28.2.1 解直角三角形 同步練習(xí) 2022-2023學(xué)年上學(xué)期河南省九年級(jí)數(shù)學(xué)期末試題選編(含答案)

28.2.1解直角三角形同步練習(xí)一、單選題1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正六邊形的邊心距為，則它的外接圓半徑為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從正六邊形的A點(diǎn)出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ACP的面積y（cm2）隨著時(shí)間x（s）的變化的關(guān)系圖象，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A．2cm B．cm C．1cm D．3cm4．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以O(shè)為圓心的圓與直線交于A、B兩點(diǎn)．若恰為等邊三角形，則劣弧的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在陽(yáng)光下直立于地面上的電線桿AB，落在水平面和坡面上的影子分別是BC、CD，測(cè)得米，米，斜坡CD的坡度為，在D處測(cè)電線桿頂端A的仰角為30°，則電線桿AB的高度為（

）A． B． C． D．6．（2022秋·河南鶴壁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線，，，上，若直線且間距相等，，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．（2022秋·河南焦作·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在矩形中，若，，則矩形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．8．（2022秋·河南三門(mén)峽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）圓內(nèi)接正六邊形的邊心距為，則這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為．9．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．以為直徑的交于點(diǎn)，連接．若是的切線，，，則陰影部分的面積是．10．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，），D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)不與A、B重合），沿OD折疊，點(diǎn)A恰好落在△ABO的邊上，則D點(diǎn)坐標(biāo)是．11．（2022秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為．12．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)．與關(guān)于EF所在直線對(duì)稱，連接AC，分別交、EF于點(diǎn)M、N，．若與相似，則AF的長(zhǎng)為．13．（2022秋·河南三門(mén)峽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，，，連接AB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接CO，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．14．（2022秋·河南開(kāi)封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在菱形中，，則．15．（2022秋·河南濮陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)E在邊BC上，連接DE，將CDE沿DE折疊，若點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C'到AD的距離為1，則CE的長(zhǎng)為．16．（2022秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)半徑，圓心角的扇形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到扇形，若，則半徑的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm．17．（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，．過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，則．18．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是．19．（2022秋·河南濮陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△中，，,.則邊的長(zhǎng)為.三、解答題20．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，、、分別是、、(1)已知，，求；(2)已知，，求．21．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究問(wèn)題背景：(1)①如圖1，在正方形中，E，N分別是，上的兩點(diǎn)，連接，．若，則的值為_(kāi)___________．②如圖2，在矩形中，E是上的一點(diǎn)，N是上一點(diǎn)，連接．若，且，則的值為_(kāi)___________．問(wèn)題探究：(2)如圖3，在矩形中，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)O，交邊于點(diǎn)N．若，求的值．問(wèn)題拓展：(3)如圖4，把（2）中的條件改為“在四邊形中，，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．22．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的垂直平分線與，的交點(diǎn)分別為，．若，，求的長(zhǎng)和的值．23．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)利用自制測(cè)角儀和皮尺測(cè)量河寬（把河兩岸看成平行線）．如圖，他們?cè)诤影禡N一側(cè)的A處，觀察到對(duì)岸P點(diǎn)處有一棵樹(shù)，測(cè)得，向前走45m到達(dá)B處，測(cè)得．（，，，）(1)求河的寬度（精確到1m）；(2)據(jù)河道建造碑文記載，該河實(shí)際寬70m．請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．24．（2022秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，AD與BE的位置關(guān)系為_(kāi)_____；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．25．（2022秋·河南三門(mén)峽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．已知．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求的值．26．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE．填空：①的值為_(kāi)_____；②的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE．請(qǐng)判斷的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點(diǎn)M，連接BM、CM，若，則當(dāng)△CBM是直角三角形時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)．27．（2022秋·河南漯河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，以AB為直徑作，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，且，連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CD是的切線：(2)若，，求AC的長(zhǎng)．28．（2022秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．（1）求證：；（2）若，，，求的值．29．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一個(gè)平面上，邊AC與EF重合．AC＝6，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)．(1)如圖2，點(diǎn)E在邊AC上，點(diǎn)F在射線CG上，連接CD，求證：CD平分∠ACG；(2)若AE＝0時(shí)，CD＝__________；AE＝3時(shí)，CD＝__________；(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是__________．30．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明同學(xué)在民族廣場(chǎng)處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于處，風(fēng)箏線長(zhǎng)為100m，從處看風(fēng)箏的仰角為30°，小明的父母從處看風(fēng)箏的仰角為50°．求、相距多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到0.1m）參考答案：1．A【分析】連接CD，根據(jù)題意得知△ACD為直角三角形，直到三邊的長(zhǎng)，∠D余弦值=鄰邊÷斜邊，在⊙O內(nèi)，∠B=∠D，所以余弦值也相等．【詳解】解：連接CD，在△ACD中，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，又∵AC=3，AD=5，∴CD=4，∴cosD=，又∵∠D=∠B，∴cosD=cosB=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．2．B【分析】連接OA，OB，過(guò)O作OC⊥AB于C，根據(jù)正六邊形的邊心距的概念可知OC=，∠AOC=，根據(jù)三角函數(shù)可求．【詳解】解：連接OA，OB，過(guò)O作OC⊥AB于C，如圖，則OC=，∠AOC=，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角計(jì)算問(wèn)題．3．A【分析】如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點(diǎn)G，證明△ACE為等邊三角形，根據(jù)y的最大值求得△ACE的邊長(zhǎng)，再在直角三角形ABG中用三角函數(shù)求得AB的長(zhǎng)即可．【詳解】】解：如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點(diǎn)G由正六邊形的對(duì)稱性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE∴△ACE為等邊三角形，GE為AC邊上的高線∵動(dòng)點(diǎn)P從正六邊形的A點(diǎn)出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)△ACP的面積y取最大值3設(shè)AG=CG=a（cm），則AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm）∴2a×a÷2=3（cm）∴a2=3∴a=（cm）或a=-（舍）∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°∴∠ABG=×120°=60°∴在Rt△ABG中，=sin60°∴∴AB=2（cm）∴正六邊形的邊長(zhǎng)為2cm故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，以圖中y值的最大值為突破口，求得等邊三角形△ACE的邊長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】作OP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出，利用面積法求出，進(jìn)而求出，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：如圖，作OP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，當(dāng)y=0時(shí)，，，當(dāng)x=0時(shí)，，∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為，∴，∵，∴，∵為等邊三角形，∴，∴劣孤的長(zhǎng)度為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、勾股定理、等腰直角三角形、弧長(zhǎng)公式、利用三角函數(shù)解直角三角形等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，理解相關(guān)知識(shí)并根據(jù)題意添加輔助線，求出OP的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．B【分析】通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，在中，由坡度的定義和特殊銳角三角函數(shù)值，可求出，進(jìn)而求得DN，CN，在中，求出AM，進(jìn)而求出AB的值即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵斜坡CD的坡比為1：，即，即，∴∠DCN=30°，又∵CD=4，∴，，∴，在Rt△AMD中，∠ADM=30°，，∴，∴米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)解直角三角形的應(yīng)用，掌握仰角、坡度的定義是解決問(wèn)題的前提，構(gòu)造直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長(zhǎng)，再根據(jù)∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG的正切值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAG=∠α，從而可以得到tanα的值．【詳解】解：作CF⊥l4于點(diǎn)F，交l3于點(diǎn)E，設(shè)CB交l3于點(diǎn)G，由已知可得，GE∥BF，CE=EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC=2，∴GB=1，∵l3∥l4，∴∠α=∠GAB，∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，∴∠ABG=90°，∴，∴tanα的值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，求出，則矩形的面積．【詳解】解：矩形中，，，，，，，矩形的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、解直角三角形，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．8．4【分析】如圖，連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)可得∠AOG＝30°，解直角三角形求出AG即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G．由正六邊形的性質(zhì)可得：∠AOB＝360°×＝60°，OA＝OB，∴在Rt△AOG中，∠AOG＝30°，OG＝，∴tan∠AOG＝，∴AG＝2，∴AB＝2AG＝4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟知正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．【分析】連接OE，由圖形可知：S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD，通過(guò)圓的性質(zhì)可以分別求出四邊形OBED和扇形OBD的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OE，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OB=AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB?tanA=，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=BC=，S△OBE=×OB?BE=，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OB=OD，OE=OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE=S△OBE=，∴S四邊形OBED=，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴S扇形OBD=，∴S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì)，切線的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的綜合性質(zhì)，將不規(guī)則的陰影面積用規(guī)則面積表達(dá)出來(lái)是解決本題的關(guān)鍵．10．（，）或（，-）【分析】由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得∠OAB=60°，∠OBA=30°；設(shè)點(diǎn)A關(guān)于OD的對(duì)稱點(diǎn)為A′；根據(jù)題意，需要分兩種情況：①當(dāng)A′落在邊AB上時(shí)，②當(dāng)A′落在邊OB上時(shí)．畫(huà)出圖形，根據(jù)背景圖形即可求解．【詳解】解：∵A（3，0），B（0，-3），∴OA=3，OB=3，∴AB=6，∵∠OAB=90°，AB=2OA，∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于OD的對(duì)稱點(diǎn)為A′．根據(jù)題意，需要分兩種情況：①當(dāng)A′落在邊AB上時(shí)，如圖，由折疊可知，∠OAA′=∠OA′A=60°，∠ODA=∠ODA′=90°，∴△OAA′是等邊三角形，∴AA′=3，∴AD=AA′=，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AE=AD=，DE=AD=，∴OE=OA-AE=，∵點(diǎn)D在第四象限，∴D（，-）；②當(dāng)A′落在邊OB上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A′在y軸上，如圖，由折疊可知，∠AOD=∠A′OD=45°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠DEO=∠AED=90°，∠EOD=∠EDO=45°，∠ADE=30°，設(shè)AE=m，則OE=DE=m，∴m+m=3，解得m=，∴m=，∵點(diǎn)D在第四象限，∴D（，），故答案為：（，）或（，-）．【點(diǎn)睛】本題在一次函數(shù)背景下考查折疊問(wèn)題，涉及含30°的直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，包括分類討論思想等，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，解三角形．11．【分析】根據(jù)題意陰影部分面積可以用扇形DAE面積，減去△AFE的面積即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，AB=AE，∴，且AC平分∠DAB，∴，又∵，∴，∴，∴△AFE等腰三角形，在△AFE中，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G，如圖，則有AE=2AG，∴，又∵，即，∴，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)解直角三角形、扇形面積的計(jì)算、陰影面積求法等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找到等量關(guān)系，分步求解是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．12．1或3/3或1【分析】分兩種情形①當(dāng)EM⊥AC時(shí)，△EMN∽△EAF．②當(dāng)EN⊥AC時(shí)，△ENM∽△EAF，分別求解即可．【詳解】解：，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，①當(dāng)EM⊥AC時(shí)，與關(guān)于EF所在直線對(duì)稱，△EMN∽△EAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=2，∠B=90°，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠AEM=60°，∴∠AEF=30°，∴AF=AE?tan30°=，②當(dāng)EN⊥AC時(shí)，△ENM∽△EAF，同理可得：AF=AE?tan60°=3，故答案為1或3．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．13．【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，從而可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，從而可得，再根據(jù)正切的定義可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后在中，利用正切三角函數(shù)建立方程，解方程求出的值，由此即可得出答案．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，在中，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)、正切等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．14．2【分析】根據(jù)余弦值可求出AD的長(zhǎng)，從而可利用勾股定理可求出DE的長(zhǎng)．再根據(jù)菱形四邊相等即得出AB的長(zhǎng)，從而可求出BE的長(zhǎng)，最后根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得：，∴在中，．∵四邊形是菱形，∴，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理和菱形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．15．或2【分析】當(dāng)點(diǎn)C'落在矩形ABCD的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)C'作C'M⊥AD于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)C'落在矩形ABCD的外部，過(guò)點(diǎn)C'作C'G⊥AD于點(diǎn)G，則C'G＝1，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'落在矩形ABCD的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)C'作C'M⊥AD于點(diǎn)M，∵將△CDE沿DE折疊，∴AB＝DC＝C'D＝2，∠CDE＝∠C'DE，∵C'M＝1，∴，∴∠C'DM＝30°，∴∠C'DC＝60°，∴∠CDE＝∠C'DC＝30°，∴；如圖2，當(dāng)點(diǎn)C'落在矩形ABCD的外部，過(guò)點(diǎn)C'作C'G⊥AD于點(diǎn)G，C'E與AD交于點(diǎn)H,則C'G＝1，同理CD＝C'D＝2，∴∠C'DG＝30°，∴∠C'HD＝60°，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠C'HD＝∠HEC＝60°，∴∠DEC＝∠HEC＝30°，∴CE＝2．綜上可得，CE的長(zhǎng)為或2．故答案為：或2．．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】證明是等邊三角形，求出，，利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：連接，．，，是等邊三角形，，，，，，，，，半徑的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．17．【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長(zhǎng)，即可求出．【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．18．【分析】求出半圓半徑、OC、CD長(zhǎng)，根據(jù)AD∥BO，得到，根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD∥BO，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，，∵AD∥BO，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)AD∥BO，得到，從而將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積的差．19．【分析】過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題【詳解】過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理求線段長(zhǎng)度，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，靈活聯(lián)合運(yùn)用即可解題.20．(1)；(2)．【分析】（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∴；（2）解：在中，，，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．(1)①1．②．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果；②根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)K．根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H．由等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，再由正弦函數(shù)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：①∵正方形，∴∴．∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，故答案為：1；②∵矩形，∴∴．∵，∴，∴，∴∴，故答案為：；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)K．∵四邊形是矩形，∴．∵，∴四邊形和四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（3）．如圖，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H．∵，∴是等邊三角形，∴．∵，∴．在中，．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及正弦函數(shù)的定義，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．22．，【分析】在中，根據(jù)，，求得的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，繼而求得，在中，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴,∴,在中，，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．23．(1)68m；(2)誤差，建議：多次測(cè)量求平均值或使用精確度更高的測(cè)量工具等．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)C，設(shè)，利用，可得再表示出，利用求出x的值即可；（2）求出誤差．建議：多次測(cè)量求平均值或使用精確度更高的測(cè)量工具等．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)C，設(shè)，∵，∴．在中，，．∴，即．∴解得．答：河的寬度約為68m．（2）解：．多次測(cè)量求平均值或使用精確度更高的測(cè)量工具等．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法．24．(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是π；P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長(zhǎng)即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．25．(1)25(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長(zhǎng)即可；（2）先運(yùn)用勾股定理求出BC，再由于D為AB上的中點(diǎn)可得AD=BD=CD=25，設(shè)DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程組即可求出x的值，最后運(yùn)用正弦的定義即可解答．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，∴cosA=，解得：AB=50.∵△ACB為直角三角形，D是邊AB的中點(diǎn)，∴CD==25．（2）解：在Rt△ABC中，.又∵AD=BD=CD=25，設(shè)DE=x，EB=y，則在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，聯(lián)立①②，解得x=7∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理列方程求解是解答本題的關(guān)鍵26．(1)①1；②90°；(2)，∠DBE=90°；(3)BE=3+【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠ABC=∠CED=45°，則有CA=CB，CD=CE，通過(guò)證明△ACD≌△BCE即可解答①和②；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠ABC=∠CED=30°，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定證明△ACD∽△BCE即可解答所求；（3）由（2）知∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，由直角三角形的性質(zhì)可證CM=BM=，則有DE=2，利用勾股定理求解BE即可．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，∴∠ABC=∠CED=45°，∠ACD=∠BCE，∴CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAB=∠CBE=45°，∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，故答案為：①1；②90°；（2）解：，∠DBE=90°．理由為：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，∴∠ABC=∠CED=30°，∠BCE=∠ACD，∴BC=AC，CE=CD，∴，又∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴，∠CBE=∠CAB=60°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°；（3）解：由（2）知：∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，∵AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC=AC=2，∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，∠DBE=∠DCE=90°，∴CM=BM=DE，∴△CBM是等腰直角三角形，∴BC=BM=2，解得：BM=，∴DE=2BM=2，在Rt△DBE中，DB=4-AD，BE=AD，由勾股定理得：（2）2=（4-AD）2+（）2，解得：AD=+1或AD=－+1(舍去)，∴BE=AD=3+．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．27．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，根據(jù)OE2=EB2+OB2，可得（4-r）2=r2+22，推出r=1.5．由，推出，可得CD=BC=3，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：連接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，∵OE2