上海市新川中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末考試試題含解析

上海市新川中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為

A． B． C． D．2．．設、是關于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根，那么過兩點，的直線與圓的位置關系是（）A．相離. B．相切. C．相交. D．隨m的變化而變化.3．已知，且，則（）A． B．7 C． D．4．與圓關于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．5．已知正四棱錐的頂點均在球上，且該正四棱錐的各個棱長均為，則球的表面積為()A． B． C． D．6．已知集合，，則（）A． B． C． D．7．若，，則()A． B． C． D．8．已知、的取值如下表所示：如果與呈線性相關，且線性回歸方程為，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)若關于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩圓交于點和，兩圓的圓心都在直線上，則____________；12．已知角的終邊經(jīng)過點，若，則______.13．黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約為0.618，這一數(shù)值也可以近似地用表示，則_____.14．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為________.15．已知等比數(shù)列的公比為，關于的不等式有下列說法：①當吋，不等式的解集②當吋，不等式的解集為③當>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.16．如圖，在△中，三個內角、、所對的邊分別為、、，若，，為△外一點，，，則平面四邊形面積的最大值為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)在的最大值為2，求實數(shù)的值.18．據(jù)某市供電公司數(shù)據(jù)，2019年1月份市新能源汽車充電量約270萬度，同比2018年增長，為了增強新能源汽車的推廣運用，政府加大了充電樁等基礎設施的投入.現(xiàn)為了了解該城市充電樁等基礎設施的使用情況，隨機選取了200個駕駛新能源汽車的司機進行問卷調查，根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照，，…，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）已知滿意度評分值在內的男女司機人數(shù)比為，從中隨機抽取2人進行座談，求2人均為女司機的概率.19．已知數(shù)列的前項和為，點在直線上.數(shù)列滿足且，前9項和為153.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求及使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值；(3)設，問是否存在，使得成立？若不存在，請說明理由.20．在等差數(shù)列中，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．21．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設為數(shù)列的前n項和，，求數(shù)列的前n項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意，建立與的關系，即可得到夾角.【題目詳解】因為，所以，則，則，所以，所以夾角為故選B.【題目點撥】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，難度較小.2、D【解題分析】直線AB的方程為.即，所以直線AB的方程為,因為,所以,所以,所以直線AB與圓可能相交，也可能相切，也可能相離.3、D【解題分析】

由平方關系求得，再由商數(shù)關系求得，最后由兩角和的正切公式可計算．【題目詳解】，，，，.故選：D.【題目點撥】本題考查兩角和的正切公式，考查同角間的三角函數(shù)關系．屬于基礎題．4、A【解題分析】

設所求圓的圓心坐標為，列出方程組，求得圓心關于的對稱點，即可求解所求圓的方程.【題目詳解】由題意，圓的圓心坐標，設所求圓的圓心坐標為，則圓心關于的對稱點，滿足，解得，即所求圓的圓心坐標為，且半徑與圓相等，所以所求圓的方程為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了圓的方程的求解，其中解答中熟記圓的方程，以及準確求解點關于直線的對稱點的坐標是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5、C【解題分析】設點在底面的投影點為，則，，平面，故，而底面所在截面圓的半徑，故該截面圓即為過球心的圓，則球的半徑，故球的表面積，故選C.點睛：本題考查球的內接體的判斷與應用，球的表面積的求法，考查計算能力；研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：（1）球心與多面體中心的位置關系；（2）球的半徑與多面體的棱長的關系；（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；（4）能否做出軸截面.6、A【解題分析】

首先求得集合，根據(jù)交集定義求得結果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎題.7、B【解題分析】

利用誘導公式得到的值，再由同角三角函數(shù)的平方關系，結合角的范圍，即可得答案.【題目詳解】∵，又，∴.故選：B.【題目點撥】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關系，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意符號問題.8、A【解題分析】

計算出、，再將點的坐標代入回歸直線方程，可求出的值.【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本的中心點，則有，解得，故選：A.【題目點撥】本題考查回歸直線方程中參數(shù)的計算，解題時要充分利用回歸直線過樣本的中心點這一結論，考查計算能力，屬于基礎題.9、D【解題分析】

畫出圖象及直線，借助圖象分析．【題目詳解】如圖，當直線位于點及其上方且位于點及其下方，或者直線與曲線相切在第一象限時符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范圍是．故選D．【題目點撥】根據(jù)方程實根個數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉化為曲線交點個數(shù)，特別是其中一條為直線時常用此法．10、B【解題分析】

由可知，數(shù)列隔項成等比數(shù)列，從而得到結果.【題目詳解】由可知：當n≥2時，，兩式作商可得：∴奇數(shù)項構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項構成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴故選：B【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推關系，考查隔項成等比，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由圓的性質可知，直線與直線垂直，，直線的斜率，，解得.故填：3.【題目點撥】本題考查了相交圓的幾何性質，和直線垂直的關系，考查數(shù)形結合的思想與計算能力，屬于基礎題.12、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故.故答案為：.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義，注意根據(jù)正弦的定義構建關于的方程，本題屬于基礎題.13、【解題分析】

代入分式利用同角三角函數(shù)的平方關系、二倍角公式及三角函數(shù)誘導公式化簡即可.【題目詳解】.故答案為：2【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的平方關系、二倍角公式及三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.14、【解題分析】

直接應用數(shù)量積的運算，求出與的夾角．【題目詳解】設向量、的夾角為；∵，∴，∵，∴.故答案為：．【題目點撥】本題考查向量的夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題.15、③【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式，解不等式后可得結論．【題目詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當或時解為，當或時，解為，時，解為；若，則，當或時解為，當或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數(shù)分正負，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應的一元二次方程是否有實數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個分類）．16、【解題分析】

根據(jù)題意和正弦定理，化簡得，進而得到，在中，由余弦定理，求得，進而得到，，得出四邊形的面積為，再結合三角函數(shù)的性質，即可求解.【題目詳解】由題意，在中，因為，所以，可得,即，所以，所以，又因為，可得，所以，即,因為，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因為，所以為等腰直角三角形，所以，又因為，所以四邊形的面積為，當時，四邊形的面積有最大值，最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)或【解題分析】

（1）根據(jù)二倍角公式進行整理化簡可得，從而可得最小正周期；（2）將通過換元的方式變?yōu)?，；討論對稱軸的具體位置，分別求解最大值，從而建立方程求得的值.【題目詳解】（1）最小正周期（2）令，則由得①當，即時當時，由，解得（舍去)②當，即時當時，由得，解得或（舍去）③當，即時當時，，由，解得綜上，或【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)最小正周期的求解、利用二次函數(shù)性質求解與三角函數(shù)有關的值域問題，解題關鍵是通過換元的方式將所求函數(shù)轉化為二次函數(shù)的形式，再利用對稱軸的位置進行討論；易錯點是忽略了換元后自變量的取值范圍.18、（1），中位數(shù)的估計值為75（2）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率和為1計算，再判斷中位數(shù)落在第三組內，再計算中位數(shù).（2）該組男司機3人，女司機2人.記男司機為：，，，女司機為：，.排列出所有可能，計算滿足條件的個數(shù)，相除得到答案.【題目詳解】解：（1）根據(jù)頻率和為1得.則.第一組和第二組的頻率和為，則中位數(shù)落在第三組內.由于第三組的頻率為0.4，所以中位數(shù)的估計值為75.（2）設事件：隨機抽取2人進行座談，2人均為女司機.的人數(shù)為人.∴該組男司機3人，女司機2人.記男司機為：，，，女司機為：，.5人抽取2人進行座談有：，，，，，，，，，共10個基本事件.其中2人均為女司機的基本事件為.∴.∴隨機抽取2人進行座談，2人均為女司機的概率是.【題目點撥】本題考查了中位數(shù)和概率的計算，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、(1);(2)1009;(3)m=11.【解題分析】

(1)運用數(shù)列的通項公式和前n項和的關系，即可得到數(shù)列的通項公式；運用等差數(shù)列的通項和求和公式，求出公差，即可得到數(shù)列的通項公式；(2)化簡，運用裂項相消法求和，求出數(shù)列的前n項和為，再由數(shù)列的單調性，即可得出k的最小值；(3)分m為奇數(shù)和m為偶數(shù)，分別利用條件，求出m的值，可得結論.【題目詳解】（1）（2）（3）當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，.【題目點撥】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的項與和的關系，裂項相消法求和，應用題的條件，得到相應的結果.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出