章解三角形復(fù)習(xí)提升

章末復(fù)習(xí)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

要點(diǎn)聚焦內(nèi)容索引網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建形成體系1要點(diǎn)聚焦

類型突破2要點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形1.已知三角形的任意兩個(gè)角和一邊，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及正弦定理解此三角形.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，這個(gè)三角形解的情況是不確定的.如已知△ABC的邊長(zhǎng)a，b和角A，根據(jù)正弦定理求角B時(shí)，可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)借助已知條件進(jìn)行檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.解在△ABC中，由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5.若b＝4，而在△ABC中，a＝4，∴△ABC為等腰三角形，且A＝B，又C＝2A，且A＋B＋C＝180°，這與已求出的c＝6相矛盾，故要舍去.經(jīng)檢驗(yàn)b＝5滿足題意.綜上，b的值為5.要點(diǎn)二利用正弦、余弦定理解決三角形面積問(wèn)題求三角形的面積需知道三角形的邊及角，因此求三角形的面積與正、余弦定理的應(yīng)用密切相關(guān)，常見(jiàn)的三角形面積公式有以下幾種：辨析，判斷正誤所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，(1)求B；又0°<B<180°，所以B＝60°.(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍.又由(1)知A＋C＝120°，由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.要點(diǎn)三正弦、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用正、余弦定理在實(shí)際生活中，有著非常廣泛的應(yīng)用，常見(jiàn)的問(wèn)題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問(wèn)題抽象為三角形的模型，然后利用正、余弦定理求解.注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn).【例3】

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v

海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？解設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.解設(shè)小艇與輪船在B處相遇.則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，∵0<v≤30，此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時(shí).【訓(xùn)練3】

為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖).飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟.解①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：從A點(diǎn)觀測(cè)M，N點(diǎn)的俯角α1，β1，從B點(diǎn)觀測(cè)M，N點(diǎn)的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).第二步：計(jì)算AN.在△ABN中，由正弦定理得第三步：計(jì)算MN.在△AMN中，由余弦定理得法二第一步：計(jì)算BM.在△ABM中，由正弦定理得第二步：計(jì)算BN.在△ABN中，由正弦定理得第三步：計(jì)算MN.在△BMN中，由余弦定理得要點(diǎn)四利用正、余弦定理判斷三角形形狀根據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀時(shí)，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識(shí)求解.【例4】

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀.解

法一由正弦定理及已知得2sinB＝sinA＋sinC，∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，∴sin(C＋30°)＝1.∵0<C<120°，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°，∴A＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均為△ABC內(nèi)角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，即B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.要點(diǎn)五正、余弦定理與其它知識(shí)的綜合對(duì)于正、余弦定理的綜合問(wèn)題，首先要熟練使用正、余弦定理，其次要根據(jù)條件，合理選用三角函數(shù)公式，達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題時(shí)，常與平面向量、三角恒等變換等知識(shí)結(jié)合給出問(wèn)題的條件，這些知識(shí)的加入，一般只起“點(diǎn)綴”作用.設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則a