2023屆江西省五市九校協(xié)作體高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，集合，或，所以，故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以的虛部為，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，故D錯誤.故選：B.3.若，是第三象限的角，則＝（）A.2 B. C.﹣2 D.〖答案〗C〖解析〗由且是第三象限的角，可得，又由，即.故選：C.4.天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（）A.癸未年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年〖答案〗A〖解析〗由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.5.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線C的右支上，且，雙曲線C的一條漸近線方程為，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，且，所以，，因為，所以，即，由題得雙曲線的漸近線方程為，即，又因為雙曲線C的一條漸近線方程為，所以，因為，所以，所以，所以k的最小值為，故選：B．6.中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A.450種 B.72種 C.90種 D.360種〖答案〗A〖解析〗由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.7.已知橢圓的一個焦點為，點是橢圓上的一個動點，的最小值為，且存在點，使得（點為坐標(biāo)原點）為正三角形，則橢圓的焦距為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)為橢圓的右焦點，為橢圓的左焦點，連接因為為等邊三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因為，所以．因為的最小值為，所以，所以，橢圓的焦距為故選：D8.關(guān)于曲線C：，下列說法正確的是（）A.曲線C可能經(jīng)過點B.若，過原點與曲線C相切的直線有兩條C.若，曲線C表示兩條直線D.若，則直線被曲線C截得弦長等于〖答案〗B〖解析〗A.將點代入方程得，即，方程無解，所以曲線C不可能經(jīng)過點，故錯誤；B.若，曲線C：表示以為圓心，以為半徑，又原點到圓心的距離為，且，所以原點在圓外，所以過原點與曲線C相切的直線有兩條，故正確；C.當(dāng)時，曲線C：，則，解得，表示點，故錯誤；D.當(dāng)時，曲線C：，圓心在直線上，所以直線被曲線C截得弦長為直徑，等于2，故錯誤.故選：B9.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.的圖像關(guān)于直線對稱C.的值域為D.在上有5個零點〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為，因為，所以，，所以，所以不是偶函數(shù)，A錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，又，，矛盾，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，B錯誤；時，的值域是〖0,2〗，時，的值域是〖-2,4〗，C正確；時，有無數(shù)個零點，函數(shù)在上有無數(shù)個零點，D錯誤.故選：C.10.如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前n項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A.5052 B.5057 C.5058 D.5063〖答案〗B〖解析〗由題意得：，所以，則數(shù)列即為，其整數(shù)項為即，所以的奇數(shù)項是以2為首項，以5為公差的等差數(shù)列，則；的偶數(shù)項是以3為首項，以5為公差的等差數(shù)列，則，所以，故選：B11.在直四棱柱中中，，，P為中點，點Q滿足，（，）.下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若平面，則的最小值為C.若的外心為M，則為定值2D.若，則點Q的軌跡長度為〖答案〗C〖解析〗對于A，因為，，所以三點共線，所以點在，因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，因為的面積為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確；對于B，取的中點分別為，連接，則，因為平面，平面，所以平面，因為，，所以，因為平面，平面，平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，所以當(dāng)時，最小，因為，所以，，所以，所以重合，所以的最小值為，所以B正確，對于C，若的外心為，過作于，因為，所以，所以C錯誤，對于D，過作于點，因為則可得平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，，在上取點，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運動，因為，所以，則圓弧等于，所以D正確，故選：C.12.已知，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，，令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且，，，，即故選項A錯誤；對于B，，令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且，，，，，，即，故選項B錯誤；對于C，，，，又在單調(diào)遞增，，，故選項C錯誤；對于D，由C可知，，又在單調(diào)遞減，，故選項D正確.故選：D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知非零向量滿足，且，則向量的夾角是_______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以．因為，所以，因為，所以．故〖答案〗為：14.已知，則__________.〖答案〗132〖解析〗令，則，則可轉(zhuǎn)化為：，即，所以，所以，故〖答案〗為：132.15.已知實數(shù)滿足，，則的最小值為__________.〖答案〗2025〖解析〗，因為，所以，，，故，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，即的最小值為2025.故〖答案〗為：2025.16.已知.設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗（1）當(dāng)時，，的值域為，則恒成立，故成立（2）當(dāng)時，當(dāng)，單調(diào)遞減，故此時.當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.此時的值域為，恒成立②當(dāng)時，在時，取得最小值當(dāng)時，，則恒成立當(dāng)時，.此時若即時，，此時不符合題意故，恒成立，（3）當(dāng)時，時，為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，.時在上為增函數(shù)，值域為要有意義，則此時，.,故因此，恒成立綜上所述，故〖答案〗為：三、解答題：（共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，BD為∠ABC的角平分線．（1）求證：；（2）若且，求△ABC的面積．（1）證明：由題意可得，因為BD為∠ABC的角平分線，則，在△ABD中，，則，同理可得，因此，即．（2）解：設(shè)，則，因為，即，又且，可得，因為，則，則，，可得，，所以，，．18.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．（1）求證：EF⊥平面BCF；（2）點M在線段EF上運動，當(dāng)點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大？并求此時銳二面角的余弦值．（1）證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD為等腰梯形，因為，則，所以又因為，則，∴AC⊥BC，因為CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF∵，∴AC⊥平面BCF，因為四邊形ACFE為矩形，則AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF（2）解：因為CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點C為坐標(biāo)原點，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在Rt△ABC中，，．則A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，設(shè)點M(t，0，1)，其中設(shè)平面MAB的法向量為，由，取，可得，．易知平面FCB的一個法向量為，所以，當(dāng)，即M與F重合時，取最小值，此時平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，此時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值為19.某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.（1）若，當(dāng)時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；（2）已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設(shè)備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.解：（1）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，；（2）（i）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運行概率所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量期望為；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為，即；（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為；所以，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當(dāng)時，，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒有變大，又因為，所以當(dāng)時，設(shè)備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤；當(dāng)時，設(shè)備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．20.過坐標(biāo)原點作圓的兩條切線，設(shè)切點為，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點是圓的動點，拋物線上四點滿足：，，設(shè)中點為.（i）證明：垂直于軸；（ii）設(shè)面積為，求的最大值.解：（1）設(shè)直線與軸交于，則，由圓的方程知：圓心，半徑，為圓的切線，，又，∽，，即，解得：，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，，，（i）由知：為中點，且在拋物線上，即，又，，整理可得：；由知：為中點，且在拋物線上，同理可得：；是方程的兩根，，，點的縱坐標(biāo)為，直線的斜率為，即垂直于軸.（ii），，，在圓上，，，則當(dāng)時，，.21已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，且恒成立，求實數(shù)k的最小值．解：（1）又可得定義域為，則，；令，則．①當(dāng)，即時，恒成立，則，∴在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即或時，（ⅰ）當(dāng)時，是開口向上且過的拋物線，對稱軸方程為，則函數(shù)有兩個零點和（顯然），列表如下：x＋0－0＋↗極大值↘極小值↗（ⅱ）當(dāng)時，是開口向上且過的拋物線，對稱軸方程為，則在上恒成立，從而，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）由（1）可知，當(dāng)時，有兩個極值點，則是方程的兩根，∴，，∴．∴恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立．令，不等式轉(zhuǎn)化為，∴，，即．令，則不等式化．∵，當(dāng)時，，在上單詞遞增，∴，即．令，則，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減；所以，∴，即時，實數(shù)k取得最小值為．即實數(shù)k的最小值為.選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.〖選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，當(dāng)變化時，求的最小值．解：（1）由，得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為.（2）將直線l的參數(shù)方程代入，得，化簡得：，恒成立．設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，所以，當(dāng)時，的最小值為8．〖選修4-5：不等式選講〗23.已知均為正實數(shù)，且.證明：（1）；（2）.證明：（1）依題意：都為正實數(shù)，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，上述三個式子相加得，即成立.（2）①，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.②，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，③，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，①②③相加并化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即成立江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，集合，或，所以，故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以的虛部為，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，故D錯誤.故選：B.3.若，是第三象限的角，則＝（）A.2 B. C.﹣2 D.〖答案〗C〖解析〗由且是第三象限的角，可得，又由，即.故選：C.4.天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（）A.癸未年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年〖答案〗A〖解析〗由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.5.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線C的右支上，且，雙曲線C的一條漸近線方程為，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，且，所以，，因為，所以，即，由題得雙曲線的漸近線方程為，即，又因為雙曲線C的一條漸近線方程為，所以，因為，所以，所以，所以k的最小值為，故選：B．6.中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A.450種 B.72種 C.90種 D.360種〖答案〗A〖解析〗由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.7.已知橢圓的一個焦點為，點是橢圓上的一個動點，的最小值為，且存在點，使得（點為坐標(biāo)原點）為正三角形，則橢圓的焦距為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)為橢圓的右焦點，為橢圓的左焦點，連接因為為等邊三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因為，所以．因為的最小值為，所以，所以，橢圓的焦距為故選：D8.關(guān)于曲線C：，下列說法正確的是（）A.曲線C可能經(jīng)過點B.若，過原點與曲線C相切的直線有兩條C.若，曲線C表示兩條直線D.若，則直線被曲線C截得弦長等于〖答案〗B〖解析〗A.將點代入方程得，即，方程無解，所以曲線C不可能經(jīng)過點，故錯誤；B.若，曲線C：表示以為圓心，以為半徑，又原點到圓心的距離為，且，所以原點在圓外，所以過原點與曲線C相切的直線有兩條，故正確；C.當(dāng)時，曲線C：，則，解得，表示點，故錯誤；D.當(dāng)時，曲線C：，圓心在直線上，所以直線被曲線C截得弦長為直徑，等于2，故錯誤.故選：B9.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.的圖像關(guān)于直線對稱C.的值域為D.在上有5個零點〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為，因為，所以，，所以，所以不是偶函數(shù)，A錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，又，，矛盾，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，B錯誤；時，的值域是〖0,2〗，時，的值域是〖-2,4〗，C正確；時，有無數(shù)個零點，函數(shù)在上有無數(shù)個零點，D錯誤.故選：C.10.如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前n項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A.5052 B.5057 C.5058 D.5063〖答案〗B〖解析〗由題意得：，所以，則數(shù)列即為，其整數(shù)項為即，所以的奇數(shù)項是以2為首項，以5為公差的等差數(shù)列，則；的偶數(shù)項是以3為首項，以5為公差的等差數(shù)列，則，所以，故選：B11.在直四棱柱中中，，，P為中點，點Q滿足，（，）.下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若平面，則的最小值為C.若的外心為M，則為定值2D.若，則點Q的軌跡長度為〖答案〗C〖解析〗對于A，因為，，所以三點共線，所以點在，因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，因為的面積為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確；對于B，取的中點分別為，連接，則，因為平面，平面，所以平面，因為，，所以，因為平面，平面，平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，所以當(dāng)時，最小，因為，所以，，所以，所以重合，所以的最小值為，所以B正確，對于C，若的外心為，過作于，因為，所以，所以C錯誤，對于D，過作于點，因為則可得平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，，在上取點，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運動，因為，所以，則圓弧等于，所以D正確，故選：C.12.已知，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，，令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且，，，，即故選項A錯誤；對于B，，令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且，，，，，，即，故選項B錯誤；對于C，，，，又在單調(diào)遞增，，，故選項C錯誤；對于D，由C可知，，又在單調(diào)遞減，，故選項D正確.故選：D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知非零向量滿足，且，則向量的夾角是_______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以．因為，所以，因為，所以．故〖答案〗為：14.已知，則__________.〖答案〗132〖解析〗令，則，則可轉(zhuǎn)化為：，即，所以，所以，故〖答案〗為：132.15.已知實數(shù)滿足，，則的最小值為__________.〖答案〗2025〖解析〗，因為，所以，，，故，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，即的最小值為2025.故〖答案〗為：2025.16.已知.設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗（1）當(dāng)時，，的值域為，則恒成立，故成立（2）當(dāng)時，當(dāng)，單調(diào)遞減，故此時.當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.此時的值域為，恒成立②當(dāng)時，在時，取得最小值當(dāng)時，，則恒成立當(dāng)時，.此時若即時，，此時不符合題意故，恒成立，（3）當(dāng)時，時，為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，.時在上為增函數(shù)，值域為要有意義，則此時，.,故因此，恒成立綜上所述，故〖答案〗為：三、解答題：（共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，BD為∠ABC的角平分線．（1）求證：；（2）若且，求△ABC的面積．（1）證明：由題意可得，因為BD為∠ABC的角平分線，則，在△ABD中，，則，同理可得，因此，即．（2）解：設(shè)，則，因為，即，又且，可得，因為，則，則，，可得，，所以，，．18.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．（1）求證：EF⊥平面BCF；（2）點M在線段EF上運動，當(dāng)點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大？并求此時銳二面角的余弦值．（1）證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD為等腰梯形，因為，則，所以又因為，則，∴AC⊥BC，因為CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF∵，∴AC⊥平面BCF，因為四邊形ACFE為矩形，則AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF（2）解：因為CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點C為坐標(biāo)原點，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在Rt△ABC中，，．則A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，設(shè)點M(t，0，1)，其中設(shè)平面MAB的法向量為，由，取，可得，．易知平面FCB的一個法向量為，所以，當(dāng)，即M與F重合時，取最小值，此時平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，此時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值為19.某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.（1）若，當(dāng)時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；（2）已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設(shè)備升級后，在確保控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.解：（1）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，；（2）（i）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運行概率所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量期望為；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為，即；（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件