分子對稱性與群論基礎

第6章分子對稱性與群論根底6.1矩陣6.2對稱操作與對稱元素6.3對稱操作的矩陣表示6.4群的定義與性質6.5分子點群6.6群表示理論6.7群論應用簡介2024/1/156.1矩陣1矩陣的定義矩陣：由m×n個數(shù)按一定次序排列成m行n列的表：

稱為第i行第j列的矩陣元當m=n時,稱為n階方陣行矩陣:僅由一行元素構成的矩陣列矩陣:僅由一行元素構成的矩陣2024/1/156.1矩陣2矩陣的運算規(guī)那么兩個矩陣相等:假設矩陣A=B,那么要求它們的所有矩陣元相等,即:Aij=Biji=1,2,3,…;j=1,2,3,…(2)矩陣的加(減):假設兩矩陣A、B的行數(shù)與列數(shù)分別相等，那么它們可相加〔減〕而乘另一個矩陣C，規(guī)那么：Cij=Aij±Biji=1,2,3,…;j=1,2,3,…矩陣的加(減)滿足交換律、結合律：A±B=B±A；A±B±C=(A±B)±C2024/1/156.1矩陣(3)數(shù)與矩陣相乘假設kA=C， 那么：Cij=kAij例如：〔4〕矩陣和矩陣的乘法

n×mm×kn×k2024/1/156.1矩陣其中:[注意]只有前一矩陣的列數(shù)與后一矩陣的行數(shù)相等時才能相乘。

2024/1/156.1矩陣矩陣的乘法一般不滿足交換律，但滿足結合律。即：AB≠BA，ABC=(AB)C=A(BC)(5)轉置矩陣假設A=[Aij],AT=[Aji]共軛轉置矩陣假設A=[Aij],AH=[A*ji](6)

零矩陣:全部的矩陣元為0的矩陣

單位矩陣:對角元素均為1,其余元素均為0的矩陣

2024/1/156.1矩陣(7)逆矩陣假設一個矩陣左乘矩陣A及右乘矩陣A均得到單位矩陣E,那么稱這個矩陣為A的逆矩陣,用A-1表示.即A-1A=AA-1=E(8)相似矩陣假設矩陣A,B和C之間存在關系B=CAC-1那么稱矩陣B與矩陣A相似.通過這樣的關系把矩陣A變?yōu)榫仃嘊的變換稱為相似變換.(9)矩陣的跡一個矩陣所有對角元素之和稱為這個矩陣的跡,用tr表示.2024/1/156.2對稱操作與對稱元素1.幾何意義分子的幾何構型可用對稱圖形來表示。能使一個圖形復原的操作稱為對稱操作，全部對稱操作的集合構成一個“群〞。不改變圖形中任何兩點的距離而能使圖形復原.對稱元素對稱操作的實現(xiàn)必須借助于一定的幾何實體，如三重軸、映面等，稱為對稱元素。對稱元素與對稱操作總是互相依存，但并非一一對應。對稱元素:旋轉軸對稱操作:旋轉2024/1/156.2對稱操作與對稱元素[實例]氨分子的幾何構型與對稱性分子呈正三角錐形，N原子位于錐頂。對稱特點：1個三重對稱軸通過錐頂且垂直于底面3個對稱面(映面)分別通過三重軸及1個N-H鍵共有6個對稱操作：繞三重軸旋轉120°及240°；通過3個映面的反映；恒等操作在進行對稱操作時，分子中至少有1點是不動的，同時這種對稱操作不改變分子中任意兩點之間的距離2024/1/156.2對稱操作與對稱元素NH3分子的對稱操作2對稱操作的分類統(tǒng)一分類并用標準符號表示之，其中的映面、象轉及反演操作能把右手變?yōu)樽笫郑Q為“非真的〞或虛操作。2024/1/156.2對稱操作與對稱元素

對稱元素對稱操作符號意義I恒等操作n重軸Cn旋轉角度2π/n，n最高的稱為主軸。若有垂直主軸的二重軸，對應的操作表示為C’2。映面σv

代表包含主軸的平面反映σd

代表垂直主軸的平面反映σh

代表包含主軸且平分一對垂直于主軸的二重軸之間夾角（或兩個σv之間的夾角）的平面反映象轉軸Sn旋轉2π/n，繼之對垂直于旋轉軸的平面進行反映對稱中心i相對于對稱中心的反演2024/1/156.2對稱操作與對稱元素〔1〕旋轉軸與旋轉操作分子中假設存在一條軸線，繞此軸旋轉一定角度能使分子復原，就稱此軸為旋轉軸,符號為Cn.旋轉可以實際進行，為真操作；相應地，旋轉軸也稱為真軸.H2O2中的C2(旋轉軸上的橢圓形為C2的圖形符號。類似地，正三角形、正方形、正六邊形分別是C3、C4和C6的圖形符號〕2024/1/156.2對稱操作與對稱元素2〕鏡面與反映操作分子中假設存在一個平面，將分子兩半部互相反映而能使分子復原，那么該平面就是鏡面σ，這種操作就是反映.2024/1/156.2對稱操作與對稱元素試找出分子中的鏡面2024/1/156.2對稱操作與對稱元素分子中假設存在一點,將每個原子通過這一點引連線并延長到反方向等距離處而使分子復原,這一點就是對稱中心i,這種操作就是反演.〔3)對稱中心與反演操作2024/1/156.2對稱操作與對稱元素旋轉反映或旋轉反演都是復合操作，相應的對稱元素分別稱為映軸Sn和反軸In.旋轉反映(或旋轉反演)的兩步操作順序可以反過來.這兩種復合操作都包含虛操作.相應地,Sn和In都是虛軸.對于Sn，假設n等于奇數(shù)，那么Cn和與之垂直的σ都獨立存在；假設n等于偶數(shù)，那么有Cn/2與Sn共軸，但Cn和與之垂直的σ并不一定獨立存在.試觀察以下分子模型并比較:

(4)映軸與旋轉反映操作反軸與旋轉反演操作2024/1/156.2對稱操作與對稱元素(1)重疊型二茂鐵具有S5，所以,C5和與之垂直的σ也都獨立存在(2)甲烷具有S4，所以,只有C2與S4共軸，但C4和與之垂直的σ并不獨立存在.2024/1/156.2對稱操作與對稱元素

甲烷中的映軸S4與旋轉反映操作

注意:C4和與之垂直的σ都不獨立存在2024/1/156.2對稱操作與對稱元素環(huán)辛四烯衍生物中的S4分子中心是S4的圖形符號2024/1/156.2對稱操作與對稱元素旋轉是真操作,其它對稱操作為虛操作.例如,先作二重旋轉，再對垂直于該軸的鏡面作反映，等于對軸與鏡面的交點作反演.兩個或多個對稱操作的結果，等效于某個對稱操作.2024/1/156.2對稱操作與對稱元素3.對稱操作的“乘法〞NH3分子的全部對稱操作可記為：連續(xù)的對稱操作的總結果等價于另一單個操作的效果，適合于“乘法〞表示之，例如：對稱操作的連續(xù)使用一般與次序有關，如即對應的“乘法〞是不可交換的。重排定理：在乘法表中的每一行或每一列元素出現(xiàn)1次且只能出現(xiàn)1次。2024/1/156.2對稱操作與對稱元素II

IIIIIINH3〔C3V〕對稱操作乘法表2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示1.矩陣表示任何一個對稱操作都可以用矩陣來表示。選定一個函數(shù)向量，它以一組函數(shù)為分量，經(jīng)對稱操作作用后，由各分量的變換性質來確定其對應矩陣的形式考慮：直角坐標系空間向量變換，對稱操作為A〔x，y，z〕-------------------〔x’，y’，z’〕兩組坐標存在如下的變換關系：矩陣形式為：2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示現(xiàn)對氨分子的對稱操作做說明。(1)恒等操作對向量不產(chǎn)生任何影響,對應于單位矩陣(2)旋轉操作

n旋轉軸可衍生出n-1個旋轉操作,記為存在關系:滿足可交換性與循環(huán)(周期)性2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示將z軸選定為旋轉軸,向量的z分量不受影響.考慮(x,y)變化繞主軸旋轉操作示意圖矩陣的一般表示：向量(x,y)的極角α向量(x’,y’)的極角2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示對于氨分子，n=3，旋轉角為120°(3)平面反映共有3種反映操作,即當主軸為z軸時,σv不改變向量的z分量.設反映面的極角為θ,對于二維向量作用后各相關的極角如下圖.

σv對向量的作用2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示變換關系:相應的矩陣表示:應用于氨分子,設σv與yz平面重合,那么極角θa=π/2,的極角分別30°為和150°,相應的矩陣表示依次為:2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示垂直于主軸σh的反映面操作,使z改變符號,,而x,y分量不變對于σd的反映面操作,因其也包含主軸,矩陣表示的一般形式同于,而具體形式取決于它的極角.2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示

(4)象轉操作系符合操作,由繞主軸的旋轉和σh組合而成,即:相應的矩陣表示為:(5)反演使各分量都改變符號,即2024/1/156.3對稱操作的矩陣表示〔6〕C2’其旋轉垂直于主軸，設旋轉軸的極角為θ，那么：該操作也可看成極角為θ的σv映面操作與對稱操作σh的乘積：C2’=σhσv〔θ〕除了上面的6類對稱操作外，還有其它一些操作，如旋轉軸不為主軸的C3旋轉操作，不包含主軸的σ映面操作等。相應的表示矩陣要復雜些，但都可以表示成幾個簡單操作的乘積。2024/1/156.4群的定義與性質1.群的定義由有限個或無限個元素組成的一個集合G，假設滿足以下4個性質，那么稱G為群。〔1〕封閉性群中任意兩個元素的乘積必為群中的一個元素，即：假設A∈G，B∈G，那么AB=C∈G〔2〕結合律：三個群元素相乘有A〔BC〕=〔AB〕C〔3〕恒等元素群中必有一個恒等元素，它與群中任一元素相乘，使該元素不變。即IA=AI=A〔4〕逆元素每個群必有一個逆元素，它也是群元素，即A∈G，A-1∈G 且AA-1=A-1A=12024/1/156.4群的定義與性質[舉例]〔1〕由0和所有的正、負整數(shù)的集合，對于數(shù)的加法，構成一個群。其中0為恒等元，正數(shù)n的逆元是-n?！?〕所有大于0的實數(shù)，對于普通的乘法，構成一貫群。其中恒等元是1，逆元是其倒數(shù)?！?〕NH3分子的所有對稱操作的集合，構成一個群，即C3v群，其乘法表前已述及?！?〕以下四個矩陣構成一個群。其中第一個矩陣為恒等元，每個矩陣的逆元就是它本身。2024/1/156.4群的定義與性質[有關名字與概念]群的階：指一個群中元素的個數(shù)，用h表示。有限群與無限群：指階為有限和無限的群。Abel群：指群中任意兩元素的乘法可以交換的群，即：AB=BA，且A，B∈G子群：指群中的一局部元素的集合也滿足群的四個條件，從而構成一個群，稱之為前一個群的子群。[例]NH3分子，屬C3v群，由六個元素構成：包含一個3階子群：3個2階子群：2024/1/156.4群的定義與性質恒等元素I總是單獨地構成一個1階子群；群的階數(shù)總能被其子群的階數(shù)整除；群G本身也可以認為是G的子群。

群元素的乘積可排列成一個方格表，稱為群的乘法表.每一行都是另一行的重排，每一列也是如此，此即重排定理.2.群的乘法表乘法表一例：G6

EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED2024/1/156.4群的定義與性質3共軛類[共軛元素]假設存在群元素R(R≠I)使群元素A與B滿足關系:R-1AR=B或A=RBR-1那么稱Ｂ是Ａ借助于Ｘ所得到的相似變換，Ａ與Ｂ共軛.并稱A與B屬于同一共軛類,簡稱共軛元素.[共軛類]在一個群中,相互共軛的元素的一個完整集合稱為一個共軛類,或簡稱類.2024/1/156.4群的定義與性質[劃分方法]對于群中一個元素A,做R-1AR,當普及群中所有元素時,即可得出與A同為一類的所有元素.例如,根據(jù)NH3的C3v群之乘法表,可以得到。因此,C3v群中的6個元素可劃分成三類:2024/1/156.5分子點群對于分子而言,它的各個對稱操作構成一個群,由于這些對稱操作至少保持分子的一點不動,因此稱為點群.1.點群分類下面的分類采用Schonflies符號.序號點群對稱特點群元素階1Cn1個n重對稱軸n

例2Cnh1個n重對稱軸及1個垂直此軸的對稱面σh

2n例2024/1/156.5分子點群序號點群對稱特點群元素階3Cnv1個n重對稱軸及1個通過此軸的對稱面σv

2n例4Dn1個n重對稱軸(主軸)n個垂直此軸的二重軸2n

例5Dnh在Dn的基礎上加1個垂直Cn軸的對稱面σh4n例2024/1/156.5分子點群序號點群對稱特點群元素階6Dnd在Dn的基礎上加1個垂直Cn軸且垂直于兩個C2軸夾角的鏡面σd4n例7S2n1個偶數(shù)重數(shù)的象轉軸2n例

含有多高次軸的對稱元素組合所得的對稱元素系與正多面體的對稱性相對應.群有T群,O群及I群等.2024/1/156.5分子點群序號點群對稱特點群元素階8T4個C3軸,3個C2軸

12例Th在T群的基礎上加入垂直于C2的σh24例Td在T群的基礎上加入通過于C2軸且平分兩個C2的σd,24例2024/1/156.5分子點群序號點群對稱特點群元素階9O3個相互垂直的C4,4個C3軸24例Oh在O群的基礎上加入垂直于C4的σh48例10I6個C5，60例Ih6個C5120例2024/1/156.5分子點群對于上面的分子點群分類，可以歸為四類:(1)單軸群:包括Cn、Cnh、Cnv(共同特點是旋轉軸只有一條〕(2)雙面群：包括Dn、Dnh、Dnd(共同特點是旋轉軸除了主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸.)(3)立方群：包括Td、Th、Oh、Ih(共同特點是有多條高次(大于二次)旋轉軸相交)(4)非真旋軸群：包括Cs、Ci、S4等.(共同特點是只有虛軸(不計包含在Sn中的Cn/2.此外,i=S2,σ=S1).2024/1/156.5分子點群2分子點群的判別分子線形分子:有多條高階軸分子（正四面體、正八面體…)只有鏡面或對稱中心,或無對稱性的分子:只有S2n(n為正整數(shù)）分子:有n條C2副軸垂直于主軸:Cn軸(但不是S2n的簡單結果)無C2副軸:2024/1/156.6群的表示1群表示的定義對稱操作作用于一個向量，衍生了相應的矩陣表示。假設這種作用普及點群的每一元素，其結果是每一對稱操作對應一矩陣，當這些矩陣滿足群的條件時，稱它們?yōu)槿旱谋硎?，而被作用的向量稱為該表示的基。例如前面以向量(x,y,z)為基,C3v的全部對稱操作所對應的矩陣構成一個三維表示,滿足點群C3v的乘法表.2024/1/156.6群的表示

每一個群均存在一個一維恒等表示，基是標量函數(shù)f(r),有時也可以是含主軸變量的函數(shù).如C3v:A(z)=(z),A=以繞主軸的右手螺旋函數(shù)Rz為基,實操作使Rz不變,虛操作使Rz改變符號,即右手螺旋Rz的變換性質量2024/1/156.6群的表示恒等表示的各類元素(相當于一個一維矩陣)恒等于1;而以Rz為基的一維表示,一半為+1,另一半為-1.一個群的表示依賴于坐標的選擇.群論中把產(chǎn)生一個表示的坐標或函數(shù)集合稱為群的表示的基.空間坐標、坐標的函數(shù)及其集合都可以作為群的表示的基，在量子化學中常以原子或分子的電子波函數(shù)作群的表示的基。2.可約表示和不可約表示考察C3v群6個對稱操作所對應的三維矩陣，它們都是對角方塊形式(各包含一個2×2和1×1的方塊),意味著同時可被約化為一組一維子矩陣和一組二維子矩陣,它們分別以z和(x,y)為基.連同Rz為基的一維表示,得C3v群的不可約表示2024/1/156.6群的表示操作表示IC3σaσbσc基A1

111111zE(x,y)A2111-1-1-1RzC3v群的不可約表示一般地,假設一個群的表示Γ中所有元素A,B,C,…的表示矩陣Γ(A),Γ(B),Γ(C),…都可以用某種數(shù)學手段(矩陣的相似變換)變換成對角方塊形式,那么稱表示Γ是可約的.2024/1/156.6群的表示并說,Γ被約化(分解)成表示Γ1,Γ2,Γ3等之和:[注意]Γ1(A),Γ1(B),Γ1(C)…的維數(shù)必須相同,Γ2(A),Γ2(B),Γ2(C)…的維數(shù)必須相同等等,但Γ1,Γ2,Γ3…的維數(shù)可以相同,也可以不同.如果一個表示不可能被分解為較低維表示之和,那么稱該表示為不可約表示.2024/1/156.6群的表示3特征標和不可約表示的性質

在矩陣的約化過程中矩陣元的值在改變，但正方矩陣的跡，即矩陣對角元之和，在相似變換下不變。這種對稱操作的矩陣的跡，稱為特征標，用符號χ標記，χ(R)是矩陣中操作矩陣R的特征標。一個點群的可約表示可以有很多,但不可約表示的個數(shù)及維數(shù)是一定的.下面是幾條相關定理:[定理1]群的不可約表示的數(shù)目等于群中共軛類的數(shù)目.[定理2]群的不可約表示的維數(shù)平方和等于群的階.2024/1/156.6群的表示[定理3]共軛類群元素的特征標相同.[定理4]群的不可約表示的特征標滿足正交歸一化條件.[定理5]群的不可約表示的基函數(shù)彼此正交.Γ,?！聿豢杉s表示,為多維表示的分量(基函數(shù))指標.k為歸一化常數(shù).含義:屬于不同不可約表示的基函數(shù)相互正交;屬于同一不同不可約表示的不同分量的基函數(shù)相互正交.2024/1/156.6群的表示特征標表：在群論的實際應用中，重要的不是一個表示的各個矩陣本身，而是表示中各個矩陣的特征標。將點群的所有不可約表示的特征標及相應的基列成表，稱為特征標表。C3v群的特征標表C3vE2C3

3σvA1111zx2+y2,z2A211-1RzE2-10(x,y)(Rx,Ry)(x2-y2,xy)(xz,yz)2024/1/156.6群的表示最上一行是對稱操作，前面的數(shù)字是該對稱操作的數(shù)目，例如2C3說明有兩個C3構成一個類，共同占據(jù)一列;最左一列的A1、A2、E是不可約表示的符號：A、B代表一維不可約表示，換言之，在分塊對角形式中，它們是一階方陣；E代表二維不可約表示；(T或F代表三維不可約表示；U或G代表四維不可約表示；W或H代表五維不可約表示，等等)2024/1/156.6群的表示可約表示的約化

前已指出，通過矩陣的相似變換可對可約表示進行約化,并可被唯一地約化為一些不可約表示之和:

對上式兩端同乘以χ(R),對群元素R求和,并利用定理4,可得:變換過程中矩陣的特征標不變，即：2024/1/156.6群的表示[實例]討論C3v群.

共軛類數(shù)為3,由定理1得知有3個不可約表示

由由定理2推知,3個不可約表示的維數(shù)分別為1,1,2.只有如此才能滿足:12+12+22=6

以向量(x,y,z)為基時C3v群的表示為不可約表示,特征標為:

χ(I)=3,χ(C3)=0,χ(σ)=1,根據(jù)的特征標表及上式可求出各不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)為:假設以代表Γ此不可約表示,上述結果可寫成:Γ=A1+E再以E2為例,這是一個可約表示.從中約化出不可約表示A1的過程圖解如下(其余類推):2024/1/156.6群的表示2024/1/156.7對稱性分子軌道

群論有許多應用,如鑒定分子軌道的對稱性,預見MO中可能出現(xiàn)的AO,久期方程的簡化,軌道積分的判別,構造雜化軌道,形成對稱性分子軌道等.現(xiàn)討論對稱性分子軌道.以NH3分子為例.NH3屬于C3v點群,坐標選擇同前:N原子為原點,軸為z軸,右手坐標系,反映面σa為yz平面,三個氫原子的球坐標角是:其中θ≈128°.三個氫原子在xy平面的投影如下圖:2024/1/156.7對稱性分子軌道考慮成鍵作用,N原子的4個價原子軌道:2s,2px,2py,2pz,三個H原子的軌道(簡記為a,b,c).將此7個軌函作為C3v群表示的基向量的分量,將衍生一個7維的可約表示矩陣.考慮倒只有等價原子軌道可能在對稱操作下相互變換,假設7個軌函可按等價軌道排序,7維表示矩陣就自動取對稱方塊形式,且已局部約化,結果如下表所示.氨分子的等價軌道及其特征標

I2C33σ

群表示N2s111A12pz111A12px,2py2-10EHa,b,c301A1+E2024/1/156.7對稱性分子軌道N原子作為中心原子,(px,py,pz)與(x,y,z)向量性質相同,故其群分類也相同.3個H等價軌道在C3v對稱操作下對應的矩陣為:根據(jù)其特征標,可知三個H1s做基的群表示矩陣可被約化為A1+E.重新組合3個1s等價軌道使之成為A1與E兩類不可約表示的基,稱群原子軌道.可由同屬一個不可約表示的N原子軌道在a,b,c點取值來確定3個1s等價軌道在線性組合中的系數(shù).2024/1/156.7對稱性分子軌道A1表示:對于N,由于(s)a=(s)a=(s)c,(px)a=(py)b=(pz)c,故有:

E表示:2024/1/156.7對稱性分子軌道分子軌道的形成:同屬于同一類不可約表示的群原子軌道線性組合成相同表示的分子軌道.對于氨分子,由3個不可約表示的群原子軌道[s,pz,1/√3(a+b+c)]線性組合產(chǎn)生3個A1不可約表示的分子軌道;由兩對E不可約表示的群原子軌道{[px,py],[1/√2(b-c),1/√6(2a-b-c)]}通過成鍵和反鍵組合,產(chǎn)生兩對二重簡并E不可約表示的分子軌道.參照節(jié)面數(shù)增加,軌道能量增加的原那么.可排出各分子軌道能量上下次序,得能級圖.中性氨分子(8個價電子)電子組態(tài)為(2a1)2(1e)4(3a1)2.2024/1/156.7對稱性分子軌道NH3中的成鍵軌道和反鍵軌道(沿三重軸俯視)3a1是含s,pz的孤對軌道,未畫出2024/1/156.7對稱性分子軌道2024/1/156.5分子點群Cn

群：只有一條n次旋轉軸Cn.C2

群

R2R2R1R12024/1/156.5分子點群C3群C3通過分子中心且垂直于熒光屏2024/1/156.5分子點群

Cnh群:

除有一條n次旋轉軸Cn外，還有與之垂直的一個鏡面σh.C2h群:N2F2C2h群:反式二氯乙烯

C2垂直于熒光屏,

σh

在熒光屏上2024/1/156.5分子點群C3h群RRR

C3垂直于熒光屏

σh

在熒光屏上2024/1/156.5分子點群除有一條n次旋轉軸Cn外，還有與之相包含的n個鏡面σv.

H2O中的C2和兩個σvCnv

群2024/1/156.5分子點群C2v群：臭氧C2v群：菲C2與兩個σv的取向參見H2O分子2024/1/156.5分子點群C3v

：CHCl3C3v

：NF32024/1/156.5分子點群C4v群

：BrF5C5v群：Ti(C5H5)C∞v群：N2O2024/1/156.5分子點群Dn群:除主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸(但沒有鏡面).D2群主軸C2垂直于熒光屏2024/1/156.5分子點群D3：這種分子比較少見，其對稱元素也不易看出.

[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一實例.唯一的C3旋轉軸從xyz軸連成的正三角形中心穿過,通向Co何其相似！三條C2旋轉軸分別從每個N–N鍵中心穿過通向Co.2024/1/156.5分子點群Dnh:在Dn根底上，還有垂直于主軸的鏡面σh.D2h群

：N2O4D2h群：乙烯主軸垂直于熒光屏.σh在熒光屏上.2024/1/156.5分子點群

D3h群

：乙烷重疊型D4h群：XeF4D6h群：苯D

h群：I3-2024/1/156.5分子點群Dnd:在Dn根底上,增加n個包含主軸且平分二次副軸夾角的鏡面σd.D2d:

丙二烯2024/1/156.5分子點群D2d:B2Cl42024/1/156.5分子點群D3d:乙烷交錯型

D4d：單質硫2024/1/156.5分子點群D5d

:交錯型二茂鐵俯視圖2024/1/156.5分子點群Td

群：屬于該群的分子，對稱性與正四面體完全相同。CH4P4〔白磷〕2024/1/156.5分子點群YX在Td群中,可找到一個四面體結構.例如白磷分子，可對照以下表達進行操作：從正四面體的每個頂點到對面的正三角形中點有一條C3穿過,所以共有4條C3,可作出8個C3對稱操作。Z從正四面體的每兩條相對的棱中點有一條S4穿過,6條棱對應著3條S4.每個S4可作出S