河北省景縣中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)

1.在四面體A—3C。中，已知棱AC的長為逝，其余各棱長都為1,則二面角A—CO—6的平面角的余弦值為()

11

A.—B.-

23

「V3

-D.也

33

(x+l)~,0

2.已知函數(shù)〃力=

hI八，若方程f(X)=2有四個(gè)不同的解Xl,X2,X3,X4,且XlVx2VX3VX4,則

|log2x|,x>0

,、1

工3(王+工2)+1一的取值范圍為()

石龍4

A.(-1,+8)B.(-1,1]

C.(-00,1)1)

3.已知函數(shù)/(x)=l—2',g(x)=》2—4x+3,若存在實(shí)數(shù)4，人使得/(a)=g3),則b的取值范圍是。

A.[2-V2,2+V2]B.(2-72,2+72)

C.11,3]D.(1,3)

4.已知函數(shù)/")=才-"3>0且。聲1),若/§)>],則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

A.[-2,1]B.[1,3]

c.[1,-HX)D.y,i]

jr

5.命題“Vx￡(0,i),sinxKx”的否定是()

71.7T

A.Vxe(0,—),sinx>xB.VXG(0,—),sinx>x

22

7T

C.HXG(0,—),sinx<xD.3xe(0,—),sinx>x

22

6.已知a與B分別是函數(shù)f(x)=2*+x—5與g(x)=log8x3+x—5的零點(diǎn)，則2a+log?。的值為()

A.4+log,3B.2+log23

C.4D.5

7.函數(shù)y=G：2+法與〉=(a+。卜心工0)的圖象可能是()

8.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=ln(l+x2)+x,則不等式f(2%+1)>/⑴的解集為

A.{x|x>0)B.{x|x<0}

C.{x|x>l}D.{x|x<l}

9.三個(gè)數(shù)a=7"=0.37,C=In0.3大小的順序是

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>a>h

10.已知圓C與直線>=x及x-y—4=0都相切，圓心在直線丁=一刀上，則圓C的方程為。

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x+l)2+(y+l)2=2

C.(x-l>+(y-=2D.(x-l)2+(y+l)2=2

二、填空題(本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11.在平行四邊形ABCD中，E為AB上的中點(diǎn)，若OE與對(duì)角線AC相交于尸，且前=4通，則2=

12.已知正數(shù)x、y滿足x+5=4,則孫的最大值為.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=3'—「3>()且a工1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；

(1)若/.。)>0,判斷“力的單調(diào)性并求不等式〃x+2)+/(x—6)>0的解集；

2x2x

⑵若〃l)=g,S.f>(x)=a+a-2f(X),求g(x)在［1,+⑹上的最小值

14,函數(shù)/（幻=35（/式+工）（％€氏0＞0）的最小正周期為乃，將y=/（x）的圖象向左平移以0＜夕＜3）個(gè)單位長

4/

度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則夕的值為

15.如圖，在長方體ABC。一ABiGQ中，AB=3cm,AD=2cm,A4,=\cm,則三棱錐與-AB"的體積

三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.化簡求值：

2sin（。-3）cos（e+［）-l兀

⑴---------2--------2----+tan（6+—）*

l-2sin2（^+^）4

（2）已知a,4都為銳角，sina=：,cos（a+p）=2，求cos僅值。

17.某學(xué)校高一學(xué)生有1000名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)小測驗(yàn)，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的測驗(yàn)成績得如圖所示的頻率分布直方

圖：

7sss9SIB115123h/用悼饃

(1)求該學(xué)校高一學(xué)生隨機(jī)抽取的200名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?cè)蜆?biāo)準(zhǔn)差s(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做

代表);

(2)試估計(jì)該校高一學(xué)生在這一次的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績?cè)趨^(qū)間［元-2s,元+2s］之內(nèi)的概率是多少？測驗(yàn)成績?cè)趨^(qū)間

［工一2s,H+2s］之外有多少位學(xué)生？(參考數(shù)據(jù)：V26?5.1)

18.已知向量2=(3,2),2),c=(4,1)

(1)若5=,求m，”的值；

(2)若向量2滿足(，工)//(M+B)，1”工1=26，求2的坐標(biāo).

19.已知函數(shù)/(力=矍9是定義在R上的奇函數(shù)，且/(￡|=|.

(1)確定函數(shù)/(x)的解析式，判斷并證明函數(shù)/(x)在(1,3)上的單調(diào)性；

(2)若存在實(shí)數(shù)。，使得不等式〃sin"2)+/(2sin2e+l+f)<0成立，求正實(shí)數(shù)，的取值范圍.

20.已知函數(shù)”刈=匕竺二-是定義在R上的偶函數(shù)，且/(2)=-

(1)求實(shí)數(shù)。力的值，并證明/R)=-/(x)(xw0)；

(2)用定義法證明函數(shù)”X)在(一紀(jì),0)上增函數(shù)；

(3)解關(guān)于x的不等式/(4*+2，)+/［￡|<0.

A

21.證明：函數(shù)/&)=廣4^一1］是奇函數(shù).

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)

1、C

由已知可得ADJ_DC

又由其余各棱長都為1得正三角形BCD,取CD得中點(diǎn)E,連BE,則BE_LCD

在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點(diǎn)F,則/BEF為二面角A-CD-B的平面角

VEF=-（三角形ACD的中位線），BE=^（正三角形BCD的高），BF=Y2（等腰RT三角形ABC,F是斜邊中點(diǎn)）

222

131

EF2+BE2-BF24+4-2G

:.cosZBEF=—~~~——=------7==——

2xBExEFy/313

2xx

22

故選C.

2、B

【解析】由方程f（x）=a,得到Xi,X2關(guān)于x=-l對(duì)稱，且X3X,=1；化簡龍3（/內(nèi)+々\）+<1=-c2%+一1,利用數(shù)

形結(jié)合進(jìn)行求解即可

【詳解】作函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，?.?方程f（X）=2有四個(gè)不同的解X”X2,X3,X4,且XIVX2VX3VX4,

.,.Xi,xz關(guān)于x=-l對(duì)稱，即Xi+X2=-2,O<X3<I<X4JM|log2x31=Ilog2X41,

RP-10g2X3=10g2X4>Uli10g2X3+10g2X4=0,即hg2X3X4=0,JH!|X3X4=1；

當(dāng)Ilog2x|=1得x=2或;，貝！J1<XW2；gwxsVl；

故》3（玉+“2）+高7=-2七+不，5”曰<1;

111

則函數(shù)y=-2x3+—,在不Wx3Vl上為減函數(shù)，則故當(dāng)X3=J取得y取最大值y=L

當(dāng)X3=l時(shí)，函數(shù)值尸-1.即函數(shù)取值范圍（-1,1]

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中

檔題

3、B

【解析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)/a)的值域，由g3)在此值域內(nèi)解不等式即可作答.

【詳解】因函數(shù)y=2'的值域是(0,+8),于是得函數(shù)了(幻=1-2'的值域是(一8,1),

因存在實(shí)數(shù)“，人使得/(a)=g3),貝UgS)=/(a)e(i,l),

因此，〃一4/J+3<1,解得2-&<。<2+及，

所以6的取值范圍是(2-0,2+夜).

故選：B

4、D

【解析】由判斷”取值范圍，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間

【詳解】/(()=&>1,所以4>1,則>="為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)椋?k一1|在(-8,1］上單調(diào)遞減，在(1,+?)上

單調(diào)遞增，所以.〃x)=/T的單調(diào)減區(qū)間為選擇D

【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷遵循“同增異減”的原則，所以需先判斷構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再判斷

原函數(shù)的單調(diào)性

5、D

【解析】直接利用全稱命題的否定為特稱命題進(jìn)行求解.

TT

【詳解】命題“Vxe(0,耳)，sinxWx”為全稱命題，

按照改量詞否結(jié)論的法則，

所以否定為：女€(0,￡),sinx>x,

2

故選：D

6、D

【解析】設(shè)2*=5—x,log2x=5-x,由y=2x,y=log?*互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，作直線

y=5-x,分別交y=2"y=的圖象為A,B兩點(diǎn)，P(x,y)點(diǎn)為A,B的中點(diǎn)，

聯(lián)立方程得x=1,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：a+p=5,又2"+log2B=(5—a)+(5-B)=10—(a+B)=5,故得解

【詳解】解：由g(x)=log8x3+x-5,化簡得g(x)=log2X+x-5,

設(shè)2、=5—x,log2x=5-x,

由y=2x,y=log2X互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

作直線y=5-x,分別交y=2x,y=logzx的圖象為A,B兩點(diǎn)，P(x,y)點(diǎn)為A,B的中點(diǎn),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：a+p=5,

所以Z^+Iog2P=（5—a）+（5—p）=10—（a+p）=5,

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，屬于難題.

7,D

【解析】注意到兩函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，由排除法可得.

【詳解】令以2+笈=0,得％=()或x=—2,則函數(shù)丫=以2+"過原點(diǎn)，排除A；

a

/7h

令?+〃=0,得1=--,故函數(shù)y=+>都過點(diǎn)(---,0),排除BC.

aa

故選：D

8、A

【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得，(力在((),+")為增函數(shù)且/(())=0,結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得/(x)

在R上為增函數(shù)，又由/(2x+l)>/(l),則有2x+l>l,解可得x的取值范圍，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)x?()時(shí)，/(x)=ln(l+*2)+%,則/(力在［0,+8)為增函數(shù)且f(0)=0,

又由/(x)是定義/?在上的奇函數(shù)，貝！I/(x)在(-8,0)上也為增函數(shù),

則/(x)在R上為增函數(shù),

由〃2x+l)>/(l),則有2x+l>l,解得：%>0,即不等式的解集為(0,+“)；

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合，解抽象函數(shù)不等式，有一定難度.

9、B

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：。=7°3>7°=1，即a>l；0<Z?=0,37<0,3°=1.即0〈匕<1；

c=ln0.3<lnl=0,即c<0；所以a>匕>c,故正確答案為選項(xiàng)B

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；間接比較法

10、D

【解析】根據(jù)圓心在直線y=-x上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(。,一。)，然后根據(jù)圓c與直線〉=*及％-丁—4=o都相切，由

\a+a\\a+a-A\

求解.

亞

【詳解】因?yàn)閳A心在直線y=一》上,

設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),

因?yàn)閳AC與直線>=x及X—y—4=0都相切,

\a+a\|a+a-4|

所以

V2

解得。=1，

...圓心坐標(biāo)為(1,一1),

又卷=2R,

**?R—>/2>

圓的方程為(x—l)2+(y+l)2=2,

故選：D.

二、填空題(本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11>3

【解析】由題意如圖：

根據(jù)平行線分線段成比例定理，可知=又因?yàn)镹AEE=NDfC,所以根據(jù)三角形相似判定方法

可以知道AAFESAC/T)

E為AB的中點(diǎn)

.??相似比為1:2

:.AF:FC=1:2

/.2=3

故答案為3

12、8

【解析】根據(jù)孫=2xx-],利用基本不等式即可得出答案.

【詳解】解：xy=2x%.—<2x—fx+—=2x—x42=8>

24(4

當(dāng)且僅當(dāng)x=],即x=2,y=4時(shí)，取等號(hào)，

所以孫的最大值為8.

故答案為：8.

13、(1)/(x)是增函數(shù)，解集是{x|x>2}

⑵-

4

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)/(力為奇函數(shù)，求得Z=l,得到/(力=優(yōu)一，*,由/(1)>0,求得a>l,得到/(x)是

增函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為“％+2)>/(6-力，結(jié)合單調(diào)性，即可求解;

(2)由/(I),,求得a=2,得到"%)=2,-2-，，得出g(x)=22*+2小—2(2，-2-*),

令f=2r-2-x，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和換元法，即可求解.

【小問1詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=kax-a\a>()且aw1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

可得了(―%)=—/(%)?即kux—ux——ku'+a'，

xx

可得(2—1)/=(1—攵)優(yōu)，所以Z=l,^f[x)=a-a9

由/(I)>0,可得a-->0且a>0且arl,解得a>l,

a

所以〃x)=尸是增函數(shù)，

又由/(x+2)+/(x_6)>0,可得/(x+2)>_./'(x-6)=/(6-x),

所以x+2>6—x,解得x>2,所以不等式的解集是{幻》>2}

【小問2詳解】

解：由函數(shù)〃6=優(yōu)一尸，

因?yàn)?(l)=g，即a—：=；且4>0,解得a=2,所以/(力=2'-2-”,

由g(x)=/+a-2x_2/(%)=22A'+—2(2*—27),

3

令f=2，-2,則由⑴得￡=/(力在口,物)上是增函數(shù)，故后2】+2-|=],

則g(x)=m?)=*-2r+2=(r-l)2+l在feq+司單調(diào)遞增，

所以函數(shù)m(x)的最小值為俏士=--2x-+2=-,

⑶⑴24

即g(x)在[1,例)上最小值為$

71

14、—

8

【解析】由題意知，先明確。值，該函數(shù)平移后為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得圖象過原點(diǎn)，由此即可求得9值

TT

【詳解】...函數(shù)/⑺=3(8+#4尺0>°)的最小正周期為歷

:.co=—=2,即/(x)=cos(2x+—)(xGR),

714

將y=/(x)的圖象向左平移夕(0<9<g個(gè)單位長度,

所得函數(shù)為g(x)=cos2(x+0)+?=cosl2x+2^+^I,

又所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

冗冗

：?2cp4——k,7l~\—，攵￡Z,

42

k7l冗、rrc式

即O=---1——,keZ,又0<夕<一,

282

IT

故答案為：g

O

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Asin((ox+(p)的圖象變換，考查奇偶函數(shù)的性質(zhì)，要熟練掌握?qǐng)D象變換的方法

15、1

【解析】根據(jù)題意，求得棱錐的底面積和高，由體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可得，_L平面43月,

故可得％”=；x；x3xlx2=l,

又因?yàn)?町，

故可得力t町=L

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解，涉及轉(zhuǎn)換棱錐的頂點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

63

16-.(1)0；(2)—.

65

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式結(jié)合正、余弦的齊次式計(jì)算化簡原式；

(2)先計(jì)算出cose,sin(a+￡)的值，然后根據(jù)角的配湊以及兩角差的余弦公式求解出cos77的值.

，、e-人一2cosOsin。一1,八兀、

【詳解】(1)解：原式=---------二一+tan(6+—)

l-2sin~04

(sin+cos0)'，八兀、

=--~、----------+tan(6?+-)

cos~6-sirr。4

sin0+cos0tan。+1

=------------------------d----------------

cos6-sin。1-tan

tan^+1tan^+1

=---------------1---------------

tan^-11-tan

二0；

45

(2)解：因?yàn)閍,4都為銳角，sina=-,cos(a+/?)=—，

513

_______3/

所以cosa=71-sin2a=—,sin(a+^)=yjl-cos2(a+12

53]2463

則cosp-cos(a+/?—a)=cos(a+/?)cosa+sin(a+J3)sina=----+-----.

13513565

17、(1)平均數(shù)元=1(X),樣本標(biāo)準(zhǔn)差s*10.2.(2)概率為0.9356,全校測驗(yàn)成績?cè)趨^(qū)間回一2s,工+2s]之外約有64

(A)

【解析】(D根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)=小矩形底邊中點(diǎn)乘以小矩形的面積之和；利用方差公式可求方差，進(jìn)而

可求標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)由(1)知(元一2s,元+2s)=(79.6,120.4),由頻率分布直方圖求出[75,79.6],[120.4,125]的概率即可求解.

【詳解】(1)數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)為：

x=80x0.0()6x10+90x0.026x10+1()0x().038x10

+110x0.022x10+120x0.008x10=100,

數(shù)學(xué)成績的樣本方差為：

52=(80-100)2x0.06+(90-100)2x0.26+(100-100)2x0.38

2

+(110-100)x0.22+(120-1Oofx0Q8

=(-20)2x0.06+(-10)2X0.26+102X0.22+202x0.08

=104.

所以估計(jì)這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)工=100,

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=V104=2726x10.2.

(2)由(1)知(于一2s,元+2s)=(79.6/20.4),

則(79.6-75)x0.006+(125-120.4)*0.008=0.0644

1-0.0644=0.9356,

所以1000x0.0644a64(人)

所以估計(jì)該學(xué)校在這一次的數(shù)學(xué)測驗(yàn)中成績?cè)趨^(qū)間口-2s,元+2s］之內(nèi)的概率為().9356,全校測驗(yàn)成績?cè)趨^(qū)間

叵一2s,元+2s］之外約有64(人).

【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)特征，需掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

9

m=-Q

18、(1)5；(2)2=(2,3)或2=(6,5).

n-——

8

【解析】(D利用向量線性坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

(2)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示以及向量模的坐標(biāo)表示列方程組即可求解.

【詳解】解：(1)若e=m百+nb>則(4,1)=m(3,2)+n(-L2)

9

4=3m-n8

所以

\=2m+2n5

n--

8

(2)設(shè)］=(x,y),則［-E=(x-4,y-1),a+^=(2,4)

(J-c)//(a+^),lJ-cl=2y/5

2(y-l)=4(x-4)

\y/(x-4)2+(y-l)2=2^5

解得卜=2七？

［y=-3U=5

所以2=(2,-3)或2=(6,5)

19、(1)/(x)=[±,函數(shù)在(1,+8)上單調(diào)遞減，證明見解析.

(2)?>0

【解析】⑴根據(jù)“0)=(),：得到函數(shù)解析式，設(shè)1<%</，計(jì)算/(/)

證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到r>l一sinO—Zsii?。，設(shè)sin8=m,求函數(shù)g(w)=-2加：-m+\的最小值得

到答案.

【小問1詳解】

2

函數(shù)/(力=含？是定義在R上的奇函數(shù)，則〃0)=匕=(),

5

Y

解得匕=0,a=l,故/(x)=4^.

/(X)在(1,物)上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)1<玉</，

%_工2(1+%2)一司(1+工22)_(工2一％)(1—%入2)

則/(工2)-/(%)=怠^

222

1+X,(1+%2)(1+%1)(1+々2)(1+%2)

22

(1+%2)(1+%1)>0,/一玉>°，1一<°，故/(/)_/(%)<()，即/(&)</(芯).

故函數(shù)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

/(sin^-2)+/(2sin2^+l+/)<0,即/(2sin20+l+r)</(2-sin^),

2sin2^+l+Z>1>2—sin^>l,故Zsin'e+l+f>2—sin8,即f>1—sin?！?si2。,

23

設(shè)sin6=加，1,1],g(m)=—2/%2-m+i=-2\m+-+一,

l2

72

gO^Omin=g(l)=-2,故/>一2,又f>0,故￡>°.

20、(1)a=O,b=l,證明見解析

(2)證明見解析(3)x>0

【解析】(1)由偶函數(shù)性質(zhì)求人，由/(2)=?|列方程求明再證明/&)=-〃力(x=0)；

(2)利用單調(diào)性定義證明函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(3