歷史上的三次數(shù)學危機

?數(shù)學思想與數(shù)學文化?

歷史上的三次數(shù)學危機1精選ppt第六講

歷史上的三次數(shù)學危機前言一、第一次數(shù)學危機1、危機的起因2、危機的實質(zhì)3、危機的解決二、第二次數(shù)學危機1、危機的引發(fā)2、危機的實質(zhì)3、危機的解決三、第三次數(shù)學危機1．“數(shù)學根底〞的曙光——集合論2．算術(shù)的集合論根底3．羅素的“集合論悖論〞引發(fā)危機4．危機的消除四、三次數(shù)學危機與“無窮〞的聯(lián)系2精選ppt前言歷史上，數(shù)學的開展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機。危機也意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數(shù)學開展的先導。數(shù)學開展史上有三次數(shù)學危機。每一次數(shù)學危機，都是數(shù)學的根本局部受到質(zhì)疑。實際上，也恰恰是這三次危機，引發(fā)了數(shù)學上的三次思想解放，大大推動了數(shù)學科學的開展。3精選ppt一.第一次數(shù)學危機

1.危機的起因：第一次數(shù)學危機是由不能寫成兩個整數(shù)之比引發(fā)的。

畢達哥拉斯〔約公元前580-前500〕古希臘哲學家、數(shù)學家、天文學家4精選ppt1.這一危機發(fā)生在公元前5世紀，危機來源于：當時認為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)學危機是由畢達哥拉斯學派內(nèi)部提出的.2.危機的實質(zhì)：是無理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴充，需要添加無理數(shù).5精選ppt☆當時古希臘的歐多克索斯局部地解決了這一危機。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比〞的新說法，回避了是無理數(shù)的實質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的根底牢靠了，幾何從全部數(shù)學中脫穎而出。歐幾里得的?幾何原本?中也采用了這一說法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數(shù)學的根底。6精選ppt3.危機的解決但是徹底解決這一危機是在19世紀，依賴于數(shù)系的擴張。直到人類認識了實數(shù)系，這次危機才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了。7精選ppt二.第二次數(shù)學危機第二次數(shù)學危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀。第一次數(shù)學危機是由畢達哥拉斯學派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學危機那么是由牛頓學派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量〞說法的質(zhì)疑引起的。8精選ppt1．危機的引發(fā)1〕牛頓的“無窮小〞牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。微積分的一個來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。9精選ppt例如，設(shè)自由落體在時間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時速度，先求?！唷?〕10精選ppt

當變成無窮小時，右端的也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是，這就是物體在時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責難。11精選ppt2〕貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道：“無窮小〞作為一個量，究竟是不是0？12精選ppt

如果是0，上式左端當成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式時，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時速度呢？因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒唐。〔*〕13精選ppt貝克萊還挖苦挖苦說：即然和都變成“無窮小〞了，而無窮小作為一個量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂〞了。這就是著名的“貝克萊悖論〞。對牛頓微積分的這一責難并不是由數(shù)學家提出的，但是，14精選ppt貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的數(shù)學家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“〞語言，才徹底地反駁了貝克萊的責難。15精選ppt3〕實踐是檢驗真理的唯一標準應當成認，貝克萊的責難是有道理的?！盁o窮小〞的方法在概念上和邏輯上都缺乏根底。牛頓和當時的其他數(shù)學家并不能在邏輯上嚴格說清“無窮小〞的方法。數(shù)學家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責。這說明，在大多數(shù)人的腦海里，“實踐是檢驗真理的唯一標準。〞16精選ppt

2．危機的實質(zhì)第一次數(shù)學危機的實質(zhì)是“不是有理數(shù)，而是無理數(shù)〞。那么第二次數(shù)學危機的實質(zhì)是什么？應該說，是極限的概念不清楚，極限的理論根底不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯根底。17精選ppt其實，在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間之比〞的時候，這種說法本身就是不明確的，是模糊的。當然，牛頓也曾在他的著作中說明，所謂“最終的比〞，就是分子、分母要成為0還不是0時的比——例如〔*〕式中的gt，它不是“最終的量的比〞，而是“比所趨近的極限〞。

18精選ppt他這里雖然提出和使用了“極限〞這個詞，但并沒有明確說清這個詞的意思。德國的萊布尼茨雖然也同時創(chuàng)造了微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因為如此，此后近二百年間的數(shù)學家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。19精選ppt

所以，由“無窮小〞引發(fā)的第二次數(shù)學危機，實質(zhì)上是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學的根底。20精選ppt牛頓〔英，1642-1727〕萊布尼茨〔德，1646-1716〕21精選ppt3．危機的解決1〕必要性微積分雖然在開展，但微積分的邏輯根底上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學家的一塊心病。22精選ppt而且，隨著時間的推移，研究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。數(shù)學家在研究無窮級數(shù)的時候，做出許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結(jié)論。由于沒有嚴格的極限理論作為根底。數(shù)學家們在有限與無限之間任意通行〔不考慮無窮級數(shù)收斂的問題〕。

23精選ppt因此，進入19世紀時，一方面微積分取得的成就超出人們的預料，另一方面,大量的數(shù)學理論沒有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學結(jié)論是正確無誤的。

歷史要求為微積分學說奠基。24精選ppt2〕嚴格的極限理論的建立到19世紀，一批杰出數(shù)學家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限理論，并把它作為微積分的根底。應該指出，嚴格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。25精選ppt①在18世紀時，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀初，捷克數(shù)學家波爾查諾開始將嚴格的論證引入數(shù)學分析，他寫的?無窮的悖論?一書中包含許多真知灼見。26精選ppt④而做出決定性工作、可稱為分析學的奠基人的是法國數(shù)學家柯西〔A.L.Cauchy,1789—1857〕。他在1821—1823年間出版的?分析教程?和?無窮小計算講義?是數(shù)學史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。27精選ppt柯西〔法，1789-1857〕波爾查諾〔捷，1781-1848〕28精選ppt3〕嚴格的實數(shù)理論的建立①對以往理論的再認識后來的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認識到，極限理論的進一步嚴格化，需要實數(shù)理論的嚴格化。微積分或者說數(shù)學分析，是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，說明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。29精選ppt一件事是，1874年德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯〔K.T.W.Weirstrass，1815—1897〕構(gòu)造了一個“點點連續(xù)而點點不可導的函數(shù)〞?！斑B續(xù)函數(shù)〞在直觀上是“函數(shù)曲線沒有間斷，連在一起〞，而“函數(shù)在一點可導〞直觀上是“函數(shù)曲線在該點有切線〞。所以，在直觀上“連續(xù)〞與“可導〞有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過：函數(shù)在連續(xù)點上都可導〔當然是錯誤的〕。因此根本不可想象，還會有“點點連續(xù)而點點不可導的函數(shù)〞。30精選ppt

魏爾斯特拉斯

德意志帝國數(shù)學家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學學習法律和財政。1838年轉(zhuǎn)學數(shù)學。1842～1856年，先后在幾所中學任教。1854年3月31日獲得哥尼斯堡大學名譽博士學位。1856年10月受聘為柏林大學助理教授，同年成為柏林科學院成員，1864年升為教授。魏爾斯特拉斯(德，1815～1897)

31精選ppt魏爾斯特拉斯關(guān)于“點點連續(xù)而點點不可導的函數(shù)〞的例子是

其中是奇數(shù)，，使。32精選ppt另一件事是德國數(shù)學家黎曼〔B.Riemann，1826—1866〕發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。

33精選ppt黎曼還造出一個函數(shù)，當自變量取無理數(shù)時它是連續(xù)的，當自變量取有理數(shù)時它是不連續(xù)的。34精選ppt

黎曼1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。

黎曼〔德，1826-1866〕35精選ppt這些例子使數(shù)學家們越來越明白，在為分析建立一個完善的根底方面，還需要再前進一步：即需要理解和說明實數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。36精選ppt②魏爾斯特拉斯的奉獻德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯〔KarlWeierstrass，1815—1897〕的努力，終于使分析學從完全依靠運動學、直觀理解和幾何概念中解放出來。他的成功產(chǎn)生了深遠的影響，主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的“〞語言。37精選ppt“〞語言的成功，表現(xiàn)在：這一語言給出極限的準確描述，消除了歷史上各種模糊的用語，諸如“最終比〞、“無限地趨近于〞，等等。這樣一來，分析中的所有根本概念都可以通過實數(shù)和它們的根本運算和關(guān)系精確地表述出來。38精選ppt4〕極限的“〞定義及“貝克萊悖論〞的消除①極限的“〞定義39精選ppt定義：設(shè)函數(shù)在的附近都有定義，如果有一個確定的實數(shù)〔無論多么小的正數(shù)〕。都〔都能找到一個正數(shù)，依賴于〕，使當時〔滿足不等式的所有不等于的〕，有〔這些對應的函數(shù)值與的差小于預先給定的任意小的〕我們就說“函數(shù)在趨近于時，有極限〞。記為。40精選ppt由極限的這個“〞定義，可以求出一些根本的極限，并嚴格地建立一整套豐富的極限理論。簡單說，例如有兩個相等的函數(shù)，取極限后仍相等；兩個函數(shù)，代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和。等等。由此再建立嚴格的微積分理論。41精選ppt②“貝克萊悖論〞的消除回到牛頓的〔*〕式上：〔*〕這是在〔即〕條件下，得到的等式；它說明時間內(nèi)物體的平均速度為?！?〕式兩邊都是△t的函數(shù)。然后，我們把物體在時刻的瞬時速度定義為：上述平均速度當趨于0時的極限，即物體在時刻的瞬時速度=。42精選ppt下邊我們對〔*〕式的等號兩邊同時取極限，根據(jù)“兩個相等的函數(shù)取極限后仍相等〞，得瞬時速度=再根據(jù)“兩個函數(shù)和的極限等于極限的和〞，得然后再求極限得43精選ppt上述過程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴格的邏輯基礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論〞的焦點“無窮小量是不是0？〞，在這里給出了明確的答復：。這里也沒有“最終比〞或“無限趨近于〞那樣模糊不清的說法。44精選ppt總之，第二次數(shù)學危機的核心是微積分的根底不穩(wěn)固。柯西的奉獻在于，將微積分建立在極限論的根底。魏爾斯特拉斯的奉獻在于，邏輯地構(gòu)造了實數(shù)系，建立了嚴格的實數(shù)理論，使之成為極限理論的根底。所以，建立數(shù)學分析〔或者說微積分〕根底的“邏輯順序〞是：實數(shù)理論—極限理論—微積分。而“歷史順序〞那么正好相反。45精選ppt知識的邏輯順序與歷史順序

有時是不同的.46精選ppt三、第三次數(shù)學危機1．“數(shù)學根底〞的曙光——集合論到19世紀，數(shù)學從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論〔和極限理論〕的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的根底；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯根底更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學的根底在哪里？正在這時，19世紀末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的根底。47精選ppt其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分數(shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術(shù)的對象可說成是“以整數(shù)、分數(shù)等組成的集合〞；微積分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的集合〞；幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合〞。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更根本的概念。48精選ppt于是，集合論似乎給數(shù)學家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財[脫“數(shù)學根底〞的危機。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間問題。龐加萊〔(JulesHenriPoincaré，法，1854-1912〕甚至在1900年巴黎國際數(shù)學家大會上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴格性已經(jīng)到達了！〞49精選ppt2．算術(shù)的集合論根底1〕人們按以下邏輯順序把全部數(shù)學的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負整數(shù)，即自然數(shù)集合加上0——現(xiàn)在我國中小學就把這一集合稱為自然數(shù)集合?！菜阈g(shù)〕非負整數(shù)n→有理數(shù)實數(shù)復數(shù)圖形50精選ppt因此，全部數(shù)學似乎都可歸結(jié)為非負整數(shù)了，或者說，全部數(shù)學都可以歸結(jié)為算術(shù)了。這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的根底上，就相當于解決了整個“數(shù)學根底〞的問題。法國數(shù)學家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格〔G.Frege,1848—1925〕就做了這樣的工作。他寫了一本名叫?算術(shù)根底?的書。51精選ppt弗雷格〔法,1848—1925〕?算術(shù)根底?52精選ppt2)弗雷格的?算術(shù)根底?為了使算術(shù)建立在集合論的根底上，所有的非負整數(shù)，都需要用集合論的觀點和語言重新定義。首先從0說起。0是什么？應領(lǐng)先答復0是什么，然后才有表示“0〞的符號。53精選ppt為此，先定義“空集〞?？占恰安缓氐募熄?。例如，“方程在實數(shù)集中的根的集合〞就是一個空集，再例如“由最大的正整數(shù)組成的集合〞也是一個空集。54精選ppt所有的空集放在一起，作成一個集合的集合，〔為說話簡單我們把“集合的集合〞稱作類〕，這個類，就可以給它一個符號：0，中國人念“l(fā)ing〞，英國人念“Zero〞?？占强盏?，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個元素了，即，0是一個元素了。由它再作成一個集合{0}，那么不是空集了。55精選ppt弗雷格再定義兩個集合間的雙射：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回地映射，所以一般稱為“雙射〞。弗雷格再定義兩個集合的“等價〞：，能夠在其間建立雙射的兩個集合A、B稱為“等價〞。56精選ppt下邊可以定義“1〞了。把與集合{0}等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就可以給它一個符號：1。再定義“2〞。把與集合{0，1}等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就叫：2。然后，把與{0，1，2}等價的集合作成的類，叫：3。57精選ppt一般地，在有了0，1，2，…，n的定義后，就把所有與集合{0，1，2，…，n}等價的集合放在一起，作成集合的集合，這樣的類，定義為：n+1。這種定義概念的方法，叫作“歸納定義〞的方法。58精選ppt這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅用到集合及集合等價的概念，把全部非負整數(shù)定義出來了。于是根據(jù)上邊說的“可以把全部數(shù)學歸結(jié)為非負整數(shù)〞，就可以說，全部數(shù)學可以建立在集合論的根底上了。59精選ppt3．羅素的“集合論悖論〞引發(fā)危機1〕悖論引起震憾和危機正當弗雷格即將出版他的?算術(shù)基礎(chǔ)?一書的時候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布“完全嚴格的數(shù)學已經(jīng)建立起來！〞之后剛剛兩年，即1902年。60精選ppt伯特蘭·羅素〔1872-1970〕Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

學科成就：英國著名哲學家、數(shù)學家、邏輯學家，分析學的主要創(chuàng)始人，世界和平運動的倡導者和組織者。

所獲獎項：1950年諾貝爾文學獎。頒獎詞：當代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無畏斗士。

羅素〔英，1872-1970〕61精選ppt集合論中居然有邏輯上的矛盾！傾刻之間，算術(shù)的根底動搖了，整個數(shù)學的根底似乎也動搖了。這一動搖所帶來的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數(shù)學家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學就是建立在這樣的根底上的嗎？羅素悖論引發(fā)的危機，就稱為第三次數(shù)學危機。62精選ppt羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫信告訴弗雷格。弗雷格在他的?算術(shù)根底?一書的末尾無可奈何地寫道：“一個科學家遇到的最不愉快的事莫過于，當他的工作完成時，根底崩塌了。當本書即將印刷時，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的為難境地。〞63精選ppt2〕羅素悖論在表達羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實：一個集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合〞，把后者稱為“正常集合〞。64精選ppt例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合〞。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合〞。再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合〞。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合〞。65精選ppt羅素當年的例子“異常集合〞1：不多于29個字母表達的句子所構(gòu)成的集合〔這一集合的定義是“不多于29個字母表達的句子〞，它是這一集合本身的成員〕“異常集合〞2：不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合〔“不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合〞肯定不是麻雀，所以它是這一集合本身的成員〕66精選ppt羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合〞〔所有異常集合的集合〕，而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合〞〔所有正常集合的集合〕，于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身的成員？〔集合是否是異常集合？〕67精選ppt如果是它本身的成員，那么按及的定義，是的成員，而不是的成員，即不是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即

如果不是它本身的成員，那么按及的定義，是的成員，而不是的成員，即是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即

悖論在于：無論哪一種情況，都得出矛盾。68精選ppt羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論〞：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原那么，理發(fā)師不應該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原那么，理發(fā)師應該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。69精選ppt4．危機的消除危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學家作了巨大的努力來消除悖論。當時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論根底，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保存下來。70精選ppt這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理根底之上的，這就留