福建省龍巖市初級中學教育組團2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試卷(含答案)

2022-2023學年福建省龍巖初級中學教育組團九年級第一學期期

中數(shù)學試卷

一、選擇題：（每小題4分，共40分）

1.以下關于新型冠狀病毒的防范宣傳圖標中是中心對稱圖形的是（）

A◎13C）C.礴D@

2.將二次函數(shù)y=（x-1）2+2的圖象向上平移3個單位，得到的圖象對應的函數(shù)表達式是

（）

A.y—（x+2）2+2B.y—（x-1）2+5C.y—（x-4）2+2D.y—（x-1）2-1

3.00的半徑為5,圓心。到直線/的距離為6,則直線/與。0的位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

4.對于二次函數(shù)y=（x-1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.對稱軸是直線x=-l

C.頂點坐標是（1,2）D.與x軸有兩個交點

5.如圖，8。是OO的直徑，點A、C在上，AB=BC，ZAOB=60°,則N8OC的度

數(shù)是（）

A.60°B.45°C.35°D.30°

6.如果一個正多邊形的中心角是60°,那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

7.如圖，將aABC繞點A按逆時針方向旋轉100。，得到△AEG,若點8在線段的

延長線上，則NBBCi的大小為（）

A.70°B.80°C.84°D,86°

8.如圖，二次函數(shù)了=謂+公+。的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(5,0),下列說法正確的是

()

B.抉-4〃cV0

C.a-b+c<0

D.圖象的對稱軸是直線x=3

9.如圖所示，A3為半圓。的直徑，C、D、E、尸是篇上的五等分點，尸為直徑A8上的任

意一點，若AB=4,則圖中陰影部分的面積為()

10.如圖，拋物線的圖象與X軸交于點A,B,與y軸交于點C,頂點為。,

以AB為直徑在x軸上方畫半圓交)，軸于點E,圓心為/,P是半圓上一動點，連接。P,

點。為尸。的中點.下列四種說法：

①點C在。/上；

②SP。；

③當點P沿半圓從點B運動至點A時，點Q運動的路徑長為n；

④線段8Q的長可以是3.2.

其中正確說法的個數(shù)為（）

二、填空題（每小題4分，共24分）

11.若關于x的一元二次方程好+（，〃+2）x-2=0的一個根為1,則m的值為.

12.在平面直角坐標系中，點（2,-1）關于原點對稱的點的坐標是.

13.根據(jù)物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40〃次的速度將小球沿與地面成30。角的

方向擊出，小球的飛行高度〃（單位：加）與飛行時間f（單位：s）之間的函數(shù)關系是〃

=-55+207,當飛行時間，為5時，小球達到最高點.

14.直角三角形的兩邊長為6和8,則此三角形的外接圓半徑為.

15.如圖，已知圓錐的母線長OA=8,底面圓的半徑r=2.若一只小蟲從A點出發(fā)，繞圓

錐的側面爬行一周后又回到了A點，則小蟲爬行的最短路線的長是（結果保留

根式）.

O

,A

16.如圖，ZMON=45°,一直角三角尺△A8C的兩個頂點C、4分別在OM,ON上移

動，若AC=6,則點。到AC距離的最大值為_______.

為

0AX

三、解答題（本大題共9題，共86分）

17.解方程:

(1)x2-4x+3=0；

(2)⑵+1)2=2x+l.

18.已知△ABC在平面直角坐標系中位置如圖所示.

(1)畫出△ABC繞點C按順時針方向旋轉90。后的△AbC；

(2)求點A旋轉到點4所經(jīng)過的路線長(結果保留n).

19.己知二次函數(shù)>=底+以+。的圖象如圖所示，

(1)填空：c=；二次函數(shù)的對稱軸為直線

(2)求二次函數(shù)解析式.

20.已知：如圖，A8是。。的弦，半徑OC、0。分別交A3于點E、F,且AE=3F.

求證：OE=OF.

21.為應對新冠疫情，較短時間內(nèi)要實現(xiàn)全國醫(yī)用防護服產(chǎn)量成倍增長，有效保障抗擊疫

情一線需要，某醫(yī)用防護服生產(chǎn)企業(yè)1月份生產(chǎn)9萬套防護服，該企業(yè)不斷加大生產(chǎn)力

度，3月份生產(chǎn)達到12.96萬套防護服.

(1)求該企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率.

(2)若平均增長率保持不變，4月份該企業(yè)防護服的產(chǎn)量能否達到16萬套？請說明理

由.

22.如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,。是BC邊上一點，以。為圓心，08為半徑的

圓與A8相交于點O,連接C。，且C￡>=AC.

(1)求證：8是。。的切線；

(2)若AC=4,CE=2,求半徑的長.

23.如圖，點C將線段AB分成兩部分，若4G=8UAB(AC>BC),則稱點C為線段48

的黃金分割點.某數(shù)學興趣小組在進行拋物線課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金

拋物線”，類似地給出“黃金拋物線”的定義：若拋物線，滿足b2=ac3W0),則稱

此拋物線為黃金拋物線.

(1)若某黃金拋物線的對稱軸是直線x=2,且與y軸交于點(0,8),求^=奴2+法+0

的最小值；

(2)若黃金拋物線丫=加+灰+。(a>0)的頂點P為(1,3),把它向下平移后與x軸

交于A(依+3,0).B(如0),判斷原點是否線段AB的黃金分割點，并說明理由.

ACB

24.如圖1,在△ABC中，NACB=90°,CA=C8,點。，E分別在邊C4,CB上，CD=

CE,連接。E,AE,BD點尸是線段8。中點，連接CF交AE于點H.

(1)求證：AE=2CF；

(2)將圖2中的繞點C逆時針旋轉a(0°<a<90°),如圖1.判斷AE=2C尸

是否仍然成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

c

25.在平面直角坐標系中，拋物線y=-/-4x+c與x軸交于點A,灰點A在點3的左側）,

與y軸交于點C,且點A的坐標為（-5,0）.

（1）求點C的坐標；

（2）如圖1,若點P是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點尸到直線AC距離的最大值；

（3）如圖2,若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使

以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：(每小題4分，共40分)

1.以下關于新型冠狀病毒的防范宣傳圖標中是中心對稱圖形的是()

A⑥B②C.礴D.0

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

解：A、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

8、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

故選：4

2.將二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象向上平移3個單位，得到的圖象對應的函數(shù)表達式是

()

A.y—(x+2)2+2B.y—(x-1)2+5C.y—(x-4)2+2D.y=(x-1)2-1

【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，上加下減，即可得出答案.

解：將二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象向上平移3個單位，得到：y=(x-1)2+2+3,

即y=(JC-1)2+5.

故選:B.

3.。。的半徑為5,圓心。到直線/的距離為6,則直線/與OO的位置關系是()

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關系即可得出結論.

解：的半徑為5,圓心。到直線/的距離為6,5<6,

...直線/與相離.

故選：C.

4.對于二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象，下列說法正確的是()

A.開口向下B.對稱軸是直線x=-l

C.頂點坐標是(1,2)D.與x軸有兩個交點

【分析】根據(jù)拋物線的性質由。=1得到圖象開口向上，根據(jù)頂點式得到頂點坐標為(1,

2）,對稱軸為直線x=l,從而可判斷拋物線與x軸沒有公共點.

解：二次函數(shù)'=（x-1）2+2的圖象開口向上，頂點坐標為（1,2）,對稱軸為直線x

=1,拋物線與x軸沒有公共點.

故選：C.

5.如圖，8。是的直徑，點A、C在上，AB=BC，ZAOB=60°,則N8DC的度

數(shù)是（）

A.60°B.45°C.35°D.30°

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

解：連接OC,如圖，

，??窟=4’

AZBDC^—ZBOC^—ZAOB=—X60a=30。.

222

故選：D.

6.如果一個正多邊形的中心角是60°,那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等，列式計算即可.

解：???正多邊形的中心角和為360。，正多邊形的中心角是60。，

這個正多邊形的邊數(shù)=3毀=6.

60

故選：C.

7.如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°,得到△A5G,若點8在線段3c的

延長線上，則NBBiG的大小為（)

A.70°B.80°C.84°D,86°

【分析】由旋轉的性質可知N8=NA8iG,AB=ABi,由等腰三角形的性質和三角形的

內(nèi)角和定理可求得N3=N3囪A=NA3iG=40°,從而可求得N881G=80°.

解：由旋轉的性質可知：ZB=ZAB)Ci,AB=ABifZBABi=100°.

???A8=AB,ZBABi=100°,

：.ZB=ZBBiA=40°.

AZABlC\=400.

AZBBiG=ZBB1A+ZAB1C1=40°+40°=80°.

故選：B.

8.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(5,0),下列說法正確的是

()

B.b2-4ac<0

C.a-b+c<0

D.圖象的對稱軸是直線x=3

【分析】二次函數(shù)(a#0)

①常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0,c).

②拋物線與x軸交點個數(shù).

A=〃-4〃c>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4oc=0時，拋物線與x軸有1

個交點；△=〃-4ac<0時，，拋物線與x軸沒有交點.

解：A.由于二次函數(shù)yno^+bx+c的圖象與y軸交于正半軸，所以c>0,故A錯誤；

B.二次函數(shù)尸以2+飯+C的圖象與X軸由2個交點，所以。2-4QC>0,故8錯誤；

C.當x=T時，>>>0,即。-b+c>0,故C錯誤；

D.因為A(1,0),B(5,0),所以對稱軸為直線x=上也=3,故。正確.

2

故選：D.

9.如圖所示，AB為半圓。的直徑，C、D、E、產(chǎn)是篇上的五等分點，P為直徑AB上的任

意一點，若AB=4,則圖中陰影部分的面積為()

A.—nB.—nC.—nD.—n

4352

【分析】連接OE、OD,利用同底等高的三角形面積相等可知陰影部分的面積等于扇形

EOO的面積，然后計算扇形面積即可.

解：連接OE、OD,

???C、D、E、F是半圓O的五等分點，

.,.Z￡OD=180°4-5=36°,

\"AB=4,

：.OD=2,

:DE=DE,點0、P都在直徑上，

△EO。和△￡P￡)等底等高，

??SAEOD=S4EPD?

...陰影部分的面積=S-￡。。=曲兀X21=

3605

10.如圖，拋物線y=p-x->|的圖象與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,頂點為

以48為直徑在X軸上方畫半圓交)，軸于點E,圓心為/,P是半圓上一動點，連接。尸,

點。為尸。的中點.下列四種說法：

①點C在上；

@IQLPD;

③當點P沿半圓從點B運動至點A時，點Q運動的路徑長為IT；

④線段2Q的長可以是3.2.

其中正確說法的個數(shù)為()

二

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由拋物線尸?吳7-日得A(-1,0),8(3,0),C(0,--1),可得/

(1,0),頂點。(1,-2),

①根據(jù)勾股定理求出/C,即可求解；

②根據(jù)垂徑定理即可求解；

③點P的運動軌跡為以/為圓心的半圓，則點。的運動軌跡為以R為圓心的半圓，即可

求解；

④根據(jù)勾股定理即可求解.

解：拋物線丫=當2一x-與的圖象與坐標軸交于點人B,C,

22

3

???A(-1,0),B(3,0),C(0,-—),

2

工點/(1,0),。/的半徑為2,

x2-x--(x-1)2-2,

222

二頂點。的坐標為：(1,-2),

：.ID=2,

...點。在。/上.

①(=在[240c2=\]2+(1_)2=等#2,故點C不在。/上，故①不正確；

②；圓心為/,P是半圓上一動點，點。在。/上，點。為PO的中點.

：.IQ±PD,故②正確；

③圖中實點G、Q、/、F是點N運動中所處的位置,

則GF是等腰直角三角形的中位線，GF=^AB=2,ID交GF于點R,則四邊形GDFI

為正方形，

當點P在半圓任意位置時，中點為。，連接則連接QR,

則QR=^ID=IR=RD=RG=RF=^GF=1,則點Q的運動軌跡為以R為圓心的半圓，

則。運動的路徑長=微義2叱=11,故③正確；

④由③得，當點。運動到點G的位置時，BQ的長最大，

最大值為《32+12=百5<3.2,

線段BQ的長不可以是3.2,故④不正確.

故正確說法有：②③.

故選：B.

二、填空題（每小題4分，共24分）

11.若關于x的一元二次方程『+（加+2）x-2=0的一個根為1,則〃?的值為-1.

【分析】把x=l代入已知方程可以得到關于，〃的一元一次方程，通過解該一元一次方程

來求m的值.

解：把x=l代入/+（m+2）x-2=0,得

12+（加+2）-2=0,即〃?+2-1=0,

解得m=-1.

故答案是：-L

12.在平面直角坐標系中，點（2,-1）關于原點對稱的點的坐標是（-2,1）.

【分析】根據(jù)兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案.

解：點（2,-1）關于原點對稱的點的坐標是（-2,1）,

故答案為：（-2,1）.

13.根據(jù)物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40/72/5的速度將小球沿與地面成30°角的

方向擊出，小球的飛行高度〃（單位：m）與飛行時間f（單位：s）之間的函數(shù)關系是人

=-5產(chǎn)+207,當飛行時間，為2s時，小球達到最高點.

【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出結論.

解：h=-5?+20f=-5（f-2）2+20,

：-5<0,

.?.當f=2時，/?有最大值，最大值為20,

故答案為：2.

14.直角三角形的兩邊長為6和8,則此三角形的外接圓半徑為4或5.

【分析】直角三角形的外接圓圓心是斜動的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情

況：①8為斜邊長；②6和8為兩條直角邊長，由勾股定理易求得此直角三角形的斜邊

長，進而可求得外接圓的半徑.

解：由勾股定理可知：

①當8為斜邊時，直角三角形的斜邊長為：8；

②當8為直角邊時，直角三角形的斜邊長為：62+82=10：

因此這個三角形的外接圓半徑為4或5.

故答案為：4或5.

15.如圖，已知圓錐的母線長。4=8,底面圓的半徑r=2.若一只小蟲從4點出發(fā)，繞圓

錐的側面爬行一周后又回到了A點，則小蟲爬行的最短路線的長是_&料_（結果保留

根式）.

【分析】要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最

短”得出結果.

解：小蟲爬行的最短路線的長是圓錐的展開圖的扇形的弧所對的弦長,

n兀r

2nr=

180

二扇形的圓心角=屋空1X360°=90度,

2H-0A

由勾股定理求得它的弦長是杼+肅=8亞.

故答案為：8&.

,一直角三角尺AABC的兩個頂點C、4分別在OM,ON上移

動，若AC=6,則點。到AC距離的最大值為小我+3_-

【分析】作△AOC的外接圓G)P,過點尸作PQ_LAC與Q,延長QP。尸于O',連接PA、

PC.當點。在圓周上運動到點O',即點。與。'重合時，點。到AC距離最大，依此列

式計算即可求解.

解：如圖，作△AOC的外接圓OP,過點P作PQLAC與Q,延長QPG)P于(7,連接

PA.PC.

當點0在圓周上運動到點。'，即點。與0'重合時，點。到AC距離最大.

：NMON=45°,

/.ZCO'A=45°,

AZCPA=90°,

'：PQ±AC,

.'.QA=QC=-^AC=3,

：.PQ^^AC^3,

PA=MQA=3近,

O'P=AP=3近,

：.O'Q=O'P+PQ=3近+3.

故答案為3企+3.

0'

三、解答題(本大題共9題，共86分)

17.解方程：

(1)/-4X+3=0；

(2)(2r+l)2=Zr+l.

【分析】(1)利用十字交叉法即可求解；

(2)先用完全平方公式展開，移項，合并同類項，系數(shù)化為1,即可求解.

解：(1)A2-4x+3=0,

(x-1)(x-3)=0,

11X2=3.

(2)(2x+l)2=2JC+14X:+4X+1=2x+14x2+2r=0,

.'.2x(2x+l)=0,

；.乃=0，xo=-7T-

a2

18.已知△42C在平面直角坐標系中位置如圖所示.

(1)畫出△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后的△AEC；

(2)求點A旋轉到點4所經(jīng)過的路線長(結果保留TT).

y

8

7

【分析】(1)利用旋轉變換的性質分別作出A，B的對應點A',方即可;

(2)利用弧長公式求解即可.

解：(1)如圖，△A'3'C即為所求；

⑵—=62+32=3企，

點A旋轉到點A，所經(jīng)過的路線長=虹三巨=宜巨作

1802

19.已知二次函數(shù)>=加+以+，的圖象如圖所示，

(1)填空：c=-2；二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l

(2)求二次函數(shù)解析式.

【分析】(1)觀察圖象可知，拋物線與y軸的交點是(0,-2),可得c的值，拋物線

與x軸的交點是(-1,0)和(3,0),從而可得拋物線的對稱軸，

(2)設出拋物線為y=a(x-xD(x-X2),將(0,-2)代入求出。的值，即可知解

析式.

【解答】(1)解：二?拋物線與y軸的交點是(0,-2),

.\c=-2,

?.?拋物線與X軸的交點是(-1,0)和(3,0),

二拋物線的對稱軸為直線x抬之口.

(2)?.?拋物線與x軸的交點是(-1,0)和(3,0),

設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),

把(0,-2)代入可得：-3“=-2,

9

解得：af，

o

，拋物線的解析式為產(chǎn)差(x+1)(x-3)4x24x-2.

Ooo

20.己知：如圖，4B是。0的弦，半徑OC、0。分別交48于點E、F,且AE=8F.

求證：OE=OF.

【分析】連接0408,可以利用SAS判定△O4E義△08凡根據(jù)全等三角形的對應邊

相等，可得到OE=OF.

【解答】證明：連接OA,0B,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

在△OAE和△OBF中，

'AE=BF

-ZOAB=ZOBA>

OA=OB

：./\OAE^/\OBF(SAS).

：.OE=OF.

21.為應對新冠疫情，較短時間內(nèi)要實現(xiàn)全國醫(yī)用防護服產(chǎn)量成倍增長，有效保障抗擊疫

情一線需要，某醫(yī)用防護服生產(chǎn)企業(yè)1月份生產(chǎn)9萬套防護服，該企業(yè)不斷加大生產(chǎn)力

度，3月份生產(chǎn)達到12.96萬套防護服.

(1)求該企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率.

(2)若平均增長率保持不變，4月份該企業(yè)防護服的產(chǎn)量能否達到16萬套？請說明理

由.

【分析】(1)設防護服產(chǎn)量的月平均增長率為x,根據(jù)1月份及3月份的產(chǎn)量，列出方

程即可求解；

(2)結合(1)按照這個增長率，根據(jù)3月份產(chǎn)量達到12.96萬套，即可求出預計4月份

平均日產(chǎn)量.

解：(1)設防護服產(chǎn)量的月平均增長率為x,根據(jù)題意，得

9(1+x)2=12.96.

解得xi=-2.2(舍去)，及=0.2=20%,

答：防護服產(chǎn)量的月平均增長率為20%；

(2)12.96X(1+0.2)=15.552(萬套).

答：預計4月份的產(chǎn)量為15.552萬套.

22.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90Q,。是BC邊上一點，以。為圓心，08為半徑的

圓與AB相交于點。，連接CC,且CD=AC.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若AC=4,CE=2,求半徑的長.

【分析】(1)連接OD.由等腰三角形的性質及圓的性質可得NB=N

BDO.再根據(jù)余角性質及三角形的內(nèi)角和定理可得/OQC=180。-(ZADC+ZBDO)

=90°.最后由切線的判定定理可得結論；

(2)設半徑為x,在直角三角形ODC中，根據(jù)勾股定理列方程即可求出半徑.

【解答】(1)證明：連接0。

'：AC=CD,

???ZA=ZADC.

■:OB=ODf

：.ZB=ZBDO.

VZACB=90°,

???NA+NB=900.

???NAOC+N8OO=90°.

AZODC=180°-(ZADC+ZBDO)=90°.

又丁。。是。。的半徑，

???C。是。。的切線.

(2)解：\'CD=ACf

：.CD=4,

設半徑為x,則OC=x+2,

在直角三角形OOC中，

O^OD^CD2,即(x+2)』/+42,

**.x=3.

.??半徑的長為3.

23.如圖，點C將線段AB分成兩部分，若AG=8C?AB(AC>8C),則稱點C為線段AB

的黃金分割點.某數(shù)學興趣小組在進行拋物線課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金

拋物線”，類似地給出“黃金拋物線”的定義：若拋物線，滿足b^ac(bWO),則稱

此拋物線為黃金拋物線.

(1)若某黃金拋物線的對稱軸是直線x=2,且與y軸交于點(0,8),求丫=0%2+加+'

的最小值；

(2)若黃金拋物線丫=加+灰+c(d>0)的頂點P為(1,3),把它向下平移后與x軸

交于A(遍+3,0),B5,0),判斷原點是否線段AB的黃金分割點，并說明理由.

ACB

【分析】(1)根據(jù)對稱軸確定。和b的關系，再根據(jù)已知條件即可求解；

(2)根據(jù)拋物線的頂點坐標確定xo的值，再根據(jù)黃金分割的定義即可判斷.

解：(1)???黃金拋物線的對稱軸是直線x=2,

.\b=-4cz,又〃2=〃c

/.\6a1=ac.

且與y軸交于點(0,8),

Ac=8.

.\a=-b=-2.

29

.?.y=4-2x+8

2

(x-2)2+6,

2

V—>0,

2

.??yua^+bx+c有最小值為6.

答：尸加+法+(?的最小值為6.

(2)原點是線段A3的黃金分割點.理由如下：

?黃金拋物線y=G?+bx+c(4>0)的頂點尸為(1,3),

把它向下平移后與X軸交于A(遙+3,0),B(的，0),

.?.xo=-1-

.,.04=3+遍，OB=1+辰,AB—4+2^.

Ofir—(3+^/5)2—14+6-y5，

OB?AB=(1+V5)(4+275)=14+6后.

：.OA2=OB'AB.

答：原點是線段AB的黃金分割點.

24.如圖1,在AABC中，/ACB=90°,CA=CB,點、D,E分別在邊CA,C8上，CD=

CE,連接。E,AE,BD點F是線段8。中點，連接CF交AE于點H.

(1)求證：AE—2CF；

(2)將圖2中的△COE繞點C逆時針旋轉a(0°<a<90°),如圖1.判斷AE=2CF

是否仍然成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

c

【分析】(1)通過證明△ACE四△BC。，利用全等三角形對應角相等證得NC4E=N

CBD,利用同角或等角的余角相等判定和△「(?￡>是等腰三角形即可得出結論；

(2)延長。產(chǎn)至點G,使FG=FC,連接8G,則得：△DC2XBGF,再利用題意證明

△ACEQXCBG,結論可得.

【解答】(1)證明：在△ACE和△BCD中，

’AOBC

<ZACE=ZBCD=90°，

CE=CD

AAACE^ABCD(SAS).

：.ZCAE=ZCBD.

??,點尸是線段8。中點，ZBCD=90°,

:.CF=BF,

VZDCB=90Q,

.,.ZZ)CF+Z￡CF=90o,ZCDF+ZCBD=90°,

：.ZCDF=ZDCFf

：.CF=DF,

:.BD=2CF,

?.,AACEmABCD,

；.AE=BD,

：.AE=2CF；

(2)解：AE=2C/仍然成立.

理由：延長C尸至點G,使尸G=R7,連接8G,如圖，

E

DH

A

G

???F是的中點，

：.FD=FB.

在△￡>(?尸和△BGb中，

rDF=BF

<NDFC=NBFG，

CF=GF

:.ADCF冬ABGF(SAS),

:.CD=BG,NDCF=/G,

:?CD〃BG,

：.ZDCB+ZGBC=\SO0,

??,將圖1中的△COE繞點。逆時針旋轉a,

???NACD=NBCE=a,

：.ZDCB=90°-ZACD=90°-a,ZACE=ZACB+ZBCE=90°+a,

：.ZCBG=\S00-ZBCD=\S0°-(90°-a)=90°+a,

???/ACE=NCBG,

■:CD=CE,

：.CE=BGf

在△ACE和aCBG中，

'AC=CB

<NACE=NCBG，

CE=BG

AAACE^ACBG(SAS),

：?AE=CG,

"