3，則X1X2X3

的取值范圍是▲.

【答案】罟，0)。

【考點】新定義，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

(2x—1)~—(2x—1),(x—1)>(2x-l)<(x-l)

【解析】根據(jù)新運算符號得到函數(shù)為〃x)=(2r-l)*(x-l)=<

(X-1)2-(2X-1)?(X-1),(2x-l)>(x-l)

化簡得：/(x)=p^X，x<0

-x+x,x>0

9y2_X<O

,,一和'=m的

|一%~+x,x>0

圖象,

如果=m有三個不同的實數(shù)解，即直線y=m

與函數(shù)/U)的圖象有三個交點，如圖，

(1)當直線y=機過拋物線y=*+x的頂點或y=〃?=O時，有兩個交點;

(2)當直線y=〃z中(根<0)時，有一個交點：

(3)當直線y=m中0<加<，時，有三個交點。

設(shè)三個交點分別為：xi，及，X3,且依次是從小到大的順序排列，所以為即為方程2A2—小于

八時加A7JZB1一巾..q1g、j］一小11］一小

0的解，解得X］=-此時X2=X3=］，所以刈無2%3=-4-X2X2=~16°

y=zn與函數(shù)7U)有2個交點的最低位置是當y=m與x軸重合時，此時為也比3=0。

所以當方程/(X)=〃2(加eR)有三個不等實根時，XVX2-X3￡,0o

X

例11.(2012年全國課標卷文5分)當0<x《g時，4<logax,則a的取值范圍是【

(A)(0,乎)(B)(坐,1)(C)(1,也)(D)樞2)

【答案】B。

【考點】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

【解析】設(shè)f(x)=4x,g(x)=k)gax,作圖。

X

?.?當0<x《g時，4<logax,

.?.在0<x《g時，g(x)=logaX的圖象在f(x)=4x的圖象上方。

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，a<l。.?.gGTbgaX單調(diào)遞減。

X

.?.由x=；時，4=logaxW-42=loga,解得a=^^。

要使0<x《g時，4*<logaX,必須a>-^-。

.'.a的取值范圍是(半，1)。故選B。

例12.(2012年北京市文5分)函數(shù)f(x)=x2_1；］的零點個數(shù)為【

A.OB.lC.2D.3

【答案】B。

【考點】基函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象。

【解析】函數(shù)f(x)=x，—的零點個數(shù)就是O—(；J=0(即

x一口')解的個數(shù)，即函數(shù)g(x)=x2和h(x)=(；］的交點個

數(shù)。如圖，作出圖象，即可得到二者交點是1個。所以函數(shù)f(x)=x5-(g)的零點個數(shù)為1。故選B。

例13.(2012年湖南省文5分)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)是最小正周期為2萬的偶函數(shù)，:(x)是7(x)

jrjr

的導(dǎo)函數(shù)，當xw［O,句時，0</(x)<l；當XG(O,乃)且上時,(X—生)r(x)>0,則函數(shù)

y=/(x)-sinx在［-2%,2萬］上的零點個數(shù)為【】

A.2B.4C.5D.8

【答案】B。

【考點】函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個圖像的交點問題。

JTJT

【解析】由當X￡(0,〃)且XW5■時，(1一5)/'(%)>0，知I

jrA/jr

xe0,萬J時,/'(x)<0,/(x)為減函數(shù)；xely,萬時,/'(x)>0,/(x)為增函數(shù)。

又xe［0,〃］時，0<#x)Vl,在R上的函數(shù)/(x)是最小正周期為2/r的偶函數(shù)，在同一坐標系中

作出y=sinx和y=/(x)草圖像如下，由圖知y=/(x)-sinx在［-2萬，2乃］上的零點個數(shù)為4個。

例14.(2012年福建省文5分)已知_/(x)=x3—6x2+9;v—a6c,a<6<c,且,/(a)=/(6)=/(c)=0.現(xiàn)給出如下

結(jié)論：①A。次i)>o；②穴。求D<o；③穴。加3)>o；④/(oy(3)<o.

其中正確結(jié)論的序號是【】

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】Co

【考點】函數(shù)的零點和單調(diào)性。

【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得：/(x)=3f—12x+9,

令/(x)=0，解得制=1,尤2=3。

當x<l時，函數(shù)./U)單調(diào)遞增：當1令<3時，函數(shù)單調(diào)遞減；當

x>3時，函數(shù)加0單調(diào)遞增。

因為“<人<￡■,且?guī)?)=_/(/>)=/(。)=0,所以函數(shù)加0與X軸的交點坐標從左到右依次為“A。

根據(jù)火6)=0得犬6)=3-6"+泌一”兒=加(6—3)2一仇］=0,因為原0,所以S-3)2-ac=0。

又因為c>0,且方程有解，故a>0,所以a>0,l<6<3,c>3。

畫出函數(shù)九r)的圖象，如圖所示.顯然大0)<0,/(1)>0,m)<0,

所以#))①)<0,X0)-A3)>0o所以②③正確。故選C。

例15.(2012年重慶市文5分)設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)廣(尤)，且函數(shù)/(x)在x=-2處取

得極小值，則函數(shù)y=4'(x)的圖象可能是【】

【答案】Co

【考點】函數(shù)的圖象，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

【分析】由函數(shù)/(x)在％=-2處取得極小值可知，

當尸一2時，,f'(x)=0,則4'(x)=0,函數(shù)y=4'(x)的圖象與x軸相交；

當尸一2左側(cè)附近時，/'(x)<0,貝iJ?'(x)>0,函數(shù)y=4'(x)的圖象在x軸上方;

當x=—2右側(cè)附近時，/'(x)>0,則4'(x)<0,函數(shù)y=4'(x)的圖象在x軸下方。

對照選項可知只有C符合題意。故選C。

例16.(2012年陜西省理5分)下圖是拋物線形拱橋，當水面在/時,拱頂離水面2米，水面寬4米，水

位下降1米后，水面寬▲米.

[JiJ一]■

等d.L.1Jy111J

【答案】2底。

【考點】拋物線的應(yīng)用。

【解析】建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)拋物線方程為》2=機乃

僅

當水面在/時，拱頂離水面2米，水面寬4米，

拋物線過點(2,-2,).

代入x2=my得，22-m(-2),即加=-2。

拋物線方程為x2=-2y.

.,.當y=-3時，x=?G,.,.水位下降1米后，水面寬2標米。

三、數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線問題中的應(yīng)用：解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在圓錐曲

線解題中將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想運用于對點、線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究，借助于圖象研究曲線的性質(zhì)

是一種常用的方法。

典型例題：

例1.(2012年全國大綱卷理5分)已知耳且為雙曲線C:y—>2=2的左右焦點，點p在。上，

\PF}\=2\PF2\,則cos/6PB=[]

A.-B.-C.-D.-

4545

【答案】Co

【考點】雙曲線的定義和性質(zhì)的運用，余弦定理的運用。

【解析】首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可。

22______

由X?—J=2=>————=1可知La=b=V2,I.c=Ja?+房=2。

22

.??片約二4。

設(shè)|尸闖=設(shè)|尸周=2"則|P周一|尸闖“。

???根據(jù)雙曲線的定義，得|P用-歸周=2=2〃=2夜。

，歸周二2啦，歸周二4夜。

222

在人/與三中，應(yīng)用用余弦定理得cosN耳尸鳥=P、；二32；二的=%故選C。

例2.(2012年全國課標卷理5分)設(shè)6K是橢圓后：￡+，=1(。>?！?)的左、右焦點，P為直線x=+

上一點，A%PG是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為【】

1234

(A)-(B)-(C)-(D)-

2345

【答案】C。

【考點】橢圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。

【解析】?.?耳巴是橢圓E：「+4=l(a>b>0)的左、右焦點，

ab

|居司=2c。

VAF?PF1是底角為30°的等腰三角形，

???/桃。=6?！?。

?.?「為直線》=稱上一點，.」6。|=|0。|—|0鳥|=5。一。。*瑪卜黑^((…)。

33

又瑞耳|=|P周，即2c=2(0a—c)。，6=巴c=丘。故選C。

例3.(2012年北京市理5分)在直角坐標系xOy中.直線1過拋物線y2=4x的焦點F,且與該拋物線相交

于A、B兩點，其中點A在x軸上方。若直線1的傾斜角為60。，則aOAF的面積為▲

【答案】百。

【考點】拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線方程，直線和拋物線的交點。

【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，得拋物線y2=4x的焦點F(1,0)。

；直線I的傾斜角為60%直線I的斜率k=tan60°=&。

由點斜式公式得直線I的方程為y=6(x-l)。

1

y2=4x|x|=3X2-3

y=V3(x-l)y]=2>/3_20

丫2

?.?點A在x軸上方，A(3,2⑹。

/.△OAF的面積為工xlx2x/5=6。

2

22

例4.(2012年四川省理4分)橢圓土+&=1的左焦點為尸，直線x=m與橢圓相交于點A、8,當AFAB

43

的周長最大時，的面積是▲。

【答案】3。

【考點】橢圓的性質(zhì)。

【解析】畫出圖象，結(jié)合圖象得到AE45的周長最大時對應(yīng)的直線所在位置.即可求出結(jié)論.

如圖，設(shè)橢圓的右焦點為反

由橢圓的定義得：

AM3的周長：

AB+AF+BF=AB+(.2a-AE^+(2a-BE)

=4zz+AB—AE—BE0

VAE+BE>AB.：.AB-AE-BE<0,當AB過點E時取等號。

AB^-AF-^BF=4a+AB-AE-BE<4a.

即直線x="?過橢圓的右焦點E時相45的周長最大，此時AE43的高為：EF=2,直線

x=m=c=lo

把x=l代入橢圓上+上=1得)；=±3。.，.AB=3。

432

...當AE43的周長最大時，AE43的面積是LX3XEF=LX3X2=3。

22

例5.(2012年全國課標卷理12分)設(shè)拋物線。：/=2刀(°>0)的焦點為產(chǎn)，準.線為/,AwC,.已

知以F為圓心，E4為半徑的圓F交/于8,0兩點;

(1)若N8ED=90°,413。的面積為4立；求p的值及圓尸的方程;

(2)若A,3,F三點在同一直線加上，直線〃與加平行，且“與。只有一個公共點，求坐標原點到

距離的比值。

【答案】解：(1)由對稱性知：ABFD是等腰直角三角形，斜邊

\BD\=2p.點A到準線/的距離d=|E4|=|EB|=五〃。

*.*5Mg°=4V2,gx忸qxd=4V2。

/.p=2。

F(0,1),\FB\=242.

:,圓尸的方程為f+(y—Ip=8。

(2)由對稱性設(shè)4%,$)(%>0)，則F(0,￡)

「A,8,尸三點在同一直線加上,

.??點A,B關(guān)于點尸對稱，得：p—五=一“，即片=3p2

2P2p2

紅r

,直線m:y=22x+K,整理得％—6y+包=0。

\/3p22

直線"2的斜率為@

3

又?.?直線〃與“平行，直線〃的斜率為立

3

v.2X

由％2=2/?＞得/=——,y'

2Pp

?.?直線〃與。只有一個公共點，.?.令了=土=等，得x=#p。.?.切點P（粵

也），整理得X—Ky—巫〃=0

.?.直線〃：y-K

636

/.坐標原點到m,〃距離的比值為也:皿=3。

26

【考點】拋物線和圓的性質(zhì)，兩直線平行的性質(zhì)，點到直線的距離，導(dǎo)數(shù)和切線方程。

【解析】（1）由已知=90°,A43O的面積為4夜，根據(jù)拋物線和圓的性質(zhì)可求得〃=2以及

F（0,1）,\FB\=2>/2,從而得到圓F的方程。

（2）設(shè)4天,>0）,根據(jù)對稱性得8（一%,p-虐），由5在準.線/上得到片=3p2,從

而求得A,B的坐標（用〃表示），從而得到直線機的方程和斜率。由直線〃與加平行和直線〃與C只有

一個公共點，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可求出直線〃的方程。因此求出坐標原點到小，〃距離的比值。

例6.(2012年北京市理14分)已知曲線C：(5-m)x2+(m-2)y2=：8(meR)

（1）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；

（2）設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點為A,B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同

的兩點M、N,直線y=l與直線BM交于點G。求證：A,G,N三點共線。

x2v2

【答案】原曲線方程可化為：-^—+-^—=1.

OO

5—mm—2

???曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，

88

----->------

5—mm—2

士>0曰7匚

fzti—vm<5o

5—m2

上>。

m—2

.??若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，則m的取值范圍為」7＜m＜5。

2

證明：：m=4,...曲線c的方程為x?+2y2=8。

將已知直線代入橢圓方程化簡得：

（2k2+l）x2+16kx+24=0,

由A=（16kf-4-（2k2+1）?24=32（2k2-3）＞0W.

由韋達定理得：x+x=--------，x-x=--——。

MN2k2+1MN2k2+1

設(shè)M（XM，kxM+4）,N（XN,kxN+4）,G（XG,1）（,

貝IJMB的方程為y=^M上-2,3XM

AG,1o

XM&XM+6

kx-i--9

AN的方程為y=、十/x+2。

XN

欲證A,G,N三點共線，只需證點G在直線AN上?

kx+2

將3XM,]]代入^1=N.3XM

kx6

lM+；XNXNkxM+6

HP-kxMxN-6xN=3kxM-xN+6xM,即4kxM,xN+6（xM+xN）=0,

24T^-]=o,等式恒成立。

即4+6-

2k2+12k2+1J

3X

由于以上各步是可逆的，從而點GM,1在直線AN上。

（1?M+6）

AA,G,N三點共線。

【考點】橢圓的性質(zhì)，韋達定理的應(yīng)用，求直線方程，三點共線的證明。

【解析】(1)根據(jù)橢圓長軸大于短軸和長、短軸大于0得不等式組求解即得m的取值范圍。

(2)欲證A,G,N三點共線，只需證點G在直線AN上。故需求出含待定系數(shù)的直線MB和AN

的方程，點G的坐標，結(jié)合韋達定理的應(yīng)用用逆推證明。也可通過證明直線MB和AN在y=l時橫坐標相

等來證A,G,N三點共線或直線AN和AG斜率相等。還可用向量求解。

23y2

例7.(2012年廣東省理14分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Ci：r%+二=1(。＞人＞。)的離心

ah~

率e=g,且橢圓C上的點到Q(0,2)的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)在橢圓。上，是否存在點M(機，n)使得直線/：/nr+ny=l與圓O：f+產(chǎn)=1相交于不同的兩點人、

B,且△QA3的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應(yīng)的△Q43的面積；若不存在，請說明理由。

【答案】解：(1)?:e=S=R="，:.可設(shè)a=6k,c=6k(k＞0)。

aV3V3

h=-c2=k,故橢圓C的方程為=1o

設(shè)P(x,y)(-b#y力為橢圓上的任一點，則3/-3y2。

■：\PQ\2=x2+(y-2)2=-2y2-4y+4+3〃=-2(y++3戶+6?3b2