2022-2023學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題(1-6每小題4分，7-12每小題5分，共54分）1.同時(shí)投擲兩顆均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為______．〖答案〗〖解析〗投擲兩顆均勻的骰子的試驗(yàn)有個基本事件，它們等可能，所有點(diǎn)數(shù)相等的事件含有的基本事件為，共6個，所以.故〖答案〗為：.2.對于獨(dú)立事件A、B，若，，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，為?dú)立事件，所以與相互獨(dú)立，則有，故〖答案〗為：.3.下列事件中，屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號是______.①明天是陰天；②方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；③明天吳淞口的最高水位是4.5米；④三角形中，大角對大邊．〖答案〗①③〖解析〗對于①③，明天的事是未來才發(fā)生的事，具有不確定性，故①③屬于隨機(jī)現(xiàn)象；對于②，由得，顯然在實(shí)數(shù)域方程無解，故②屬于不可能事件；對于④，由正弦定理易知在三角形中，大角對大邊．故④屬于確定事件；綜上：屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號是①③.故〖答案〗為：①③.4.計(jì)算：______.〖答案〗15150〖解析〗15150.故〖答案〗為：15150.5.拋物線的準(zhǔn)線方程為________．〖答案〗〖解析〗拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，即，故準(zhǔn)線方程為：.故〖答案〗為：.6.已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線斜率的取值范圍是_________.〖答案〗.〖解析〗如下圖示，當(dāng)直線過A時(shí)，，當(dāng)直線過B時(shí)，，由圖知：.故〖答案〗為：.7.已知直線，則直線恒過定點(diǎn)______.〖答案〗〖解析〗直線，即，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn).故〖答案〗為：.8.在等比數(shù)列中，，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，所以，解得，所以.故〖答案〗為：.9.若橢圓與橢圓圓扁程度相同，則的值為______．〖答案〗或〖解析〗兩橢圓的圓扁程度相同，所以兩個橢圓的離心率相同，橢圓的離心率為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的離心率為，解得當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的離心率為，可得，故的值為或，故〖答案〗為：或.10.若P（m，8）是焦點(diǎn)為F的拋物線上的一點(diǎn)，則______．〖答案〗10〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，得，所以，由得，準(zhǔn)線方程為，所以.故〖答案〗為：.11.雙曲線的弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，根據(jù)雙曲線的對稱性，不能平分弦，故不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，，所以，聯(lián)立方程得，所以，，，因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以，所以，解得，此時(shí)聯(lián)立后的方程為，滿足，所以，直線的方程為，即.故〖答案〗為：.12.已知雙曲線，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交雙曲線左支于點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑冗吶切?，不妨記，所以，由雙曲線的定義得，故，所以，又由雙曲線的定義得，所以，故，所以，，在中，，則，所以，整理得，故，所以雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.二、選擇題（每小題5分，共20分）13.下列說法中正確的是（）A.事件A、B至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大B.事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小C.互斥事件一定是對立事件，對立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是對立事件，而對立事件一定是互斥事件〖答案〗D〖解析〗對于A，因?yàn)槭录嗀，B中至少有一個發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生和A，B都發(fā)生；事件A，B中恰有一個發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生；又當(dāng)事件A，B為對立事件時(shí)，事件A，B都發(fā)生的概率為，所以事件A、B至少有一個發(fā)生與A、B中恰有一個發(fā)生是相等事件，兩者概率相等，故A錯誤；對于B，若A、B是相等事件，此時(shí)A、B恰有一個發(fā)生為不可能事件，概率為0，而事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率必然大于或等于0，故B錯誤；對于CD，由互斥事件和對立事件的概念知，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故C錯誤，D正確.故選：D.14.質(zhì)檢部門檢查一箱裝有2500件包裝食品的質(zhì)量,抽查總量的2%,在這個問題中,下列說法正確的是()A.總體是指這箱2500件包裝食品 B.個體是一件包裝食品C.樣本是按2%抽取的50件包裝食品 D.樣本容量是50〖答案〗D〖解析〗A、2總體是指這箱2500件包裝食品的質(zhì)量，錯誤；B、個體是一件包裝食品的質(zhì)量，錯誤；C、樣本是按2%抽取的50件包裝食品的質(zhì)量，錯誤；D、樣本容量是50，正確．故選D．15.現(xiàn)須完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（）A.①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B.①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C.①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D.①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法〖答案〗A〖解析〗對于①，由于抽取的總體個數(shù)與樣本個數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；對于②，抽取的總體個數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個數(shù)較大，則采用分層隨機(jī)抽樣.故選：A.16.如圖，某建筑物是數(shù)學(xué)與建筑的完美結(jié)合．該建筑物外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)漸近線方程為，即，下焦點(diǎn)為，下焦點(diǎn)到漸近線的距離為，離心率，，解得，故雙曲線方程為.故選：D.三、解答題17.在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，已知，．（1）求；（2）求數(shù)列的最大值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，，所以.（2）因?yàn)椋驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.18.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，過點(diǎn)，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn)，則橢圓C的短半軸長為2，設(shè)其長半軸長為，由離心率得：，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，設(shè)直線l被橢圓C所截弦的端點(diǎn)，于是，，解得，滿足條件，所以.19.如圖，在長方體中，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，因?yàn)?，所以?因此，直線與平面所成角的正弦值為.20.某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間〖0.3,0.9〗內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．求：（1）直方圖中的a的值；（2）在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)．（3）為了更好了解消費(fèi)者和激勵消費(fèi)，網(wǎng)絡(luò)公司決定在這10000名消費(fèi)者中用分層隨機(jī)抽樣法抽取100名進(jìn)一步做調(diào)查問卷和獎勵.再從這100名中消費(fèi)在內(nèi)的個體內(nèi)抽取一等獎兩名，求中獎的2人中消費(fèi)在，內(nèi)各一人的概率.解：（1）由頻率分布直方圖得：，解得，所以直方圖中的a的值為3.0.（2）由頻率分布直方圖得，消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的頻率是，所以消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)約為：.（3）用分層隨機(jī)抽樣法抽取的100名消費(fèi)者中，消費(fèi)在內(nèi)的個體數(shù)為，其中消費(fèi)在，內(nèi)的個體數(shù)分別為，，因此從10人中任取2人的試驗(yàn)有個基本事件，消費(fèi)在，內(nèi)各一人的事件有個基本事件，所以中獎的2人中消費(fèi)在，內(nèi)各一人的概率.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l；（1）若F為雙曲線的一個焦點(diǎn)，求雙曲線C的離心率e；（2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為E，點(diǎn)P在第一象限，且在上，若，求直線EP的方程；（3）經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線l'與相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與l相交于點(diǎn)M，N；試探究：以線段MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)；若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，雙曲線的方程為雙曲線，即，則，由題意可知：，則，故雙曲線C的離心率.（2）由（1）可知：，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為M，則，∵，且，∴，故直線EP的傾斜角，斜率，∴直線EP的方程為，即.（3）以線段MN為直徑的圓C過定點(diǎn)，理由如下：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y可得：，則可得：，∵直線，當(dāng)時(shí)，，∴，同理可得：，∵，，則線段MN為直徑的圓C的圓心，半徑，故圓C的方程為，整理得，令，則，解得或，故以線段MN為直徑的圓C過定點(diǎn).上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題(1-6每小題4分，7-12每小題5分，共54分）1.同時(shí)投擲兩顆均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為______．〖答案〗〖解析〗投擲兩顆均勻的骰子的試驗(yàn)有個基本事件，它們等可能，所有點(diǎn)數(shù)相等的事件含有的基本事件為，共6個，所以.故〖答案〗為：.2.對于獨(dú)立事件A、B，若，，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，為?dú)立事件，所以與相互獨(dú)立，則有，故〖答案〗為：.3.下列事件中，屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號是______.①明天是陰天；②方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；③明天吳淞口的最高水位是4.5米；④三角形中，大角對大邊．〖答案〗①③〖解析〗對于①③，明天的事是未來才發(fā)生的事，具有不確定性，故①③屬于隨機(jī)現(xiàn)象；對于②，由得，顯然在實(shí)數(shù)域方程無解，故②屬于不可能事件；對于④，由正弦定理易知在三角形中，大角對大邊．故④屬于確定事件；綜上：屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號是①③.故〖答案〗為：①③.4.計(jì)算：______.〖答案〗15150〖解析〗15150.故〖答案〗為：15150.5.拋物線的準(zhǔn)線方程為________．〖答案〗〖解析〗拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，即，故準(zhǔn)線方程為：.故〖答案〗為：.6.已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線斜率的取值范圍是_________.〖答案〗.〖解析〗如下圖示，當(dāng)直線過A時(shí)，，當(dāng)直線過B時(shí)，，由圖知：.故〖答案〗為：.7.已知直線，則直線恒過定點(diǎn)______.〖答案〗〖解析〗直線，即，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn).故〖答案〗為：.8.在等比數(shù)列中，，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，所以，解得，所以.故〖答案〗為：.9.若橢圓與橢圓圓扁程度相同，則的值為______．〖答案〗或〖解析〗兩橢圓的圓扁程度相同，所以兩個橢圓的離心率相同，橢圓的離心率為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的離心率為，解得當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的離心率為，可得，故的值為或，故〖答案〗為：或.10.若P（m，8）是焦點(diǎn)為F的拋物線上的一點(diǎn)，則______．〖答案〗10〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，得，所以，由得，準(zhǔn)線方程為，所以.故〖答案〗為：.11.雙曲線的弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，根據(jù)雙曲線的對稱性，不能平分弦，故不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，，所以，聯(lián)立方程得，所以，，，因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以，所以，解得，此時(shí)聯(lián)立后的方程為，滿足，所以，直線的方程為，即.故〖答案〗為：.12.已知雙曲線，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交雙曲線左支于點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑冗吶切?，不妨記，所以，由雙曲線的定義得，故，所以，又由雙曲線的定義得，所以，故，所以，，在中，，則，所以，整理得，故，所以雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.二、選擇題（每小題5分，共20分）13.下列說法中正確的是（）A.事件A、B至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大B.事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小C.互斥事件一定是對立事件，對立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是對立事件，而對立事件一定是互斥事件〖答案〗D〖解析〗對于A，因?yàn)槭录嗀，B中至少有一個發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生和A，B都發(fā)生；事件A，B中恰有一個發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生；又當(dāng)事件A，B為對立事件時(shí)，事件A，B都發(fā)生的概率為，所以事件A、B至少有一個發(fā)生與A、B中恰有一個發(fā)生是相等事件，兩者概率相等，故A錯誤；對于B，若A、B是相等事件，此時(shí)A、B恰有一個發(fā)生為不可能事件，概率為0，而事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率必然大于或等于0，故B錯誤；對于CD，由互斥事件和對立事件的概念知，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故C錯誤，D正確.故選：D.14.質(zhì)檢部門檢查一箱裝有2500件包裝食品的質(zhì)量,抽查總量的2%,在這個問題中,下列說法正確的是()A.總體是指這箱2500件包裝食品 B.個體是一件包裝食品C.樣本是按2%抽取的50件包裝食品 D.樣本容量是50〖答案〗D〖解析〗A、2總體是指這箱2500件包裝食品的質(zhì)量，錯誤；B、個體是一件包裝食品的質(zhì)量，錯誤；C、樣本是按2%抽取的50件包裝食品的質(zhì)量，錯誤；D、樣本容量是50，正確．故選D．15.現(xiàn)須完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（）A.①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B.①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C.①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D.①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法〖答案〗A〖解析〗對于①，由于抽取的總體個數(shù)與樣本個數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；對于②，抽取的總體個數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個數(shù)較大，則采用分層隨機(jī)抽樣.故選：A.16.如圖，某建筑物是數(shù)學(xué)與建筑的完美結(jié)合．該建筑物外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)漸近線方程為，即，下焦點(diǎn)為，下焦點(diǎn)到漸近線的距離為，離心率，，解得，故雙曲線方程為.故選：D.三、解答題17.在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，已知，．（1）求；（2）求數(shù)列的最大值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，，所以.（2）因?yàn)?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.18.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，過點(diǎn)，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn)，則橢圓C的短半軸長為2，設(shè)其長半軸長為，由離心率得：，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，設(shè)直線l被橢圓C所截弦的端點(diǎn)，于是，，解得，滿足條件，所以.19.如圖，在長方體中，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，因?yàn)椋裕?因此，直線與平面所成角的正弦值為.20.某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間〖0.3,0.9〗內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示