河北大名一中2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)

1.已知y=(%?+m-5卜'"是事函數(shù)，且在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減，則"?的值為()

A.-3B.2

C.-3或2D.3

2.已知扇形。鉆的圓心角為4rad,面積為8,則該扇形的周長為()

A.12B.10

C.8&D.4垃

3.若函數(shù)/(x)滿足/(x-l)=2x,則/(x)=

A.2x+2B.2%+1

C.2x-1D.2%-2

4.已知a,),cwR,且。>A,則下列不等式一定成立的是()

211

A./>b27B.-<-

ab

C.a\c\>b\c\D.c-a<c-b

\log3x\,0<x<

5.已知函數(shù)1,若f(a)=F(b)=F(c)且aVbVc,則a加，廠ac的取值范圍為()

1-log3x,x>V3

A.(1,4)B.(1,5)

C.(4,7)D.(5,7)

6.某班有5()名學(xué)生，編號(hào)從1到50,現(xiàn)在從中抽取5人進(jìn)行體能測試，用系統(tǒng)抽樣確定所抽取的第一個(gè)樣本編號(hào)為

3,則第四個(gè)樣本編號(hào)是

A.13B.23

C.33D.43

7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.j=x3B.j=|x|+1

一2

C.j=-x2+lD.y=—

x

8.設(shè)a=1(84,b=Fc=(；)"貝U()

N?b〈a<cB.c<b<a

C.c<a<bT).a<c<b

TT

9.將函數(shù)y=cos2x的圖象先向右平移5個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是()

A,-2cos2xB.2sin2x

C.—cos2xD.sin2x

10.將函數(shù)/(6=6加2%+以尤2%的圖象向左平移*個(gè)單位后得到函數(shù)y=8(》)的圖象，則下列說法正確的是

()

A.y=g(x)圖象的一條對稱軸為》=一二B.y=g(尤)在0噌上單調(diào)遞增

C.y=g(x)在01上的最大值為1D.y=g(x)的一個(gè)零點(diǎn)為第

LoJ3

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=尤為偶函數(shù)，對于函數(shù)y=/(x)有下列幾種描述:

①y=/(x)是周期函數(shù);②X=兀是它的一條對稱軸;

③(-久,0)是它圖象的一個(gè)對稱中心；④當(dāng)X時(shí)，它一定取最大值;

其中描述正確的是

12.“x=l”是“x2-3x+2=0”的條件.

TT17T

13.已知夕是銳角，且sin(---a)=-,sin(—+a)=

232

.(吟(3)

sina+—+cos-n-a

14.I2)12J

sin(萬+a)+cos(-a)

15.點(diǎn)(〃?,“)是一次函數(shù)y=l-x圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則2"'+2"的最小值是

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.已知函數(shù)

-xz+2x(0<x<2)

f(.x)=

x2+2x(-2<x<0).

(1)求.、，.的值；

代)咫

(2)作出函數(shù)的簡圖；

(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；

(4)由簡圖得出函數(shù)的奇偶性，并證明.

17.在①=②"xeA”是“xeB”的充分條件：③是“xe。理”的必要條件，在這三個(gè)條件中任

選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題

問題：已知集合4={乂/就a+2},B={x|(x+l)(x-3)<0}

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求4口8;

(2)若求實(shí)數(shù)。的取值范圍

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

18.對于函數(shù)“X),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足/(一x)=2二/'(x),則稱“局部中心函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù)〃X)=G;2+2X—4a+l試判斷/(%)是否為“局部中心函數(shù)”，并說明理由；

(2)若/(x)=4、一42'+m2—3是定義域?yàn)镽上的，，局部中心函數(shù)1求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

19.如圖，在幾何體A5C0EF中，平面平面ABFE.正方形ABFE的邊長為2,在矩形ABCD中，BC=2AB

E

BC

(1)證明：AF±CE；

(2)求點(diǎn)5到平面ACF的距離

20.已知點(diǎn)M點(diǎn),3),圓C:(x—l>+(y—2)2=4.

(1)求過點(diǎn)M且與圓。相切的直線方程；

(2)若直線以—y+4=0(aeR)與圓。相交于A,3兩點(diǎn)，且弦的長為26，求實(shí)數(shù)。的值.

21.已知集合A={x卜2<x<5},B=^x\m<x<m+3,m&R^.

(1)當(dāng)/找=3時(shí)，求AcB.

(2)若ADB=A,求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)

1、A

【解析】根據(jù)暮函數(shù)的定義判斷即可

【詳解】由y=(加2+加一5卜”'是募函數(shù)，

知=解得m=2或〃2=-3.

???該函數(shù)在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，???/%<0.

故機(jī)=-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了塞函數(shù)的定義以及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題

2、A

【解析】利用已知條件求出扇形的半徑，即可得解周長

【詳解】解：設(shè)扇形的半徑r,扇形0A5的圓心角為4弧度，弧長為：4r,

其面積為8,

可得』x4rXr=8,

2

解得r=2

扇形的周長：2+2+8=12

故選：A

3、A

【解析】/(x-l)=2(x-l)+2,所以〃x)=2x+2,選A.

4、D

【解析】對A,B,C,利用特殊值即可判斷，對D,利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：對A,令6=-2,此時(shí)滿足但"〈尸，故A錯(cuò)；

對B,令。=1,h=-2,此時(shí)滿足但故B錯(cuò)；

ah

對C,若c=0,a>h9則Q\c\=b\c\9故C錯(cuò)；

對D,a>h

—ci<—h*

則故D正確.

故選：D.

5、D

【解析】畫出函數(shù)/(X)的圖象，根據(jù)〃，b,。互不相等，且/(a)=f(b)=f(c),我們令我們易

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及。，b,c的取值范圍得到仍+從+c〃的取值范圍

【詳解】解：作出函數(shù)/(X)的圖象如圖，

不妨設(shè)a</?<(?，a€,1),be(1,5/3),cG(石，3),

由圖象可知，-log36?=log3/7,則Iog3a+log30=log3ab=0,解得曲=1,

1-log,c=log3b,Mlog3Z?+log3c=log3bc=l,解得Z?c=3,

/.tZCG(1,3),

ab+bc+ca的取值范圍為(5,7)

故選。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力，解答的關(guān)鍵是圖象法的應(yīng)用，

即利用函數(shù)的圖象交點(diǎn)研究方程的根的問題，屬于中檔題.

6、C

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，求出抽取間隔，即可得到結(jié)論.

【詳解】由題意，5()名抽取5名學(xué)生，則抽取間隔為50+5=10,

則抽取編號(hào)為3+10(/7-1),則第四組抽取的學(xué)生編號(hào)為3+30=33.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，等間距抽取，屬于簡單題.

7、B

【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，逐一分析答案四個(gè)函數(shù)在(0,+oo)上的單調(diào)性和奇偶性，逐一比照后

可得答案

【詳解】選項(xiàng)A,函數(shù))，=/不是偶函數(shù)；故A不滿足.

選項(xiàng)8,對于函數(shù)y=|x|+l,

八-x)=|—x|+l=|x|+l=J(x),所以y=|x|+l是偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，y=x+l,所以在(0,+8)上單調(diào)遞增；故B滿足.

選項(xiàng)C,y=-x^+l在(0,+刃)上單調(diào)遞減；故C不滿足

2

選項(xiàng)O,y=--不是偶函數(shù).故D不滿足

x

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】利用有理指數(shù)箱與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分別比較。，b,C與1和2的大小得答案

【詳解】??,a=log34>log33=l,且a=log34<log39=2,

b=y>2'=2fc=G)3

??c<a<b

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值的大小比較，考查有理指數(shù)新與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，尋找中間量是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題

9、A

【解析】利用三角函數(shù)的伸縮平移變換規(guī)律求解變換后的解析式，再根據(jù)二倍角公式化簡.

【詳解】將函數(shù)y=cos2x的圖象先向右平移B個(gè)單位長度，得函數(shù)解析式為丁=352（》-?]=??（2》一萬），再

將函數(shù)向下平移1個(gè)單位長度，得函數(shù)解析式為曠=以為（2%—4）-1=-COS2X-1=-2COS2%.

故選：A

10、B

【解析】

對選項(xiàng)A,=即可判斷A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B,求出g（x）的單調(diào)區(qū)間即可判斷B正確；對選項(xiàng)C,求

根據(jù)g（|兀）=一6*0,即可判斷D錯(cuò)誤.

出g(x)在0,-的最大值即可判斷C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D

6

詳解】/(x)=5/3sin2x4-cos2x=2sin2x+,

g(x)=2sin21+1)+看=2sin(2x+().

對選項(xiàng)A,因?yàn)閊1--l=2sinl--+yl=2sin-=;1。±2,故A錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B,因?yàn)?--+2&?<2x+—<—~F2&乃，ke,Z.

232

57r7t

解得-----\-kjr<x<一+左"，keZ.

1212

571

當(dāng)攵=0時(shí)，函數(shù)g(x)的增區(qū)間為一五萬，在，

所以y=g(x)在0,^|上單調(diào)遞增，故B正確；

對選項(xiàng)C,因?yàn)?4x4工，所以工421+色《也，

6333

所以正Wsin(2x+工［41,V3<g(x)<2,g(x)

m皿=2,故錯(cuò)誤；

2\3)

4it=2$山：兀=H0,故D錯(cuò)誤.

對選項(xiàng)D,g兀2sin—7t+—

I33

故選：B

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11、(D?

【解析】先對已知y=/(x)是定義在R的奇函數(shù)，且y=為偶函數(shù)用定義轉(zhuǎn)化為恒等式，再由兩個(gè)恒等式

進(jìn)行合理變形得出與四個(gè)命題有關(guān)的結(jié)論，通過推理證得①③正確.

【詳解】因?yàn)閥=］為偶函數(shù)，所以

即x=5是它的一條對稱軸；

又因?yàn)閂=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/'+升-小-？，即小+捫如

則/(X+71)=-/W，/(%+2兀)=-/。+兀)=/(?,

即y=f(x)是周期函數(shù)，即①正確；

因?yàn)樘炫c是它的一條對稱軸且"%+2兀)=/(%),

TT

所以尤=—+2E(&wZ)是它的對稱軸，即②錯(cuò)誤；

2

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是奇函數(shù)且是以27r為周期周期函數(shù)，

所以2兀一力=—/。+2兀)=-f(x),所以(-71,0)是它圖象的一個(gè)對稱中心，

即③正確；

因?yàn)槭撬囊粭l對稱軸，所以當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)丁=/(力取得最大值或最小值，

即④不正確.

故答案為：①③.

12、充分不必要

【解析】解方程Y-3X+2=0,即可判斷出“x=l”是“d-3x+2=0”的充分不必要條件關(guān)系.

【詳解】解方程/_3X+2=0,得X=1或X=2,

因此，“x=l”是“/一3》+2=0”的充分不必要條件.

故答案為充分不必要.

【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

13>-

3

【解析】由誘導(dǎo)公式可求解.

JT1

【詳解】由sin（二一。）=cosa=-9

23

H./加、1

而sin（—+a）=cosa=—.

23

故答案為：I

14、1

【解析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.

cos。一sina

【詳解】原式==1.

-sin。+cosa

故答案為：1.

15、2-\/2

【解析】把點(diǎn)（八〃）代入函數(shù)的解析式得到〃2+九=1,然后利用基本不等式求最小值.

【詳解】由題意可知m+n-1>

又因?yàn)?”'>0,2">0,

所以2'"+2">2〃".2"=2<2,?"=272，當(dāng)且僅當(dāng)2"'=2"即相="=g時(shí)等號(hào)成立

所以2"'+2"的最小值是2拒.

故答案為：2應(yīng)?

三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16、（1）..；

/1（-7）==7

（2）作圖見解析；（3）Li1；

（4）f為奇函數(shù)，證明見解析.

【解析】(D根據(jù)對應(yīng)區(qū)間，將自變量代入解析式求值即可.

(2)應(yīng)用五點(diǎn)法確定點(diǎn)坐標(biāo)列表，再描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象.

(3)由(2)圖象直接寫出值域.

(4)由(2)圖象判斷奇偶性，再應(yīng)用奇偶性定義證明即可.

【小問1詳解】

由解析式知：,

〃一：)=(-p2+2x(-J)=-1/(1)=-(p2+2x：=：

【小問2詳解】

由解析式可得：

X-2-1012

制0-1010

{t'的圖象如下5

【小問4詳解】

由圖知：,為奇函數(shù)，證明如下：

當(dāng)0<x<2,-2<-x<0時(shí)，/■(-%)=(-X)2+2-(-A)=x2-2x=-/(x)5

當(dāng)一2<x<0,0<-x<2時(shí)，/(-x)=-(-%)2+2-(-A)=-X2-2x=-/(x)J

又，、：的定義域?yàn)椤?,2］，則r、：為奇函數(shù)，得證.

17、(1){x|2<x<3}

(2)(-U)

【解析】(1)首先解一元二次不等式得到集合B,再求出集合A,最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；

(2)根據(jù)所選條件均可得到Au8,即可得到不等式，解得即可；

【小問1詳解】

解：由(x+l)(x—3)<0,解得-l<x<3,所以3={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},當(dāng)a=2時(shí)，

A={x\2<x<4},所以AP|B={x|2Wx<3}

【小問2詳解】

解：若選①=則A=所以］解得一1<。<1,即aw(-1,1)；

。+2<3

<7>-1/、

若選②"xeA”是“xeB”的充分條件，所以所以{.°,解得—l<a<l,即ae(—1,1)；

。+2<3''

若選③“xw務(wù)A”是的必要條件，所以4=8,所以解得一即aw(-1,1)；

18、⑴〃x)為“局部中心函數(shù)”，理由詳見解題過程；(2)-l<m<V10

【解析】⑴判斷/(x)是否為“局部中心函數(shù)”，即判斷方程/(—x)=2二"X)是否有解，若有解，則說明“X)是

“局部中心函數(shù)”，否則說明/(x)不是“局部中心函數(shù)”；

(2)條件〃x)=4'-加2㈤+4一3是定義域?yàn)镽上的“局部中心函數(shù)”可轉(zhuǎn)化為方程/(—x)=2-/(x)有解，再

利用整體思路得出結(jié)果.

【詳解】解：(1)由題意，/(x)=ar2+2x-4tz+l(awR),

所以/(--v)=ar2-2x-4a+l,

2—/(x)=2—GX^—2x+4a—1—1—cue—2x+4a,

當(dāng)"T)=2—〃X)時(shí),

tzx2-2x—4a+1—1—ctx^一2x+4a

解得：a(x2-4)=0>

由于aeR,所以x=±2,

所以/(X)為“局部中心函數(shù)”.

(2)因?yàn)?X)=4'-力2向+“-3是定義域?yàn)镽上的“局部中心函數(shù)”，

所以方程/(一%)=2-“X)有解，

即4T-m-2-x+i+m2—3=2-4"+"z?2日一n?+3在R上有解，

整理得：4'+4T-2m-(2-A+2X)+2m2-8=0,

令2T+2*=f,fe[2,+oo),

故題意轉(zhuǎn)化為/_2m?/+2m2_1o=o在fe[2,+8)上有解，

設(shè)函數(shù)gQ)=〃—2加1+2m2-10,

當(dāng)g(2)40時(shí)，/一2加I+27n2-10=0在1G[2,+8)上有解,

即4一4機(jī)+2根2-io<o，

解得：一1W加W3：

當(dāng)g⑵>0時(shí),

g⑵>0

則需要滿足A>0才能使”一2m.7+2m2—10=()在re[2,+oo)上有解，

m>2

解得：3<〃?4Ji6,

綜上：-\<m<Vfo?

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了整體換元的思想方法，還考查了學(xué)生理

解新定義的能力.

19、(1)證明見解析；

⑵-

3

【解析】⑴連接BE,證明Af_L平面BEC即可；

⑵由等體積VC-ABF=匕-ACF即可求點(diǎn)B到平面ACF的距離

【小問1詳解】

連接BE,

E

???平面ABCD_L平面ABEE,且平面ABC。。平面=，又在矩形ABC。中，有BCLAB,

8C_L平面AB莊，

?.?AFu平面AF_LBC,

.?,在正方形ABFE中有AFLBE,且BCCBE=B,BC、BEu平面BCE

/.AF_L平面BCE,?：CEu平面BCE,AF_LCE；

【小問2詳解】

設(shè)點(diǎn)B到平面ACF的距離為d,

由已知有A8=8E=2,BC=4,

由⑴知：3。，平面鉆/芯，：3產(chǎn)匚平面4班石，..3。_13/，

從而可得：AF=2屈，AC=CF=陰才=2小，

在等腰AACE中，底邊上的高為：J(2君了―(乎)=3垃,

S^ACF=gx2^2x3>/2=6,

由ACF得，S.ACFT=S；BC