2023屆貴州省普通高等學(xué)校招生高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1貴州省普通高等學(xué)校招生2023屆高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（理）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D2.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，解得或，故或，故.故選：B3.實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值等于（）A.0 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗畫出可行域（陰影部分）及目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)橹行甭蕿?，的幾何意義為與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立，解得，故，將其代入〖解析〗式，得到的最大值為.故選：C4.某校為了解高一學(xué)生一周課外閱讀情況，隨機(jī)抽取甲，乙兩個(gè)班的學(xué)生，收集并整理他們一周閱讀時(shí)間（單位：），繪制了下面頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖，得到甲，乙兩校學(xué)生一周閱讀時(shí)間的平均數(shù)分別為，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則于（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗根據(jù)頻率分布直方圖可知，，，所以，.故選：D5.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象與軸圍成的三角形面積為2〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，，畫出其函數(shù)圖象，如下：故不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；D選項(xiàng)，的圖象與軸圍成的三角形面積為，D錯(cuò)誤.故選：C6.在直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn).若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以，又，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以，所以.故選：B.7.直角三角形中，.若點(diǎn)滿足，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知，，，因?yàn)椋?，所?故選：B.8.如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為與所成角，設(shè)，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C9.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知在過濾過程中的污染物的殘留含量（單位：）與過濾時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量.若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了，則污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，化簡得，兩邊取對數(shù)，，故，故設(shè)污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為，則，化簡得，即，解得，故污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為77h.故選：C10.橢圓的上頂點(diǎn)為是的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，其中，不妨設(shè)，，則，由得，解得，故，將其代入中得，，解得，故離心率為.故選：A11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗由題意得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，故，，解得，，又在上單調(diào)遞減，故，又，解得，則，，解得或1，故當(dāng)時(shí)，滿足要求，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)遞減，不合要求，舍去，其他均不合要求.故選：B12.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，則，其中，且，所以，，所以在上單調(diào)遞減，故，即，故，設(shè)，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，因?yàn)?，所以，故，?故選：A二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：14.已知圓，雙曲線.傾斜角為銳角的直線過的圓心，且與的一條漸近線平行，則的方程為___________.〖答案〗〖解析〗方程可化為，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，雙曲線的漸近線方程為或，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與的一條漸近線平行，其傾斜角為銳角，所以直線的方程為，化簡得，.故〖答案〗為：.15.在中，點(diǎn)在邊上，.若，則___________.〖答案〗3〖解析〗在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②兩式相除，得，因?yàn)?，，且，所以，故，解?故〖答案〗為：3.16.如圖，某環(huán)保組織設(shè)計(jì)一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：）的正方體截去四個(gè)相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為___________〖答案〗〖解析〗如圖將正方體補(bǔ)全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點(diǎn)，要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的表面積，即該球表面積的最小值為.故〖答案〗：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求與的值；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）已知.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，由數(shù)列為等比數(shù)列，可得，又所以，即.（2）因?yàn)?所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以18.矩形中，（如圖1），將沿折起到的位置.點(diǎn)在平面上的射影在邊上，連結(jié)（如圖2）.（1）證明：；（2）過直線的平面與平行，求與所成角的正弦值.（1）證明：由題意知：平面，平面，所以.又，平面，平面，且，所以平面.又平面，所以.（2）解：過作交于，連結(jié)，由于，平面，平面，所以平面.故平面即為平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由于，，故.又.因此，故是的一個(gè)法向量.由（1），又，，平面，所以平面，平面，所以，則在中可得，，，，則，，設(shè)與所成角為，則，.即與平面所成角的正弦值為.19.為普及航空航天科技相關(guān)知識?發(fā)展青少年航空航天科學(xué)素養(yǎng)，貴州省某中學(xué)組織開展“筑夢空天”航空航天知識競賽.競賽試題有甲、乙、丙三類（每類題有若干道），各類試題的每題分值及小明答對概率如下表所示，各小題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得分，競賽分三輪答題依次進(jìn)行，各輪得分之和即為選手總分.項(xiàng)目題型每小題分值每小題答對概率甲類題乙類題丙類題其競賽規(guī)則為：第一輪，先回答一道甲類題，若正確，進(jìn)入第二輪答題；若錯(cuò)誤，繼續(xù)回答另一道甲類題，該題回答正確，同樣進(jìn)入第二輪答題，否則，退出比賽.第二輪，乙類題或丙類題中選擇一道作答，若正確，進(jìn)入第三輪答題；否則，退出比賽.第三輪，在前兩輪未作答的那一類試題中選擇一道作答.小明參加競賽，有兩種方案選擇，方案一：先答甲類題，再答乙類題，最后答丙類題；方案二：先答甲類題，再答丙類題，最后答乙類題.各題答對與否互不影響.請完成以下解答：（1）若小明選擇方案一，求答題次數(shù)恰好為次的概率；（2）經(jīng)計(jì)算小明選擇方案一所得總分的數(shù)學(xué)期望為，為使所得總分的數(shù)學(xué)期望最大，小明該選擇哪一種方案？并說明理由.（1）解：記事件“小明先答對甲類一道試題”，“小明繼續(xù)答對另一道甲類試題”，“小明答對乙類試題”，“小明答對丙類試題”，則，，，記事件“小明答題次數(shù)恰好為次”，則.，即小明答題次數(shù)恰好為次的概率為.（2）解：設(shè)小明競賽得分為，由方案二知的可能值為、、、.，，，.所以，.因?yàn)?，所以選擇方案一.20.過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為定值.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由.解：（1）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為1個(gè)，不合要求，舍去，故設(shè)直線的方程為，代入并整理得.設(shè)，則，由得，即，所以，即，故拋物線的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，使.由（1）知，所以化簡可得：.因?yàn)樯鲜綄愠闪?，所以，解?所以在軸上存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為0.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求曲線與的公切線方程.解：（1）當(dāng)時(shí)，令，有，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)椋?，設(shè)曲線在點(diǎn)與曲線在的切線相同，則切線方程為，即，整理得.又切線方程也可表示為，即，整理得，所以，消整理得.令，令，因?yàn)?，所以函?shù)在在單調(diào)遞增，又函數(shù)在在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，又，當(dāng)，，又得，所以，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，因此函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)解，此時(shí)切線方程為，所以曲線與的公切線方程為.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，常數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線和相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與直線相切，求的值.解：（1）將曲線的參數(shù)方程消去，得的普通方程為，且因?yàn)?，所以，將，，代入，得，即，，即為的極坐標(biāo)方程，由直線的方程化簡得，化簡得，即為的直角坐標(biāo)方程.（2）將直線代入，得，即.故以為直徑的圓圓心為，半徑.圓心到直線的距離，由已知得，解得.23.設(shè)，已知函數(shù)的最小值為2.（1）求證：；（2），求證：.證明：（1）因?yàn)?，由題意得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即.（2）由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號故貴州省普通高等學(xué)校招生2023屆高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（理）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D2.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，解得或，故或，故.故選：B3.實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值等于（）A.0 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗畫出可行域（陰影部分）及目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)橹行甭蕿椋膸缀我饬x為與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立，解得，故，將其代入〖解析〗式，得到的最大值為.故選：C4.某校為了解高一學(xué)生一周課外閱讀情況，隨機(jī)抽取甲，乙兩個(gè)班的學(xué)生，收集并整理他們一周閱讀時(shí)間（單位：），繪制了下面頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖，得到甲，乙兩校學(xué)生一周閱讀時(shí)間的平均數(shù)分別為，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則于（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗根據(jù)頻率分布直方圖可知，，，所以，.故選：D5.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象與軸圍成的三角形面積為2〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，，畫出其函數(shù)圖象，如下：故不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；D選項(xiàng)，的圖象與軸圍成的三角形面積為，D錯(cuò)誤.故選：C6.在直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn).若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，又，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以，所以.故選：B.7.直角三角形中，.若點(diǎn)滿足，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知，，，因?yàn)椋裕?故選：B.8.如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為與所成角，設(shè)，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C9.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知在過濾過程中的污染物的殘留含量（單位：）與過濾時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量.若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了，則污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，化簡得，兩邊取對數(shù)，，故，故設(shè)污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為，則，化簡得，即，解得，故污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為77h.故選：C10.橢圓的上頂點(diǎn)為是的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，其中，不妨設(shè)，，則，由得，解得，故，將其代入中得，，解得，故離心率為.故選：A11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗由題意得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，故，，解得，，又在上單調(diào)遞減，故，又，解得，則，，解得或1，故當(dāng)時(shí)，滿足要求，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)遞減，不合要求，舍去，其他均不合要求.故選：B12.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，則，其中，且，所以，，所以在上單調(diào)遞減，故，即，故，設(shè)，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，因?yàn)?，所以，故，?故選：A二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：14.已知圓，雙曲線.傾斜角為銳角的直線過的圓心，且與的一條漸近線平行，則的方程為___________.〖答案〗〖解析〗方程可化為，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，雙曲線的漸近線方程為或，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與的一條漸近線平行，其傾斜角為銳角，所以直線的方程為，化簡得，.故〖答案〗為：.15.在中，點(diǎn)在邊上，.若，則___________.〖答案〗3〖解析〗在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②兩式相除，得，因?yàn)椋?，且，所以，故，解?故〖答案〗為：3.16.如圖，某環(huán)保組織設(shè)計(jì)一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：）的正方體截去四個(gè)相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為___________〖答案〗〖解析〗如圖將正方體補(bǔ)全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點(diǎn)，要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的表面積，即該球表面積的最小值為.故〖答案〗：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求與的值；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）已知.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，由數(shù)列為等比數(shù)列，可得，又所以，即.（2）因?yàn)?所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以18.矩形中，（如圖1），將沿折起到的位置.點(diǎn)在平面上的射影在邊上，連結(jié)（如圖2）.（1）證明：；（2）過直線的平面與平行，求與所成角的正弦值.（1）證明：由題意知：平面，平面，所以.又，平面，平面，且，所以平面.又平面，所以.（2）解：過作交于，連結(jié)，由于，平面，平面，所以平面.故平面即為平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由于，，故.又.因此，故是的一個(gè)法向量.由（1），又，，平面，所以平面，平面，所以，則在中可得，，，，則，，設(shè)與所成角為，則，.即與平面所成角的正弦值為.19.為普及航空航天科技相關(guān)知識?發(fā)展青少年航空航天科學(xué)素養(yǎng)，貴州省某中學(xué)組織開展“筑夢空天”航空航天知識競賽.競賽試題有甲、乙、丙三類（每類題有若干道），各類試題的每題分值及小明答對概率如下表所示，各小題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得分，競賽分三輪答題依次進(jìn)行，各輪得分之和即為選手總分.項(xiàng)目題型每小題分值每小題答對概率甲類題乙類題丙類題其競賽規(guī)則為：第一輪，先回答一道甲類題，若正確，進(jìn)入第二輪答題；若錯(cuò)誤，繼續(xù)回答另一道甲類題，該題回答正確，同樣進(jìn)入第二輪答題，否則，退出比賽.第二輪，乙類題或丙類題中選擇一道作答，若正確，進(jìn)入第三輪答題；否則，退出比賽.第三輪，在前兩輪未作答的那一類試題中選擇一道作答.小明參加競賽，有兩種方案選擇，方案一：先答甲類題，再答乙類題，最后答丙類題；方案二：先答甲類題，再答丙類題，最后答乙類題.各題答對與否互不影響.請完成以下解答：（1）若小明選擇方案一，求答題次數(shù)恰好為次的概率；（2）經(jīng)計(jì)算小明選擇方案一所得總分的數(shù)學(xué)期望為，為使所得總分的數(shù)學(xué)期望最大，小明該選擇哪一種方案？并說明理由.（1）解：記事件“小明先答對甲類一道試題”，“小明繼續(xù)答對另一道甲類試題”，“小明答對乙類試題”，“小明答對丙類試題”，則，，，記事件“小明答題次數(shù)恰好為次”，則.，即小明答題次數(shù)恰好為次的概率為.（2）解：設(shè)小明競賽得分為，由方案二知的