北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 單元測(cè)試卷及答案

北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元測(cè)試卷及答案滿分：120分時(shí)間：100分鐘一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1．cos30°的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),3)2．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC等于()A.eq\f(3,2) B．1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)(第2題)(第5題)3．在Rt△ABC中，如果各邊的長(zhǎng)度同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么銳角A的正弦值和余弦值()A．都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍 B．都縮小為原來(lái)的eq\f(1,2)C．都不變 D．不能確定4．若eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，則銳角α的度數(shù)是()A．20° B．30° C．40° D．50°5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，如果AC＝eq\r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD等于()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(\r(5),2)6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科學(xué)計(jì)算器求AC的長(zhǎng)，則下列按鍵順序正確的是()(第6題)A.eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(sin)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝) B.eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(tan)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)C.eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(cos)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝) D.eq\x(8)eq\x(×)eq\x(tan)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，tanA＝eq\r(3)，則BC的長(zhǎng)為()A．3 B．2 C.eq\r(3) D．2eq\r(3)8．如圖，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米處有一個(gè)1米長(zhǎng)的水平遮陽(yáng)板CD，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成60°角時(shí)，太陽(yáng)光線剛好不能直接射入室內(nèi)，則m的值是()A.eq\r(3)＋0.8 B.eq\r(3)＋0.2C.eq\r(3)－0.2 D.eq\r(3)－0.8(第8題)(第9題)9．如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩高DE＝5m，斜坡BC的坡比為5∶12，則斜坡BC的長(zhǎng)為()A．17m B．13m C．12m D．7m10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F.若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)(第10題)(第14題)二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，則sinA的值為________．12．比較大?。簊in37°________cos37°.13．若α為銳角，且sin2α＋cos226°＝1，則α＝________．14．如圖，一架飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得水平地面上的一個(gè)標(biāo)志物M的俯角為α，水平飛行900米后到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)測(cè)得標(biāo)志物M的俯角為β，若tanα＝eq\f(2,3)，tanβ＝eq\f(4,3)，則飛機(jī)與地面的距離為________米．15．如圖，AD是△ABC的中線，AD＝5，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，S△ADC＝15，則AC的長(zhǎng)為________．(第15題)三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題8分，共24分)16．計(jì)算：sin30°·tan45°＋sin260°－2cos60°.17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2eq\r(3).解這個(gè)直角三角形．(第17題)18．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于點(diǎn)D，tan∠CAD＝eq\f(1,2)，求BC的長(zhǎng)．(第18題)四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AB＝12，sinA＝eq\f(1,3)，求BC的長(zhǎng)；(2)若BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(6)，求∠B的度數(shù)．(第19題)20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝eq\f(1,4).(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)C到直線AB的距離．(第20題)21．一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，30分鐘后到達(dá)B處，已知從A，B兩處分別測(cè)得小島C在北偏東45°方向和北偏東15°方向，如圖所示．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求B處與小島C的距離．(結(jié)果保留根號(hào))(第21題)五、解答題(三)(本大題共2小題，每小題12分，共24分)22．王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河對(duì)岸大樹AB的高度，如圖，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹頂端A的仰角為45°，再?gòu)腃點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走2eq\r(10)米到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)D處測(cè)得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為i＝1∶3(點(diǎn)E，C，B在同一水平線上)．(1)求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過(guò)程中上升的高度；(2)求大樹AB的高度(結(jié)果保留根號(hào))．(第22題)23．如圖，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A→B的路徑以3cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△CPQ的面積為Scm2.(1)求sinB；(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．(第23題)

答案一、1.B2.B3.C4.A5.A6.D7.D8.C9.B10．A二、11.eq\f(3,5)12.＜13.26°14.120015．2eq\r(10)點(diǎn)撥：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC，垂足為F.∴tan∠BAD＝eq\f(DE,AE).又∵tan∠BAD＝eq\f(3,4)，∴可設(shè)DE＝3x，AE＝4x，又∵AD＝5，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1(負(fù)值已舍去)．∴AE＝4，DE＝3.∵AD是△ABC的中線，∴易得S△ADC＝S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝15，∴eq\f(1,2)AB×3＝15，∴AB＝10，∴BE＝AB－AE＝10－4＝6.在Rt△BDE中，BD＝eq\r(BE2＋DE2)＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5)，∴S△ADB＝eq\f(1,2)BD·AF＝eq\f(1,2)×3eq\r(5)×AF＝15，∴AF＝2eq\r(5).在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(25－20)＝eq\r(5).∴FC＝CD－DF＝BD－DF＝3eq\r(5)－eq\r(5)＝2eq\r(5).在Rt△AFC中，AF＝2eq\r(5)，F(xiàn)C＝2eq\r(5)，∴AC＝eq\r(AF2＋FC2)＝2eq\r(10).(第15題)三、16.解：原式＝eq\f(1,2)×1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)－1＝eq\f(1,4).17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2eq\r(3)，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝4，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝180°－90°－30°＝60°.18．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝2，∴BD＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).在Rt△ADC中，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,2)，AD＝2，∴CD＝1.∴BC＝BD＋CD＝2eq\r(3)＋1.四、19.解：(1)在Rt△ABC中，∵sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,3)，AB＝12，∴BC＝4.(2)在Rt△ABC中，∵tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3)，∴∠B＝60°.20．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD，垂足為點(diǎn)H.∵AB＝AD，∴BH＝HD＝eq\f(1,2)BD＝2.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝4.∴HC＝HD＋CD＝6.∴tanC＝eq\f(AH,CH)＝eq\f(AH,6)＝eq\f(1,4)，∴AH＝eq\f(3,2).∴AB＝eq\r(BH2＋AH2)＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(5,2).(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由(1)易知BC＝8.∵sinB＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(CG,BC)，∴eq\f(\f(3,2),\f(5,2))＝eq\f(CG,8).∴CG＝eq\f(24,5).∴點(diǎn)C到直線AB的距離為eq\f(24,5).(第20題)21．解：(1)∵∠ABC＝90°＋15°＝105°，∠CAB＝90°－45°＝45°，∴∠C＝180°－105°－45°＝30°.(2)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E.由題意得，AB＝40×eq\f(30,60)＝20(海里)．∴BE＝AB·sin45°＝10eq\r(2)海里，∴BC＝2BE＝20eq\r(2)海里．答：B處與小島C的距離為20eq\r(2)海里．五、22.解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H.(第22題)由題意知CD＝2eq\r(10)米．∵斜坡CF的坡比為i＝1∶3，∴eq\f(DH,CH)＝eq\f(1,3).設(shè)DH＝x米，則CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2eq\r(10))2，解得x＝2(負(fù)值舍去)．∴DH＝2米．答：王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過(guò)程中上升的高度為2米．(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.由題易得四邊形DHBG為矩形，∴DH＝BG＝2米．設(shè)AB＝m米，則AG＝(m－2)米．∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝m米．由(1)知CH＝6米，∴BH＝DG＝(m＋6)米．∵∠ADG＝30°，∴eq\f(AG,DG)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).∴eq\f(m－2,m＋6)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝6＋4eq\r(3).答：大樹AB的高度是(6＋4eq\r(3))米．23．解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝4cm，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2cm.在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)(cm)，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),3).(2)當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC，垂足為E，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴sinC＝sinB＝eq\f(\r(5),3).由題意得CQ＝3tcm，BP＝2tcm，∴CP＝BC－BP＝(4－2t)cm.在Rt△CQE中，QE＝CQ·sinC＝3t·eq\f(\r(5),3)＝eq\r(5)t(cm)．∵S△CPQ＝eq\f(1,2)CP·QE，∴S＝eq\f(1,2)(4－2t)·eq\r(5)t＝2eq\r(5)t－eq\r(5)t2＝－eq\r(5)t2＋2eq\r(5)t；(第23題)當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC，垂足為E.由題意得CA＋AQ＝3tcm，BP＝2tcm，∴CP＝BC－BP＝(4－2t)cm，BQ＝