2024屆廣西南寧二中、柳州高中高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆廣西南寧二中、柳州高中高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數，以三個頂點為圓心的扇形的半徑為1，若在中隨機地選取個點，其中有個點正好在扇形里面，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．2．方程的解集是（）A． B．C． D．3．若直線y=x+b與曲線有公共點，則b的取值范圍是A．B．C．D．4．直線與直線平行，則實數a的值為（）A． B． C． D．65．在等差數列中，若，，則（）A． B．1 C． D．6．圓與圓的位置關系是（）A．外離 B．相交 C．內切 D．外切7．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，則cosA的值是（）A． B． C． D．9．化簡的結果是（）A． B． C． D．10．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等比數列中首項，公比，則______.12．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．13．設公差不為零的等差數列的前項和為，若，則__________．14．若銳角滿足則______.15．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時容器中水的深度為___________．16．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點，則點C到平面的距離等于________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設的內角的對邊分別為，且滿足.（1）試判斷的形狀，并說明理由；（2）若，試求面積的最大值.18．已知{an}是等差數列，設數列{bn}的前n項和為Sn，且2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，又a2b2＝4，a7+b3＝1．（1）求{an}和{bn}的通項公式；（2）令cn＝anbn（n∈N*），求{cn}的前n項和Tn19．如圖，在多面體中，為等邊三角形，,點為邊的中點.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證:平面平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.20．已知函數.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.21．在平面直角坐標系xOy中，已知圓，三個點，B、C均在圓上，（1）求該圓的圓心的坐標；（2）若，求直線BC的方程；（3）設點滿足四邊形TABC是平行四邊形，求實數t的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】由題直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數，設三邊為解得以三個頂點為圓心的扇形的面積和為由題故選B.2、C【解題分析】

把方程化為，結合正切函數的性質，即可求解方程的解，得到答案.【題目詳解】由題意，方程，可化為，解得，即方程的解集為.故答案為：C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的基本關系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟記正切函數的性質，準確求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、C【解題分析】

試題分析：如圖所示：曲線即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，直線與圓相切時，圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2當直線過點（4，3）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=-1結合圖象可得≤b≤3故答案為C4、A【解題分析】

直接利用斜率相等列方程求解即可.【題目詳解】因為直線與直線平行，所以，故選：A.【題目點撥】本題主要考查兩直線平行的性質：斜率相等，屬于基礎題.5、C【解題分析】

運用等差數列的性質求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【題目詳解】由題意知，所以.故選C.【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式的運用，等差數列的性質，考查運算能力，屬于基礎題．6、D【解題分析】

根據圓的方程求得兩圓的圓心和半徑，根據圓心距和兩圓半徑的關系可確定位置關系.【題目詳解】由圓的方程可知圓圓心為，半徑；圓圓心為，半徑圓心距為：兩圓的位置關系為：外切本題正確選項：【題目點撥】本題考查圓與圓的位置關系的判定，關鍵是能夠通過圓的方程確定兩圓的圓心和半徑，從而根據圓心距和半徑的關系確定位置關系.7、B【解題分析】，，．選B.點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．8、A【解題分析】

由正弦定理可得，再結合余弦定理求解即可.【題目詳解】解：因為在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故選：A.【題目點撥】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了運算能力，屬基礎題.9、D【解題分析】

直接利用同角三角函數基本關系式以及二倍角公式化簡求值即可．【題目詳解】．故選．【題目點撥】本題主要考查應用同角三角函數基本關系式和二倍角公式對三角函數的化簡求值．10、C【解題分析】

根據線線、線面和面面有關定理，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【題目詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【題目點撥】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解題分析】

根據等比數列求和公式，將進行轉化，然后得到關于和的等式，結合，討論出和的值，得到答案.【題目詳解】因為等比數列中首項，公比，所以成首項為，公比為的等比數列，共項，所以整理得因為所以可得，等式右邊為整數，故等式左邊也需要為整數，則應是的約數，所以可得，所以，當時，得，此時當時，得，此時當時，得，此時，所以，故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數列求和的基本量運算，涉及分類討論的思想，屬于中檔題.12、【解題分析】

分析：先根據三角形面積公式求出母線長,再根據母線與底面所成角得底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求結果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側面積為13、【解題分析】

設出數列的首項和公差,根據等差數列通項公式和前項和公式,代入條件化簡得和的關系,再代入所求的式子進行化簡求值.【題目詳解】解：設等差數列的首項為,公差為,由,得,得,.故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數列通項公式和前n項和公式的簡單應用,屬于基礎.14、【解題分析】

由已知利用同角三角函數基本關系式可求，的值，利用兩角差的余弦公式即可計算得解．【題目詳解】、為銳角，，，，，，．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，屬于基礎題．15、15【解題分析】

根據球的半徑，先求得球的體積；根據圓與等邊三角形關系，設出的邊長為，由面積關系表示出圓錐的體積；設拿出鐵球后水面高度為，用表示出水的體積，由即可求得液面高度.【題目詳解】因為鐵球半徑為，所以由球的體積公式可得，設的邊長為，則由面積公式與內切圓關系可得，解得，則圓錐的高為.則圓錐的體積為，設拿出鐵球后的水面為，且到的距離為，如下圖所示：則由，可得,所以拿出鐵球后水的體積為，由，可知，解得，即將鐵球取出后容器中水的深度為15.故答案為：15.【題目點撥】本題考查了圓錐內切球性質的應用，球的體積公式及圓錐體積公式的求法，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用等體法即可求解.【題目詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設點C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了等體法求點到面的距離，同時考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化簡整理即可證明：為直角三角形；（2）利用，，根據基本不等式可得：，即可求出面積的最大值.試題解析：解法1：（1）∵，由正、余弦定理，得，化簡整理得：，∵，所以，故為直角三角形，且；（2）∵，∴，當且僅當時，上式等號成立，∴.故，即面積的最大值為.解法2（1）由已知：，又∵，，∴，而，∴，∴，故，∴為直角三角形.（2）由（1），∴.∵，∴，∴，令，∵，∴，∴.而在上單調遞增，∴.18、（2）an＝n；bn＝2n﹣2（2）Tn＝（n﹣2）?2n+2【解題分析】

（2）運用數列的遞推式，以及等比數列的通項公式可得bn，{an}是公差為的等差數列，運用等差數列的通項公式可得首項和公差，可得所求通項公式；

（2）求得，由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，即可得到所求和．【題目詳解】（2）2bn＝b2（2+Sn），bn≠0，n＝2時，2b2＝b2（2+S2）＝b2（2+b2），解得b2＝2，n≥2時，2bn﹣2＝2+Sn﹣2，且2bn＝2+Sn，相減可得2bn﹣2bn﹣2＝Sn﹣Sn﹣2＝bn，即bn＝2bn﹣2，可得bn＝2n﹣2，設{an}是公差為d的等差數列，a2b2＝4，a7+b3＝2即為a2+d＝2，a2+6d＝7，解得a2＝d＝2，可得an＝n；（2）cn＝anbn＝n?2n﹣2，前n項和，，兩式相減可得﹣Tn＝2+2+4+…+2n﹣2﹣n2nn2n，化簡可得Tn＝（n﹣2）2n+2．【題目點撥】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的遞推式和數列的錯位相減法求和，化簡運算能力，屬于中檔題．19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

(I)取中點,連結,利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結果；（Ⅱ）先證明，，可得平面，從而可得平面，由面面垂直的判定定理可得結果；（Ⅲ）取中點,連結，直線與平面所成角等于直線與平面所成角,過作,垂足為,連接，為直線與平面所成角，利用直角三角形的性質可得結果.【題目詳解】(I)取中點,連結，是平行四邊形，平面，平面,平面.(II)，又平面平面，又為等邊三角形，為邊的中點，平面由(I)可知，平面，平面平面平面．(III)取中點,連結，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,過作,垂足為,連接.平面平面,平面，平面.為斜線在面內的射影，為直線與平面所成角，在中，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題主要考查線面平行、面面垂直的證明以及線面角的求解方法，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.20、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解題分析】

（1）利用兩角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式、兩角和的余弦公式將函數的解析式化簡為，然后解不等式可得出函數的單調遞增區(qū)間；（2）由，可計算出，然后由余弦函數的基本性質可求出函數在區(qū)間上的最大值和最小值.【題目詳解】（1），解不等式，得，因此，函數的單調遞增區(qū)間為；（2）當時，.當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值.【題目點撥】本題考查三角函數單調區(qū)間以及在定區(qū)間上最值的求解，解題時要利用三角恒等變換思想將三角函數的解析式化簡，并借助正弦函數或余弦函數的基本性質進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21、（1）（2）或（3），【解題分析】

（1）將點代入圓的方程可得的值，繼而求出半徑和圓心（2）可設直線方程為：