八年級數(shù)學(xué)（第十三章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明）13.1 三角形中的邊角關(guān)系（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

13.1三角形中的邊角關(guān)系第十三章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明第1課時(shí)三角形中邊的關(guān)系逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形的相關(guān)元素三角形按邊分類三角形的三邊關(guān)系知1－講感悟新知知識點(diǎn)三角形的相關(guān)元素11.三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做三角形.三角形的表示法：用符號“△”表示三角形，如圖13.1.1-1，頂點(diǎn)是A，B，C

的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.字母的順序可以自由安排感悟新知知1－講特別解讀1.三角形的“三要素”：(1)三條線段；(2)三個(gè)頂點(diǎn)不在同一條直線上；(3)三條線段首尾順次相接.2.三角形的邊是一條線段，既可用兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，也可用邊所對的頂點(diǎn)的小寫字母表示，如頂點(diǎn)A所對的邊BC

可用a

表示.感悟新知2.三角形的“三元素”(1)頂點(diǎn)：三角形相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).如圖13.1.1-1，點(diǎn)A，B，C

是△ABC

的三個(gè)頂點(diǎn).(2)邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊.如圖13.1.1-1，線段AB，BC，AC

是△ABC

的三條邊.知1－講感悟新知(3)

內(nèi)角：在三角形中，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.如圖13.1.1-1，∠

A，∠B，∠C

是△ABC的三個(gè)角.知1－講知1－練感悟新知如圖13.1.1-2中都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是()例1感悟新知知1－練特別提醒?圖形是三角形與圖形內(nèi)含有三角形是兩個(gè)不同的概念.圖形是三角形表示整個(gè)圖形是一個(gè)三角形，圖形內(nèi)含有三角形表示圖形局部有三角形，如選項(xiàng)A，B，D中的圖形內(nèi)都含有三角形，但整個(gè)圖形不是三角形.知1－練感悟新知解：選項(xiàng)A，B，C，D都是由三條線段組成的圖形，但選項(xiàng)A，B，D不是首尾順次相接，因此只有選項(xiàng)C符合三角形的“三要素”.解題秘方：緊扣三角形的“三要素”進(jìn)行識別.答案：C感悟新知知1－練如圖13.1.1-3，在△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，連接BE，AD

交于點(diǎn)

F.例2

知1－練感悟新知解題秘方：緊扣“三角形及其元素的定義”及幾何圖形計(jì)數(shù)的常用方法進(jìn)行解答.方法點(diǎn)撥幾何圖形計(jì)數(shù)的常用方法：1.按序計(jì)數(shù)法；2.畫圖計(jì)數(shù)法；3.基本圖形計(jì)數(shù)法；4.分類計(jì)數(shù)法.感悟新知知1－練(1)圖中共有多少個(gè)三角形？請把它們表示出來.解：圖中共有8個(gè)三角形，分別是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.感悟新知知1－練(2)△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是什么？三條邊是什么？三個(gè)內(nèi)角呢？解：△BDF

的三個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)B，D，F(xiàn)，三條邊是線段BD，DF，BF，三個(gè)內(nèi)角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.感悟新知知1－練(3)以AB

為邊的三角形有哪些？解：以AB為邊的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.感悟新知知1－練(4)以∠C

為內(nèi)角的三角形有哪些？解：以∠C為內(nèi)角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.感悟新知知1－練特別提醒三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的字母的次序可以任意調(diào)換，如△ABF也可以寫成△BAF，△BFA，△FAB

等.感悟新知知2－講知識點(diǎn)三角形按邊分類2

感悟新知知2－講分類示意圖如圖13.1.1-4.知2－講感悟新知特別提醒對三角形進(jìn)行分類時(shí)，原則是不重復(fù)，不遺漏.感悟新知知2－講2.等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，第三邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.(如圖13.1.1-5)特別地，三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，又叫做正三角形.感悟新知知2－練[易錯(cuò)題]下列說法：①三角形按邊分類可分為不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形；②等邊三角形一定是等腰三角形；③有兩邊相等的三角形一定是等腰三角形.其中正確的有(

)A.?1個(gè)???????????B.?2個(gè)C.?3個(gè)???????????D.?0個(gè)例3知2－練感悟新知答案：B解：等邊三角形是特殊的等腰三角形，它屬于等腰三角形，故①錯(cuò)誤；②正確；③為等腰三角形的定義，故正確.感悟新知知2－練易錯(cuò)警示?在按邊分類時(shí)，等邊三角形屬于等腰三角形，不能單獨(dú)作為一類.感悟新知知3－講知識點(diǎn)三角形的三邊關(guān)系31.三角形的三邊關(guān)系文字語言數(shù)學(xué)語言理論依據(jù)圖形三角形中任何

兩邊的和大于

第三邊a+b＞c，b+c

＞a，

a+c＞b兩點(diǎn)之間

線段最短三角形中任何

兩邊的差小于

第三邊a－b

＜c，b－c

＜a，a－c

＜b(a

＞b＞c)

感悟新知知3－講2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用(1)判斷三條線段能否組成三角形；(2)已知三角形的兩邊長，確定第三邊長(或周長)的取值范圍；(3)三角形的邊長用字母表示時(shí)，求字母的取值范圍；(4)說明線段的不等關(guān)系.知3－講感悟新知特別提醒?◆三角形中的“兩邊”指任意兩邊，應(yīng)用時(shí)常選取兩條較短的邊的和與第三邊作比較，選取最長邊與最短邊的差與第三邊作比較.◆已知三角形兩邊長a，b(a>b)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，第三邊長c的取值范圍是a

－b<c<a+b.知3－練感悟新知[中考·金華]已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是()A.?2cm

B.?3cmC.?6cm

D.?13cm例4

知3－練感悟新知答案：C解題秘方：緊扣“三角形的三邊關(guān)系”進(jìn)行判斷.解：設(shè)第三邊的長為xcm，因?yàn)槿切蔚膬蛇呴L分別為5cm和8cm，所以8－5＜x

＜8+5，所以3＜x

＜13.感悟新知知3－練技巧提醒確定三條線段能否組成三角形的兩種方法：1.看較短的兩條線段的和是否大于最長的線段，若是，則能組成三角形；反之，則不能組成三角形.2.看最長的線段減去最短的線段的差是否小于第三條線段，若是，則能組成三角形；反之，則不能組成三角形.知3－練感悟新知[中考·大慶]三個(gè)數(shù)3，1－a，1－2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則a

的取值范圍為___________．例5知3－練感悟新知解題秘方：由三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系初步確定a的取值范圍為a

＜－2；再緊扣三角形的三邊關(guān)系得到3+(1－a)＞1－2a，從而求出a

的取值范圍．知3－練感悟新知答案：

－3＜a＜－2解：因?yàn)?，1－a，1－2a

在數(shù)軸上從左到右依次排列，所以3＜1－a＜1－2a.所以a

＜－2.因?yàn)橐赃@三個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，所以3+(1－a)＞1－2a.所以a

＞－3.所以－3＜a

＜－2.感悟新知知3－練方法點(diǎn)撥已知某三條線段能圍成一個(gè)三角形，則其中任何一邊都小于另兩邊之和，大于另兩邊之差，據(jù)此既可以解決“已知兩邊長，求第三邊長的取值范圍”，也可以解決“用字母表示三角形邊長時(shí)字母的取值范圍”.知3－練感悟新知如圖13.1.1-6，已知點(diǎn)D是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)．試說明：(1)

BD+CD

＜AB+AC；(2)

AD+BD+CD

＜AB+BC+AC．例6

感悟新知知3－練解法提醒?說明線段和的大小關(guān)系，首先要把這些分散的線段集中，構(gòu)造三角形，并運(yùn)用“三角形任意兩邊的和大于第三邊”這一關(guān)系，得出幾個(gè)同向不等式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)等知識，得出結(jié)論.知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“三角形的三邊關(guān)系”將要說明的線段轉(zhuǎn)化到三角形三邊中去說明.知3－練感悟新知解:(1)如圖13.1.1-7，延長BD

交AC

于點(diǎn)E，在△ABE中，有AB+AE

＞BE，在△EDC

中，有ED+EC

＞CD，所以AB+AE+ED+EC＞BE+CD.因?yàn)锳E+EC＝AC，BE＝BD+DE，所以AB+AC+ED

＞BD+DE+CD.所以AB+AC

＞BD+CD.即BD+CD

＜AB+AC.知3－練感悟新知解:(2)由(1)同理可得：AD+CD

＜AB+BC，BD+AD

＜BC+AC，又因?yàn)锽D+CD

＜AB+AC，所以2(AD+BD+CD)＜2(AB+BC+AC).所以AD+BD+CD

＜AB+BC+AC．三角形中邊的關(guān)系三邊關(guān)系組成元素不等邊三角形分類三角形邊角頂點(diǎn)等腰三角形按邊分類13.1三角形中的邊角關(guān)系第十三章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明第2課時(shí)三角形中角的關(guān)系逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形按角分類三角形的內(nèi)角和定理知1－講感悟新知知識點(diǎn)三角形按角分類11.各類三角形的概念(1)銳角三角形：三角形中,三個(gè)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形.(2)直角三角形：三角形中,有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.(3)鈍角三角形：三角形中，有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形.感悟新知知1－講拓展1.三角形的內(nèi)角中，最多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；最少有兩個(gè)銳角.2.三角形按邊分類和按角分類是兩種不同的分類方式，各自獨(dú)立，無論按哪種標(biāo)準(zhǔn)分類,原則都是不重不漏.3.同一個(gè)三角形可能同時(shí)屬于兩種不同的分類，如等腰直角三角形，按邊分類屬于等腰三角形，按角分類屬于直角三角形.感悟新知2.直角三角形的表示直角三角形中夾直角的兩邊叫做直角邊，直角相對的邊叫做斜邊,直角三角形ABC

可以寫成“Rt△ABC”，如圖13.1.2-1所示.知1－講感悟新知

知1－講知1－練感悟新知下列說法中，正確的有()①銳角三角形中最大的角一定小于90°；②所有的等邊三角形都是銳角三角形；③所有的等腰三角形都是銳角三角形；④直角三角形一定不是等腰三角形.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣三角形分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行辨析.①銳角三角形的三個(gè)角都為銳角，銳角小于90°，故正確；②等邊三角形的三個(gè)角都為60°，所以它是銳角三角形，故正確；③對于頂角是鈍角的等腰三角形，不滿足結(jié)論，故錯(cuò)誤；知1－練感悟新知方法點(diǎn)撥此題考查三角形的分類，按角分類的關(guān)鍵是先觀察一個(gè)三角形中是否有直角或鈍角；按邊分類應(yīng)觀察一個(gè)三角形中是否有相等的邊，有幾條相等的邊.知1－練感悟新知④直角三角形可能是等腰三角形，三角尺中就有一個(gè)是等腰的直角三角形，故錯(cuò)誤.故選B.答案：B知2－講感悟新知知識點(diǎn)三角形的內(nèi)角和定理21.定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.幾何語言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.感悟新知知2－講特別解讀1.三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.2.三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多只有一個(gè)鈍角或直角，或者說至少有兩個(gè)銳角.感悟新知2.說明三角形的內(nèi)角和定理的思路思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角.如圖13.1.2-2①②.知2－講感悟新知知2－講特別提醒說明三角形的內(nèi)角和定理的思路方法：主要是運(yùn)用平行線作為橋梁，將三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中成一個(gè)角或兩個(gè)角，再說明這個(gè)角或兩個(gè)角的和是180°即可.感悟新知思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角.如圖13.1.2-3①②.知2－講知2－練感悟新知∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.解題秘方：緊扣三角形的內(nèi)角和定理建立方程(組)求解.例2

知2－練感悟新知(1)已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C

的度數(shù)；解：設(shè)∠B=∠C=x°，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，∠A=40°，所以40+x+x=180，解得x=70，所以∠B=∠C=70°.感悟新知知2－練另解因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，∠A=40°，所以∠B+∠C=180°－40°=140°.又因?yàn)椤螧=∠C，所以∠B=∠C=140°÷2=70°.知2－練感悟新知(2)已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B

的度數(shù)；

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知教你一招：三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解.當(dāng)角之間存在某種數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°列方程求解.知2－練感悟新知方法點(diǎn)撥求三角形內(nèi)角的度數(shù)的方法：1.若已知兩個(gè)角的度數(shù)，求第三個(gè)角的度數(shù)，直接利用三角形的內(nèi)角和求解.2.若已知一個(gè)角的度數(shù)及另兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系；或不知道任何一個(gè)角的度數(shù)，只知道三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，一般根據(jù)“三角形的內(nèi)角和為180°”這個(gè)隱含的數(shù)量關(guān)系列方程(或方程組)求解.感悟新知知2－練一個(gè)零件的形狀如圖13.1.2-4所示，按規(guī)定∠A

應(yīng)等于90°，∠ABD，∠ACD

應(yīng)分別是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，請你幫李叔叔判斷這個(gè)零件是否合格，并說明理由.例3知2－練感悟新知解題秘方：建立三角形的模型利用三角形內(nèi)角和求出角度和，再用三角形內(nèi)角和進(jìn)行驗(yàn)證.解法提醒“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理是任何三角形都必須具備的性質(zhì).知2－練感悟新知解：這個(gè)零件不合格，理由：如圖13.1.2-4，連接BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，因?yàn)椤螦=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=38°.在△DCB中，∠BDC=180°－(∠DCB+

∠DBC)=180°－

38°=142°≠146°，所以這個(gè)零件不合格.三角形中角的關(guān)系內(nèi)角和等于180°三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系三角形中角的關(guān)系直角三角形斜三角形最大角的大小13.1三角形中的邊角關(guān)系第十三章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明第3課時(shí)三角形中幾條重要線段逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形的角平分線三角形的中線三角形的高知1－講感悟新知知識點(diǎn)三角形的角平分線1定義三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.感悟新知知1－講特別提醒◆角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.◆三角形的角平分線是其內(nèi)角的平分線的一部分.故角的平分線的性質(zhì)三角形的角平分線都具有.感悟新知

知1－講知1－練感悟新知[月考·合肥]如圖13.1.3-2，D

是△ABC

中BC邊上的一點(diǎn)，DE∥AC交AB

于點(diǎn)E，DF∥AB

交AC

于點(diǎn)F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分線嗎？說明理由．例1知1－練感悟新知解：AD是△ABC

的角平分線．理由：因?yàn)镈E∥AC，DF∥AB，所以∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD.又因?yàn)椤螦DE=∠ADF，所以∠DAF=∠EAD.所以AD

是△ABC

的角平分線．解題秘方：根據(jù)三角形角平分線的定義進(jìn)行說明.知1－練感悟新知解法提醒?本題主要考查了角平分線的定義及平行線的性質(zhì).三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.感悟新知知2－講知識點(diǎn)三角形的中線21.定義三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.感悟新知知2－講

知2－講感悟新知特別解讀三角形的中線把三角形分成的兩個(gè)三角形的面積和周長的關(guān)系：1.兩個(gè)三角形的面積相等；2.兩個(gè)三角形的周長的差等于這兩個(gè)三角形另兩邊的差.感悟新知知2－講2.三角形的重心三角形的三條中線相交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心(如圖13.1.3-4中的點(diǎn)O)，重心在三角形內(nèi)部.感悟新知知2－練如圖13.1.3-5，在△ABC中，AD，BE

分別是△ABC，△ABD

的中線.(1)若△ABD與△ADC的周長之差為3，AB=8，求AC

的長；(2)若S

△ABC=8，求

S△ABE.例2

知2－練感悟新知解題秘方：利用中線將三角形分成的兩個(gè)三角形的周長之間的關(guān)系和面積之間的關(guān)系解題.解：(1)因?yàn)锳D為BC

邊上的中線，所以BD=CD，所以△ABD與△ADC

的周長之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因?yàn)椤鰽BD

與△ADC

的周長之差為3，AB=8，所以8－AC=3，