高中數(shù)學試題：奇數(shù)偶數(shù)

§25奇數(shù)偶數(shù)

將全體整數(shù)分為兩類，凡是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù).因此，任一偶數(shù)可

表為2H?(〃?eZ),任一奇數(shù)可表為2〃i+l或2,〃-1的形式.奇、偶數(shù)具有如下性質：

(1)奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)；

(2)奇數(shù)的平方都可表為8%+1形式，偶數(shù)的平方都可表為或8〃?+4的形式?！癎Z).

(3)任何一個正整數(shù)〃，都可以寫成〃=2"'/的形式，其中現(xiàn)為非負整數(shù)，/為奇數(shù).

這些性質既簡單又明顯，然而它卻能解決數(shù)學競賽中一些難題.

例題講解

1.下列每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾

個偶數(shù)？

□+□=□,□-口=□,□xn=n,口+口=口.

i.解因為加法和減法算式中至少各有一個偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二

個偶數(shù)，故這12個整數(shù)中至少有六個偶數(shù).

/i88y=〃的解］

2.已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組”=P是整數(shù)，那么()

1\x+21y-m、y=q

(A)p、q都是偶數(shù).(B)p、q都是奇數(shù).

(C)p是偶數(shù)，q是奇數(shù)(D)p是奇數(shù)，q是偶數(shù)

2.分析由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶數(shù)，將其

代入第二方程中，于是llx也為偶數(shù)，從而27y=mTlx為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，

應選(C)

=2.W+3-729*+15625*+1

=2-(7-9+1)A+3-(7-104+1)4+(7-2232+1)*+1

=27A+2+373+3+7C+l+1

=(2+3+1+l)(mod7)=0(mod7)

對于Vk20,且ZeZ,26A+,+36*+I+56t+1都能被7整除;

注：a-l(modb)=ak-l(modb\k&Z

3.在1,2,3…，1992前面任意添上一個正號和負號，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶

3.分析因為兩個整數(shù)之和與這兩個整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設數(shù)字前面

1992(1992+D

都添上正號和負號不改變其奇偶性，而1+2+3+…+1992=2=996X1993

為偶數(shù)于是題設的代數(shù)和應為偶數(shù).

4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩

個數(shù)的和，這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0,1,3,8,21,….問最右邊的一個

數(shù)被6除余幾？

5.設a、b是自然數(shù)，且有關系式

123456789=(11111+a)(11111-b),①

證明a-b是4的倍數(shù).

--+

6.在3X3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或的符

號，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復若

干次這樣的“變號”程序后，能否從一張表變化為另一張表.

7.設正整數(shù)“不等于2,5,13.證明在集合｛2,5,13,d｝中可以找到兩個元素&b,使得

ab-l不是完全平方數(shù).

8.設“、b、c、d為奇數(shù)，0<a<8<c<d,并且ad=be,證明：如果4+4=2、b+c=2m,

k,m為整數(shù)，那么“=1.

9.設a”由，是一組數(shù)，它們中的每一個都取1或—1，而且aia2a3a4+a2a3a4a5+…

+a“a/a2a3=0，證明：n必須是4的倍數(shù).

課后練習

1.填空題

（1）有四個互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4,最大數(shù)與最小數(shù)的積

是一個奇數(shù)，而這四個數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個數(shù)的乘積是.

2

（2）有五個連續(xù)偶數(shù)，已知第三個數(shù)比第一個數(shù)與第五個數(shù)和的Z多18,這五個

偶數(shù)之和是—.

（3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結？答—.

2.選擇題

（1）設a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個數(shù)是（）

①若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是偶數(shù)；②若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；

③若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；④若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是偶數(shù).

(A)1(B)2(C)3(D)4

（2）若n是大于1的整數(shù)，則P="+（M-）F-的值（）.

（A）一定是偶數(shù)（B）必然是非零偶數(shù)

（C）是偶數(shù)但不是2（D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù)

（3）已知關于x的二次三項式ax、bx+c（a、b^c為整數(shù)），如果當x=0與x=l時,

二次三項式的值都是奇數(shù)，那么a（）

（A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù)（B）必然是非零偶數(shù)

（C）必然是奇數(shù)（D）必然是零

3.試證明1國6+9.6+8呼6+6畫6是一個偶數(shù).

4.請用0到9十個不同的數(shù)字組成一個能被11整除的最小十位數(shù).

5.有n個整數(shù)，共積為n,和為零，求證：數(shù)n能被4整除

6.在一個凸n邊形內，任意給出有限個點，在這些點之間以及這些點與凸n邊形頂

點之間，用線段連續(xù)起來，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角

形的小塊，試證這種小三我有形的個數(shù)與n有相同的奇偶性.

7.一個四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各

位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù).

8.試證：3"+1能被2或2?整除，而不能被2的更高次幕整除.

課后練習答案

1.（1）30.（最小兩位奇數(shù)是11,最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)）

（2）180.設第一個偶數(shù)為x,則后面四個衣次為x+2,x+4,x+6,

x+8.

（3）不能.

2.B.B.A

3.1f6是奇數(shù)1,9’98,的個位數(shù)字是奇數(shù)1,而8‘986,6f都是偶數(shù)，

故最后為偶數(shù).

4.仿例51203465879.

5.設a-a2,…，a0滿足題設即ai+azH----Fan=0①

a,?a2......an=n②。假如n為奇數(shù)，由②，所有a：皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個奇

數(shù)之和為奇數(shù)，故這時①不成立，可見n只能為偶數(shù).由于n為偶數(shù)，由②知ai

中必有一個偶數(shù)，由①知a?中必有另一個偶數(shù).于是a：中必有兩個偶數(shù)，因而由

②知n必能被4整除.

6.設小三角形的個數(shù)為k,則k個小三角形共有3k條邊，減去n邊形的n條邊

及重復計算的邊數(shù)扣共有2(3k+n)條線段，顯然只有當k與n有相同的奇偶

2

性時，2(3k-n)才是整數(shù).

7.設這個四位數(shù)是礪由于1WaVd,d是奇數(shù)所以d23于是c=2(a+

d)28,即c=8或c=9.因c是偶數(shù)，所以c=8,由此得a=1,d=3.又

因b>c,所以b=9因此該數(shù)為1983.

8.當n為奇數(shù)時，考慮(4-1)”+1的展開式；當n為偶數(shù)時，考慮(2

+1)n+1的展開式.

例題答案：

1.解因為加法和減法算式中至少各有一個偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二

個偶數(shù)，故這12個整數(shù)中至少有六個偶數(shù).

2.分析由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶數(shù)，將其

代入第二方程中，于是llx也為偶數(shù)，從而27y=m-Hx為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，

應選(C)

=2?64"+3-729*+15625*+1

=2?(7?9+1)“+3-(7-104+1)*+(7-2232+l)x+1

=27A+2+37B+3+7C+l+l

=(2+3+1+l)(mod7)=0(mod7)

???對于V攵>0,且攵GZ,26M+36M+5^+1都能被7整除;

注：a=l(modb)=>ak=l(modb),keZ

3.分析因為兩個整數(shù)之和與這兩個整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設數(shù)字前面

1992(1992+D

都添上正號和負號不改變其奇偶性，而1+2+3+…+1992=2=996X1993

為偶數(shù)于是題設的代數(shù)和應為偶數(shù).

4.解設70個數(shù)依次為ai,a2,a3據(jù)題意有

ai=0,偶

32=1奇

a3=3a2-a］，奇

a4=3a3-a2,偶

a5=3at-a3,奇

&6=335—a4,

由此可知：

當n被3除余1時，a.是偶數(shù)；

當n被3除余0時，或余2時，a.是奇數(shù)，顯然蹌是3k+l型偶數(shù)，所以k必須是

奇數(shù),令k=2n+l,則a?o=3k+l=3(2n+l)+l=6n+4.

5.證明由①式可知

11111(a-b)=ab+4X617②

Va>0,b>0,/.a-b>0

首先，易知a-b是偶數(shù)，否則Hl11(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進而知a、b

都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾

其次，從a-b是偶數(shù),根據(jù)②可知ab是偶數(shù)，進而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4X617

是4的倍數(shù)，由②知a-b是4的倍數(shù).

6.解按題設程序，這是不可能做到的，考察下面填法：

在黑板所示的2X2的正方形表格中，按題設程序“變號”，“+”號或者不變，或

者變成兩個.

表(a)中小正方形有四個“+”號，實施變號步驟后，“+”的個數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)

中小正方形“+”號的個數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個變化到另一個.

顯然，小正方形互變無法實現(xiàn)，3X3的大正方形的互變，更無法實現(xiàn).

7.解由于2X5-1=32,2X13-1=52,5X13-1=82,因此，只需證明24—1,5d—1,13d

-1中至少有一個不是完全平方數(shù).

用反證法，假設它們都是完全平方數(shù)，令

2d—1-x1①

5cl~l=y2②

13d~1=2③

x,y,zGN”

由①知，x是奇數(shù)，設JC=2&—1,于是2d—1=(2k—1)2,即d=2k2—2k+l,這說

明d也是奇數(shù).因此，再由②，③知，y,z均是偶數(shù).

設y=2,*,z=2〃,代入③、④，相減，除以4得，2d=?—m2=(n+m)(n—m),從而n2—m2

為偶數(shù)，n,m必同是偶數(shù)，于是m+n與m—n都是偶數(shù)，這樣2d就是4的倍數(shù)，即d為

偶數(shù)，這與上述d為奇數(shù)矛盾.故命題得證.

8.首先易證：2k>2'".從而。>皿因為d-a>b-c,于是(a+d)2=(a-d)2+4ad

>S—c>+48c=S+c)2.再由ad=bc,d=2*-。,。=2加一8可得6=b2-a2,

因而2"'(b-a-2k-"')=S+a\b-a)①

顯然，6+a力-a為偶數(shù)，b-211f