2023屆貴州省貴陽市五校高三聯(lián)合考試（五）數(shù)學試題（文）（解析版）

高級中學精品試卷PAGEPAGE1貴州省貴陽市五校2023屆高三聯(lián)合考試（五）數(shù)學試題（文）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，解得；集合A元素滿足，當時，滿足要求，當時，滿足要求，當時，滿足要求，其他均不合要求，故.故選：C．2.設復數(shù)，則z的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由題意得，z的共軛復數(shù)，z的共軛復數(shù)對應的點為，位于第二象限，故選：B．3.根據如下樣本數(shù)據得到回歸直線方程，其中，則時y的估計值是（）x2345y25385055A.73.5 B.64.5 C.61.5 D.57.5〖答案〗A〖解析〗因為回歸直線方程必過，由題中表格數(shù)據得，則，故，則當時，，故選：A．4.已知命題，有成立；命題“”是“”充要條件，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，，所以命題p是真命題，則為假命題，由，得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故命題q是假命題，則為真命題，所以，為假命題，，真命題，則為假命題.故選：C．5.設，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，即；，即；，即，則a，b，c的大小關系為.故選：D．6.在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由D為中點，根據向量的運算法則，可得，在中，.故選:D．7.公差不為0的等差數(shù)列的首項為2，若成等比數(shù)列，則的前項和（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得且，解得，則，則的前項和，故選：A．8.函數(shù)f(x)=在〖—π，π〗的圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱．又．故選D．9.十七世紀德國著名天文學家開普勒曾經說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，黃金分割就可以比作鉆石礦”．如果把頂角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”，那么我們常見的五角星則是由五個黃金三角形和一個正五邊形組成．如圖所示，（黃金分割比），則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖：過D作于E，則．，所以，.故選：D．10.在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，設外接球的半徑為R，取AB的中點，連接，則由，得，因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，則球心O在直線上．連接OA，則，因為，所以；因為，所以.因為，所以球心在線段上．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為.故選：B．11.設點為橢圓上的動點，點為圓上的動點，則的最大值為（）A. B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗設動點，則，所以，則，當時，等號成立．即，所以，故選：C．12.已知函數(shù)的定義域為，滿足為奇函數(shù)且，當時，，則（）A.10 B.4 C.-4 D.〖答案〗A〖解析〗由題可得：，即又，所以，即．所以，因此函數(shù)的周期．所以，故選：．二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則的最小值為__________．〖答案〗3〖解析〗因為，由基本不等式得：，當且僅當，且，即時等號成立．故〖答案〗為：314.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________．〖答案〗54〖解析〗當時，則.當時，．又因為是等比數(shù)列，所以，所以，解得：，所以，所以．故〖答案〗為：54.15.由直線x+2y7=0上一點P引圓x2+y22x+4y+2=0的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為__________〖答案〗〖解析〗根據題意，圓x2+y2﹣2x+4y+2=0的標準方程為（x﹣1）2+（y+2）2=3，則圓的圓心為（1，﹣2），半徑r=，設圓心為M，則|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，則|MP|取得最小值時，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直線x+2y﹣7=0的距離，|MP|最小值==2，則|PA|最小值=，故〖答案〗為．16.將函數(shù)向右平移個周期后所得的圖象在內有個最高點和個最低點，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)向右平移后的〖解析〗式為，由，可得，要使得平移后的圖象有個最高點和個最低點，則需：，解得．故〖答案〗為：.三?解答題（共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若為銳角三角形，，求周長范圍．解：（1）在中，由射影定理得，則題述條件化簡為，由余弦定理得．可得所以.（2）在中，由正弦定理得，則周長，因為，則，因為為銳角三角形，，則得，故．18.卡塔爾世界杯期間，為了解某地觀眾對世界杯的收視情況，隨機抽取了200名觀眾進行調查，將卡塔爾世界杯期間累計收看比賽超過20場的觀眾稱為“體育迷”，不超過20場的觀眾稱為“非體育迷”，下面是根據調查結果繪制的列聯(lián)表：非體育迷體育迷合計男4060100女6040100合計100100200（1）根據已知條件，你是否有的把握認為“體育迷”與性別有關？（2）在“體育迷”當中，按照男?女比例抽取5人，再從5人當中隨機抽取3人進行訪談，求至少抽到2名男性的概率．附：．0.050.013.8416.635解：（1）因為，所以有95%的把握認為“體育迷”與性別有關．（2）由于“體育迷”中，男女比例為，故抽取的5人中有3位男性用表示，2位女性用表示．從這5人中隨機抽取3人，可能的情況共有以下10種：，，其中至少抽到2位男性的情況有以下7種：，所以概率為．19.如圖2，在三棱錐中，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在上且，求點到平面的距離．（1）證明：在中，為的中點．則中線，且；中，，所以，所以；因為，為的中點，所以且；所以，所以，因為，平面，所以平面．（2）解：由題可得，則，所以．又由（1）知平面，所以．又，則，由得：，設點到平面距離為，則，解得，即點到平面的距離為．20.已知坐標原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．（1）求拋物線的方程；（2）已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．解：（1）雙曲線的上焦點為，設，，由已知得：，則，代入雙曲線方程可得，解得或（舍去），所以，又因為在拋物線上，所以，解得，故拋物線方程為．（2）設點，，對求導得，則切線的方程為，由整理得，令，則，即，同理可求得．將代入直線可得：，同理可求得直線的方程：，所以，的直線方程．聯(lián)立消去得，則韋達定理：，則弦長，點到直線的距離，所以，又，故．21.設函數(shù)．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，求在處的切線方程；（2）證明：，當時，．（1）解：由已知得當時，，，且．由點斜式得，，在處切線方程為．（2）證明：由題可得：，則．令，則．令，得，當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，即，當且僅當時等號成立．所以要證，則證：．令函數(shù)，則，令函數(shù)，則，令，則．當時，單調遞增，當時，單調遞減．又，故存在唯一使得，當時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減．又，故此時恒成立，即不等式得證，則原不等式得證．請考生在第22?23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為，直線l的普通方程為．（1）將C的極坐標方程化為參數(shù)方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出P的軌跡的參數(shù)方程并判斷與l的位置關系．解：（1）因為，所以，所以，整理得，曲線C的直角坐標方程為，所以其中為參數(shù)．則對應的參數(shù)方程為其中為參數(shù)．（2）由（1）參數(shù)方程可設，則由，得其中為參數(shù)．對應的直角坐標方程為，圓心到l距離，則與l相離．23.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）若為正實數(shù)，且，求的最小值.解：（1），在上單調遞減，在上單調遞增，所以；（2）由已知得當時，則由得：即：則由柯西不等式得：所以，當且僅當時等號成立.所以的最小值為貴州省貴陽市五校2023屆高三聯(lián)合考試（五）數(shù)學試題（文）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，解得；集合A元素滿足，當時，滿足要求，當時，滿足要求，當時，滿足要求，其他均不合要求，故.故選：C．2.設復數(shù)，則z的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由題意得，z的共軛復數(shù)，z的共軛復數(shù)對應的點為，位于第二象限，故選：B．3.根據如下樣本數(shù)據得到回歸直線方程，其中，則時y的估計值是（）x2345y25385055A.73.5 B.64.5 C.61.5 D.57.5〖答案〗A〖解析〗因為回歸直線方程必過，由題中表格數(shù)據得，則，故，則當時，，故選：A．4.已知命題，有成立；命題“”是“”充要條件，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當時，，所以命題p是真命題，則為假命題，由，得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故命題q是假命題，則為真命題，所以，為假命題，，真命題，則為假命題.故選：C．5.設，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，即；，即；，即，則a，b，c的大小關系為.故選：D．6.在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由D為中點，根據向量的運算法則，可得，在中，.故選:D．7.公差不為0的等差數(shù)列的首項為2，若成等比數(shù)列，則的前項和（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得且，解得，則，則的前項和，故選：A．8.函數(shù)f(x)=在〖—π，π〗的圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱．又．故選D．9.十七世紀德國著名天文學家開普勒曾經說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，黃金分割就可以比作鉆石礦”．如果把頂角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”，那么我們常見的五角星則是由五個黃金三角形和一個正五邊形組成．如圖所示，（黃金分割比），則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖：過D作于E，則．，所以，.故選：D．10.在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，設外接球的半徑為R，取AB的中點，連接，則由，得，因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，則球心O在直線上．連接OA，則，因為，所以；因為，所以.因為，所以球心在線段上．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為.故選：B．11.設點為橢圓上的動點，點為圓上的動點，則的最大值為（）A. B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗設動點，則，所以，則，當時，等號成立．即，所以，故選：C．12.已知函數(shù)的定義域為，滿足為奇函數(shù)且，當時，，則（）A.10 B.4 C.-4 D.〖答案〗A〖解析〗由題可得：，即又，所以，即．所以，因此函數(shù)的周期．所以，故選：．二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則的最小值為__________．〖答案〗3〖解析〗因為，由基本不等式得：，當且僅當，且，即時等號成立．故〖答案〗為：314.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________．〖答案〗54〖解析〗當時，則.當時，．又因為是等比數(shù)列，所以，所以，解得：，所以，所以．故〖答案〗為：54.15.由直線x+2y7=0上一點P引圓x2+y22x+4y+2=0的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為__________〖答案〗〖解析〗根據題意，圓x2+y2﹣2x+4y+2=0的標準方程為（x﹣1）2+（y+2）2=3，則圓的圓心為（1，﹣2），半徑r=，設圓心為M，則|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，則|MP|取得最小值時，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直線x+2y﹣7=0的距離，|MP|最小值==2，則|PA|最小值=，故〖答案〗為．16.將函數(shù)向右平移個周期后所得的圖象在內有個最高點和個最低點，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)向右平移后的〖解析〗式為，由，可得，要使得平移后的圖象有個最高點和個最低點，則需：，解得．故〖答案〗為：.三?解答題（共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若為銳角三角形，，求周長范圍．解：（1）在中，由射影定理得，則題述條件化簡為，由余弦定理得．可得所以.（2）在中，由正弦定理得，則周長，因為，則，因為為銳角三角形，，則得，故．18.卡塔爾世界杯期間，為了解某地觀眾對世界杯的收視情況，隨機抽取了200名觀眾進行調查，將卡塔爾世界杯期間累計收看比賽超過20場的觀眾稱為“體育迷”，不超過20場的觀眾稱為“非體育迷”，下面是根據調查結果繪制的列聯(lián)表：非體育迷體育迷合計男4060100女6040100合計100100200（1）根據已知條件，你是否有的把握認為“體育迷”與性別有關？（2）在“體育迷”當中，按照男?女比例抽取5人，再從5人當中隨機抽取3人進行訪談，求至少抽到2名男性的概率．附：．0.050.013.8416.635解：（1）因為，所以有95%的把握認為“體育迷”與性別有關．（2）由于“體育迷”中，男女比例為，故抽取的5人中有3位男性用表示，2位女性用表示．從這5人中隨機抽取3人，可能的情況共有以下10種：，，其中至少抽到2位男性的情況有以下7種：，所以概率為．19.如圖2，在三棱錐中，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在上且，求點到平面的距離．（1）證明：在中，為的中點．則中線，且；中，，所以，所以；因為，為的中點，所以且；所以，所以，因為，平面，所以平面．（2）解：由題可得，則，所以．又由（1）知平面，所以．又，則，由得：，設點到平面距離為，則，解得，即點到平面的距離為．20.已知坐標原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．（1）求拋物線的方程；（2）已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．解：（1）雙曲線的上焦點為，設，，由已知得：，則，代入雙曲線方程可得，解得或（