河北省石家莊市2022-2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)圓綜合

圓中計(jì)算

1、如圖，點(diǎn)0為AB中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)0A到點(diǎn)C,0B到點(diǎn)D,使

OC=OD.以

點(diǎn)0為圓心，分別以O(shè)A,0C為半徑在CD上方作兩個(gè)半圓.點(diǎn)P為

小半圓上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,

B重合），連接0P并延長(zhǎng)交大半圓于點(diǎn)E,連接AE,CP.

（1）①求證：AAOE之△POC；

②寫出Nl,Z2和NC三者間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）若OC=2OA=2,當(dāng)NC最大時(shí)，直接指出CP與小半圓的位置關(guān)系,

并求此時(shí)S扇形EOD（答案保留兀）

2、如圖，已知AB=AC=BE=CD,AD=AE,點(diǎn)F為4ADE的外心，若NDAE=40°,

則NBFC=°.

3.如圖，A8為。。的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，。為上的一點(diǎn)，且C,。兩點(diǎn)分別在

A8的異側(cè)，則的度數(shù)為（）

A

A.30°B.45°C.60°D.75°

4.“已知點(diǎn)和直線y=^+%,求點(diǎn)P到直線y=的距離d可用公式

）=性。-%了1計(jì)算，，.根據(jù)以上材料解決下面問題：如圖，OC的圓心C的坐標(biāo)為（1,1）,

\J\+k

半徑為直線/的表達(dá)式為y=-2x+5,〃是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，N是OC上的動(dòng)點(diǎn)，

則MN的最小值是（）

V

5.如圖，一塊直角三角板的3(r角的頂點(diǎn)P落在上，兩邊分別交。。于A、8兩點(diǎn),

A.8B.4C.2啦D.2>/3

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為4,弦A8的長(zhǎng)為3,過。作OC_LAfi于

點(diǎn)C,則0C的長(zhǎng)度是；。。內(nèi)一點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,1),當(dāng)弦AB繞。點(diǎn)順時(shí)針

7.如圖，AB=\6,0為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段0B上(不與點(diǎn)0,8重

合)，將0C繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

270。后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD與點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,。在

AB異側(cè)，連接OP.

(1)求證：AP=BQ；

(2)當(dāng)80=43時(shí)，求弧Q。的長(zhǎng)(結(jié)果保留兀)；

(3)若△AP。的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍.

8.如圖1和圖2,點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為16,過原點(diǎn)。在數(shù)軸的上方作射線08,且

4

tan408=§.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿0B方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)

E,F都停止運(yùn)動(dòng).以點(diǎn)尸為圓心，。F為半徑的半圓與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)C,與射線0B

交于點(diǎn)O,連接。E,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒點(diǎn)E在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x.

圖①圖②

(1)用含f的式子表示0C的長(zhǎng)為,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，x=；

(2)若與半圓F相切，求x；

(3)如圖2,當(dāng)/=￥時(shí)，半圓廠與OE的另一個(gè)交點(diǎn)為G,求NO。的度數(shù)及CG的

長(zhǎng)；

(4)若半圓尸與線段OE只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出工的取值范圍.

9.如圖，半圓。的直徑AB=4,以長(zhǎng)為2的弦P。為直徑，向點(diǎn)。方向作半圓其

中產(chǎn)點(diǎn)在AQ（弧）上且不與A點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn)AP的長(zhǎng)與QB的長(zhǎng)之和為定值/，求/;

思考點(diǎn)M與AB的最大距離為,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離為；點(diǎn)M與

的最小距離為,此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為.

探究當(dāng)半圓”與AB相切時(shí)，求AP的長(zhǎng).

（注：結(jié)果保留萬(wàn)，cos35'=近■,cos55=—）

33

10.如圖，在RtMMB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以點(diǎn)O為圓心、2為半徑畫圓,

過點(diǎn)A作O。的切線，切點(diǎn)為P,連接。P.將。P繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到?！睍r(shí),

連接設(shè)旋轉(zhuǎn)角為。（0。＜。＜360。）.

（1）當(dāng)a=90。時(shí)，求證：8”是的切線；

（2）當(dāng)3”與。。相切時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a和點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)AA/汨面積最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)，到48的距離.

11.如圖1,扇形AOB的半徑為6,弧長(zhǎng)為2n.

(1)求圓心角NAOB的度數(shù)；

(2)如圖2,將扇形AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，連接AB,BC.

①判斷四邊形OABC的形狀并證明：

②如圖3,若NPOQ=60。，將ZPOQ繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，與AB,8c分別交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)

M,N與點(diǎn)A,B,C均不重合)，判斷M8+NB的值是否為定值.如果是定值請(qǐng)求出；

如果不是，請(qǐng)說明理由

圖1圖2

圖3

12.已知，在半圓0中，直徑AB=6,點(diǎn)C,。在半圓AB上運(yùn)動(dòng)，(點(diǎn)C,?？梢耘cA,

B兩點(diǎn)重合)，弦8=3.

(1)如圖1,當(dāng)/D4B=NCBA時(shí)，求證：△C4B絲△054；

(2)如圖2,若ND4B=15。，求圖中陰影部分(弦AD、直徑A8、弧8。圍城的圖形)

的面積；

(3)如圖3,取CD的中點(diǎn)M,點(diǎn)C從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)結(jié)束，在整

個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，

①點(diǎn)M到AB的距離的最小值是:

②直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

0

AI

13.如圖，一根長(zhǎng)為2米的木棒AB斜靠在墻角C處，此時(shí)BC為1米，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A'

處并且A'C=1米時(shí)，AABC的外心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

c萬(wàn)

A.2-土D.—

242

14.如圖，。。的半徑為6,直徑AB垂直平分圓內(nèi)的線段CD,ZCAO=30°,OC=3V2,

以點(diǎn)。為圓心0C為半徑畫扇形，則以下說法正確的是（）

A.ZCOD是120°

B.線段AD的長(zhǎng)為6+連

C.弧CD的長(zhǎng)是5n

D.陰影部分的面積是7.5"

15.如圖，在△ABC中，/C=90°,AB=10cm,BC=6cm,點(diǎn)M從C點(diǎn)開始以1cm/s的速

度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從A點(diǎn)開始以2cm/s的速度沿AC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N同

時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).

（1）2秒時(shí)，△MCN的面積是;

（2）求經(jīng)過幾秒，aMCN的面積是3crn2；

（3）試說明aMCN外接圓的半徑能否是V5cm.

MB

16.如圖，在aABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=2.AD_LBC于D.E為邊BC上的一個(gè)

(不與B、C重合)點(diǎn)，且AE1.EF于E,ZEAF=ZB,AF相交于點(diǎn)F.

(1)填空：AC=；ZF=.

(2)當(dāng)BD=DE時(shí)，證明：ZkABC段

(3)Z\EAF面積的最小值是.

(4)當(dāng)4EAF的內(nèi)心在^ABC的外部時(shí)，直接寫出AE的范圍.

1.（2021?湖北荊州?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，ZD=60°,AB=2,以B為圓

心、BC長(zhǎng)為半徑畫AC，點(diǎn)P為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接始，PB,PC.當(dāng)△BPC為等腰

直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為（）

D.2%-史二

C.2萬(wàn)

2

2.（2021?湖北荊州?中考真題）如圖，矩形0A8C的邊。4,OC分別在x軸、N軸的正

半軸上，點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上.若A（2,0）,0（4,0）,以。為圓心、長(zhǎng)為半徑的弧

經(jīng)過點(diǎn)B,交V軸正半軸于點(diǎn)E,連接OE,BE、則N8￡D的度數(shù)是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

3.（2021?湖北荊州?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，AC是＜30的弦，OZ）_LAC于

D,連接OC,過點(diǎn)。作。/〃OC交于尸，過點(diǎn)8的切線交AC的延長(zhǎng)線于E.若

AD=4,DF=1,則BE=.

4.（2021?河南?中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,

。均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)B,C在A￡＞上，NBAC=22.5。，則BC的長(zhǎng)為

試卷第9頁(yè)，共7頁(yè)

三、解答題

5.（2022?湖北荊州?中考真題）如圖1,在矩形ABCQ中，AB=4,AO=3,點(diǎn)。是邊

A6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OQ,將△OA。沿。。折疊，得到AOEQ；再以

。為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線48于G,連接4E并延長(zhǎng)交射線BC于F,

連接EG,設(shè)OA=x.

DCDC

⑴求證：OE是半圓。的切線；

⑵當(dāng)點(diǎn)E落在8。上時(shí)，求x的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)E落在BQ下方時(shí)，設(shè)△AGE與△AFB面積的比值為y,確定），與x之間的函數(shù)

關(guān)系式；

⑷自選與此當(dāng)半圓。與△BC。的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x的取值范圍.

試卷第10頁(yè)，共7頁(yè)

6.(2022?河南?中考真題)為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲"滾鐵環(huán)”列入了

校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目.滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了

研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)。0與水平地面相切于點(diǎn)C,推桿A8與鉛垂線4。的夾

角為NBA。，點(diǎn)O,A,B,C,。在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)。。相切于點(diǎn)8時(shí)，

手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果.

⑴求證：ZBOC+NBAD=90Q.

(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)8只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng).圖中點(diǎn)8

是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測(cè)得cosNBAO=].已知鐵環(huán)

。。的半徑為25cm,推桿AB的長(zhǎng)為75cm,求此時(shí)的長(zhǎng).

試卷第11頁(yè)，共7頁(yè)

8.（2021?河南?中考真題）在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用"石磨"，其原理為在磨

盤的邊緣連接一個(gè)固定長(zhǎng)度的"連桿"，推動(dòng)"連桿"帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)

上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”.小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)"，設(shè)

圖1圖2

計(jì)圖如圖1,兩個(gè)固定長(zhǎng)度的"連桿"AP,3P的連接點(diǎn)尸在上，當(dāng)點(diǎn)尸在上轉(zhuǎn)

動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A,8分別在射線。M,QN上滑動(dòng)，OM1ON.當(dāng)AP與。。相切時(shí)，

點(diǎn)B恰好落在。。上，如圖2.

請(qǐng)僅就圖2的情形解答下列問題.

（1）求證：NPAO=2NPBO；

20

（2）若。。的半徑為5,AP=y,求8P的長(zhǎng).

9.（2021?天津）己知聞內(nèi)接于。0,=AC,/84c=42。，點(diǎn)。是上一點(diǎn).

（I）如圖①，若8。為OO的直徑，連接C。，求NZJBC和/4CD的大?。?/p>

（口）如圖②，若CD”BA,連接A￡>,過點(diǎn)。作。。的切線，與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

E,求NE的大小.

試卷第12頁(yè)，共7頁(yè)

10.（2020?河北?中考真題）有一題目：”已知；點(diǎn)。為MBC的外心,Z￡OC=130°,求2A.”

嘉嘉的解答為:畫AABC以及它的外接圓。，連接08,OC,如圖.由NBOC=2ZA=130。,

得NA=65。.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，NA還應(yīng)有另一個(gè)不同的值."，下列判

斷正確的是（）

A.淇淇說的對(duì)，且NA的另一個(gè)值是115。

B.淇淇說的不對(duì)，NA就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，NA應(yīng)得50。

D.兩人都不對(duì)，NA應(yīng)有3個(gè)不同值

11.（2021?河北?中考真題）如圖，等腰中，頂角NAOB=40。，用尺規(guī)按①到④

的步驟操作：

G）以。為圓心，04為半徑1@1圓；

②在。。上任取一點(diǎn)尸（不與點(diǎn)A,8重合），連接AP；

③作A8的垂直平分線與G〉O交于M,N；

④作AP的垂直平分線與交于E,F.

結(jié)論I：順次連接M,E,N,F四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論II：QO上只有唯一的點(diǎn)P）使得5質(zhì)形OFM=S酎形0AB.

對(duì)于結(jié)論I和n,下列判斷正確的是（）

B.I和IT都不對(duì)

C.I不對(duì)I［對(duì)D.I對(duì)II不對(duì)

4

12.（2019?河北?中考真題）如圖1和2,YABCD中，AB=3,BC=15,癡ND4B=§.點(diǎn)

試卷第13頁(yè)，共7頁(yè)

P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作。。切CP于點(diǎn)尸，設(shè)8P=x.

(1)如圖1,x為何值時(shí)，圓心。落在AP上？若此時(shí)交AD于點(diǎn)E,直接指出PE

與8c的位置關(guān)系;

(2)當(dāng)x=4時(shí)，如圖2,。。與AC交于點(diǎn)Q,求NC4尸的度數(shù)，并通過計(jì)算比較弦AP

與劣弧尸Q長(zhǎng)度的大?。?/p>

(3)當(dāng)。。與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

13.(2021?河北?中考真題)如圖，的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型,

其中整鐘點(diǎn)為4(〃為1~12的整數(shù))，過點(diǎn)4作。。的切線交AAi延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

4

(1)通過計(jì)算比較直徑和劣弧4、長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；

(2)連接4A”，則4A“和尸片有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由;

(3)求切線長(zhǎng)P4的值.

試卷第14頁(yè)，共7頁(yè)

14.（2022?河北?中考真題）如圖，某水渠的橫斷面是以4B為直徑的半圓。，其中水面

截線MV〃池.嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于8處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點(diǎn)M的

俯角為7°.已知爸爸的身高為1.7m.

⑴求NC的大小及A8的長(zhǎng)；

⑵請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段。H,用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多

少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（參考數(shù)據(jù)：tan76°IX4,J萬(wàn)取4.1）

試卷第15