上海市寶山區(qū)通河中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

上海市寶山區(qū)通河中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列滿足，，則的值為（）A． B． C． D．2．已知且,則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．將兩個(gè)長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個(gè)面完全重合，組成一個(gè)大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．4．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．5．已知向量，則（）A．12 B． C． D．86．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．7．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．9 C．11 D．8．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，則向量與的夾角()A． B． C． D．9．已知函數(shù),若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列關(guān)系中一定正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，它的值域是__________.12．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)______.13．不等式的解集為________.14．在ΔABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-12，則15．若，則______，______.16．已知函數(shù)fx=cosx+2cosx，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.18．已知直線恒過定點(diǎn)，圓經(jīng)過點(diǎn)和定點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)已知點(diǎn)為圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一端點(diǎn)為點(diǎn)，問軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．19．（1）證明：；（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？20．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，其外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（3）對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求圓的半徑的取值范圍．21．如圖，在四棱錐中，，底面為平行四邊形，平面．（）求證：平面；（）若，，，求三棱錐的體積；（）設(shè)平面平面直線，試判斷與的位置關(guān)系，并證明．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由，得，然后根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算出、的值，即可得出的值.【題目詳解】，，則，，，因此，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是遞推公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】分析：，由，可得，又，可得，化簡整理即可得出.詳解：，由，可得，又，可得，化為，解得，則的取值范圍是.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.3、B【解題分析】

要計(jì)算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對(duì)角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個(gè)面重合；（2）長高的兩個(gè)面重合；（3）高寬兩個(gè)面重合，分別計(jì)算出新長方體的對(duì)角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)長寬的兩個(gè)面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對(duì)角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長高兩個(gè)面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對(duì)角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個(gè)面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對(duì)角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、C【解題分析】

由題意可得，化簡后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【題目詳解】解：的面積為，，，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出，即可得到模長.【題目詳解】由題，，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算和減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并求向量的模長，關(guān)鍵在于熟記公式，準(zhǔn)確求解.6、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【題目詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對(duì)值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】作出約束條件表示的可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，聯(lián)立，解得，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值11，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.8、A【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角公式可以求得.【題目詳解】由已知可得：，得，設(shè)向量與的夾角為，則所以向量與的夾角為故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

根據(jù)在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè),結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,即可求得答案.【題目詳解】,使得在區(qū)間上為增函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，滿足整數(shù)至少有,舍去當(dāng)時(shí)，，要使整數(shù)有且僅有一個(gè),須,解得:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)值,解題關(guān)鍵是掌握正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解法和結(jié)合三角函數(shù)圖象求參數(shù)范圍,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.10、D【解題分析】

由已知得，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【題目詳解】由且，，由得,A錯(cuò)；由得，B錯(cuò)；由于可能為0，C錯(cuò)；由已知得，則，D正確．故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)是解題關(guān)鍵，特別是性質(zhì)：不等式兩同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由反余弦函數(shù)的值域可求出函數(shù)的值域.【題目詳解】，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查反三角函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)反余弦函數(shù)的值域進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和疊加法求出結(jié)果．【題目詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.時(shí)也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在數(shù)列中的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

將三階矩陣化為普通運(yùn)算，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出不等式的解集.【題目詳解】不等式化為，整理得，，，即，，即不等式的解集為故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查了其他不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及三階矩陣，是一道中檔題.14、15【解題分析】

由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，同時(shí)利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據(jù)最大角的余弦值，得到關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【題目詳解】根據(jù)題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，∴A為最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c?3)(解得：c=3或c=?2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，則△ABC的面積S=12bcsinA=15故答案為：153【題目點(diǎn)撥】余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+15、【解題分析】

對(duì)極限表達(dá)式進(jìn)行整理，得到，由此作出判斷，即可得出參數(shù)的值.【題目詳解】因?yàn)樗裕獾茫?故答案為：；【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由極限值求參數(shù)的問題，熟記極限運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.16、(0,1)【解題分析】

畫出函數(shù)f(x)在x∈0,2【題目詳解】解:畫出函數(shù)y=cosx+2|cosx|=3cos以及直線y=k的圖象,如圖所示;由f(x)的圖象與直線y=k有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn),可得0<k<1.故答案為:(0,1).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

(1)連接交于,連接,再證明即可.(2)根據(jù)(1)中的可知異面直線與所成角的為,再計(jì)算的各邊長分析出為直角三角形,繼而求得即可.【題目詳解】(1)連接交于,連接.則為中點(diǎn)因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),故為中位線,故.又面,面.故平面.(2)由(1)有異面直線與所成角即為與所成角即,設(shè)正四棱錐的各邊長均為2,則,,.因?yàn)?故.則.即異面直線與所成角的余弦值為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面平行的證明以及異面角的余弦求解,需要根據(jù)題意找到中位線證明線面平行,同時(shí)要將異面角利用平行轉(zhuǎn)換為平面角,利用三角形中的關(guān)系求解.屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）先求出直線過定點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，由題意列方程組，即可求圓的方程；（2）由（1）可知：求得直線的斜率，根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)坐標(biāo)，由在圓外，所以點(diǎn)不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，分類討論，即可求得的值．【題目詳解】(1)直線的方程可化為，由解得∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)圓的方程為，則圓心則依題意有解得∴圓的方程為；(2)由(1)知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,∴圓心，半徑.∵是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，∴圓心是與的中點(diǎn)，∵軸上的點(diǎn)在圓外，∴是銳角，即不是直角頂點(diǎn)．若是的直角頂點(diǎn)，則，得；若是的直角頂點(diǎn)，則，得.綜上所述，在軸上存在一點(diǎn)，使為直角三角形，或.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解題分析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進(jìn)行證明；（2）對(duì)分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項(xiàng)都為無理數(shù)，從而得到答案.【題目詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得到因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，時(shí)，，其中，成立，時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得到其中，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對(duì)任何正整數(shù)，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因?yàn)闉闊o理數(shù)，所以均為無理數(shù)，故為無理數(shù)，所以不是有理數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于難題.20、（1）（2）或（3）【解題分析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件直接求解；(2)借助題設(shè)待定直線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解；(3)借助題設(shè)建立關(guān)于的不等式,運(yùn)用分析推證的方法進(jìn)行求解.試題解析：（1）的面積為2；（2）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，顯然符合題意，即為所求；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，綜上，直線的方程為或.（3）直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又，都在半徑為的圓上，所以因?yàn)殛P(guān)于，的方程組