尺規(guī)作圖-作業(yè)

淺談尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用〔摘要：在中學(xué)數(shù)學(xué)里，尺規(guī)作圖是占有非常重要的地位，學(xué)生是否能學(xué)好尺規(guī)作圖會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)產(chǎn)生至關(guān)重要影響。本文淺談尺規(guī)作圖在歷史中的開展和介紹幾種常規(guī)的作圖方法，分析尺規(guī)作圖在初等平面幾何中的應(yīng)用，從而在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖、軌跡交點(diǎn)法、代數(shù)作圖法、旋轉(zhuǎn)法作圖、位似法作圖、面積割補(bǔ)法作圖。1.尺規(guī)作圖：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。規(guī)定只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。它們是由點(diǎn)、直線、圓三種根本圖形復(fù)合而成,利用這些圖形。用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，來作一些滿足某些要求的幾何圖形。尺規(guī)作圖使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實(shí)中的并非完全相同：〔1〕、直尺必須沒有刻度，無限長(zhǎng)，且只能使用直尺的固定一側(cè)。只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫刻度；〔2〕、圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長(zhǎng)度。1.1最簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過兩點(diǎn)可以畫一條直線；⑵圓心和半徑可以作一圓；⑶兩直線；一直線和一圓；或兩圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條，叫做作圖公法。用直尺可以畫出第一條公法所說的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說的交點(diǎn)。一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問題；否那么，就稱為尺規(guī)作圖不能問題.1.2歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問題是：⑴三等分角問題：三等分一個(gè)任意角；⑵倍立方問題：作一個(gè)立方體，使它的體積是立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于圓的面積。這三個(gè)問題后被稱為“幾何作圖三大問題〞.直至1837年，萬芝爾，首先證明三等分角問題和立方倍積問題屬尺規(guī)作圖不能問題；1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明π是一個(gè)超越數(shù)〔即π是一個(gè)不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)〕，由此即可推得根號(hào)π(即當(dāng)圓半徑時(shí)所求正方形的邊長(zhǎng)〕不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問題是一個(gè)尺規(guī)作圖不能問題。假設(shè)干著名的尺規(guī)作圖是不可能的，而當(dāng)中很多不可能證明是利用了由19世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論。盡管如此，仍有很多業(yè)余愛好者嘗試這些不可能的題目，當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意。數(shù)學(xué)家UnderwoodDudley曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯(cuò)誤作法結(jié)集成書。2.下面介紹幾種常見的尺規(guī)作圖方法：⑴軌跡相交法：有些作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置，而一個(gè)點(diǎn)確實(shí)立，須有兩個(gè)條件，于是可以分別做出符合其條件的點(diǎn)的軌跡，那么這兩個(gè)軌跡的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)。像這樣利用軌跡相交來確定點(diǎn)的位置，從而做出符合條件的圖形的作圖方法叫做軌跡相交法。【例1】電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下列圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)、的距離必須相等，到兩條高速公路、的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？這是一道實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意知道，點(diǎn)應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線段的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)應(yīng)是它們的交點(diǎn).⑴作兩條公路夾角的平分線或；⑵作線段的垂直平分線；那么射線，與直線的交點(diǎn)，就是發(fā)射塔的位置。【例2】作一個(gè)三角形的內(nèi)切圓。：ΔABC求作ΔABC內(nèi)切于⊙O作法：〔1〕分別作∠ABC和∠ACB的平分線交于O〔此時(shí)O為交軌點(diǎn)〕(2)以O(shè)為圓心、O到BC的距離OD為半徑作圓；那么⊙O為所求的圓。如下圖；【分析】此題只要是一道作圖題，只要是能找出半徑，那么可以作出所要的圖形。利用角的平分線的性質(zhì)，可以找到圓心。⑵代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長(zhǎng)，而這線段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟。用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法。代數(shù)法的一般解題步驟是：=1\*alphabetica：用字母表示題中某些的和未知〔欲求〕的量；=2\*alphabeticb：依據(jù)給定條件和及定理，找出量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程或者方程組；=3\*alphabeticc：解此方程或者方程組，求出根的表達(dá)式，必要時(shí)，把根的表達(dá)式變形，使之與作圖成法中的式子類似；d：按根的表達(dá)式，做出根所對(duì)應(yīng)的線段：e：再進(jìn)一步完成滿足全部條件的圖形?！纠?】：：ΔABC，作ΔABC的頂點(diǎn)A所對(duì)邊BC的平行線EF，使得截成的兩局部面積之比為1：3?！痉治觥浚喝鐖D，要作出EF，關(guān)鍵在于AB上求作點(diǎn)E,過E作BC的平行線那么可。有題設(shè)可得：S△AEF：S△EBCF=1：3,，即S△AEF：S△ABC=1：4，由于相似三角形面積之比于比的平方，可得，AE=0.5AB.因此E是AB的終點(diǎn)，問題片可以解決。【例4】用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周〔圓心〕.設(shè)半徑為，可算出其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為，也就是說用這個(gè)長(zhǎng)度去等分圓周。我們的任務(wù)就是做出這個(gè)長(zhǎng)度。六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)的長(zhǎng)度。設(shè)法構(gòu)造斜邊為，一直角邊為的直角三角形，的長(zhǎng)度自然就出來了.具體做法：⑴隨便畫一個(gè)圓，設(shè)半徑為1；⑵先六等分圓周.這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為.⑶以這個(gè)距離為半徑，分別以兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓心，同向作弧，交于一點(diǎn).〔“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)〞其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)〞形成的是一個(gè)底為2，腰為的等腰三角形.可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是.〕⑷以的長(zhǎng)度等分圓周就可以啦?、切D(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.：直線、、，且.求作：正，使得、、三點(diǎn)分別在直線、、上.假設(shè)是正三角形，且頂點(diǎn)、、三點(diǎn)分別在直線、、上.作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，置于的位置，此時(shí)點(diǎn)的位置可以確定.從而點(diǎn)也可以確定.再作，點(diǎn)又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出.作法：⑴在直線上取一點(diǎn)，過作于點(diǎn)；⑵以為一邊作正三角形；⑶過作，交直線于；⑷以為圓心，為半徑作弧，交于(使與在異側(cè)).⑸連接、、得.即為所求.⑷位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.【例5】：一銳角.求作:一正方形，使得、在邊上，在邊上，在邊上.先放棄一個(gè)頂點(diǎn)在邊上的條件，作出與正方形位似的正方形，然后利用位似變換將正方形放大〔或縮小〕得到滿足全部條件的正方形.作法：⑴在邊上任取一點(diǎn)，過作于⑵以為一邊作正方形，且使在的延長(zhǎng)線上.⑶作直線交于.⑷過分別作交于；作交于.⑸過作交于.那么四邊形即為所求.⑸面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【例6】如圖，過的底邊上一定點(diǎn)，，求作一直線，使其平分的面積.因?yàn)橹芯€平分的面積，所以首先作中線，假設(shè)平分的面積，在中先割去，再補(bǔ)上.只要，那么和就同底等高，此時(shí)它們的面積就相等了.所以就平分了的面積.作法：⑴取中點(diǎn)，連接;⑵過作交于；⑶過、作直線.直線即為所求.：3.結(jié)束語尺規(guī)作圖是平面幾何極其重要的一局部，是數(shù)學(xué)美的一種直觀形式表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)這門課程中，能夠思維啟發(fā)思維的一重要工具，它不僅對(duì)古人