高考評(píng)價(jià)體系下2023屆高三數(shù)學(xué)試題解題思路

高考評(píng)價(jià)體系下2023屆高三數(shù)學(xué)

試題解題思路

長(zhǎng)期思考：數(shù)學(xué)智慧復(fù)習(xí)

?什么是數(shù)學(xué)智慧教學(xué)

?什么是數(shù)學(xué)智慧復(fù)習(xí)

內(nèi)涵，特點(diǎn)，方法，標(biāo)志，案例

什么是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)智慧

問題思考:

?高考數(shù)學(xué)試題解題策略是為了實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)而采取的方針

?提高解題的效率、增強(qiáng)解題的藝術(shù)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力

?如何探究解題思路？如何發(fā)現(xiàn)解題思路？如何高效解題？如何創(chuàng)

新解題？

?

路高因果思考

考

數(shù)

學(xué)

試

題

解

題

思

審美分析

一、因果思考

【例1】由因?qū)Ч?/p>

[2022年-新高考I卷第18題]記AJ8C的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊為久b、c,

已知cos』=sin28

1+sinA1+cos2B

⑴若C4，求，.⑵求—最小值

幾個(gè)分析方法：

-將分式化為整式.通過觀察得到

■等式右邊是二倍角，等式左邊是單

倍角，故想到將等式右邊的二倍角

化為單角，再把分式化為整式

■通過觀察不難發(fā)現(xiàn)方程兩邊的形式

與正切的二倍角公式相同，于是想

到用正切的半角公式=

1+cos2a

二、特殊化法

特殊化法是一種高效解題法，常用于選擇

題型.根據(jù)特殊化與一般化之間的關(guān)系，滿

足一般化的情況一定包含特殊情況，于是帶

入特殊情況進(jìn)行解題，能夠巧妙的避免繁瑣

的計(jì)算過程，從而達(dá)到事半功倍的效果，甚

至秒殺。

【例2】特殊化法

[2017-全國(guó)新課標(biāo)卷I]設(shè)46是橢圓C：工+2^=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),

3m

若C上存在點(diǎn)“滿足4MB=120。，則〃7的取值范圍是()*

A.(0,l]U[9,+o))B.(0,V3]U[9,+x).

C.(0,l]U[4,+s)D.(0,⑻U[4,+s)&

【例2】特殊化法

[2017-全國(guó)新課標(biāo)卷I]設(shè)48是橢圓C：=+二=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),

3m

若「上存在點(diǎn)M滿足乙4八=二120。，則〃?的取值范圍是（）。

分析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，考慮特殊點(diǎn)，當(dāng)“運(yùn)動(dòng)到短軸頂點(diǎn)C處,此

時(shí)，乙4MB最大，假設(shè)ZACB=120°,則有乙400=120。，故

6-

tan/,4CO二筆二、與，即膽=1,若膽<1,則CO變短，故乙4。8>60。乂成

小”仰

立，故加《1,同理當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),有加N1.

【例3】特殊化法

[2022-新高考全國(guó)卷II]已知函數(shù)/⑴定義域?yàn)镽,且/(x+2)是偶函

數(shù)，/(2x+l)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)中的值一定為0的是()。

A.B./(-I)C./(2)D."4)白

【例3】特殊化法

[2022-新高考全國(guó)卷II]已知函數(shù)/⑴定義域?yàn)镽,且/（x+2）是偶函

數(shù)，/（2x+l）是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)中的值一定為。的是（）。

分析本題可以找到一個(gè)瞞足題意的特殊的函數(shù)，由于奇函數(shù)

~（1\~11

/（2x+l）=/2x+-,故其對(duì)稱中心（0,0）先向右平移5個(gè)單位，坐標(biāo)為原

來的2倍，得到/（工）的對(duì)稱中心（1,0）,又偶函數(shù)/（工+2）的對(duì)稱軸工=0向由平

移2個(gè)單位得到/（x）的對(duì)稱軸x=2.由的）及為嗎n將/（x）特殊

/（》）的對(duì)稱軸為》二2J

化為三角函數(shù)，故其周期丁=4,故（-1,0）是此三角函數(shù)的對(duì)稱中心，故/（-1）=0.”

三、數(shù)形結(jié)合

華羅庚說過，數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)

難入微.數(shù)與形結(jié)合解題，能達(dá)到事半功倍

的效果，高考數(shù)學(xué)中常見的數(shù)形結(jié)合類型有:

用幾何直觀圖形幫助解決代數(shù)問題、用代數(shù)

方法解決幾何問題等.通過由數(shù)想形，見形

思數(shù)，從而解決問題.

【例4】數(shù)形結(jié)合

[2018年北京卷理科7題]在平面直角坐標(biāo)系中，記"為點(diǎn)P(cos<9,sine)

到直線入--〃7》-2=0的距離.當(dāng)0、m變化時(shí)，4的最大值為().H

A.1B.2C.3D.4*

分析：本題以點(diǎn)到直線的距離為背景，考查學(xué)生的

數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).運(yùn)通

性通法，但是此問題是一個(gè)含有雙變量的動(dòng)態(tài)問題,

思路復(fù)雜，運(yùn)算繁瑣，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合，降低了問題

難度，規(guī)避了參數(shù)的討論和大量運(yùn)算，思路變得簡(jiǎn)

潔，這體現(xiàn)了“多想少算”的優(yōu)勢(shì).

【例4】數(shù)形結(jié)合

[2018年北京卷理科7題]在平面直角坐標(biāo)系中，記"為點(diǎn)尸(cos。,sin。)

到直線x-叼-2=0的距離.當(dāng)。、〃7變化時(shí)，"的最大值為().一

A.1B.2C.3D.4G

解析根據(jù)題意可知，點(diǎn)P(cose,sin￡)的軌跡為以原點(diǎn)為

圓心的單位圓.而直線1-〃少-2二0過定點(diǎn).4(2,0).?

根據(jù)右圖可知，當(dāng)點(diǎn)尸(cose,siu6)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,而直線垂

直于工軸時(shí)，距離最大為：，二2-(-1)=3,故選C.*

【例5】數(shù)形結(jié)合

［2022■■全國(guó)卷II］已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若

〈a、c〉=〈b,c),則實(shí)數(shù)/二().e

A.-6B.-5C.5D.69

分析通過數(shù)形結(jié)合的方法，將向量在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出來，

由于］W向量與之向量夾角相同，則已知由二、^為鄰邊組成

的平行四邊形為菱形，因此諄=；,由二=5、1=1、tb=5

則，=5.

!1!直覺猜想

直覺是一種大膽的猜測(cè)，從本質(zhì)上講，數(shù)

學(xué)發(fā)現(xiàn)大都是創(chuàng)新性的直覺.通過大膽猜測(cè),

能超越對(duì)數(shù)學(xué)問題的表面特征認(rèn)識(shí)，而捕捉

到事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，直接對(duì)問題本質(zhì)做

出迅速且直接的判斷，領(lǐng)悟到解決數(shù)學(xué)問題

的思路.

【例6】直覺猜想

333

[2022全國(guó)卷11第23題]已知°力,「都是正數(shù)，且/+爐+9=1,證明：

、，，Iabc1

(1)abc<-；(2)-——+---+----<—(=.

9b+ca+ca+b27abe

3332JL

分析通過觀察不難發(fā)現(xiàn)/+反+/=1可化為(片)3+(*)3+(/)3.

abc1—ri、iu

,++,<—r=可以化為

b+ca+ca+b27abe

--------F-----1-<--j=+-7=7=^聯(lián)想至“二兀重要不等式

b+ca+ca+b2yjbc2yl.c27，b

22333

盯，K,對(duì)其作推廣并猜想：xyz<x+^-+Z(其中x,%z>0).

23

然后證明此猜想正確即可.a

五、化歸與轉(zhuǎn)化

化歸轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有

知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方

法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)

雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)

單的問題.

【例7】化歸與轉(zhuǎn)化

[2018年全國(guó)卷III文科第8題]直線、+y+2=0分別與x軸，），軸交于

48兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在圓（K-2y+j，2=2上，則ZU5尸面積的取值范圍是

（）.J

A.[2,6]B.[4,8]C.[VL3后]D.120,3虛]

分析取值范圍其實(shí)質(zhì)就是求最大值和最小值.因?yàn)樵?長(zhǎng)度固定，所

以只與點(diǎn)P到直線的距離有關(guān)，而點(diǎn)尸的軌跡為圓，所以選擇三角換

元，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來求解，直接運(yùn)用三角函數(shù)的有界性，使問

題輕松獲解.即設(shè)尸（2+8cos<9,亞sin。），又因?yàn)橹本€x+y+2=0,則點(diǎn)P

2+V2cos6>+V2sin/9+2|2sin3+?)+4

到直線的距離為2=.又因?yàn)?/p>

72節(jié)

2sin(^+y)E[-2,2],所以de[0,3向，從而S&的=1.]叫.d=[2,6]f

4-

【例7】化歸與轉(zhuǎn)化

[2018年全國(guó)卷m文科第8題]直線X+V+2二0分別與x軸，J，軸交于

A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在圓(?.2『+/=2上，則A48P面積的取值范圍是

().一

A.[2,6]B.[4,8]C.[0,30]D.[2血，3&]

解析設(shè)P(2+gcosa6sine),又因?yàn)橹本€x+〉+2=0,則點(diǎn)尸到直

2+yficos0+y/2sin+22sin(^+—)+4

線AB的距離為「二又因?yàn)?/p>

75正

2sin(19+-)e[-2,2]，所以d￡[^2,3>/2],從而SXiBP=^-\AB\<d=41dc[2,6]

421

故選A-3

U!審美分析

數(shù)學(xué)美是一種理性美，主要表現(xiàn)為對(duì)稱性、

統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性、和諧性、奇異性.數(shù)學(xué)美

不僅可以在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中陶冶情操，還

可以在解數(shù)學(xué)題時(shí)提供解題思路.

▲A

【例8】簡(jiǎn)單美

22

［新高考［卷第16題］已知橢圓C：+(a>b>c),C上的頂

點(diǎn)為月，兩個(gè)交點(diǎn)為石、后，離心率為:，過石且垂直于N巴的直線與

。交于。、E兩點(diǎn)，|?！陓=6,則A40E的周長(zhǎng)是_______o*

分析利用數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單美巧妙解題，通過焦半徑的公式(簡(jiǎn)單美)，即

歸下|二成匕￡1,其中夕為焦半徑與x軸正半軸的夾角，能快速獲得答

1-ecos6

案。以下從略，周長(zhǎng)為13.。

【例9】對(duì)稱美

|2016年全國(guó)卷H理科第12題］已知函數(shù)/(.v)(xe?滿足/(-.v)=2-/(.v),

若函數(shù)y=上比與y=/(.V)圖像的交點(diǎn)為(X，M),(M,、,),???,(S,，")?則

X

E?+M)=().G

.?—-I*

A.0B.mC.2mD.3〃7Gl

解析根據(jù)題意可知，/(-.v)+/(.x)=2,所以函數(shù)/?)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱.

因?yàn)椤馈?+-"+1=2,因此"二三生的圖像關(guān)于點(diǎn)(0」)成中心對(duì)稱.s

?V-XX

因而函數(shù)/(x)與"二山的圖像交點(diǎn)兩兩關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱.1

X

mm

從而，Z苫二0，二2x—二川，故Z(*i+M)='〃.小

；-i/-12；_；

【例9】對(duì)稱美

[2016年全國(guó)卷II理科第12題|已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(T)=2-/(X),

若函數(shù)y=^~與尸/1(x)圖像的交點(diǎn)為(NM，C2,),??,,(.-)，則

X

￡?+乂)=().一

:-1

/(一%)=2-/(%)

發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性探究對(duì)稱點(diǎn)結(jié)論的證明結(jié)論的推廣

y

【例9】對(duì)稱美

[2016年全國(guó)卷II理科第12題]已知函數(shù)/。）。€及）滿足/（r）=2-/（戈），

若函數(shù)y=與y=/"（x）圖像的交點(diǎn)為（*,乂）,（工2，M）,、區(qū)”兒），則

X

，“

￡（\+乂）=（）."

發(fā)

現(xiàn)思路發(fā)現(xiàn)1“退”中求進(jìn)

對(duì)

稱

性思路發(fā)現(xiàn)2構(gòu)造輔助函數(shù)

【例9】對(duì)稱美

[2016年全國(guó)卷II理科笫12題]已知函數(shù)/（工）（XGK）滿足/（-》）=2-/（工）,

若函數(shù)丁=土%與y=/（A*）圖像的交點(diǎn)為（怎,乂）,（工,乃）幾），則

X

￡（\+乂）=（）.

?=?

思路發(fā)現(xiàn)1“退”中求進(jìn)

首先移項(xiàng)可得/"）+/（—）=2,接著我們通過“退”，即是把“2”變?yōu)楦?/p>

簡(jiǎn)單的“0"，得/?）+/（r）=0,發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程是奇函數(shù)的表達(dá)式，而奇

函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因此，可以猜想，本題中的函數(shù)/?）的

圖像也具有對(duì)稱性.《

【例9】對(duì)稱美

思路發(fā)現(xiàn)2構(gòu)造輔助函數(shù)

根據(jù)原方程/(Y)=2-/(K),原方程兩邊同時(shí)減去1可以得到/(-.Y)-1=1-/(.V).H

因?yàn)橥ㄟ^觀察此方程發(fā)現(xiàn)，將代入表達(dá)式的右邊得1-/(-刈，剛好與左邊相差

一個(gè)負(fù)號(hào)，所M令g(.Y)=l-/(令，則有g(shù)(x)=1-/(.r)=.3

又因?yàn)間(Y)=l-/(Y)，所以g(Y)=-g(X),因此g(X)是奇函數(shù)，故g(X)關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱.~

通過解題回顧知，函數(shù)g(K)是由函數(shù)/?)作X軸對(duì)稱再向上平移1個(gè)單位得到的，

而函數(shù)g(K)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，平移不改變函數(shù)的對(duì)稱性，所以可以得到函數(shù)/(X)

圖像也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

【例9】對(duì)稱美

[2016年全國(guó)卷II理科第12題]已知函數(shù)/(x)(xe&)滿足/(T)=2-小)，

若函數(shù)y=--與歹=/(.V)圖像的交點(diǎn)為(X,,y\),(x,y,),???,(x,?,y)，則

X7m

Z(?+y,)=().一

;I

探

求由思路1探求“退”中求進(jìn)

對(duì)

稱

點(diǎn)由思路2探求構(gòu)造輔助函數(shù)

【例9】對(duì)稱美

思路1探求構(gòu)造輔助函數(shù)

由于函數(shù)/(.*)是一個(gè)抽象函數(shù)，為了簡(jiǎn)化解題思路，可以將/&)取

為熟悉的具體函數(shù).取/(x)=h+Z),因?yàn)?(K)+"Y)=2,所以

kx+b+-kx+b=2,即26=2,故。=1.所以/(x)=米+1(丘尺)，該函數(shù)圖像

是一條經(jīng)過定點(diǎn)(0,1)的直線.再作具體化處理，取a=1,得/(x)=x+l,

此直線是關(guān)于該直線上的任意一點(diǎn)對(duì)稱，所以一個(gè)函數(shù)無法確定對(duì)稱

點(diǎn).再取k=-1,得工(x)=-X+1./(x)J(x)都滿足抽象函數(shù)人工)的對(duì)稱

性，而工(X)與工⑺有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(0,1),因此函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于

點(diǎn)(0,1)對(duì)稱.*特殊化處理

【例9】對(duì)稱美

思路2探求構(gòu)造輔助函數(shù)

根據(jù)函數(shù)g(x)=l-/(x),可以得到八x)=l-g(x).由八x)=l-g(x)可知,g(x)

先作關(guān)于X軸對(duì)稱，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到了(*).因?yàn)楹瘮?shù)

g(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(0.0)對(duì)稱，所以函數(shù)/?)圖像關(guān)于(0,1)對(duì)稱.因?yàn)槠揭?/p>

和對(duì)稱變換不改變函數(shù)圖像的對(duì)稱性，所以也即是證明過程.。

圖象的直觀想象

[2016年全國(guó)卷II理科第12題]已知函數(shù)/(工)(工e火)滿足/(-.V)=2-/(.v),

若函數(shù)y=^-與y=/(-V)圖像的交點(diǎn)為(E，M),(*,")，?,?，(-￡…)?則

X

x?+?)=()?a

?:=*1

結(jié)論的證明——思路分析

首先回顧函數(shù)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱的概念是指上函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于

該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，因此，我們證明函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)

(0,1)對(duì)稱，則只需證明函數(shù)/(x)上的任意一點(diǎn)(嘰〃)關(guān)于點(diǎn)(0,1)的對(duì)稱點(diǎn)

(-成2-〃)也在函數(shù)圖像.「

【例9】對(duì)稱美

[2016年全國(guó)卷II理科第12題]已知函數(shù)/6)(工w火)滿足/(-.v)=2-/(x),

若函數(shù)y=^-與y=/(.v)圖像的交點(diǎn)、為(蒼,必),3,%)，??,，(?￡"，%)*則

X

￡(4+乂)=().“

;=1

結(jié)論的證明一證明

設(shè)點(diǎn)(加,〃)是函數(shù)/&)圖像上的任意一點(diǎn),則/(〃/)=〃.e

因?yàn)?r)=2-/(x)，所以/(-/〃)=2-/(/〃)，即2-〃=/(-/〃)，故點(diǎn)(_也2-〃)

也在函數(shù)/(?)的圖像上.1

而點(diǎn)。〃,")與點(diǎn)(-〃人2-〃)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，故/&)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱.■

【例9】對(duì)稱美

結(jié)論的推廣

推廣1設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽，函數(shù)/&）滿足/代）+/3-切=2則

函數(shù)/?）圖像關(guān)于點(diǎn)（（1）對(duì)稱.H

推廣2設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,函數(shù)/?）滿足/（K）+/Q-X）=O,

則函數(shù)八，）圖像關(guān)于點(diǎn)￡。）對(duì)稱.“

推廣3設(shè)函數(shù)/⑶的定義域?yàn)槲澹瘮?shù)/⑺滿足/（K）+/（Y）=[〃,

則函數(shù)八丫）圖像關(guān)于點(diǎn)（0,/）對(duì)稱.a

【例9】對(duì)稱美

結(jié)論的推廣

推廣4設(shè)函數(shù)/（K）的定義域?yàn)镽,函數(shù)/（K）滿足=I

則函數(shù)/（x）圖像關(guān)于點(diǎn)§片）對(duì)稱.1I

推廣5設(shè)函數(shù)/（K）的定義域?yàn)榧埃瘮?shù)/（X）滿足/g+x）+/3r）=0,則

函數(shù)/（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（等,0）對(duì)稱.“

推廣6設(shè)函數(shù)/（K）的定義域?yàn)镽,函數(shù)八X）滿足/（。+，）+/屹7）=川，則

函數(shù)/（K）圖像關(guān)于點(diǎn)（噂,：）對(duì)稱.一

【例9】對(duì)稱美

結(jié)論的推廣

陽7發(fā)函數(shù)/?)的定乂域?yàn)镽,函1類比是一種重要的數(shù)學(xué)思維

/(x)圖像關(guān)于直線對(duì)稱."方法，很多數(shù)學(xué)重要結(jié)論的

2發(fā)現(xiàn)都是通過大膽猜想和類

證明：設(shè)點(diǎn)(％，M)在函數(shù)/(?)圖像上，的類比思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的一

個(gè)重要任務(wù).類比推廣的關(guān)

因?yàn)?(?+-V)-f(b-.V)=0,所以f{ci

鍵點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)兩者之間的相

因此+=,而點(diǎn)(,同點(diǎn)和不同點(diǎn)以及它們的本

x=。，故函數(shù)/(X)圖像關(guān)于直線.v="I,質(zhì)制生

2020年山東卷導(dǎo)數(shù)題

思路分析與教學(xué)建議

01問題

2020年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)試卷(山東卷)

第21題：已知函數(shù)/(x)=aeA-1-lnx+Ina.

(1)略;

(2)若/(x)21,求〃的取值范圍.

02思路分析1:轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值問題

將函數(shù)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值問題.

教師重點(diǎn)分析了本題唯一的駐點(diǎn)(即最小值點(diǎn))隱藏在超越方程

oe'T-里面，不可能直接求出駐點(diǎn)(最小值點(diǎn))；這時(shí)需要設(shè)出

x

最小值點(diǎn)，比如記為7,則得到了(%)最小=/?)="e'T+；

接著，把QU代換為1,則得外小小=l-hu+lna；

tt

然后,令f(x)最小=—Inz+In>1；

最后，分離參數(shù)就容易求解了.以下從略.

02思路分析2:找關(guān)鍵點(diǎn)或利用極端原則

找關(guān)鍵點(diǎn)或利用極端原則等方法.

注意到，兩個(gè)超越函數(shù)即巳1和Inx均較麻煩，一個(gè)自然的想法是:

對(duì)-賦一個(gè)特殊值,讓它們消失或取值很簡(jiǎn)單.事實(shí)上，取x=l,

就能實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法.

若取工=1,則/⑴=。+Ina；“/。白恒成立”的必要條件是

/⑴=Q+lnaNl；再注意到a+lna在定義域上單調(diào)遞增，則有

因此，恒成立”的必要條件是“。之1”.至此，剩下的工

作是證明“/（X）21恒成立”的充分條件是以下從略.

02思路分析3:對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論

對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

受思路2的啟發(fā)，對(duì)參數(shù)Q進(jìn)行分類討論：6Z>1；0<6Z<l.

以下從略.

02思路分析4:變更主元

在/(無)=-Inx+lnQ中，將■看作主元.

令g(。)=?a+lna-lnx,由/(X)=g(q)知，f(x)>1<=>g(a)>1.

gXa)=e-}+->0,因此g(a)單調(diào)遞增.

a

可以證明e'—Nx(留給學(xué)生).從而，gm=ex-}-\nx>x-\nx.

令/2(x)=x-lnx,//V)=l--=0,則易得Z/(x)min⑴=1.

X

因此g⑴21,所以有g(shù)(a)2g(l).再由g(a)單調(diào)遞增可知，?>1.

評(píng)注：到了這一步，教師既沒有展示新的步驟，也沒有作

補(bǔ)充說明.易見，思路4存在邏輯差錯(cuò)(詳見后面的對(duì)思路

4的反思).

02思路分析5:構(gòu)造同構(gòu)式

f(x)=?ev1-lnx+ln?>1

oUnx+lna〉l

<=>e'ntf,1-1+Ina-1>Inx

oe""+z+(In?+x—1)>lnx+x=elnv+lnx.

令g(x)=e'+],只需^(ln?+A--l)>g(lnx)即可.

因?yàn)間(x)單調(diào)遞增，所以只需Ina+x-■InX,

或只需Ina21nx—x+1即可.令h(x)=Inx-x+1,

1]—x

/7z(x)=--l=——=0得x=1,即〃(x)的最大值為版1)=0.

xX

因此有，In<2>0=>tz>1.故a的取值范圍是[1,+8).

評(píng)注：構(gòu)造同構(gòu)式的困難在于，學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算和不

等式的同解變形不夠熟練.

02思路分析6:利用〃隱零點(diǎn)〃和〃設(shè)而不求〃

首先，對(duì)/U)二次求導(dǎo)后可知廣⑴在(0,-KO)單調(diào)遞增.

當(dāng)0<4<1時(shí)，/⑴<1不合題意；

當(dāng)我=1時(shí)，原函數(shù)確定，通過求導(dǎo)可得〃幻之1,滿足題意；

11-1

當(dāng)時(shí)，/⑴=4一1>0,即一<1,所以有e。<1.

a

故/'(，)?/(I)=?(e?-1一1)3-D<0,由前知f(x)在(0,+w)單調(diào)

a

A!

遞增，所以存在唯一零點(diǎn)與e(Ll)使得r(x0)=?e°--—=0,

則肥均值不等式證明/⑶mm=7(Xo)>l,亦可得到a21.

02思路分析6:利用〃隱零點(diǎn)〃和“設(shè)而不求〃

評(píng)注：思路6的妙處在于“等價(jià)轉(zhuǎn)換”和“設(shè)而不

求”.“隱零點(diǎn)”法和“設(shè)而不求”對(duì)于學(xué)生思維創(chuàng)新性要

求較高，需要運(yùn)用分類討論、函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí)

對(duì)問題作綜合考慮，才能判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)、有

幾個(gè)零點(diǎn)等問題.

教學(xué)建議之對(duì)思路2的反思:

“找關(guān)鍵點(diǎn)”方法是根據(jù)“充要條件”來證明：

首先，證明/(X)>1=>Q21,以下從略.

其次，證明必要性：QNln/(x)21.

當(dāng)時(shí)，可知/Cx)2ex7—Inx.

接著構(gòu)造函數(shù)ga)=e*7-x,〃(_x)=ln尤-x+1,

最后可以得到e'T-InxNx-(x-l)=1,得證.

整個(gè)證明過程需要兩次求導(dǎo).

教學(xué)建議之對(duì)思路2的反思：

■“找關(guān)鍵點(diǎn)”方法是根據(jù)“充要條件”來證明：.

實(shí)際上，必要性的證明可以簡(jiǎn)化(優(yōu)化)為直接比較eA'lnx

的大?。毫钕?x)=ex-1-Inx,通過求導(dǎo)可得(p\x)=0的解為x=l,

于是其最小值為以1)=1，于是/(x)＞夕(幻＞1.

這里，把原本多次求導(dǎo)化為了一次求導(dǎo)，這種直接比較

的方法更貼近學(xué)生的思維過程.

教學(xué)建議之對(duì)思路4的反思:

L批判性思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑.

思路4出現(xiàn)了邏輯差錯(cuò)：

因?yàn)檫€需要驗(yàn)證。va<l與/(x)21是相矛盾的，由此才能說

QNI是的/(x)Nl充要條件.要證明0<avl與/(幻21相矛盾，是

不難的.事實(shí)上，當(dāng)Ova<l時(shí)，,/Xl)=4+lnQ,函數(shù)Q+lnQ在

(0,1)上單調(diào)遞增，因此/⑴<l+lnl=l,這與題設(shè)了⑴21相矛盾,

這說明0<4<1不成立.

至此，才能得到結(jié)論：a的取值范圍是［1,小).

教學(xué)建議之對(duì)思路5的反思：

j發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑.

思路5的另解1:

acx[-Inx+In?>1。ex-1+ln'z>Inx-In?+1.

令1=/一""",取對(duì)數(shù),得Inf=x-l+lnq.①

Xelnf>\nx-\na+\,即￡2lnx-lna+1.②

由①+②，得Inf+rZInx+x.

顯然加(x)=Inx+x在(0,-HX))單調(diào)遞增，因此,2x.

即e'-i+ina〉x,則]naNlnx-x+l.以下從略.

教學(xué)建議之對(duì)思路5的反思:

發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑.

思路5的另解2:

aex^-lnx+ln?>1(*)

x-1.exjc-i1.ex

oae